RETTIFICHE E SPOSTAMENTI

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1 ˆ Ĉ ω RETTIFIHE E SPOSTETI

2 IDIE oncetti generali RETTIFIHE onfine bilatero con un confine rettilineo uscente dal vertice onfine bilatero con un confine rettilineo uscente da un punto in posizione nota sul confine laterale onfine bilatero con un confine rettilineo parallelo ad una data direzione r onfine poligonale con un confine rettilineo uscente dal vertice onfine poligonale con un confine rettilineo uscente da un punto in posizione nota sul confine laterale onfine poligonale con un confine rettilineo parallelo ad una data direzione r SPOSTETI onfine rettilineo con un confine uscente da un punto in posizione nota sul confine laterale onfine rettilineo con un confine parallelo ad una data direzione r

3 oncetti generali Rettificare un confine significa sostituire un confine (bilatero, poligonale, curvilineo) con un confine rettilineo Spostare un confine rettilineo consiste nel sostituirlo con un altro confine rettilineo di direzione diversa Sia le rettifiche che le sostituzioni si realizzano lasciando inalterate le aree dei fondi confinanti (compenso), cambiando solamente la loro configurazione geometrica egli esempi che seguono considereremo noti tutti gli elementi misurati, lati e angoli, utili alla risoluzione del problema

4 RETTIFIHE

5 SO 1 Rettifica di un confine bilatero con un confine rettilineo di compenso uscente dal vertice. etodo grafico ELEETI OTI distanze angoli Si congiunge con e da si traccia la parallela ad, che interseca il confine laterale nel punto. è il nuovo confine rettilineo di compenso perchè i due triangoli e, appartenenti tutti e due al proprietario hanno stessa area (uguale h h base b e uguale altezza relativa h) b

6 SO 1 Rettifica di un confine bilatero con un confine rettilineo di compenso uscente dal vertice. etodo analitico ELEETI OTI distanze angoli ˆ ˆ1 Ĉ Ĉ 1

7 SO 2 Rettifica di un confine bilatero con un confine rettilineo di compenso uscente da un punto in posizione nota sul confine laterale ELEETI OTI distanze angoli è nota la distanza del vertice del nuovo confine da In questo caso l area del triangolo appartenente a T2 deve essere uguale all area del quadrilatero Dopo aver calcolato tutti gli elementi del triangolo, l incognita si ottiene applicando al quadrilatero la formula inversa di camminamento: distanza nota ˆ S = 0.5 x [ x x sen + x x sen Ĉ x x sen ( + Ĉ)] Ĉ = (2 x S x x sen ) / [( x sen Ĉ x sen ( + Ĉ)]

8 SO 2 Rettifica di un confine bilatero con un confine rettilineo di compenso uscente da un punto in posizione nota sul confine laterale ELEETI OTI distanze angoli è nota la distanza del vertice del nuovo confine da ˆ ˆ1 1 Ĉ Ĉ 1 Ĉ

9 SO 3 Rettifica di un confine bilatero con un confine rettilineo di compenso parallelo ad una data direzione r ELEETI OTI distanze angoli la direzione r è data dalla misura dell angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali Questo caso può risolversi: pplicando il metodo del trapezio ˆ Lavorando con il teorema dei seni ω Ĉ

10 SO 3.1 Rettifica di un confine bilatero con un confine rettilineo di compenso parallelo ad una data direzione r ELEETI OTI distanze angoli la direzione r è data dalla misura dell angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali ETODO DEL TRPEZIO Per risolvere il problema è possibile tracciare un confine provvisorio E parallelo alla direzione data calcolando tutti gli elementi incogniti del quadrilatero E e l area S E appartenente a. Per trovare la posizione del nuovo confine è necessario che le due aree, quella del quadrilatero E e quella del trapezio E risultino ˆ uguali: S E = S E = 0.5 x (E + ) x h alcolata l altezza h del trapezio sarà possibile con le ω Ĉ h funzioni trigonometriche calcolare le due incognite E principali del problema e E

11 SO 3.1 Rettifica di un confine bilatero con un confine rettilineo di compenso parallelo ad una data direzione r ELEETI OTI distanze angoli la direzione r è data dalla misura dell angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali ETODO DEL TRPEZIO S E = 0.5 x (E + ) x h in questa equazione sono presenti due incognite e h. a: = E ( + E) tan = h/ ---> = h/tan tan Ê = h/ E ---> E = h/tan Ê sostituendo: h = E h x (1/tang + 1/tang Ê) e sostituendo in S D otteniamo: h Ê S E = 0.5 x [E + E h x (1/tan + 1/tan Ê)] x h ordinando otteniamo una equazione di 2 grado avente come incognita l altezza h del trapezio: E h 2 x (1/tan +1/tan Ê) 2 x E x h + 2 x S E = 0 Delle due soluzioni si sceglie quella positiva; se lo sono entrambe la soluzione esatta è quella che più si avvicina al rapporto S E /E. ota h, nei due triangoli rettangoli e E, con la funzione seno è possibile calcolare le due incognite del problema, e E

12 SO 3.2 Rettifica di un confine bilatero con un confine rettilineo di compenso parallelo ad una data direzione r ELEETI OTI distanze angoli la direzione r è data dalla misura dell angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali F Fˆ RISOLUZIOE O IL T. DEI SEI Se i confini laterali si incontrano nel punto F, è possibile calcolare l area dell appezzamento appartenente a (che si ottiene sottraendo all area del triangolo F, l area del triangolo appartenente a ). Quest area dovrà essere uguale a quella del triangolo F sempre appartenente a. Di questo triangolo sono noti i tre angoli ( corrispondente alla direzione assegnata, F calcolato, per differenza) ω ˆ r ˆ ˆ Ĉ

13 SO 3.2 Rettifica di un confine bilatero con un confine rettilineo di compenso parallelo ad una data direzione r ELEETI OTI distanze angoli la direzione r è data dalla misura dell angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali F Fˆ ˆ ω 1 ˆ r ˆ1 Ĉ 1 ˆ Ĉ

14 SO 4 Rettifica di un confine poligonale con un confine rettilineo di compenso uscente dal vertice ELEETI OTI distanze D DE angoli D E Per determinare la posizione del nuovo confine rettilineo (distanza di dal vertice E) è necessario risolvere la poligonale DE rispetto ad un sistema di riferimento con origine in e semiasse positivo delle X diretto come il lato. Dopo aver calcolato azimut, coordinate è possibile E calcolare, con Gauss, l area del contorno poligonale compreso tra la poligonale e la congiungente E (che appartiene a ). Quest area dovrà risultare uguale a quella D del triangolo E, in cui rappresenta il nuovo confine rettilineo di compenso

15 SO 4 Rettifica di un confine poligonale con un confine rettilineo di compenso uscente dal vertice ELEETI OTI distanze D DE angoli D E E D

16 SO 4 Rettifica di un confine poligonale con un confine rettilineo di compenso uscente dal vertice ELEETI OTI distanze D DE angoli D E PRTIOLRE LOLO GOLO Ê 2 Ê2 = (E) - (ED) E (E) Ê E (ED) Ê2 Ê Ê1 D

17 SO 4.1 Rettifica di un confine poligonale con un confine rettilineo di compenso uscente dal vertice ELEETI OTI distanze D DE angoli D E el caso in cui la congiungente gli estremi della poligonale E interseca la poligonale stessa in uno o più punti si procede in maniera leggermente diversa dal caso precedente. Dopo aver risolto la poligonale con il calcolo degli azimut e delle coordinate è necessario calcolare, con Gauss l area del contorno poligonale DE, formata da triangoli e quadrilateri appartenenti ai proprietari T1 e T2. pplicando Gauss si ottiene un area che risulta essere la differenza della somma algebrica tra le aree positive (percorse in senso P - R + E antiorario) e quelle negative (percorse in senso orario). Se l area così calcolata risultasse uguale a zero, la somma dei due triangoli P e + D RDE, appartenenti a T1 risulterebbe uguale a quella del triangolo PR appartenente a T2. Il nuovo confine sarebbe proprio la congiungente E.

18 SO 4.1 Rettifica di un confine poligonale con un confine rettilineo di compenso uscente dal vertice ELEETI OTI distanze D DE angoli D E Se tale ipotesi non risulta soddisfatta si dovrà analizzare quale delle due aree risulti maggiore. Se l area che si ottiene è positiva, significa che l area somma dei due triangoli P e RDE (T1), risulta maggiore di quella del triangolo PR (T2). Se il confine fosse quello delimitato dalla congiungente E, il proprietario T1 perderebbe del terreno. Per compensare la differenza di aree, il nuovo confine, dovrà essere ruotato verso il basso, in modo tale che l area del triangolo E, risulti uguale a quella che si ottiene dalla formula di Gauss. P R - Ê D + E + S DE = S E Da questo punto in poi si procede come nel caso n 4, risolvendo il triangolo E per calcolare l incognita del problema E

19 SO 4.1 PPLIZIOE Rettifica di un confine poligonale con un confine rettilineo di compenso uscente dal vertice ELEETI OTI distanze D DE angoli D E R E P D

20 SO 5 Rettifica di un confine poligonale con un confine rettilineo di compenso uscente da un punto in posizione nota sul confine laterale ELEETI OTI distanze D angoli D è nota la distanza del vertice del nuovo confine da In questo caso è necessario risolvere la poligonale rispetto ad un sistema cartesiano con origine nel punto e semiasse positivo delle X diretto verso (si considera noto come il primo lato della poligonale). Dopo aver calcolato le coordinate, si calcola con Gauss, l area del Dˆ D contorno poligonale D (T1). Quest area dovrà essere uguale a quella del triangolo D (T1) distanza nota S D = S D Da questo punto in poi si procede come nel caso n 4, ˆ + Ĉ risolvendo il triangolo D per calcolare l incognita del problema D

21 SO 5 Rettifica di un confine poligonale con un confine rettilineo di compenso uscente da un punto in posizione nota sul confine laterale ELEETI OTI distanze D angoli D è nota la distanza del vertice del nuovo confine da Dˆ D Dˆ2 Dˆ Dˆ1 distanza nota + Ĉ ˆ

22 SO 6 Rettifica di un confine poligonale con un confine rettilineo di compenso parallelo ad una direzione data r ELEETI OTI distanze D angoli D la direzione r è data dalla misura dell angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali Per determinare la posizione del nuovo confine è necessario tracciare un confine provvisorio, che non intersechi il confine poligonale, avente la stessa P direzione di r. Sia PD il confine provvisorio prescelto. È necessario prima di tutto risolvere la poligonale D e calcolare con Gauss, l area del contorno poligonale D D (T1). Successivamente si deve poi risolvere e calcolare l area del triangolo PD (T1). La somma di queste due + aree dovrà essere uguale a quella del trapezio DP sempre appartenente a T1 r

23 SO 6 Rettifica di un confine poligonale con un confine rettilineo di compenso parallelo ad una direzione data r ELEETI OTI distanze D angoli D la direzione r è data dalla misura dell angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali P Pˆ DˆP D PD 1 + r

24 SO 6 Rettifica di un confine poligonale con un confine rettilineo di compenso parallelo ad una direzione data r ELEETI OTI distanze D angoli D la direzione r è data dalla misura dell angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali P D P h D r

25 SPOSTETI

26 SO 1 Sostituzione di un confine rettilineo con un altro, rettilineo di compenso, uscente da un punto in posizione nota sul confine laterale. etodo grafico ELEETI OTI distanze angoli è nota la distanza Si congiunge con e da si traccia la parallela ad, che interseca il confine laterale nel punto. è il nuovo confine rettilineo di compenso perché i due triangoli e b ˆ, appartenenti tutti e due al h nota proprietario hanno stessa area (uguale base b e uguale altezza relativa h)

27 SO 1 Sostituzione di un confine rettilineo con un altro, rettilineo di compenso, uscente da un punto in posizione nota sul confine laterale. etodo grafico ELEETI OTI distanze angoli è nota la distanza b ˆ ˆ2 ˆ1 h nota ˆ

28 SO 2 Sostituzione di un confine rettilineo con un altro, rettilineo di compenso, parallelo ad una data direzione r ELEETI OTI distanze angoli la direzione r è data dalla misura dell angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali ETODO DEL TRPEZIO Dal punto si traccia la parallela alla direzione assegnata r, fino ad intersecare il confine laterale nel punto. Si calcola l area del triangolo, appartenente a T2 (passata a ˆ T1). Quest area dovrà essere restituita a T2 in forma di trapezio. h S = S ω r S = 0.5 x ( + ) x h Prof. Dagore Ristorini

29 SO 2 Sostituzione di un confine rettilineo con un altro, rettilineo di compenso, parallelo ad una data direzione r ELEETI OTI distanze angoli la direzione r è data dalla misura dell angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali ˆ ˆ1 1 h Ĉ ω r

30 SO 2 Sostituzione di un confine rettilineo con un altro, rettilineo di compenso, parallelo ad una data direzione r ELEETI OTI distanze angoli la direzione r è data dalla misura dell angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali F RISOLUZIOE O IL T. DEI SEI el caso in cui i due confini laterali si intersecano nel punto F il problema può risolversi calcolando l area del triangolo (T1). Quest area dovrà essere uguale a quella ˆ del triangolo F (T1) con nuovo confine parallelo alla direzione data ω r

31 SO 2 Sostituzione di un confine rettilineo con un altro, rettilineo di compenso, parallelo ad una data direzione r ELEETI OTI distanze angoli la direzione r è data dalla misura dell angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali F Fˆ ˆ ˆ ˆ ω r

32 SO 2.1 Sostituzione di un confine rettilineo con un altro, rettilineo di compenso, perpendicolare ad uno dei confini laterali ELEETI OTI distanze angoli Rispetto al confine laterale ω = 100 c RISOLUZIOE O LFUZIOETGETE el caso in cui la direzione del nuovo confine è perpendicolare F ad uno dei confini laterali, ilproblema può essere risolto Fˆ facendo coincidere l'area del triangolo F (T1) con quella del triangolo rettangolo F S F in cui F e sono tan Fˆ = F = S F 1 = > x F x due incognite = F x tan Fˆ ˆ = 100 c ˆ sostituend o in S 2 x S F = F F 2 si ottiene x tan Fˆ ˆ F = 2 x S F tan Fˆ ω = 100 c F cos Fˆ = F > F = F cos Fˆ r per differenza con F e F si calcolano e