Esercizi di Segnali Aleatori per Telecomunicazioni

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1 Corso di Lur in Inggnri Inormic corso di Tlcomunicioni (ro. G. Giun) (diing cur dll ing. F. Bndo) srcii di Sgnli Alori r Tlcomunicioni Diniioni di momni sisici (di rimo scondo ordin) di vriili lori: - Vlor so [ ] d; - Vlor qudrico mdio VQ - Vrin Vr - NOTA: Vr VQ - ; [ ] d ; [( [ ]) ] ( [ ]) d ini: [( [ ]) ] [ ] [ ] [ ] ( [ ]) [ ] ( [ ]). Nl cso di vriili lori discr i momni divngono: - Vlor so - Vlor qudrico mdio VQ - Vrin Vr [ ] d i ( i) ; N i N [ ] i ( i) ; i N N i i i i i i d [( [ ]) ] ( ) ( ) - NOTA: r simr vlor mdio, vlor qudrico mdio vrin d un sri discr di di ossrv, s orr ( i ) nll srssioni rcdni. N

2 Dnsià di roilià no Gussin: m VQ Vr m m Uniorm: 4 VQ Vr Binomil [ ] VQ Vr /(-) - m

3 sonnil monolro () VQ Vr U sonnil ilro VQ Vr Sviluo di ingrli ricolri d usr ngli srcii [ ] d Ingrion r ri du v v u dv u d d d d

4 4 Clcolo di momni dll d.d. no Dnsià di roilià Uniorm: Vlor mdio: [] d d Vlor qudrico mdio: [ ] d d VQ Vrin: [] [ ] 4 VQ Vr /(-) ()

5 5 Dnsià di roilià sonnil monolro: U Vlor mdio: d d licion dll ormul di ingrion r ri [ ] d Vlor qudrico mdio: d d VQ licion dll ormul di ingrion r ri [ ] d d ingrion r ri d Vrin: [] [ ] VQ Vr ()

6 6 Dnsià di roilià sonnil ilro: Vlor mdio: d d d ormul di ingrion r ri d d Vlor qudrico mdio: d d d VQ ormul di ingrion r ri Vrin: [] [ ] VQ Vr ()

7 7 srciio : Somm di Vriili Alori (V. A.) indindni Sino d l du vriili lori indindni, dscri risivmn dll dnsià di roilià () (). Clcolr l dnsià di roilià (d.d..) dll vriil lori onu dll sgun rsormion: Soluion: L unioni crrisich ch dscrivono l r vriili lori sono, risivmn: [ ] d [ ] d [ ] d oiché l du V. A. sono indindni, l dnsià di roilià congiun si uò orir nl rodoo dll singol dnsià di roilià scondo l sgun:,, Allor, l union crrisic di divn: [ ] [ ] d d dd,, Ovvro il rodoo dll singol unioni crrisich di. Concludndo, ossimo or clcolr l d.d.. di ch risulrà ri : N.B.: L d.d.. crc risulrà ssr ri ll convoluion dll singol d.d..

8 srciio : Somm di Vriili Alori (V. A.) indindni Sino d l du vriili lori indindni d idnicmn disriui (i.i.d.), dscri risivmn dll dnsià di roilià () (), rrsn gricmn in igur. Clcolr l dnsià di roilià (d.d..) dll vriil lori onu dll sgun rsormion: () / () Soluion: / / D quno viso nll srciio rcdn, l d.d.. di lro non è ch l convoluion dll singol d.d.. di : ovvro l convoluion r du rc vni l sss s. Il risulo di l orion, com è n noo, risul ssr un ri di s doi. L l dll ri srà l ch l r dll d.d.. si smr uniri. () / Clcolimo or l vrin dll d.d. di, un vol no qull di : [ ] d [ ] [ ] [ ( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] Ini si h: [ ] dd d d 6 N.B.: Si ossono riuilir ui i risuli novoli sull convoluion r sgnli. 8

9 srciio : Ricion inri r Tlcomunicioni Si d l sgun rsormion rsn, dov l V.A. r rrsn il sgnl ricvuo in un sism di TLC onuo com somm dll comonn dl sgnl uil s dl rumor n rrsni risivmn dll sguni d.d..: S () s [ δ ( n ) δ ( n ) ] / - S (s) N ( n) n, gussin vlor mdio nullo N (n) Clcolr l d.d.. R (r). Soluion: D quno viso ngli srcii rcdni, l R (r) è oniil com convoluion r l d.d.. dl sgnl uil qull dl rumor, ovvro: - L roilià d rror () è dini ri : Sogli di dcision () ( s ) ( s ) ( s ) ( s ) S (s ) (s -) ½, d: Q d, union d rror (rror uncion), union ul Allor, sclo, d smio, () ( s -)si oin () Q(/), con un smlic cmio di vriil nll ingrl. N.B.: / è un roro sgnl rumor (SNR: Signl-o-Nois rio). 9

10 srciio 4: Cmio di scl Si d l sgun rsormion α, ssndo l V.A. dscri dll d.d. () com indico in igur. Clcolr l (). / () / / Soluion: L d.d.. crc è oniil rmi l sgun rsormion: α α In orm gric si h: () / α α/ α/

11 srciio 5: Cmio di vriil Si θ un vriil lori uniormmn disriui nll inrvllo [, ], l cui d.d.. è rrsn in igur. Si un vriil lori onu d θ rmi l sgun rsormion: cosθ. Clcolr l (). θ (θ) / Soluion : L d.d.. crc uò ssr onu scondo l sgun: d dθ sinθ cos θ θ ( θ ) Soluion : ssndo cosθ invriil in [, ], onndo θ rccos (), l d.d.. crc si uò ricvr d: dθ d θ ( θ ) in quno: dθ d d ( rccos ) d

12 srciio5is:cmiodivriil Si θ un vriil lori uniormmn disriui nll inrvllo [, ], l cui d.d.. è rrsn in igur. Si un vriil lori onu d θ rmi l sgun rsormion: cosθ. Clcolr l (). θ (θ) / Soluion: ssndo θ dini in [, ], l union θ rccos()non invriil. Tuvi, ossiil sr in du l inrvllo onndo [, ] U [,], rndndo cosi l unioni θ rccos ( ) θ rccos ( ), invriili ni du domini sri [, ] [,]. Do ch risul (vdi srciio rcdn): θ (θ) dθ θ ( θ) d / θ (θ) dθ θ ( θ) d / l d.d.. crc si uò onr mdin il orm dll roili ol (insimi di vni {θ } muumn sclusivi) dll somm dll du d.d.. condiion l o ch θ si in uno di du insimi ngolri rim dinii, molilic ciscun r l rori roili ch cio si vriichi: θ ( θ ) < θ ( < θ ) N.B.: l d.d.. risul idnic l cso rcdn.

13 srciio 5: Cmio di vriil Si u un vriil lori uniormmn disriui nll inrvllo [, ], l cui d.d.. è rrsn in igur. Si un vriil lori onu d u rmi l sgun rsormion: -log(u). Clcolr l (). u (u) Soluion: ssndo u -, l d.d.. crc si uò onr d: du u, con [, ] d ( u) Ovvro l d.d.. di è qull di un sonnil monolro.

14 srciio 6: Cominion linr di V.A. Sino u d u du vriili lori indindni d uniormmn disriui nll inrvllo [,]. Si l vriil lori onu com cominion linr scondo l sgun: u 4u. Clcolr l (). Soluion: Inroducimo du nuov vriili lori v w onu, risivmn dll sguni rsormioni l cui d.d.. sono rrsn in igur: v (v) / vu w (w) /4 w-4u 4 Si l vriil lori onu d w l cui d.d.. è : w () /4 Or, l d.d.. di è smlicmn l convoluion di () con v (v): () A/4-5 Si oin un rio, l cui l A è l ch l r dll d.d.. si uniri, ovvro: A /4 4