1 I solidi a superficie curva
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- Benedetto Pellegrini
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1 1 I solidi a superficie curva PROPRIETÀ. Un punto che ruota attorno ad un asse determina una circonferenza. PROPRIETÀ. Una linea, un segmento o una retta che ruotano attorno ad un asse determinano una superficie curva. DEFINIZIONE. La superficie curva viene detta superficie di rotazione; la retta a asse di rotazione; la linea g generatrice della superficie di rotazione. Area 2 - Capitolo 3 - PAG
2 2 Il cilindro DEFINIZIONE. Si dice cilindro il solido generato dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati. Analizzando la figura rileviamo che: il lato AD attorno al quale ruota il rettangolo rappresenta l asse di rotazione e costituisce l altezza del cilindro; il lato BC, opposto a quello di rotazione, genera una superficie detta superficie laterale del cilindro; la rotazione dei lati AB e CD genera due cerchi che costituiscono le due superfici di base del cilindro (o semplicemente basi); tali lati rappresentano i raggi delle basi. Area 2 - Capitolo 3 - PAG
3 2 L area delle superfici del cilindro REGOLA. L area della superficie laterale del cilindro è data dal prodotto della lunghezza della circonferenza di base per la misura dell altezza. Ricordando che C 2 r avremo: A l 2 r h r A l 2 h h A l 2 r Area 2 - Capitolo 3 - PAG
4 2 L area delle superfici del cilindro REGOLA. L area della superficie totale del cilindro è data dalla somma dell area della superficie laterale con l area delle due basi. In simboli: A t A l 2 A b Da questa formula possiamo ricavare le due formule inverse: A l A t 2 A b A b A t A l 2 Area 2 - Capitolo 3 - PAG
5 2 Il volume del cilindro REGOLA. Il volume del cilindro è dato dal prodotto dell area del cerchio di base per la misura dell altezza. In simboli: V A b h Essendo A b r 2 possiamo scrivere: V r 2 h Da questa formula possiamo ricavare le due formule inverse: r V h h V r 2 Area 2 - Capitolo 3 - PAG
6 3 Il cono DEFINIZIONE. Si dice cono il solido generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti. Analizzando la figura rileviamo che: il cateto VO attorno al quale ruota il triangolo è l asse di rotazione e rappresenta l altezza del cono; l ipotenusa VA genera una superficie detta superficie laterale del cono e rappresenta l apotema del cono; l altro cateto OA genera un cerchio che costituisce la superficie di base del cono e rappresenta il raggio del cono. Area 2 - Capitolo 3 - PAG
7 3 L area delle superfici del cono Per ottenere lo sviluppo del cono, bisogna tagliarlo lungo l apotema e la circonferenza di base. REGOLA. L area della superficie laterale del cono è data dal prodotto della lunghezza della semicirconferenza di base per la misura dell apotema. In simboli: A l r a Da questa formula possiamo ricavare le due formule inverse: r A l a a A l r Area 2 - Capitolo 3 - PAG
8 3 L area delle superfici del cono REGOLA. L area della superficie totale del cono è data dalla somma dell area della superficie laterale con l area di base. In simboli: A t A l A b Da questa formula possiamo ricavare le due formule inverse: A l A t A b A b A t A l Area 2 - Capitolo 3 - PAG
9 3 Il volume del cono PROPRIETÀ. Un cono è equivalente ad un terzo di un cilindro avente il raggio di base e l altezza congruenti. REGOLA. Il volume del cono è dato dalla terza parte del prodotto dell area del cerchio di base per la misura dell altezza. In simboli: V A b h 3 Essendo A b r 2 possiamo anche scrivere: V r 2 h 3 Da quest ultima formula possiamo ricavare le due formule inverse: Area 2 - Capitolo 3 - PAG. 185 r 3 V h h 3 V r 2 9
10 4 La sfera DEFINIZIONE. Si dice sfera il solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro. Il raggio e il centro del semicerchio sono anche il raggio e il centro della sfera. DEFINIZIONE. Si dice superficie sferica l insieme di tutti i punti dello spazio che hanno la stessa distanza da un punto fisso detto centro. Area 2 - Capitolo 3 - PAG
11 4 Le posizioni reciproche di un piano e una sfera Un piano rispetto a una sfera di centro O e raggio r può essere: Esterno se non ha alcun punto in comune con la sfera. OP r Tangente se ha un solo punto in comune con la sfera. OP r Secante se l intersezione tra piano e sfera è costituita da un cerchio. OP r Se il piano secante α passa per il centro della sfera esso viene detto piano diametrale e la sua intersezione con la sfera è un cerchio cha ha lo stesso centro O e lo stesso raggio r della sfera e viene denominato cerchio massimo. Area 2 - Capitolo 3 - PAG
12 4 L area della superficie sferica TEOREMA. L area della superficie sferica è uguale all area della superficie laterale del cilindro equilatero ad essa circoscritto. Poiché l area della superficie laterale di un cilindro equilatero è data dalla formula A l = 4 π r, possiamo enunciare la seguente REGOLA. L area della superficie sferica è uguale a quattro volte l area di un suo cerchio massimo. In simboli: A 4 r 2 Da questa formula possiamo ricavare la formula inversa: r A 4 Area 2 - Capitolo 3 - PAG
13 4 Il volume della sfera TEOREMA. La sfera è equivalente ad un cono avente l altezza congruente al raggio della sfera e il raggio di base congruente al diametro della sfera. Vale quindi la seguente: REGOLA. Il volume della sfera è uguale al prodotto dei della misura del raggio. In simboli: 4 3 di π per il cubo V 4 3 r 3 Da questa formula possiamo ricavare la formula inversa: r 3 3 V 4 Area 2 - Capitolo 3 - PAG
14 5 Altri solidi di rotazione Rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno all ipotenusa A t solido A l 1 A l 2 V solido V 1 V 2 Rotazione completa di un triangolo isoscele attorno alla base A t solido 2 A l cono V solido 2 V cono Rotazione completa di un triangolo ottusangolo attorno al lato adiacente all angolo ottuso A t solido A l 1 A V l 2 solido V 1 V 2 Area 2 - Capitolo 3 - PAG
15 5 Altri solidi di rotazione Rotazione completa di un trapezio rettangolo attorno alla base maggiore A t solido A l cilindro A l cono A b cilindro V solido V cilindro V cono Rotazione completa di un trapezio rettangolo attorno alla base minore A t solido A l cilindro A l cono A b cilindro V solido V cilindro V cono Area 2 - Capitolo 3 - PAG
16 5 Altri solidi di rotazione Rotazione completa di un trapezio isoscele attorno alla base maggiore A t solido A l cilindro 2 A l cono V solido V cilindro 2 V cono Rotazione completa di un trapezio isoscele attorno alla base minore A t solido A l cilindro 2 A l cono V solido V cilindro 2 V cono Area 2 - Capitolo 3 - PAG
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