Funzioni numeriche elementari. y B è l'immagine dell'elemento x A

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1 Le funzioni numeriche (in simboli f() ), sono delle leggi, in molti casi espresse da equazioni y=f(), che associano dei numeri appartenenti a un certo insieme di partenza (A), ad altri numeri appartenenti ad un secondo insieme di arrivo (B). Il domino (D)è fomato dall'insieme degli elementi di A che possono essere associati agli elementi di B : l'insieme degli elementi di B associati agli elementi di A, detti immagini, formano codominio (C). La lettera, che sta ad indicare tutti i valori che possono essere sostituiti nella formula f(), prende il nome di variabile indipendente, mentre la lettera y indica invece tutti i valori ottenibili dai rispettivi valori di e prende il nome di variabile dipendente. Nel linguaggio matematico si usa dire che un certo elemento y B è l'immagine dell'elemento A secondo una data funzione f() quando y=f() e, in simboli si può scrivere: f : y. Pertanto, l'uso delle due lettere sta anche ad indicare dei singoli elementi e non solo degli insiemi di numeri. Funzione: è una relazione tra due insiemi A e B che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. Le funzioni possono essere rappresentate in forma di diagrammi, di tabelle e grafici cartesiani e di formule matematiche nel caso delle funzioni numeriche. Esistono quattro tipologie principali di funzioni numeriche elementari, ciascuna dotata di propria formula: Proporzionalità diretta: y k ; legge lineare: y k q Proporzionalità quadratica: k y k ; proporzionalità inversa: y. Prof. I. Savoia - _0

2 Gli insiemi numerici di partenza e di arrivo di un funzione numerica, se non specificato diversamente coincidono con l'insieme R dei numeri reali. I numeri reali si possono considerare un sovrainsieme dei numeri razionali. I numeri reali, oltre ai numeri razionali che si possono esprimere come frazioni oppure numeri decimali, includono l'insieme dei numeri irrazionali: gli irrazionali, come ad esempio le radici numeriche di numeri razionali che non sono quadrati di altri numeri, come,,..., sono espressi in formato decimale con un numero di infinite cifre non periodiche dopo la virgola e non possono scriversi come frazioni. La radice quadrata numerica y di un numero positivo è definita in questo modo: y y. Alcuni esempi: 9 9, , , 5, 56,56, 5. Analogalmente, si definisce la radice n-esima positiva di un dato numero quel numero che elevato all'esponente n N fornisce il numero di partenza: y n y n. Ad esempio: numero 7 7. Dimostriamo che il è un numero irrazionale, ovvero non si può esprimere come rapporto tra due numeri interi primi tra loro (cioè senza divisori comuni). Infatti, se per assurdo supponiamo che esistano due numeri interi p, q primi tra loro, tali che p : q p per la definizione di radice quadrata si ha quindi, per cui si sarebbe vera la q relazione p q. Il numero p dovrebbe essere un numero pari essendo divisibile per e, di conseguenza, il numero p srebbe necessariamente pari in quanto i quadrati dei numeri dispari sono dispari. Ma allora tale numero si può esprimere come p n con n numero intero. Da ciò deriva, dopo avere sostituito nella relazione precedente: 4 n q, ovvero q n. Quindi, si può ripetere il ragionamento affermando ora che anche q è un numero pari essendo pure esso divisibile per ma questa è una contraddizione in quanto i due numeri p e q sarebbero entrambi pari e quindi con un divisore in comune, contrariamente all'ipotesi. Ne consegue, pertanto, che è irrazionale. Prof. I. Savoia - _0

3 Il riquadro seguente mostra la rappresentazione insiemistica dei vari tipi di numeri. I numeri rrazionali quali, ad esempio, la radice quadrata di o la radice quadrata di 5 si rappresentano anche essi lungo una retta orientata, collocati tra due interi consecutivi:, , 5, In generale, i numeri irrazionali si possono approssimare ad un numero prestabilito di cifre dopo la virgola, arrotondando l'ultima cifra, per eccesso se la cifra successiva è 5 oppure per difetto se l'ultima cifra è 5. Ad esempio, rappresentiamo la radice di 5: con cifra dopo la virgola 5, per difetto, con cifre 5, 4 per eccesso. Ogni numero reale è determinato da due serie di numeri decimali approssimanti, rispettivamente quelli per difetto e quelli per eccesso che convergono al numero stesso: Prof. I. Savoia - _0

4 4, 4, 4, 44, 44Grafici... delle funzioni..., 44, 45, 4, 5 Serie per difetto Serie per eccesso Grafico di un funzione y=f(), è 'insieme dei punti del piano cartesiano di coodinate P[;f()]. I grafici si possono ottenere, in pratica, calcolando un certo numero di valori della variabile y in corrispondenza dei rispettivi valori attribuiti alla variabile in base alle rispettive formule, da porre prima in una tabella e poi come punti di un piano cartesiano O associati alle coppie di coodinate. Maggiore è il numero dei punti calcolati e migliore, in generale, è la rappresentazione della funzione anche se, per talune funzioni come ad esempio la retta, sono sufficienti anche solo o coppie di valori. Passiamo ora a esaminare i tipi più comuni di funzioni semplici. Proporzionalità diretta: y k Legge lineare: y k q Si tratta di una retta che passa sempre per l'origine O(0;0), diretta verso l'alto da sinistra a destra per k>0 e, invece, diretta verso il basso da sinistra a destra nel caso di valori di k<0. Si tratta di una retta che passa sempre per il punto A(0; q), diretta verso l'alto da sinistra a destra per k>0 e, invece, diretta verso il basso da sinistra a destra per valori di k<0. y -4-6 y y -4 - y u 0 4 u u u y y -6 4 y y u 6-4 u - u u Prof. I. Savoia - _0

5 5 Proporzionalità quadratica: y k Il grafico della proporzionalità quadratica è una curva, la parabola, che passa sempre per l'origine O(0; 0) ed è rivolta verso l'alto per k>0 e verso il basso per k<0. Proporzionalità inversa: y k La curva descritta dalla formula, detta iperbole, è diviso in due rami simmetrici rispetto all'origine O(0;0), nel I O e nel III O quadrante se k>0 e nel II O e IV O se k<0. y -4 4 y 4 6 y Esempio Esempio y y y In questo esempio si notino le due diverse spaziature delle tacche tra i numeri: quella dell'asse, formata da tacche, permette di rappresentare facilmente i valori di y della tabella che hanno il denominatore. Si noti come la curva tende a salire verso l'alto o scendere verso il basso in prossimità del valore =0, avvicininandosi all'asse senza però toccarlo: l'asse, in questo caso, è detto asintoto della curva. Prof. I. Savoia - _0

6 6 Dalle tabelle alle formule Riconoscere una legge a partire dai dati di una tabella è un tipo di esercizio molto importante che ha delle applicazioni dirette in ogni ambito scentifico. Infatti, la fisica, la biologia e le altre scienze, si servono di modelli dei fenomeni naturali in forma di leggi matematiche che descrivono il legame tra le grandezze e, tali leggi, derivano dalla interpretazioni di dati sperimentali raccolti dall'osservazione e dalla ricerca. Ad ogni tipo di legge è associata una proprietà caratteristica basata su una semplice operazione di calcolo tra i valori delle variabili. DI seguito esaminiamo le proprietà e illustriamo gli esempi di riconoscimento delle quattro tipologie di funzioni elementari considerate:; in genere, a partire dai dati di una tabella, si costruisce una nuova colonna (o riga se la tabella è orizzontale) nella quale si effettua il calcolo: se il risultato è un valore costante (k) esso è quello che caratterizza la formula da scrivere. Poi, in base alla formula trovata, si possono eventualmente aggiungere ulteriori valori alla tabella e, in base ad essi, tracciare il grafico della funzione. Le caratteristiche delle quattro funzioni consiserate sono esperesse da semplici relazioni che derivano dalle loro formule: Proporzionalità Legge lineare : Proporzionalità Proporzionalità diretta : quadratica : inversa : y k y k q y k y k y y k. y q k. k y k.. Per riconoscere un tipo di funzione a partire dai dati di una tabella, distinguendola dagli altri tre tipi, spesso non è necessario effettuare calcoli ma basta osservare i dati stessi in relazione alle proprietà: La proporzionalità diretta include il punto O(0; 0); la legge lineare include invece il punto A(0; q) dove q è un numero diverso da 0. La proporzionalità quadratica include i punti A(; k) e B(-;k) dove k è la costante della f(). La proporzionalità inversa non include mai i tipi di punti 0(0;0), A(0; q) e A(k; k ). Esempi di riconoscimento di funzioni in base alle due prime colonne delle tabelle numeriche y y/ y (y-)/ y y/ y y - -/ / - -/ -/5 /5 -/ -/ - 0 q= / / 4/ / 4/ -/ / 4/ -6 5/ / 0/ -0 / y y 4 y 0 y Prof. I. Savoia - _0

7 7 Determinazione di valori numerici associati da una funzione Tipici esercizi consistono nel calcolare un valore della variabile y (immagine) associato ad un dato valore della o, viceversa, calcolare l'elemento che associa un dato valore di y. Il calcolo di tali valori, in generale, si può ottenere risolvendo le equazioni che esprimono le funzioni con incognite una delle due lettere. Quando l'incognita è si possono applicare i due principi di equivalenza delle equazioni: O : trasportare da un membro all'altro un numero qualsiasi cambiato di segno che equivale a sommare o sottrarre dai due membri uno stesso numero; O: moltiplicare o dividere per uno stesso numero diverso da zero i due membri dell'equazione; Ricordiamo, preliminarmente, che il valore di y associato ad un dato valore di si può scrivere, in simboli, sia come y() che come f(). Esempio. Data f, calcolare i valori mancanti: 9 6 ; B) f... 4 A) f... ; C) f... ; D) f... 6 f ; B) A) f ; 4 4 C) ; D) Esempio. Data f, calcolare i valori mancanti: A) f... ; B) f... ; C) f... ; D) f... A) 0 f ; B) 5 f ; C) 4 4 ; D) 4 Prof. I. Savoia - _0

8 8 Nell'esempio che segue, relativo alla funzione di proporzionalità quadratica, per determinare il valore della, noto il valore della y (punti C e D), si ottengono due opposti valori dalla radice quadrata: a. Ad esempio, le soluzioni di 00 sono 00 0 ; infatti, entrambi i numeri (+0) e (-0) se elevati al quadrato forniscono il valore iniziale 00. Esempio. Data f, calcolare i valori mancanti: ; B) f... A) f... f. 9 ; C) f... 8 ; D)... f ; B) A) 4 4 f ; 9 9 C) ; D) Esempio 4. Data f, calcolare i valori mancanti: 4 6 ; B) f... A) f... f. 4 ; C) f... 8 ; D)... 4 f ; B) f 9 ; A) 6 C) ; 4 4 D) 6 4. Prof. I. Savoia - _0