Misura e incertezza METODI DI MISURA

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1 ppunti di Misur lttrih Misur inrtzz Mtodi di misur...1 Inrtzz di misur... Il risultto di un misur...3 rrori...3 Propgzion dgli rrori nll misur indirtt...4 smpi...6 Propgzion dll inrtzz nll misur indirtt...8 Ossrvzion: inrtzz in un misur indirtt gnri MTODI DI MISUR Con il trmin misurzion si indi un sri di oprzioni vnti lo sopo di dtrminr il vlor di un quntità. Si trtt, quindi, dl prosso h port ll quntifizion di un grndzz. Il risultto dll misurzion è l misur. Pr smpliità, si prl solitmnt di misur nzihé di misurzion, m è n tnr prsnt l diffrnz tr i du trmini. L suzion di un misur rihid, torimnt, un onfronto tr l quntità inognit h si vuol misurr un quntità not, h è prs om mpion di rifrimnto. Pr mtodo di misur si intnd l squnz logi di oprzioni, dsritt in modo gnrio, impigt nll suzion dll misur. Un volt fissto, livllo dl tutto gnrl, un mtodo di misur, si prod ll ffttuzion di un spifi misur: pr produr di misur si intnd llor l insim di oprzioni, dsritt in modo spifio, utilizzt nll suzion di tl spifi misur, in ordo l mtodo di misur prfissto. Pr misurndo intndimo un quntità soggtt misur. Ci sono du possiilità di ffttur un misur: il mtodo dirtto di misur prmtt di ottnr il risultto dll misur dirttmnt dll lttur dllo strumnto utilizzto, snz l nssità di onosr spliitmnt vlori di ltri prmtri, tto ovvimnt qulli dll grndzz h influnzno l misur stss 1 ; un misur ottnut on il mtodo dirtto è ovvimnt dtt misur dirtt: si prl inv di mtodo indirtto di misur qundo il risultto dll misur è ottnuto dll ominzion di risultti di misur dirtt su prmtri funzionlmnt lgti l misurndo. Prlimo priò in qusto so di un misur indirtt. d smpio, un misur di rsistnz si può ottnr misurndo l tnsion i suoi pi l orrnt ttrvrso di ss fndo poi il rpporto. 1 Si trtt dll osiddtt grndzz di influnz, h srnno smint in sguito.

2 ppunti di Misur lttrih L mggior prt dll misur è ottnut pr vi indirtt, qusi smpr pr motivi di osto. d smpio, un misur di dnsità di un dt sostnz potr ssr ottnut dirttmnt trmit un pprhio h si him dnsimtro, m è dismnt più omodo misurr dirttmnt l mss d il volum dll sostnz frn poi il rpporto. INCRTZZ DI MISUR Tutti i risultti di un misur sono fftti d un inrtzz: l inrtzz di misur è il prmtro, ssoito l risultto di un misur, h rttrizz l disprsion di vlori h potrro ssr rgionvolmnt ttriuiti l misurndo. d smpio, il risultto dll misur di un tnsion V srà sritto nll form V 15 ± 0.5 mv L quntità 0.5 mv rpprsnt l inrtzz dll misur ffttut. Il prolm dll vlutzion di qust quntità è l oggtto dll tori dgli rrori dll inrtzz di misur. I motivi pr ui non potrmo mi liminr l inrtzz di un qulsisi misur sono moltplii: imprfzion strutturl ni omponnti dgli strumnti utilizzti (inrtzz strumntl: nonostnt l tnologi mtt disposizion strumnti smpr più rffinti, non si potrnno mi vr strumnti idli, pr ui qust us di inrtzz non potrà mi ssr null; indgutzz dl mpion di onfronto: gli Istituti Mtrologii mttono disposizion mpioni smpr più rffinti pr vnir inontro ll signz dll tni, m qusto non vl smpr; limittzz dll sl o dl sistm numrio di visulizzzion dllo strumnto; frttolosità d prt dll oprtor; imprfzioni dl mtodo di misur utilizzto /o indgutzz dl modllo mtmtio prslto (inrtzz intrins dl misurndo. Ogni modllo può ssr rso più o mno omplito, pr ui qusto fttor di inrtzz è gnrlmnt trsuril; il prolm è h un modllo omplito risult tlvolt poo prtio nll su pplizion, pr ui isogn smpr trovr un giusto ompromsso. qust us si ggiung il ftto h l insrzion di uno strumnto di misur in un sistm qusi smpr ltr l ondizioni inizili dl sistm stsso non onsnt priò l misur dl vlor h il misurndo vv prim dll insrzion. Quindi, il prosso di misur di pr sé distur il sistm ltr il vlor dll quntità d misurr. L ntità di tl disturo vri, vidntmnt, d strumnto strumnto; uno dgli sptti più importnti dll sinz dll misur è qullo di minimizzr qusto disturo. Nl sguito, frmo smpr rifrimnto qunto riportto nll Guid to th prssion of unrtinty in msurmnt, rdtt dll ISO (Intrntionl Orgniztion for Stndrdiztion: in qusto mnul (h nl sguito himrmo smplimnt GUID si ffrm h lo sopo di un misur è dtrminr il vlor (non il vlor vro dl misurndo. Un misur dv inizir on un pproprit spifizion dl misurndo, dl mtodo di misur dll produr di misur. In gnrl, l tori dgli rrori omprnd tutti i prodimnti di vlutzion minimizzzion dgli rrori ni prodimnti pprossimti (sprimntli /o mtmtii. Non sist un trttto sustivo dll tori dgli rrori. utor: Sndro Ptrizzlli

3 Misur d inrtzz IL RISULTTO DI UN MISUR Supponimo di volr misurr un rt grndzz, d smpio il vlor di un tnsion tr du punti di un iruito. Immginimo llor di ndr ompir un sri di misur riptut di qust tnsion, sforzndoi di mntnr smpr l stss ondizioni mintli. In gnrl, notrmo h i risultti dll misur non sono uguli tr di loro: in prtiolr, d gnrlmnt h l prim ifr signifitiv si mntngono uguli pr tutt l misur, mntr inv l ltr vrino d misur misur. Pr smpio, s l tnsion d misurr è rlmnt di 1V, i vlori h potrmo ottnr srnno 1.1, 11.9, 1, 1., 11.8 osì vi. L us di qust vriilità di risultti dll misur sono moltplii sono stt in prt nnt prim; itimo: l prturzioni mintli (vrizioni di tmprtur, di prssion, di umidità, di mpi mgntii d lttrii di ntur prssit osì vi; limitzion tnologih dll strumntzion (imprfzioni ostruttiv, instilità dll trtur; limitzioni nl potr risolutivo dll ohio dll ilità di lttur dll oprtor: in prtiolr, qust limitzioni rigurdno solo gli strumnti nlogii (d smpio un multimtro nlogio, in qunto gli strumnti digitli (d smpio un multimtro digitl fornisono indizioni numrih di vlori misurti. RRORI Prim di sguir un misur di un misurndo, è possiil vr disposizion un stim dl vlor di tl misurndo 3. Indihimo llor on V il vlor vro (h non è mi noto dl misurndo on l stim (h inv è not di V. l fin di oprr lun possiili orrzioni ll misur sguit, è trdizionlmnt risultto util introdurr il ontto di rror. Si dfinis rror ssoluto,, l diffrnz tr il vlor misurto l stim dl vlor dl misurndo: S noi onosssimo sttmnt il vlor dl misurndo, potrmmo nh vlutr sttmnt l rror ssoluto. l ontrrio, dl misurndo imo solo l stim, pr ui l rror ssoluto non potrà mi ssr onosiuto sttmnt quindi l orrzion non potrà mi ssr omplt. Qusto è il motivo pr ui un misur srà smpr fftt d inrtzz. Oorr prò distingur l prol rror d inrtzz, h non sono ssolutmnt di sinonimi non vnno priò onfus: possimo dir gnrimnt h l inrtzz (simolo: U di un misur è un qulunqu numro positivo di ui si sppi on rtzz (! h è mggiornt dl vlor ssoluto dll rror : U 3 Tl stim può drivr dll disponiilità di un mpion o dll onosnz dl suo vlor ( dll su inrtzz, oppur dll dfinizion onvnzionl priori dl vlor dl misurndo, o dl vlor mdio di misur prdntmnt sguit sullo stsso misurndo o d ltr informzioni nor. 3 utor: Sndro Ptrizzlli

4 ppunti di Misur lttrih ltr du fondmntli diffrnz tr rror d inrtzz sono l sgunti: in primo luogo, mntr gli rrori sono fftti d sgno, l inrtzz sono smpr quntità positiv; in sondo luogo, mntr l inrtzz può ssr vlutt sttmnt, lo stsso non è possiil pr l rror, in qunto sso dipnd dl vlor vro dll grndzz sotto misur tl vlor non è onosiil prfttmnt. In sintsi, ogni volt h ompimo un misur, noi ompimo nh un rror, h prò non possimo onosr; tutto iò h possimo fr è stimr tl rror trmit un suo mggiornt, qul è ppunto l inrtzz. Lsindo d prt, pr il momnto, il ontto di inrtzz, tornimo gli rrori. Si dfinis rror rltivo,, il rpporto tr l rror ssoluto l stim dl vlor dl misurndo: Considrndo h il vlor si ssum omunqu stnz prossimo l vlor, si può nh porr qust è l sprssion utilizzt qusi smpr nll pplizioni. L rror rltivo può nh ssr fornito in prntul, nl qul so di prl di rror rltivo prntul, % : % 100 Sgnlimo inoltr h, ssndo l rror di misur gnrlmnt piolo, è possiil trttr l rror ssoluto om diffrnzil, il h signifi sostnzilmnt srivr h d d PROPGZION DGLI RRORI NLL MISUR INDIRTT imo dtto in prdnz h un misur indirtt dl misurndo è un ominzion di vlori di misur dirtt di grndzz funzionlmnt lgt l misurndo stsso: f (,,,... L funzion f rpprsnt il lgm funzionl tr il misurndo (dtto nh grndzz di usit l quntità (dtt grndzz di ingrsso susttiili di un misur dirtt d ui dipnd. smpio nl di misur indirtt è qullo dl vlor di un rsistnz, h può ssr ottnuto om rpporto tr l tnsion misurt i pi dll rsistnz l orrnt h risult ttrvrsr l rsistnz (misurt nh ss i pi dll rsistnz stss. utor: Sndro Ptrizzlli 4

5 Misur d inrtzz Considrndo llor h isun misur dirtt prsnt un rror, i hidimo om un misur indirtt risnt dgli rrori dll singol misur dirtt d ui è ottnut 4. Qust nlisi è importnt in qunto onsnt, prim di ffttur l misur, di sglir il mtodo più orrtto pr l suzion dll misur stss. D ltr prt, l vlutzion dl modo in ui si propgno gli rrori non v onfus on l produr nssri ll indizion dl risultto finl di un misur indirtt, pr l qul è inv nssrio fr rifrimnto ll propgzion dll inrtzz, dll qul si prlrà in sguito. Considrimo un grndzz f (,,,... h si funzion di divrs grndzz misurili,,,.... L misur di isun di qust quntità,,,... sono fftt d rrori d è possiil studir, on smplii pssggi mtmtii, om qusti si propgno su. In prtiolr, fimo l ipotsi h gli rrori sino suffiintmnt pioli d potr onfondr l rror ssoluto on il diffrnzil totl dll funzion : quindi l rror ssoluto è d d d d... vidnt h, in qust formul, i trmini d, d, d,... sono gli rrori ssoluti sull grndzz,,,..., pr ui srivimo h In s qust rlzion, l rror ssoluto su è un prtiolr ominzion linr dgli rrori ssoluti sull grndzz,,,... : i offiinti dll ominzion linr sono l drivt przili dll funzion f risptto d,,,.... Ovvimnt, dll rror ssoluto possimo filmnt rislir ll rror rltivo, dividndo pr il vlor misurto pr l grndzz in sm:... d 1... Moltiplindo dividndo il trmin trmini, possimo srivr h pr, il trmin v pr osì vi gli ltri In tl modo, nh l rror rltivo su è un prtiolr ominzion linr dgli rrori rltivi sull grndzz,,,... : i offiinti dll ominzion linr sono in qusto so l drivt przili dll funzion f risptto d,,,...., moltiplit isun pr l grndzz orrispondnt divis tutt pr : 4 In modo nlogo, i porrmo in sguito il prolm di lolr l inrtzz dll misur indirtt not h sino l inrtzz ssoit ll singol misur dirtt. 5 utor: Sndro Ptrizzlli

6 ppunti di Misur lttrih Qust formul sprim il osiddtto prinipio di sovrpposizion dgli rrori. ss f rifrimnto ll rror rltivo dll misur di, m è vidnt h st moltiplir pr pr ottnr l rror ssoluto: smpi Fimo llor qulh smpio di pplizion dll formul ppn ottnut. Considrimo, d smpio, il so in ui l grndzz di intrss si il prodotto di du ltr grndzz d misurr dirttmnt, pr ui Pr lolr l rror rltivo su in funzion dgli rrori rltivi su su, i st pplir l formul rivt poo f: 1 1 ( ( imo dunqu rivto h l rror rltivo di un grndzz, ottnut dl prodotto di du grndzz misurili, è dto dll somm dgli rrori rltivi di di. qusto stsso risultto possimo rrivr nh pr ltr vi. Cominimo on l pplir l dfinizion di rror rltivo su : 1 D qui possimo rivr il vlor dl misurndo in funzion dl suo rror rltivo: 1 ( Stsso disorso possimo fr nh pr l grndzz di ui è funzion: imo dunqu h ( ( dto h ( ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 Nl trmin ( 1, il prodotto è siurmnt trsuril risptto gli ltri: 1 ( Confrontndo qust rlzion on l rlzion ( 1 ottnut prim, dduimo h utor: Sndro Ptrizzlli 6

7 Misur d inrtzz dto h ( 1 ( Qusto è vidntmnt lo stsso risultto ottnuto prim. Possimo pplir qusto risultto d ltri si nloghi. Pr smpio, supponimo h si : pr ottnr l rror rltivo su, i st onsidrr l formul porr, in modo d ottnr : qust formul di h l rror rltivo di un grndzz, ottnut dl qudrto di un grndzz misuril, è pri du volt l rror rltivo su. In modo dl tutto nlogo, s, llor si vrifi filmnt h. Inoltr, s..., llor...: l rror rltivo di un grndzz, ottnut dl prodotto di un rto numro di grndzz misurili, è dto dll somm di singoli rrori rltivi. Considrimo dsso un grndzz h si dt dl rpporto tr du grndzz misurili: pplindo nor un volt il prinipio di sovrpposizion dgli rrori, imo h l rror rltivo su vl / / ( / ( / 1 imo in qusto so rivto h l rror rltivo di un grndzz, ottnut dl quozint di du grndzz misurili, è dto dll diffrnz dgli rrori rltivi di di : proposito di qust formul, è importnt ossrvr un os: spsso d, nll prti, h gli rrori rltivi non sino noti on sttzz in ntità sgno, pr ui s n fissno i limiti h dlimitno l fsi di inrtzz. In gnr, llor, si prfris fornir un stim dl vlor mssimo dll rror rltivo, in modo d onsidrr il so pggior (worst s: iò signifi, quindi, h, nh nl so di /, si prnd omunqu ( M in modo d indir il mssimo vlor (stimto dll rror rltivo. C è d ltr prt un ltr possiilità: nzihé onsidrr il so pggior, si onsidr il vlor più proil dll rror rltivo, h è vlutto om ( PRO Si ottin, on qust formul, un quntità h è siurmnt mggior di di, m è minor dll loro somm. 7 utor: Sndro Ptrizzlli

8 ppunti di Misur lttrih Considrimo dsso un grndzz h si dt dll somm di du grndzz misurili: pplindo il prinipio di sovrpposizion dgli rrori, l rror rltivo su risult ssr ( ( Qust formul, nl so prtiolr in ui, fornis vidntmnt : quindi, l rror rltivo di un grndzz, ottnut dll somm di du grndzz misurili l ui misur sono fftt dllo stsso rror rltivo, è pri su volt d. Considrimo infin L rror rltivo su vl ( ( nh in qust ultimo so, osì om nl so di /, s i si pon nll ipotsi dl so pggior, si prnd il vlor mssimo dll rror rltivo, h in qusto so vl ( M In tl modo, l rror rltivo ottnuto su un grndzz ottnut pr diffrnz è tnto mggior qunto più l grndzz misurili sono viin tr di loro. N risult, quindi, h un mtodo di misur sto sull diffrnz tr du grndzz misurili v pplito solo in si prtiolri. PROPGZION DLL INCRTZZ NLL MISUR INDIRTT imo dtto h l inrtzz ssoit d un misur può ssr vist om un mggiornt dll rror ssoluto - ssoito ll misur stss: U Possimo llor sguir disorsi simili qulli dl prdnt prgrfo pr studir nh l propgzion dll inrtzz di misur. In prtiolr, frmo qui rifrimnto non più ll rror rltivo, m ll rror ssoluto. Considrimo d smpio un misur indirtt ottnut om somm di du misur dirtt: utor: Sndro Ptrizzlli 8

9 Misur d inrtzz Sino d i risultti dll misur rispttivmnt di di ; i orrispondnti rrori ssoluti srnno - -. dsso onsidrimo il risultto dll misur di, ottnuto om Indito on V il vlor vro (inognito dl misurndo, l rror ssoluto ssoito ll misur srà dto d V ( ( dov ovvimnt sono i vlori vri dll grndzz. imo dunqu trovto h gli rrori ssoluti in qusto so si sommno. dsso ndimo lolr il modulo dll rror ssoluto ppn individuto: imo qui pplito l not disuguglinz tringolr, h è in qusto so un dirtt onsgunt dll rgol dl so pggior, ssumndo h i du rrori sull misur dirtt vdno omunqu sommrsi. D ltr prt, sppimo h isun rror ssoluto è mggiorto dll inrtzz di misur, pr ui possimo srivr h U U U Qust disuguglinz i onfrm h nh nll misur indirtt ottnut om somm di misur indirtt, l rror ssoluto è mggiorto dll inrtzz. Si not inoltr un fondmntl diffrnz tr l rror ssoluto di misur l inrtzz U di misur: inftti, mntr gli rrori ssoiti ll singol misur dirtt si sommndo lgrimnt (, l inrtzz si sommno ritmtimnt, non ssndo fftt d sgno (l ontrrio dgli rrori. Pssimo dsso d un misur indirtt ottnut om diffrnz tr du misur dirtt: Sino smpr d i risultti dll misur rispttivmnt di di - - i orrispondnti rrori ssoluti. In modo nlogo prim, l rror ssoluto ssoito ll misur srà dto d V ( ( dov ovvimnt sono i vlori vri dll grndzz. In qusto so, dunqu, gli rrori ssoluti si sottrggono. Clolndo il modulo dll rror ssoluto ppn individuto, ottnimo U U U Com si vd, pplindo nuovmnt l rgol dl so pggior, imo trovto lo stsso risultto visto nl so prdnt. 9 utor: Sndro Ptrizzlli

10 ppunti di Misur lttrih utor: Sndro Ptrizzlli 10 Pssimo or d un misur indirtt ottnut om prodotto di misur dirtt: L rror ssoluto ssoito ll misur srà dto d ( ( ( ( ( [ ] ( [ ] V Ritnndo h gli rrori sull singol misur dirtt sino omunqu pioli, possimo trsurr il trmin risptto gli ltri du, pr ui onludimo h Com ni si prdnti, lolimo il modulo dll rror ssoluto ppn individuto: U U Infin, onsidrimo un misur indirtt ottnut om rpporto di misur dirtt: / L rror ssoluto ssoito ll misur / è ( ( ( ( V Ritnndo nor un volt h gli rrori sull singol misur dirtt sino omunqu pioli, possimo trsurr il trmin dnomintor risptto, pr ui onludimo h Clolimo infin il modulo dll rror ssoluto ppn individuto: U U Possimo qusto punto ripilogr, usndo un tll, i risultti ottnuti in qusto nl prdnt prgrfo proposito dgli rrori dll inrtzz nll misur indirtt:

11 Misur d inrtzz Tipo di misur Misur rror rltivo indirtt (m somm: diffrnz: - - rror ssoluto Inrtzz ssolut U U U U prodotto: U U rpporto: / / U U D notr h, nll vlutzion quntittiv dll inrtzz ssolut di misur indirtt pr prodotto pr rpporto, l posto di, h sono inogniti, potrmo on uon pprossimzion sostituir i vlori misurti. Ossrvzion: inrtzz in un misur indirtt gnri Nl prgrfo sullo studio dll propgzion dgli rrori nll misur indirtt, imo trovto h l rror ssoluto sull misur indirtt di è sprimiil, in funzion dgli rrori ssoluti sull singol misur dirtt, trmit l formul sgunt: S lolimo il modulo di ntrmi i mmri d pplihimo l disuguglinz tringolr osì om ftto nl prdnt prgrfo, imo h Mggiorndo gli rrori ssoluti on l rispttiv inrtzz, ottnimo h U U U... Conludimo priò h l inrtzz dll gnri misur indirtt è ottniil om... U U U U... ossi om somm pst dll inrtzz dll singol misur dirtt, dov i offiinti di pso portno in onto l dipndnz dll funzion f dll singol grndzz di ingrsso. 11 utor: Sndro Ptrizzlli

12 ppunti di Misur lttrih Possimo qusto punto fr tr ossrvzioni importnti proposito dll inrtzz (h omunqu srnno riprs in sguito: un vlutzion dll inrtzz è smpr nssri; un misur on inrtzz ompltmnt sonosiut non è un misur, m piuttosto un numro so; dto h un inrtzz è un qulunqu numro mggior dll rror, non h snso hidrsi qul si l rror di un inrtzz oppur l inrtzz di un inrtzz; l ontrrio, h snso hidrsi s un inrtzz è orrtt (ioè s è ffttivmnt mggior dll rror s è miglioril (ossi s si può dtrminr un mggiorzion nor più strtt dll rror. utor: SNDRO PTRIZZLLI -mil: sndry@iol.it sito prsonl: suursl: utor: Sndro Ptrizzlli 1