Esercizi sulle successioni

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1 Esercizi sulle successioi 1 Verificare, attraverso la defiizioe, che la successioe coverge a 2 3. a := Verificare, attraverso la defiizioe, che la successioe coverge a 0. a := cos Dimostrare, attraverso la defiizioe, che la successioe diverge a per +. 4 Stabilire se le segueti successioi soo limitate: a := 4 2 (a 22 1 (b 2 2 (c cos 2 (d (e( 1 ( 3 π. 5 Per ciascue delle segueti successioi a ( 1 cos(π ; b 23 5 ; c cos ( π 2 stabilire quali delle segueti proprietà soo verificate defiitivamete: (1 i termii soo positivi; (2 i termii soo miori di u certo M > 0; (3 i termii soo maggiori di u certo m > 0. 6 Stabilire quali fra le segueti successioi soo mootoe ( π a 2 si ; 2 b!.

2 Valetia Casario - Esercizi sulle successioi 7 Calcolare i limiti delle segueti successioi: (a (b 2 2 (c cos 2 (d (e( 1 ( 3 π ( (f( 1 π 3 (g (1 + ( 1 ( 1+1 (h [ 1 ] 1 ( (i (2 2 2 π ( 4 (l (1 + ( 1 ( 1 (m M( Calcolare il limite delle segueti successioi: a = 4 3 +, b = 1 ( x = ( , y = + 1, c = , ( ( 2, z = cos ( π.

3 Valetia Casario - Esercizi sulle successioi Esercizi svolti 1 Osserviamo iazitutto che la successioe {a } è defiita per ogi N. Occorre ora dimostrare che per ogi umero reale ε > 0 esiste u umero aturale ε tale che > ε a 2 3 = < ε. Svolgedo i calcoli, si ottiee Allora la codizioe equivale a cioè acora = 23 3(3 7. a 2 3 < ε < ε, No è restrittivo supporre 3, così che (0.0 may be writte as 3 7 > 23 3ε. (0.0 > 23 9ε A questo puto, scegliamo ε = [ 23 9ε + 7 3] + 1, dove [ ] deota la parte itera. Osserviamo che > ε > 23 9ε Vale ifatti per ogi x R da cui x 1 < [x] x, [x] + 1 > x, e ciò coclude la dimostrazioe. 2 Osserviamo che b è defiita per ogi N. Dobbiamo provare che per ogi umero reale ε > 0 esiste u umero itero ε tale che > ε b 0 = b < ε. I questo caso, coviee semplificare il problema attraverso delle stime. Osserviamo che cos = cos così che < ε cos < ε. Ci siamo quidi ricodotti a determiare u umero itero ε tale che > ε < ε.

4 Valetia Casario - Esercizi sulle successioi Osserviamo ora che perchè per 2 si ha 1 3 > = , A questo puto, il problema è stato ulteriormete semplificato, ed è sufficiete determiare u umero itero ε tale che > ε 2 3 < ε. Scegliedo ε = [ 2 3ε] + 1, dove [ ] deota la parte itera, e ricordado che x 1 < [x] x per ogi x R, si ottiee ifie che > ε > 2 3ε, da cui segue la tesi. 3 Occorre dimostrare che per ogi A > 0 esiste u umero aturale A tale che > A implichi a < A. Sia A > 0. La codizioe a < A equivale a cioè 4 2 < A, 2 + A 4 > 0. Questa disequazioe è soddisfatta per < A A (ma questo caso o va cosiderato, perchè o esiste essu umero aturale siffatto oppure per > A+ A Scegliedo [ A ] A A := , 2 si verifica allora che > A a < A. 4 Ricordiamo che ua successioe {a } si dice limitata se esiste u umero M 0 tale che a M per ogi dom({a }. (a Dimostriamo che la successioe { 22 1 } o è limitata. È sufficiete mostrare che per ogi M > 0 esiste u idice M N tale che a M > M. La codizioe a > M equivale a 22 1 > M, cioè 2 2 M 1 > 0. È allora sufficiete scegliere u umero aturale M > M+ M , per avere a M > M. (b Osserviamo iazitutto che la successioe è defiita per 2 e che per 2 vale > 1. Posto poi a := 2 2, razioalizzado si ottiee a =

5 Valetia Casario - Esercizi sulle successioi Poichè per ogi 2, la successioe è limitata. a (c La successioe è limitata perchè per ogi N vale = 2. (d La successioe è limitata perchè per ogi 1 vale cos (e La successioe è limitata perchè per ogi 0 vale ( ( 3 3 ( 1 1. π π 5 (a Osserviamo che la successioe a := ( 1 cos(π è data, per = 2k, k N, da metre per = 2k + 1, k N, si ha Allora a soddisfatte. (b Posto b := 23 5 Ioltre si ha a 2k := ( 1 2k cos(2kπ = 1 1, a 2k+1 := ( 1 2k+1 cos((2k + 1π = 1 ( 1 = 1. = 1 per ogi N e la successioe è sempre positiva e b e c soo baalmete, osserviamo che 23 0 per per ogi 1, così che {b } soddisfa 2 co M > Ifie, per 24 {b } è a termii strettamete positivi e b = = 1 =: m Quidi 3 è soddisfatta per 24. (c Osserviamo che la successioe è data, per = 2k + 1, k Z, da ( π c := cos 2 c 2k+1 = 0,

6 Valetia Casario - Esercizi sulle successioi metre per = 4k, k Z, si ha c 4k = cos(2kπ = 1 e per = 4k + 2, k Z, si ha c 4k+2 = cos(2kπ + π = 1. Allora 1 o è soddisfatta defiitivamete, perchè c 4k+2 = cos(2kπ + π = 1 per ogi k Z; 2 è soddisfatta per M > 1, metre 3 o è soddisfatta perchè c 4k+2 = 1. 6 a La successioe { 2 si ( π 2 } o è mootoa, perchè, posto a := 2 si ( π 2, per N pari si ha a = 0, per dispari a vale alterativamete 2 o 2. b Sia ora b :=!. Verifichiamo che la successioe è crescete, cioè che per ogi 1 vale Questa codizioe è equivalete a che si può scrivere come cioè acora semplificado Si ottiee ifie 1 ovviamete verificata per ogi 1.! ( + 1!! b b +1. ( ( + 1! ( + 1 ( + 1 =, ( + 1+1, ( ( + 1, 7 (a Raccogliedo la poteza di grado più elevato al umeratore e al deomiatore si ottiee = 3 (2 1 3 (1 + 5 = dal mometo che 2 + e la frazioe tede a 2 per +. (b Razioalizzado, si ottiee Poichè l espressioe 2 2 = = +, ( = = 2 ( tede a 2 per +, la successioe data coverge a zero. (c La successioe data coverge a per + (si ragioa come i a. (d La successioe { cos 2 } tede a zero, perchè cos 2 1.

7 Valetia Casario - Esercizi sulle successioi per ogi 1. ( 3 e La successioe {( 1 } coverge a zero, perchè π ( ( 3 ( 1 3 π = 3 π π. Si ricorda che la successioe {α } coverge a zero se α < 1, diverge a + se α > 1, coverge a 1 se α = 1 ed è idetermiata se α 1. I questo caso, α = 3 ( π < 1, da cui la tesi. (f La successioe {( 1 π } è idetermiata, perchè per pari il termie eesimo è uguale 3 a ( π, ( 3 per dispari a { π }. 3 (g Poiamo Per = 2k, k N, si ha Per = 2k + 1 si ha ivece per ogi k N. Poichè a := (1 + ( 1 ( 1+1. a 2k := 2 (2k 1 = 1 k. a 2k+1 = 0 (2k + 1 = 0 a 2k 0, la successioe coverge a zero per +. (h Osserviamo che per > 1 si ha 1 (0, 1, da cui [ 1 ] = 0. Allora per > 1 si ha [ 1 ] 1 = 1, quidi la successioe data coverge a zero. ( (i Ricordiamo che dati e k i N il coefficiete biomiale k è defiito da ( k! = k!( k!. Allora ( 2 ( 4 =! 4! ( 4! 4 3 2! ( 4! = 2! ( 2!! 2! ( 2( 3( 4! = 4 3 ( 2( 3,

8 Valetia Casario - Esercizi sulle successioi così che ( (2 2 2 π ( = ( π ( 2( (l Poiamo b := (1 + ( 1 ( 1. I questo caso, per = 2k, k N, si ha a 2k := 2 2k = 4k. Per = 2k + 1 si ha ivece a 2k+1 = 0 (2k = 0 per ogi k N. La successioe è quidi idetermiata. (m Ricordiamo che per ogi x R vale 0 M(x < 1. Allora per ogi N, da cui 0 M( 2 1 < 1 0 M( La successioe coverge quidi a zero. 8 a +, b 4 3, c, x e 3, y +, z 1.