Geometria analitica in sintesi

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Mattia Gagliardi
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1 punti distanza ta due punti coodinate del punto medio coodinate del baicento ta due punti di un tiangolo di vetici etta e foma implicita foma esplicita foma segmentaia equazione della etta m è il coefficiente angolae q è l intesezione con l asse delle p è l intesezione con l asse delle q p 1 m coefficiente angolae della etta passante pe due punti equazione della etta passante pe due punti equazione della etta passante pe un punto di coefficiente angolae m condizioni di paallelismo ta due ette ed s // oppue condizioni di pependicolaità ta due ette ed s punto di intesezione ta due ette ed s s P( 0, 0 ) etta in foma implicita etta in foma esplicita distanza di un punto da una etta d P( 0, 0 ) equazione delle bisettici degli angoli fomati da due ette, s b 2 s b 1 tangente dell angolo fomato da due ette ed s di coefficiente angolae m ed m s ette paticolai n n asse asse paallela asse paallela asse bisettice I e III q. bisettice II e IV q. v di 7

paabola F P d La paabola è il luogo geometico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una etta data detta diettice: d F P paabola con asse di simmetia paallelo all asse

2 paabola F P d La paabola è il luogo geometico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una etta data detta diettice: d F P paabola con asse di simmetia paallelo all asse paabola con asse di simmetia paallelo all asse equazione completa coodinate del vetice coodinate del fuoco equazione dell asse equazione della diettice equazione della etta tangente alla paabola in un suo punto detta fomula di sdoppiamento con aea del ettangolo cicoscitto al segmento paabolico aea del segmento paabolico paabole paticolai b = 0 c = 0 b = 0 c = 0 b = 0 c = 0 b = 0 c = 0 significato gafico del coefficiente a e del coefficiente c c c c a > 0 a < 0 a > 0 a < 0 se a = 0 la paabola degenea in una etta c v di 7

3 ciconfeenza La ciconfeenza è il luogo geometico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso C detto cento: C(α,β) P equazione completa coodinate del cento C elazione del aggio equazione della ciconfeenza di cento e aggio equazione della etta tangente alla ciconfeenza in un suo punto detta fomula di sdoppiamento equazione dell asse adicale di due ciconfeenze ciconfeenze paticolai. se la ciconfeenza si iduce al punto oigine degli assi catesiani posizioni ecipoche di due ciconfeenze C1 C2 R estene tangenti estene secanti tangenti intene intene concentiche alcune fomule sul cechio e sulla ciconfeenza cechio settoe cicolae segmento cicolae ad una base A A O O α O α B B aea del cechio ciconfeenza v di 7

4 ellisse P F 1 F 2 L ellisse è il luogo geometico dei punti del piano tali che la somma delle distanze da due punti fissi F 1 e F 2 detti fuochi è costante: P F 2 F 1 ellisse con i fuochi sull asse ellisse con i fuochi sull asse equazione in foma canonica 2a lunghezza asse maggioe 2b 2b lunghezza asse minoe 2a 2c distanza focale 2c elazione ta i paameti a, b, c coodinate dei fuochi eccenticità Y equazione della etta tangente alla ellisse nel suo punto detta fomula di sdoppiamento ellisse taslata l ellisse si dice taslata se gli assi X e Y del suo sistema di ifeimento sono paalleli agli assi catesiani e coodinate del cento dell ellisse O(α,β) X equazione dell ellisse ifeita al sistema XOY b a aea e lunghezza dell ellisse pe a=b l ellisse diventa una ciconfeenza e la fomula diventa quella dell aea del cechio la lunghezza si calcola solo come sviluppo in seie di un integale cuvilineo: un buon valoe appossimato è dato dalla fomula del matematico indiano Ramanujan v di 7

5 P F 1 F 2 ipebole L ipebole è il luogo geometico dei punti del piano tali che la diffeenza in valoe assoluto delle distanze da due punti fissi F 1 e F 2 detti fuochi è costante: F 2 P F 1 ipebole con i fuochi sull asse ipebole con i fuochi sull asse equazione in foma canonica 2a lunghezza asse tasveso 2b 2b lunghezza asse non tasveso 2a 2c distanza focale 2c elazione ta i paameti a, b, c coodinate dei fuochi equazione degli asintoti eccenticità equazione della etta tangente alla ipebole nel suo punto detta fomula di sdoppiamento ipebole taslata l ipebole si dice taslata se gli assi X e Y del suo sistema di ifeimento sono paalleli agli assi catesiani e Y coodinate del cento dell ipebole O(α,β) X equazione dell ipebole con i fuochi sull asse X ifeita al sistema XOY v di 7

6 ipebole equilatea: a = b equazione elazione ta a, c coodinate dei fuochi equazione degli asintoti F 1 F 2 ipebole equilatea uotata di equazione F 1 F 2 k > 0 k < 0 coodinate dei fuochi ipebole equilatea uotata e taslata detta funzione omogafica equazione O coodinate di O equazione degli asintoti v di 7

7 popietà comuni a tutte le coniche condizione di appatenenza di un punto ad una etta o ad una conica pe veificae se un dato punto etta oppue ad una conica appatiene ad una si sostituiscono le coodinate di, in o in si sviluppano i calcoli. Se si ottiene un identità, il punto appatiene alla etta o alla conica posizione di una etta ispetto ad una conica etta secante etta tangente etta estena pe veificae se una etta è secante, tangente o estena ad una conica bisogna: icavae la dell equazione della etta e sostituila nell equazione della conica sviluppae i calcoli ed odinae l equazione ispetto alla dell equazione di II gado così ottenuta calcolae il oppue, se è pai, il veificae il segno del se la etta è secante alla conica. Si hanno 2 intesezioni eali e distinte cioè 2 punti in comune se la etta è tangente alla conica. Si hanno 2 intesezioni eali e coincidenti cioè 1 punto in comune se la etta è estena alla conica. Non si ha nessuna intesezione eale cioè nessun punto in comune iceca delle equazioni delle ette tangenti ad una conica tangenti da un punto esteno tangenti paallele ad una etta di coefficiente angolae m si scive l equazione del fascio di ette popio di cento : si icava la dall equazione del fascio di ette si scive l equazione del fascio di ette impopio di coefficiente angolae assegnato: si sostituisce la tovata nell equazione della conica si sostituisce la tovata nell equazione della conica si sviluppano i calcoli e si odina ispetto alla ottenendo un equazione di II gado in si sviluppano i calcoli e si odina ispetto alla ottenendo un equazione di II gado in si icava il o il e lo si impone uguale a 0: ottenendo una equazione di II gado nell incognita si icava il o il e lo si impone uguale a 0: ottenendo una equazione di I o II gado nell incognita si isolve l equazione in ottenendo ed si isolve l equazione in ottenendo e si sostituiscono uno alla volta i valoi ed nell equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni delle due ette tangenti si sostituiscono uno alla volta i valoi e nell equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni delle due ette tangenti v di 7

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