Sommario lezioni di Probabilità versione abbreviata

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1 Sommario lezioi di Probabilità versioe abbreviata C. Frachetti April 28, Lo spazio di probabilità. 1.1 Prime defiizioi I possibili risultati di u esperimeto costituiscoo lo spazio dei campioi o spazio di probabilità. Le parole chiave soo spiegate dagli esempi che seguoo. 1 Lacio di u dado : {1,2,3,4,5,6} 2 Lacio di ua moeta : {T,C} 3 Due laci successivi di ua moeta : {TT,TC,CT,CC} I questi esempi lo spazio dei campioi ha cardialità rispett. 6, 2, 4. Ma ecco u esempio co cardialità ifiita: 4 Laci successivi di ua moeta fichè vega testa: {T, CT, CCT, CCCT,..., CCC..CT,...} Iteressa sapere se il risultato dell esperimeto coferma (rietra i) o o u eveto previsto. Questa uova parola chiave sarà spiegata usado gli esempi di sopra. Soo eveti: 1 : A = viee u umero pari = {2,4,6} 2 : A = o viee è testa è croce = 3 : A = viee almeo ua volta testa = {TT,TC,CT} 4 : A = viee testa i o più di 3 laci = {T,CT,CCT} Come si vede gli eveti soo sottoisiemi dell isieme costituito dallo spazio dei campioi, i risultati degli esperimeti (atomi, eveti semplici) soo duque gli elemeti (puti) dello spazio dei campioi, che idicheremo co Ω. Gli eveti soo duque ua sottofamiglia A di P(Ω) (parti di Ω). Nell esempio 1 se B è l eveto viee u umero miore o uguale a 2 = {1,2}; è aturale cosiderare come eveto viee u umero pari oppure viee u umero miore o uguale a 2 = {1,2,4,6} che poi è A B l eveto uioe. Nell esempio 3 è aturale cosiderare come eveto o viee mai testa = {CC} che poi è A c = Ω \ A l eveto complemetare. Questa ultima osservazioe suggerisce di premettere la Defiizioe Ua famiglia A di sottoisiemi di u isieme Ω si dice che è ua σ-algebra di Ω se: i) Ω A. ii) A A A c A. iii) A A per = 1,2,... A A. =1 L esempio 4 spiega perchè richiedere che l uioe cotabile di eveti sia u eveto. Si osservi che dagli assiomi segue che l isieme vuoto è u eveto così come l itersezioe cotabile di eveti. Facedo riferimeto all idea ituitiva di probabilità, ei primi tre esempi cocordiamo el dire che ogi eveto semplice ha la stessa possibilità di realizzarsi: rispett. ua su sei, ua su due e ua su quattro. Prediamo ora u dado e segamo quattro facce co T e le altre due co C, si ottiee u 1

2 esempio i cui lo spazio dei campioi (come isieme) coicide co quello dell esempio 2: {T,C}; tuttavia cocorderemo el dire che i due eveti semplici o hao la stessa possibilità di realizzarsi, e daremo a T quattro su sei e a C due su sei. Se A o è u eveto semplice, cocorderemo ell assegargli come possibilità di realizzarsi la somma delle possibilità degli atomi che lo compogoo. Chiamiamo duque questa possibilità p(a), la probabilità che A si verifichi. Siamo idotti subito a dire che Ω = eveto certo e = eveto impossibile hao probabilità rispett. 1 e 0. Si ha subito da qua che se Ω ha cardialità ifiita (come ell esempio 4), i suoi atomi o possoo avere tutti la stessa 1 probabilità. (I 4 le probabilità soo rispett. 1/2, 1/4,.. e, come deve essere, = 1. Si oti 2 =1 che abbiamo tacitamete ammesso questo fatto: prima o poi deve ecessariamete uscire testa che risulta essere Ω, l eveto certo). La probabilità p dovrà essere quella che i matematici chiamao ua misura (positiva) defiita su ua σ-algebra di u isieme Ω co la codizioe che la misura di Ω sia 1, cioè Defiizioe Siao Ω u isieme e A ua σ-algebra di Ω; ua probabilità p è ua applicazioe p : A [0, 1] tale che: i) p(ω) = 1. ii) Se per N, A A e gli isiemi A soo a due a due disgiuti allora (σ-additività) p( A ) = p(a ) =1 Dall esempio 4 comprediamo la ecessità di richiedere la completa additività della probabilità. Siamo ora proti a dare la Defiizioe Uo spazio di probabilità è ua tera {Ω, A, p} dove Ω è u isieme, A ua σ- algebra di Ω e p ua probabilità su A. Teorema ioltre se B A si ha =1 p(a B) = p(a) + p(b) P (A B) p(b) p(a) ; p(a \ B) = p(a) p(b) Dimostrazioe. Basta osservare che B = (B A) (B A c ), per cui p(b) = p(a B) + p(b A c ); A B = A (B A c ), per cui p(a B) = p(a) + p(b A c ). Nel caso che B A le altre formule si provao scrivedo A = B (A \ B). Si osservi che questo risultato implica i particolare che per eveti qualsiasi A (o ecessariamete disgiuti) si ha p( A ) p(a ) =1 Per fare u esempio prediamo il lacio di due dadi. Come spazio dei campioi si può predere Ω = {(i, j) : i, j = 1,.., 6}, dove ella coppia ordiata il primo (secodo) elemeto è il umero uscito el primo (secodo) dado. Assegamo la probabilità uiforme, per cui se x Ω, p(x) = 1/36. Calcoliamo la probabilità dell eveto S = esce almeo ua volta il 6. Le coppie che o cotegoo il 6 soo 25, per cui p(s) = 1 25/36 = 11/36. Si poteva usare il Teorema di sopra: S = A 6 B 6 dove A 6 (B 6 ) è l isieme delle coppie co primo (secodo) elemeto il 6. Si ha p(a 6 ) = p(b 6 ) = 1/6; ioltre si ha A 6 B 6 = {(6, 6)}, per cui p(a 6 B 6 ) = p(a 6 ) + p(b 6 ) p(a 6 B 6 ) = 2/6 1/36 = 11/36. Teorema Sia {Ω, A, p} uo spazio di probabilità: se {C } è ua successioe crescete di elemeti di A allora p(c ) p(c), C = =1 =1 se {D } è ua successioe decrescete di elemeti di A allora p(d ) p(d), D = 2 =1 C D

3 Dimostrazioe. Poiamo B 1 = C 1, B = C \C 1, allora i B soo i A, soo a due a due disgiuti e ioltre C = B 1... B, C = B i. Pertato i=1 p(c ) = p(b i ); p(c) = p(b i ) i=1 e la prima formula segue dalla defiizioe di somma di ua serie. Poiamo ora S = D 1 \D, allora gli S soo ua successioe crescete e p(s ) = p(d 1 ) p(d ); D 1 \ D = S, applicado la formula precedete si ha e questo prova la secoda formula. 1.2 Esempi. p(d 1 ) p(d) = p(d 1 \ D) = lim p(s ) = p(d 1 ) lim p(d ) Diremo che su Ω c è ua distribuzioe uiforme di probabilità se p è costate su gli atomi di Ω; i questo caso si può predere A = P(Ω) e per ogi A Ω si ha p(a) = card(a) card(ω). Uo schema molto comue i casi di distribuzioe uiforme di probabilità è il seguete: Collocameto a caso di r palle i celle. Qui r ed soo umeri aturali positivi. Esistoo r arragiameti possibili, a ciascuo dei quali attribuiremo probabilità 1/ r (basta osservare che per la prima palla ci soo scelte, altrettate per la secoda, la terza e così via). Ecco degli esempi cocreti: Totocalcio. Le r palle soo le 13 partite, le celle soo i tre possibili risultati 1, x, 2 degli icotri. Se per ogi partita 1, x, 2 soo equiprobabili (ipotesi o realistica), allora la probabilità di fare 13, cioè di idoviare tutti i risultati, vale p = 3 13 = 6, r laci di moete. Le r palle soo gli r laci, le celle soo i 2 risultati T e C. Se i ogi lacio T e C hao probabilità 1/2, allora le 2 r sequeze possibili di risultati soo equiprobabili, per es. la probabilità di ua sequeza tutta di teste vale 2 r. Compleai. Le r palle soo r persoe scelte a caso, le celle soo i 365 giori dell ao. Se si cosidera equiprobabile ogi data, allora ogi distribuzioe di compleai di r persoe ha probabilità p = 365 r. Cosideriamo il seguete problema: quato vale la probabilità p r (A) dell eveto A = el gruppo almeo due persoe hao il compleao ello stesso gioro? Calcoliamo la probabilità dell eveto complemetare A c = le persoe del gruppo hao il compleao i giori tutti distiti. Per la prima persoa si può scegliere i 365 modi, per la secoda i 364, per la terza i 363 e così via. Le scelte possibili soo 365(365 1)..(365 r + 1) e quidi p r (A c ) = i=1 365(365 1)..(365 r + 1) 365 r ; p r (A) = 1 p r (A c ). Per r 23 p r (A) è maggiore di 1/2. Estrazioe co rimpiazzameto. Le r palle soo r palle estratte a caso da u ura coteete palle chiamate 1, 2,.., (dopo ogi estrazioe la palla estratta viee reitrodotta ell ura), le celle soo gli omi delle palle ell ura. Co r estrazioi si possoo otteere r campioi distiti. Cosideriamo ora u problema u po più complesso. Distribuzioe ipergeometrica. I ua popolazioe di idividui ce e soo r rossi (r ); si scelgoo a caso s idividui (s ), determiare la probabilità q k che questo gruppo cotega esattamete k idividui rossi (0 k mi(s, r)). Dal gruppo dei rossi si possoo scegliere k idividui i ( ) ( r k modi, gli altri (s k) i r s k) modi; pertato ( r r ) q k = k)( s k ( ; s) 3

4 co semplice maipolazioe dei coefficieti biomiali q k si può ache scrivere ( s s ) q k = k)( r k (. r) Diamo u semplice esempio Gioco del lotto. Giochiamo tre umeri su ua data ruota, qual è la probabilità di vicere? Usado le otazioi di sopra si ha: = 90; r = 3; s = 5; k = 3 per cui q 3 = 3)( ( ) = Probabilità codizioale, idipedeza. U gruppo Ω di persoe atte al lavoro cotiee d disoccupati e f femmie. Si sceglie ua persoa a caso dal gruppo, sia D l eveto disoccupato e F l eveto femmia, allora p(d) = d/; p(f ) = f/. Se cosideriamo il sottogruppo delle femmie, scegliedoe ua a caso, la probabilità che sia disoccupata è c/f dove c è il umero di disoccupati femmie. Possiamo esprimerci così: c/f è la probabilità che si verifichi l eveto D assumedo che si sia verificato l eveto F. Useremo la otazioe c/f = p(d F ) che leggeremo: probabilità codizioale di D rispetto a F. Osserviamo subito che, poichè c/f = c/ f/, vale la formula p(d F ) = p(d F ). p(f ) Si può cosiderare Ω come uo spazio co probabilità uiforme (p(x) = 1/ su ogi atomo x) defiita su tutti i sottoisiemi. La probabilità codizioale p(. F ) è u altra probabilità su Ω che assega probabilità 0 agli eveti disgiuti da F ; oppure si può vederla come ua probabilità sullo spazio F. Come si vede la probabilità codizioale o è u cocetto uovo, tuttavia risulta u modo utile di muoversi per risolvere u problema. Sia (Ω, A, p) uo spazio di probabilità, diamo la formale Defiizioe Siao A, B A, p(a) > 0. Si chiama probabilità codizioale di B rispetto ad A la quatità p(a B) p(b A) =. p(a) Come esempio cosideriamo le famiglie che hao esattamete due bambii, scriviamo m(f) per maschio (femmia) e la prima lettera rappreseta il primogeito. Su Ω = {mm, mf, fm, ff} cosideriamo la probabilità uiforme (p = 1/4 su ogi atomo). Sapedo che ua famiglia ha u maschio (eveto A), qual è la probabilità dell eveto B = figli etrambi maschi? Poichè A = {mm, mf, fm}; A B = B = {mm}, si ha che la probabilità richiesta p(b A) vale 1/4 3/4 = 1/3. (Si oti che u esame diretto dello spazio dei campioi porta immediatamete a questo risultato). Cosideriamo ora ua partizioe {A i } di uo spazio di probabilità Ω, per ogi altro eveto K Ω vale la Formula di Bayes p(a i K) = p(a i)p(k A i ) j p(a j)p(k A j ) Dimostrazioe. Basta osservare che p(a i K) = p(ai K) p(k) ; p(a i K) = p(a i )p(k A i ); p(k) = j p(k A j) = j p(a j)p(k A j ). Esempio. Suppoiamo che i ua famiglia la probabilità che ci siao k figli sia p k, ( p k = 1); suppoiamo ioltre che la distribuzioe dei sessi sia uiforme. Sapedo che o ci soo femmie (eveto K), qual è la probabilità (codizioale) che ella famiglia ci siao esattamete i figli (eveto A i )? Abbiamo: p(a i ) = p i ; p(k A i ) = 2 i, per la formula di Bayes la probabilità richiesta è: p(a i K) = p i2 i p 0+p p Filosofia della formula di Bayes. Se chiamiamo cause gli eveti A i che compaioo ella formula ( 90 3 ) k=0 4

5 di Bayes, allora si può iterpretare la formula come ua regola per calcolare a posteriori la probabilità che A i sia stato la causa dell essersi verificato l eveto K. Per questo motivo la formula di Bayes viee molto usata i statistica; tuttavia se si usa a questo scopo la formula occorre molta cautela ell iterpretare i risultati. La probabilità (codizioale) p(a K) è i geerale diversa dalla probabilità (assoluta) p(a), ituitivamete: l iformazioe che l eveto K si è verificato cambia la ostra maiera di scommettere sul verificarsi dell eveto A. Quado p(a K) = p(a) è u po come dire che l eveto K o iflueza (è idipedete dal) l eveto A; questo caso si ha se e solo se vale l uguagliaza p(a K) = p(a)p(k) e si vede quidi che se A è idipedete da K allora K è idipedete da A. Diamo duque la fodametale Defiizioe Due eveti A, B si dicoo (stocasticamete) idipedeti se p(a B) = p(a)p(b), Ua famiglia di eveti {A i } si dice idipedete se per ogi gruppo di k idici distiti si ha p(a 1 A 2.. A k ) = p(a 1 )p(a 2 )..p(a k ). Se ua moeta viee laciata ripetutamete, accettiamo di riteere che l esito di u lacio o iflueza l esito di u altro lacio (per es. il successivo), ciò si riflette ella (stocastica) idipedeza di alcui eveti. 1.4 Esercizi e complemeti 1. Geeralizzare il Teorema a tre e poi a eveti. Abbiamo successivamete: p(a 1 A 2 A 3 ) = p(a 1 ) + p(a 2 A 3 ) p(a 1 (A 2 A 3 )) = = p(a 1 ) + p(a 2 ) + p(a 3 ) p(a 2 A 3 ) p[(a 1 A 2 ) (A 1 A 3 )] = p(a 1 ) + p(a 2 ) + p(a 3 ) p(a 2 A 3 ) p(a 1 A 2 ) p(a 1 A 3 ) + p[(a 1 A 2 ) (A 1 A 3 )] = p(a 1 ) + p(a 2 ) + p(a 3 ) p(a 2 A 3 ) p(a 1 A 2 ) p(a 1 A 3 ) + p(a 1 A 2 A 3 ). Per geeralizzare a eveti A i poiamo: p i = p(a i ); p ij = p(a i A j ); p ijk = p(a i A j A k );... S 1 = p i ; S 2 = p ij ; S 3 = p ijk ;... Si può dimostrare che la probabilità P 1 che si verifichi uo almeo degli eveti A i vale P 1 = p(a 1.. A ) = S 1 S 2 + S 3 S ( 1) +1 S. 2. Problema dei matches. U mazzo di N carte umerate 1, 2,.., N viee mescolato e steso i fila su u tavolo. Agli N! ordiameti possibili delle carte viee assegata la probabilità 1 N!. Si chiede il valore della probabilità P 1 che almeo ua carta sia al posto giusto (carta deotata p al posto p-mo). Soluzioe. Se c è u match all i-mo posto, le rimaeti carte possoo essere disposte i (N 1)! modi per cui per la corrispodete probabilità si ha p i = (N 1)! N! = 1 N, similmete per la probabilità di match simultaeo al posto i e al posto (distito) j si ha p ij = (N 2)! N!. Co le otazioi di sopra si osserva che la somma S r cotiee ( ) N r addedi tutti uguali a (N r)! N! ; pertato S r = 1 r! e quidi P 1 = 1 1 2! + 1 3!... + ( 1)N+1 1 N!. 5

6 3. Esercizio. U ura cotiee pallie distiguibili, si estrae co rimpiazzo fio a che il campioe otteuto cotega due elemeti uguali; calcolare la probabilità q k che a questo scopo siao ecessarie esattamete k estrazioi. Soluzioe. Si osservi che 2 k + 1. Siccome si rimpiazza, co k estrazioi si ottegoo k campioi distiti; per otteere u campioe come desiderato, la prima pallia si può scegliere i modi, la secoda i ( 1) modi,.., la (k 1)-ma i ( k + 2) modi e la k-ma i (k 1) modi. Pertato: q k = ( 1)( 2)..( k + 2)(k 1) k. 4. Formula di Stirlig. La formula di Stirlig asserisce l esisteza di u θ = θ (0, 1) tale che: Nella pratica è sufficiete l approssimazioe! = e 2π e θ 12.! e 2π. verifichiamo i parte la formula co i calcoli che seguoo: k k 1 da cui sommado k da 1 a si ottiee: 0 log x dx < log k < log x dx < log! < k+1 k +1 1 log x dx ; log x dx ; log < log! < ( + 1) log( + 1) ; e <! < ( + 1) (+1) e. 5. Esercizio. U ura cotiee 42 pallie segate co le lettere dell alfabeto italiao: due per ogi lettera. Si estraggoo a caso 21 pallie. Calcolare: i) la probabilità che el campioe compaia ua data lettera. ii)la probabilità che el campioe compaiao tutte le lettere. iii) la probabilità che si possa formare la parola CASSA. Soluzioe. i). Ci soo ( ) ( modi di scegliere u campioe di 21 lettere, di questi 40 21) o cotegoo ua data lettera, pertato la la probabilità richiesta vale ( 40 ) 21 1 ) = ( ii). Per ogi lettera ci soo due scelte per cui ci soo 2 21 modi di scegliere u campioe che cotega le 21 lettere distite, pertato la la probabilità richiesta vale 2 21 ( ) π = 3, , dove per l approssimazioe abbiamo usato la formula di Stirlig. iii). Distiguiamo per comodità co C 1 e C 2 le due lettere C che soo ell ura, ci soo ( 37 16) campioi che cotegoo le lettere C 1 A S S A, pertato la la probabilità richiesta vale ) ( ( ) = 0,

7 6. Esercizio. I ua metropoli scegliedo a caso u ristorate si hao le segueti probabilità: p(a b ) = 0, 2 dove A b = si magia bee p(a ) = 0, 4 dove A = si magia ormale p(a c ) = 0, 4 dove A c = si magia male Si hao poi gli eveti K = caro, E = equo, B = buo mercato, e le probabilità codizioali p(k A b ) = 0, 7 p(k A ) = 0, 3 p(k A c ) = 0, 2. Calcolare p(a b K). Se poi soo date le probabilità codizioali descrivere completamete lo spazio dei campioi. Soluzioe. Per la formula di Bayes si ha p(a b K) = p(b A b ) = 0, 1 p(b A ) = 0, 3 p(b A c ) = 0, 4 dove il deomiatore della frazioe vale p(k). Si ha Coi dati ulteriori possiamo calcolare p(b): p(a b ) p(k A b ) p(a b ) p(k A b ) + p(a ) p(k A ) + p(a c ) p(k A c ), p(k) = 0, 2 0, 7 + 0, 4 0, 3 + 0, 4 0, 2 = 0, 34, p(a b K) = p(a b K) p(k) = 7 = 0, p(b) = 0, 2 0, 1 + 0, 4 0, 3 + 0, 4 0, 4 = 0, 30 di cosegueza si ha pure che p(e) = 0, 36. Cosideriamo il quadro che possiamo completare coi segueti calcoli: Possiamo riscrivere il quadro K E B Tot A b x 0,2 A y 0,4 A c z 0,4 Tot 0,34 0, 36 0,30 1 p(k A b ) = p(k A b ) p(a b ) = 0, 7 0, 2 = 0, 14, p(k A ) = p(k A ) p(a ) = 0, 3 0, 4 = 0, 12, p(k A c ) = p(k A c ) p(a c ) = 0, 2 0, 4 = 0, 08 ; p(b A b ) = p(b A b ) p(a b ) = 0, 1 0, 2 = 0, 02, p(b A ) = p(b A ) p(a ) = 0, 3 0, 4 = 0, 12, p(b A c ) = p(b A c ) p(a c ) = 0, 4 0, 4 = 0, 16. 7

8 Otteiamo duque i dati macati: K E B Tot A b 0,14 x 0,02 0,2 A 0,12 y 0,12 0,4 A c 0,08 z 0,16 0,4 Tot 0,34 0, 36 0,30 1 x = 0, 04 y = 0, 16 z = 0, 16. 8

9 2 Variabili aleatorie. 2.1 Variabili aleatorie discrete Defiizioe Ua fuzioe X : Ω R, dove (Ω, A, p) è uo spazio di probabilità, si dice che è ua variabile aleatoria (var.al.) se per ogi t R, {ω : X(ω) t} A. Questa deomiazioe è u po fuorviate: occorrerebbe dire fuzioe aleatoria e o var.al.; tuttavia è ormai diveuta stadard. Tipici esempi di var.al.: il umero di successi i prove di Beroulli (vedi dopo), il guadago (o perdita) di uo scommettitore i u gioco d azzardo. Cosidereremo qui solo var.al. discrete: supporremo cioè che la var.al. X preda al più u isieme umerabile di valori distiti {x i } i I dove l isieme I degli idici è fiito o umerabile. Defiizioe Data la var.al. X, la sua desità (discreta) è la fuzioe f : R R + f(x) = p{ω : X(ω) = x} Si osservi che i) f(x) = 0 se x x i, ii) f(x) = f(x i ) = 1. x R i I Ogi fuzioe g : R R + che soddisfi i) e ii) viee chiamata desità. Scriveremo poi di solito f(x) = p {X = x } azichè più correttamete f(x) = p {ω : X(ω) = x }. Cosideriamo ora u esempio importate: il così detto Schema di Beroulli : Ua prova (ad es. lacio di moeta) ha due soli possibili risultati: successo (T) co probabilità p e isuccesso (C) co probabilità 1 p. Cosideriamo il caso che si ripetao prove di questo tipo. Le 2 sequeze distite che si possoo formare co i simboli T e C soo uo spazio di campioi Ω. Sia 1 i ; siao S i, N i gli eveti T all i-ma prova, C all i-ma prova rispett. Qualuque sia i si ha p(s i ) = p, p(n i ) = 1 p; ioltre se gli idici soo tutti distiti, ogi gruppo di eveti del tipo S j, N s costituisce ua famiglia di eveti idipedeti. Teorema Se A k Ω è l eveto k successi egli laci, allora ( ) p(a k ) = p k (1 p) k k Dimostrazioe. Ua sequeza co k successi (e quidi k isuccessi) si ottiee come itersezioe di eveti: k di tipo S i e k di tipo N i, a causa dell idipedeza questa sequeza ha probabilità p k (1 p) k. Si coclude otado che di tali sequeze ce e soo ( k). Idichiamo co S il umero di successi i prove di Beroulli. S è ua var.al. defiita su Ω : se ω Ω, S (ω) è il umero di volte che compare T ella sequeza ω; i valori possibili di S soo 0,1,..,. Per la desità f di S si ha f(k) = p {S = k } = ( k) p k (1 p) k per k = 0, 1,.., e 0 altrimeti; cioè f è cocetrata ell isieme {0, 1,.., } che a volte per brevità si prede come domiio di f omettedo di defiire la desità dove è 0. Vedremo che è possibile fare calcoli sigificativi co le probabilità ache seza cosiderare esplicitamete lo spazio dei campioi. Si oti ifie che S = X X, dove X i è la var.al che vale 1 se all i-ma prova si ha successo e 0 se si ha isuccesso (la sua desità vale risp. p, (1 p) se x = 1, 0 e 0 i ogi altro caso). Diremo che S segue ua legge biomiale di parametri e p che si idica co B(, p). Chiaramete ogi X i ha legge B(1, p). 9

10 2.2 Caso vettoriale Spesso è ecessario cosiderare simultaeamete più variabili aleatorie. Defiizioe Si chiama vettore aleatorio o var.al. m-dimesioale u vettore X = (X 1, X 2,.., X m ), le cui compoeti X i siao var.al. el seso della defi La desità f di X si defiisce allo stesso modo, cioè f(x 1, x 2,.., x m ) = p {X 1 = x 1, X 2 = x 2,.., X m = x m }, f viee ache detta desità cogiuta delle X i le cui desità, dette margiali, possoo essere idicate co f Xi. Se si coosce la desità cogiuta si possoo calcolare le desità margiali; per semplicità trattiamo il caso m = 2. Sia (X, Y ) ua var.al. 2-dimesioale co desità f = f(x, y). Idichiamo co {x i }, {y i }, f X, f Y i valori possibili e le desità di X e Y rispett. Si ha f X (z) = p{x = z} = p( i {X = z, Y = y i }) = i p{x = z, Y = y i } = i f(z, y i ). Aalogamete si ha f Y (z) = i f(x i, z). No basta ivece cooscere le desità margiali per calcolare la desità cogiuta, perchè desità cogiute diverse possoo avere desità margiali uguali. Del resto è chiaro che ache avedo tutti i dati relativi a ua var.al. X e a u altra var.al. Y (per esempio la coosceza delle rispettive desità f X e f Y ) ulla si può sapere sulle probabilità che si realizzio simultaeamete u eveto cocerete la var.al. X e u altro cocerete la Y ; questo a meo che o si sappia a priori che X e Y soo var.al. idipedeti (vedi dopo). 2.3 Variabili aleatorie idipedeti Defiizioe Si dice che var.al. X 1,.., X soo idipedeti se e solo se per ogi scelta di sottoisiemi J 1,.., J di R si ha p{x 1 J 1,.., X J } = p{x 1 J 1 }..p{x J } La defiizioe si estede a ifiite var.al. el solito modo. Se f i soo le desità (margiali) delle var.al idipedeti X i e f la loro desità cogiuta, allora si ha che f(x 1,.., x ) = f 1 (x 1 )..f (x ). Viceversa se vale quest ultima idetità si ricoosce che le var.al. X i soo idipedeti. Siao X e Y var.al. idipedeti e siao φ, ψ : R R due fuzioi. E ituitivo che ache le var.al. φ(x), ψ(y ) soo idipedeti. Più i geerale si ha il Teorema Siao X 1,.., X m ; Y 1,.., Y var.al. idipedeti e siao φ : R m R, ψ : R R delle fuzioi. Allora le var.al. φ(x 1,.., X m ), ψ(y 1,.., Y ) soo idipedeti. 2.4 Desità di ua somma Cosideriamo il problema di calcolare la desità della somma di due var.al. X e Y. Si oti che l eveto { X + Y = z } uguaglia l uioe (di eveti disgiuti) i { X = x i, Y = z x i }; risulta quidi chiaro che i geerale per calcolare la desità di ua somma o servoo le desità margiali, ma occorre cooscere la desità cogiuta del vettore (X, Y ). Teorema Siao U e V var.al. di desità cogiuta f. Allora la desità g di U + V vale g(z) = t R f(t, z t); se poi U e V soo idipedeti co desità f 1, f 2, si ha g(z) = t R f 1 (t)f 2 (z t). 10

11 Dimostrazioe. Premettiamo i geerale che per ogi var.al. m-dimesioale X di desità f e per ogi A R m si ha: p{x A} = x A f(x); e se φ : R m R p{φ(x) = z} = p{x φ 1 (z)} = x φ 1 (z) Si usi ora l ultima formula co X = (U, V ) e φ(u, v) = u + v, basta osservare che φ 1 (z) è l isieme dei vettori (u, v) co u + v = z. Teorema Siao V 1,.., V s var.al. idipedeti co leggi biomiali risp. B( 1, p),.., B( s, p). Allora (V V s ) ha legge B( s, p). Dimostrazioe. Basta rappresetare (V V s ) come somma di ( s ) var.al. idipedeti di legge B(1, p). Esempio 1. Si laciao 2 dadi a facce, si chiede la probabilità g(k) che la somma dei risultati sia esattamete k (k = 2, 3,.., 2). Si ha g(k) = f(i, k i); i=1 dove f(i, k i) = 1 se 1 (k i), f(i, k i) = 0 altrimeti. Pertato ella sommatoria ci soo 2 (k 1) termii o ulli se k + 1 e (k ) + 1 = 2 k + 1 termii o ulli se k > + 1; si vede quidi che g(k) = g(2 k + 2) e che per k = 1, 2,.., + 1 g(k) = k Speraza matematica Sia X ua var.al.(discreta) che prede valori x i ed ha desità f. Defiizioe Si dice che X ha speraza matematica fiita se x i f(x i ) < + ; i f(x). i tal caso si chiama speraza matematica (o media o valore atteso) di X il umero E[X] = i x i f(x i ) = i x i p{x(ω) = x i }; se E[X] = 0 si dice che la var.al. X è cetrata. Suppoiamo che le var.al. X e Y aveti media fiita predao i valori {x i } e {y i } e sia g(x, y) = p {X = x ; Y = y} la loro desità cogiuta. Mostriamo che ache la var.al. (X + Y ) ha media fiita. Si ha x i + y j g(x i, y j ) x i g(x i, y j ) + y j g(x i, y j ) = ij ij ij = i x i j g(x i, y j ) + j y j i g(x i, y j ) = = i x i f X (x i ) + j x j f Y (y j ) dove f X, f Y soo le desità margiali di X, Y. Co calcoli simili seza il valore assoluto si prova poi la formula fodametale E[X + Y ] = E[X] + E[Y ]. Diamo ora u importate geeralizzazioe di questo risultato (viee omessa la dimostrazioe). Sia X = (X 1,.., X m ) u vettore aleatorio di desità f e i cui valori deoteremo co x (1), x (2),.; h : R m 11

12 R, poedo Z = h(x) si defiisce ua uova var.al. i cui valori deoteremo co z 1, z 2,..: Teorema Z ha speraza matematica fiita se e solo se h(x (i) ) f(x (i) ) < e i questo caso i E[Z] = i h(x (i) )f(x (i) ) Dal teorema precedete, specializzado la fuzioe h, si deducoo come corollari importati risultati. Ad esempio Corollario Siao X e Y var.al. co media fiita. Allora: i) (ax + by ) ha media fiita e E[aX + by ] = ae[x] + be[y ]; ii) X ha media fiita e E[X] E[ X ]; se ioltre X e Y soo idipedeti iii) XY ha media fiita e E[XY ] = E[X]E[Y ] Dimostrazioe. Limitiamoci a provare iii). Siao f X, f Y, f risp. le desità di X, Y e del vettore (X, Y ); per la supposta idipedeza si ha f(x i, y j ) = f X (x i )f Y (y j ). Applicado il teorema co h(x, y) = xy si ottiee x i y j f(x i, y j ) = x i y j f X (x i )f Y (y j ) = i,j i,j = i x i f X (x i ) j y j f Y (y j ) = E[ X ]E[ Y ] < ; ripetedo gli stessi calcoli seza i valori assoluti si prova che E[XY ] = E[X]E[Y ]. 2.6 Mometi, variaza Defiizioe Sia X ua var.al.; diremo che X ha mometo di ordie k fiito (k = 1, 2..) se X k ha media fiita. I questo caso E[X k ] si chiama mometo di ordie k della var.al. X. Se (X E[X]) k ha media fiita diremo che X ha mometo cetrato di ordie k fiito e chiameremo E[(X E[X]) k ] mometo cetrato di ordie k di X. Applicado il Teorema 2.5.1, idicado co f, µ risp. la desità e la media di X otteiamo: E[X k ] = i x k i f(x i ); E[(X µ) k ] = i (x i µ) k f(x i ). Teorema i) Se X ha mometo fiito di ordie k, allora ha ache mometo fiito di ordie r per ogi r k. ii) Se X e Y hao mometo fiito di ordie k, allora ache (X + Y ) ha mometo fiito di ordie k. I particolare se X ha mometo fiito di ordie k, allora ha ache mometo cetrato fiito di ordie k. Dimostrazioe. Siao {x i } i valori assuti da X, per ogi i si ha x i r 1 + x i k e di cosegueza x i r f(x i ) f(x i ) + x i k f(x i ), pertato la serie che defiisce il mometo di ordie k coverge assolutamete per il criterio del cofroto. Questo prova i). Per quato riguarda la ii) basta osservare che, per la covessità della fuzioe t k, si ha la disuguagliaza: (x + y) k 2 k 1 (x k + y k ). Di particolare importaza è il mometo cetrato di ordie 2 che viee chiamato variaza: Var(X) = E[(X E[X]) 2 ] = E[(X µ) 2 ]. Per quato elemetare il teorema che segue si rivela estremamete utile i molte circostaze: 12

13 Teorema (disuguagliaza di Chebyshev). Se per la var.al. X esiste il mometo E[X 2 ] (e di cosegueza la variaza) per ogi c > 0 si ha: i particolare, posto µ = E[X], p{ X > c} E[X2 ] c 2 ; p{ X µ > c} Var(X) c 2. Dimostrazioe. Applicado la prima disuguagliaza alla var.al. (X µ), si deduce la secoda. Si oti ora che p{ X > c} = f(x i ), si ha poi x i >c f(x i ) = x i >c f(x i ) x2 i x 2 i x i >c i f(x i )x 2 i c 2 = E[X2 ] c 2. Fissata la var.al. X, di solito media e variaza si deotao risp. co µ e σ 2 ; σ = Var(X) si chiama deviazioe stadard di X. Se X e Y hao variaza fiita, è fiita ache la quatità E[(X µ X )(Y µ Y )] che si chiama covariaza di X e Y e si idica co Cov(X, Y ). Si provao facilmete le segueti proprietà: i) Var(X) = E[X 2 ] E[X] 2 ; ii) Var(aX) = a 2 Var(X), Var(a + X) = Var(X) ; iii) Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2Cov(X, Y ); iv) Cov(X, Y ) = E[XY ] E[X]E[Y ]. Se X e Y soo idipedeti, applicado il Corollario iii) si ha Cov(X, Y ) = 0; Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) Per quato visto, la covariaza misura i u certo seso l idipedeza delle var.al.; tuttavia può capitare che Cov(X, Y ) = 0 seza che X e Y siao idipedeti. Quado Cov(X, Y ) = 0 si dice che le var.al. X e Y o soo correlate. Si defiisce pertato il coefficiete di correlazioe ρ X,Y mediate ρ X,Y = Cov(X, Y ) = Cov(X, Y ) Var(X)Var(Y ) σ X σ Y Vogliamo provare che 1 ρ X,Y 1. Per questo otiamo che si ha sempre E[XY ] 2 E[X 2 ]E[Y 2 ] (si vede col sego di u triomio); basta poi applicare la disuguagliaza alle var.al. (X µ X ), (Y µ Y ). 2.7 Esempi 1. Schema di Beroulli. Siao X i, i = 1,.., le var.al. di legge B(1, p) relative alle prove successive i uo schema di Beroulli. Le X i soo idipedeti. Per ogi i si ha E[X i ] = 1p + 0(1 p) = p e quidi E[S ] = p dove S = X 1 +..X. Si oti che abbiamo calcolato la media di S seza bisogo di cooscere la sua desità f. Questa come sappiamo (Teorema 2.1.1) è { ( ) f (k) = k p k (1 p) k se k = 0, 1,.., 0 altrimeti Si ha poi Var(X i ) = E[X 2 i ] E[X i] 2 = p p 2 = p(1 p) e di cosegueza La disuguagliaza di Chebyshev ci dice Var(S ) = p(1 p). p{ S p > h} 13 p(1 p) h 2 ;

14 ovvero, cosiderado la frequeza S dei successi elle prove, p{ S p > h p(1 p) } h 2. Se scegliamo h = ɛ i questa disuguagliaza si ottiee p{ S p > ɛ} p(1 p) ɛ 2 ; i particolare se il umero delle prove tede all ifiito, tede a zero la probabilità di ua deviazioe della frequeza S dei successi dalla probabilità p di successo i ogi sigola prova. Questo è u caso particolare della legge (debole) dei gradi umeri. Questo giustifica il metodo di osservare la frequeza di u risultato per stabilire la probabilità. 2. Desità di Poisso. Si chiama distribuzioe di Poisso di parametro λ, (λ > 0), la desità { e λ λ k f(k) = k! se k = 0, 1, 2,... 0 altrimeti La desità di Poisso si può vedere come u approssimazioe di ua desità biomiale B(, p) co grade e p piccolo. Siao duque S var.al. co desità biomiale B(, λ/), si ha: ( ) p{s = k} = ( λ k )k (1 λ ) k, se si fa tedere all si vede, co facili calcoli, che p{s = k} λk k! e λ ; ioltre la covergeza è uiforme rispetto a k. La distribuzioe di Poisso è detta ache legge degli eveti rari, ifatti si preseta come legge di ua var.al. S che rappreseta il umero di successi su u umero molto grade di prove ripetute idipedeti, i ciascua delle quali la probabilità di successo è molto piccola. Siao X e Y due var.al. idipedeti di Poisso di parametri λ, µ e di desità f 1, f 2 resp.; vogliamo trovare la desità g della somma X + Y. Si ha, ricordado che f 2 (z) = 0 se z è egativo, g(k) = f 1 (i)f 2 (k i) = i=0 = e (λ+µ) 1 k! k i=0 k e i=0 λ λi i! e µ µk i (k i)! = ( k )λ i µ k i (λ+µ) (λ + µ)k = e. i k! Duque X + Y è di Poisso co parametro (λ + µ). Sia X ua var.al. co desità di Poisso di parametro λ, si ha E[X] = λ; Var(X) = λ 3. Distribuzioe ipergeometrica. U ura cotiee pallie di cui r rosse (r ); se e estraggoo (seza rimpiazzo) s (s ); la var.al. X che dà il umero di pallie rosse estratte ha la desità ipergeometrica { ( r k)( r s k) se k = 0, 1, 2,.., mi(r, s) f(k) = ( s) 0 altrimeti Ache i questo caso per calcolare E[X] o abbiamo bisogo di cooscere la desità. Possiamo ragioiare così: sia X i la var.al. che vale 1 se ell i-esima estrazioe viee ua pallia rossa e 0 altrimeti. Soo state estratte s pallie, essedoci simmetria (o ci soo pallie privilegiate el gruppo estratto) 14

15 ogi pallia ha la stessa probabilità di essere rossa per esempio quella della prima estratta. Al primo colpo la probabilità di successo di X 1 vale r/, per cui per ogi i si ha E[X i ] = (r/)1 + (1 r/)0. Pertato E[X] = E[X i ] = s(r/). Si osservi che essedo s il umero di estrazioi ed avedo ogi estrazioe la stessa probabilità p = r/ di successo, la var.al X si comporta per quato riguarda il calcolo della media come se fosse biomiale e questo oostate che le var.al X i o siao idipedeti. 4. Desità geometrica. Cosideriamo sempre prove ripetute co probabilità p di successo. Problema: determiare la probabilità che ci vogliao esattamete k + 1 (k = 0, 1, 2,..) laci per otteere il (primo) successo. Si ha successo esattamete al (k + 1)-mo lacio se e solo se si è verificata la sequeza CCC..C } {{ } T; questa ha probabilità (1 p) k p. Si chiama desità geometrica di parametro p la desità k { p(1 p) k se k = 0, 1, 2,... f(k) = 0 altrimeti Sia T la var.al. umero di laci ecessari per il primo successo, allora f è la desità di X = (T 1). Si ha: E[X] = kp(1 p) k = 1 p p, k=0 Var(X) = E[X 2 ] E[X] 2 = 1 p p 2. Mostriamo ora la macaza di memoria della legge geometrica. Comiciamo ad osservare che p{x k} = p(1 p) j = (1 p) k. j=k Calcoliamo adesso ua probabilità codizioale: p({x = k + m} {X k}) = p({x = k + m} {X k}) p{x k} p(1 p) k+m (1 p) k = p(1 p) m = p{x = m}. = p{x = k + m} p{x k} Applichiamo questi risultati alla var.al. T : suppoiamo di o aver avuto alcu successo elle prime k prove: qual è la probabilità di dover attedere acora m prove? Risposta: la stessa che si avrebbe ricomiciado da capo le prove. Questo spiega l espressioe macaza di memoria. Se diamo credito a questo modello probabilistico, allora la pratica diffusa di giocare al lotto i umeri ritardatari o è giustificata. = 2.8 Esercizi e complemeti 1. Il problema del collezioista. Ua popolazioe cotiee elemeti distiti, tutti i ugual proporzioe, (ad es. figurie per ua collezioe). Si fao estrazioi co rimpiazzo. U campioe di dimesioe d i geerale coterrà meo di d elemeti distiti a causa delle ripetizioi (i doppioi). Sia V t la var.al. umero di estrazioi ecessarie per avere t elemeti distiti ; i valori possibili per V t soo t, t + 1,... Si vuole calcolare la media di V t. Soluzioe. Diciamo che u estrazioe ha successo se risulta ell aggiuta di u uovo elemeto el campioe. Poiamo poi X k = V k+1 V k ; allora (X k 1) è il umero di estrazioi co isuccesso tra il k-mo successo e il (k + 1)-mo successo. Durate tutte queste estrazioi la popolazioe cotiee ( k) elemeti che o soo etrati el campioe, per cui (X k 1) è il umero di isuccessi che precedoo il primo successo i prove ripetute di Beroulli co p = k. X k prede il valore s + 1 co probabilità 15

16 (1 p) s p per cui, facedo i calcoli, si ottiee E[X k ] = 1 p = k. Si oti ora che V t = 1+X X t 1, per cui E[V t ] = ( /2 t + 1 ) 1 t+1/2 x dx = log + 1/2 t + 1/2. I particolare E[V ] log e (assumedo pari) E[V /2 ] log 2. Si osservi come il umero atteso di prove per completare la collezioe sia i geerale assai più grade del doppio del umero atteso di prove per completare metà collezioe. 2. Variaza di somme. Suppoiamo che var.al. X i abbiao variaza fiita, allora per la variaza della loro somma si ha la formula geerale ( ) Var(X 1 + X X ) = i Var(X i ) + i j Cov(X i, X j ). 3. Problema dei matches Facciamo riferimeto a 2 di 1.4. Sia S = S N la var.al. umero di matches, si chiedoo la media e la variaza di S. Soluzioe. Sia X i la var.al. che vale 1 (co probab. 1/N) se all i-mo posto c è match e 0 altrimeti. Abbiamo E[X i ] = 1/N, S = N X i, E[S] = 1, Var(X i ) = (N 1)/N 2. i=1 Calcoliamo le covariaze. Per i j la var.al X i X j prede solo valori 0 e 1, quest ultimo co prob.. Pertato si ha 1 N(N 1) Applicado la formula (*) si ottiee Cov(X i, X j ) = E[X i X j ] E[X i ]E[X j ] = 1 N(N 1) 1 N 2. Var(S) = N N 1 1 N 2 + N(N 1) N 2 (N 1) = 1. 16

17 3 La legge dei gradi umeri. 3.1 La legge debole Teorema (Legge debole dei gradi umeri). Sia {X k } ua successioe di var.al. idipedeti aveti la stessa desità. Se esiste la media µ = E[X k ], allora qualuque sia η > 0 si ha lim p{ X X µ > η} = 0. Coviee qui premettere qualche osservazioe. Poiamo X1+..+X = M : il teorema afferma che M µ secodo u certo tipo di covergeza per var.al. (che poi soo fuzioi). Nel liguaggio della teoria delle fuzioi reali questa covergeza viee chiamata covergeza i misura o ache covergeza i probabilità. I realtà le ipotesi di questo teorema implicao ua covergeza più forte, la covergeza quasi ovuque (per fuzioi): vale cioè, come vedremo, ua legge forte dei gradi umeri. Se aggiugiamo u ipotesi speciale, cioè che esista la variaza σ 2 delle X k, il teorema ammette ua dimostrazioe molto semplice che qui riportiamo. Teorema (Legge debole dei gradi umeri i ipotesi di variaza). Sia {X k } ua successioe di var.al. idipedeti di media µ e di variaza σ 2. Poiamo allora per ogi η > 0 si ha S = X X ; p{ S µ > η } 0 Dimostrazioe. Applicado la disuguagliaza di Chebyshev si ha e l ultimo termie è ifiitesimo. 3.2 La legge forte p{ S µ > η} Var(S ) 2 η 2 = σ2 2 η 2 Per illustrare il sigificato (e i limiti) della legge debole e per itrodurrre la legge forte cosideriamo per semplicità lo schema di Beroulli B(, p). Idichiamo co S il umero di successi elle prove. La ozioe ituitiva di probabilità vorrebbe che per la frequeza di successi S S si avesse p: i effetti questo eveto si verifica co probabilità 1, ma la questioe adrebbe trattata co la probabilità el cotiuo. Comuque questo risultato o è coteuto ella legge debole (ma i quella forte). La legge debole afferma che lim p{ S p > η} = 0. Questa formula ci dice che, per fissato sufficietemete grade, la frequeza di successi S ha ua buoa probabilità di essere vicia a p; ma o ci dice che tale frequeza sia vicolata a rimaere vicio a p. Per esempio viee lasciata aperta la possibilità che per ifiiti j si verifichi l eveto A j = { Sj S j p η}. I effetti o è così: si potrebbe dimostrare che co probabilità 1 p diveta e resta piccolo. Schema di Beroulli: (legge forte dei gradi umeri). Per ogi η > 0 è ulla la probabilità che si verifichio simultaeamete ifiiti eveti I geerale si eucia il A i = { S i i p η} Teorema (Legge forte dei gradi umeri). Sia {X } ua successioe di var.al. idipedeti 17

18 aveti la stessa desità. Se esiste la media µ = E[X k ], allora vale la legge forte dei gradi umeri, cioè per ogi η > 0 è ulla la probabilità che si verifichio simultaeamete ifiite disuguagliaze del tipo S i i µ η. Si osservi che o si richiede che le var.al. X abbiao variaza fiita. Quado esiste la variaza delle X vale u risultato molto più forte (il Teorema Limite Cetrale). Defiizioe. Si chiama distribuzioe ormale la fuzioe Φ defiita da Φ(x) = 1 2π x e y2 2 Ricordiamo che come si sa dall aalisi Φ(+ ) = 1 e aturalmete Φ() = 0; ioltre 1 Φ(x) = Φ( x). Possiamo ora euciare il Teorema (Teorema Limite Cetrale). Sia {X } ua successioe di var.al. idipedeti aveti la stessa desità. Suppoiamo che esistao la media µ = E[X k ], e la variaza σ 2 = Var(X k ). Allora, posto S = X X, qualuque sia β si ha dy. (1) lim p{s µ σ < β} = Φ(β). Tratteremo la dimostrazioe di questo teorema el capitolo sulla probabilità el cotiuo. Osserviamo itato che per c > 0 si ha Pertato, applicado la (1), si ottiee p{ S µ > c } = p{ S µ σ > c σ } = 1 p{ S µ σ c σ } + p{s µ σ < c σ }. lim p{ S µ > c } = 2Φ( c σ ) Mostriamo ora che, se η > 0, per ogi fuzioe g tale che g() per, si ha (2) lim p{g() S µ > η} = 0 che è u risultato be più forte della legge debole. Si ha ifatti p{g() S µ > η} = p{ S µ > η g() } quest ultima probabilità è defiitivamete miore o uguale di p{ S µ > c }. Si ha quidi 0 lim if p{g() S µ > η} lim sup p{g() S µ > η} lim p{ S µ > c } = 2Φ( c σ ) da cui, facedo tedere c a + e ricordado che Φ() = 0, segue la (2). 18

19 4 La probabilità el cotiuo 4.1 Prime defiizioi Defiizioe Ua F : R R è detta fuzioe di ripartizioe (f.r.) se gode delle segueti proprietà: 1) F è o decrescete e cotiua a destra; 2) lim t F (t) = 0; lim t + F (t) = 1. Ricordiamo che per ua var.al. X abbiamo già defiito la sua fuzioe di ripartizioe poedo: F X (t) = p{x t}. Le defiizioi soo cosisteti: ifatti F X verifica le proprietà 1) e 2). Proviamo la 1). E ovvio che F X sia o decrescete. Sia {t } ua successioe che tede a x decrescedo, dobbiamo mostrare che F X (t ) F X (x). Sia A = k=1 {X t }, avedosi ua successioe decrescete di eveti, per il Teorema F X (t ) p(a). Resta da provare che A = {X x}. E ovvio che {X x} A; se y A, allora X(y) t per ogi e pertato ache X(y) x, cioè A {X x}. I modo simile si prova la 2). Ogi f.r. F, come si vede subito, soddisfa pure: 3) 0 F (t) 1; 4) p{a < X b} = p{x b} p{x a} = F (b) F (a). Come ogi fuzioe mootoa la F ammette i ogi puto x ache il limite siistro che si deoterà co F (x ). Avremo duque sempre al solito modo si verifica poi che F (x ) F (x) = F (x + ); F (x) F (x ) = p{x = x}; i particolare p{x = x} = 0 se F è cotiua i x. E importate sottolieare il fatto che le proprietà 1) e 2) caratterizzao le f.r. Defiizioe Ua f : R R è ua desità se è misurabile (secodo Lebesgue) e f 0 ; + f(x) dx = 1. Coviee osservare subito che se L è la σ-algebra dei sottoisiemi di R misurabili secodo Lebesgue, avedo a disposizioe ua desità f, si ottiee uo spazio di probabilità (R, L, p) poedo, per A L, p(a) = A f. Sempre essedo f ua desità, se poiamo G(t) = t f(x) dx, G risulta ua f.r. co la proprietà ulteriore di essere assolutamete cotiua (vedi appedice), ioltre G (t) = f(t) quasi ovuque (q.o.) cioè trae al più u isieme di misura (di Lebesgue) ulla. L assoluta cotiuità è ua proprietà più forte della cotiuità. I geerale se H è ua fuzioe assolutamete cotiua (a.c.) H è (derivabile q.o. ed è) primitiva della sua derivata, cioè H(t) = H(a) + t a H (x) dx. Se F è ua f.r. e f ua desità, diremo che F ammette f come desità se F (t) = t f(x) dx. Se ua f.r. G è a.c. allora ammette come desità la sua derivata G. Esistoo tuttavia f.r. F cotiue che o ammettoo desità.(questo oostate che ogi f.r., essedo mootoa, sia derivabile q.o.). Defiizioe Diremo che ua var.al. X è a.c. se la sua f.r. F X ammette desità (ed è quidi a.c.). 19

20 Sia X a.c. co f.r. F e desità f, allora si ha p{a X b} = F (b) F (a). Più i geerale se A e misurabile i R si ha p{x A} = f(x)dx. 4.2 Esempi 1. Desità espoeziale. Per ogi λ > 0 si defiisce ua f.r. poedo A F (t) = 1 e λt se t > 0, F (t) = 0 altrimeti. F è a.c. ; derivado si ottiee la sua desità f(t) = λe λt se t > 0, f(t) = 0 altrimeti. 2. Desità uiforme. Defiiamo ua f.r. poedo F (t) = 0 se t < 0, F (t) = t se 0 t 1 ; F (t) = 1 se t > 1. F è a.c. ; derivado si ottiee la sua desità f(t) = 0 se t < 0, f(t) = 1 se 0 t 1 ; f(t) = 0 se t > 1. Se X è ua var.al. co questa desità uiforme e se A [0, 1] è misurabile, allora p{x A} = A 1 dx, la misura di Lebesgue di A. 3. Desità ormale. La f.r. (distribuzioe) ormale Φ, che abbiamo itodotto el capitolo 3, è defiita da: Φ(x) = 1 x e y2 2 dy 2π e la sua desità è f(x) = Φ (x) = 1 2π e x2 2. La f.r. del primo esempio o è derivabile ell origie, quella del secodo o lo è ell origie e el puto Desità cogiute Cosidereremo, per semplicità solo vettori aleatori bidimesioali. Sia Z = (X, Y ) u tale vettore; la f.r. F Z cogiuta di Z è defiita da: F Z (x, y) = p{x x, Y y} = p{z A x,y }, dove A x,y = {(u, v) : u x, v y }. Diremo che Z ha desità cogiuta f Z = f se f 0, f(u, v) dudv = 1, (cioè f è ua desità) e R 2 ioltre x y F Z (x, y) = du f(u, v)dv = f(u, v) dudv. A x,y Per sottoisiemi ragioevoli A di R 2 avremo i geerale la formula p{z A} = f(u, v) dudv. A Cooscedo f.r. e desità cogiute di u vettore al. Z = (X, Y ), calcoliamoe f.r. e desità margiali. Si osservi che {X x} = {X x, Y }, =1 20