I vertici e i lati di ogni poligono vengono detti rispettivamente vertici e spigoli del poliedro.

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1 1 I poliedri diagonale DEFINIZIONE. Un poliedro è la parte di spazio delimitata da poligoni posti su piani diversi in modo tale che ogni lato sia comune a due di essi. I poligoni che delimitano il poliedro si dicono facce. vertice spigolo faccia I vertici e i lati di ogni poligono vengono detti rispettivamente vertici e spigoli del poliedro. I segmenti che uniscono due vertici opposti non appartenenti alla stessa faccia si dicono diagonali. Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 90 1

2 1 I poliedri Un poliedro si dice convesso se il piano di ogni faccia non interseca il poliedro; si dice concavo se il piano di qualche faccia interseca il poliedro. Poliedro convesso Poliedro concavo Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 90 2

3 1 La relazione di Eulero Consideriamo i seguenti poliedri e contiamo, per ognuno, il numero di facce, vertici e spigoli. f = 4, v = 4, s = 6 f = 6, v = 8, s = 12 f = 8, v = 12, s = 18 Possiamo notare che in ogni poliedro convesso il numero delle facce sommato al numero dei vertici è uguale al numero degli spigoli aumentato di due: Pertanto possiamo enunciare il seguente: f v s 2 TEOREMA. In ogni poliedro convesso la somma del numero delle facce e del numero dei vertici è uguale al numero degli spigoli aumentato di due. Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 91 3

4 1 Lo sviluppo di un poliedro su un piano DEFINIZIONE. Lo sviluppo di un solido è la rappresentazione di tutte le sue facce su un piano. A seconda di come vengono effettuati i tagli lungo gli spigoli si ottengono diversi sviluppi nel piano. Nelle figure seguenti abbiamo rappresentato lo sviluppo di un parallelepipedo. Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 91 4

5 altezza 2 I prismi DEFINIZIONE. Il prisma è un poliedro costituito da due poligoni congruenti posti su due piani paralleli e con i lati corrispondenti paralleli, e da tanti parallelogrammi quanti sono i lati di ciascuno dei due poligoni. In un prisma è possibile distinguere i seguenti elementi: base spigolo laterale spigolo di base base Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 92 5

6 2 I prismi DEFINIZIONE. Un prisma è retto se gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi. DEFINIZIONE. Un prisma è regolare se è retto e se ha come basi due poligoni regolari. Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 92 6

7 2 La superficie laterale e totale dei prismi retti REGOLA. L area della superficie laterale del prisma retto è uguale al prodotto del perimetro di base per la misura dell altezza del prisma: A l 2p h Da questa formula possiamo ottenere le due formule inverse: 2p A l h h A l 2p Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 93 7

8 2 La superficie laterale e totale dei prismi retti REGOLA. L area della superficie totale del prisma retto si ottiene addizionando all area della superficie laterale il doppio dell area di una base: A t A l 2 A b Da questa formula possiamo ottenere le due formule inverse: A l A t 2 A b A b A t A l 2 Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 93 8

9 3 Il parallelepipedo DEFINIZIONE. Un prisma che ha come basi due parallelogrammi è detto parallelepipedo. DEFINIZIONE. Il parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo retto che ha come basi due rettangoli; le sue facce sono a due a due congruenti. In ogni parallelepipedo distinguiamo: le facce opposte, quelle che non hanno spigoli in comune, ad esempio le facce ABCD e A B C D ; i vertici opposti, quelli che non appartengono alla stessa faccia, ad esempio D e B ; le diagonali, quei segmenti che uniscono due vertici opposti, ad esempio DB. Area 2 - Capitolo 2 - PAG. 95 9

10 3 Il parallelepipedo L area della superficie del parallelepipedo rettangolo Poiché il parallelepipedo rettangolo è un prisma retto, possiamo calcolare l area della superficie laterale e totale con le seguenti formule: A l 2p h A t A l 2 A b Avremo inoltre le seguenti formule inverse: 2p A l h h A l 2p A l A t 2 A b A b A t A l 2 Indicando con a, b, c, le tre dimensioni del parallelepipedo rettangolo possiamo anche scrivere: A l 2a c b c A t 2a b a c b c Area 2 - Capitolo 2 - PAG

11 3 Il parallelepipedo La diagonale del parallelepipedo rettangolo Applicando il teorema di Pitagora al triangolo ABD avremo: BD 2 a 2 b 2 Applicando lo stesso teorema al triangolo BB D avremo: d 2 BD 2 c 2 Quindi possiamo scrivere d 2 a 2 b 2 c 2 ed estraendo la radice quadrata otteniamo la seguente: REGOLA. La misura della diagonale di un parallelepipedo rettangolo è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle misure delle sue tre dimensioni; in simboli: d a 2 b 2 c 2 Area 2 - Capitolo 2 - PAG

12 3 Il cubo DEFINIZIONE. Il cubo è un parallelepipedo rettangolo avente le tre dimensioni congruenti e quindi le sue facce sono sei quadrati congruenti. In ogni cubo distinguiamo: gli spigoli, tutti congruenti al lato l di una faccia; le facce, tutte quadrate e congruenti tra loro; le diagonali, quei segmenti che uniscono due vertici opposti come ad esempio AC. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

13 3 Il cubo L area della superficie del cubo REGOLA. L area della superficie laterale di un cubo è uguale a quattro volte l area di una faccia: Da questa formula si può ricavare la formula inversa: A l 4 l 2 l A l 4 REGOLA. L area della superficie totale di un cubo è uguale a sei volte l area di una faccia: Da questa formula si può ricavare la formula inversa: A t 6 l 2 l A t 6 Area 2 - Capitolo 2 - PAG

14 3 Il cubo La diagonale del cubo La misura della diagonale di un cubo si calcola mediante la formula utilizzata per il calcolo della diagonale di un parallelepipedo: d l 2 l 2 l 2 l 3 REGOLA. La misura della diagonale di un cubo è uguale al prodotto della misura dello spigolo per 3; in simboli: d l 3 d l 1,732 Da questa formula si può ricavare la formula inversa: l d 3 Area 2 - Capitolo 2 - PAG

15 4 La piramide DEFINIZIONE. La piramide è la parte di angoloide compresa fra una sua sezione piana e il vertice. Facendo riferimento alla figura a lato, in ogni piramide, distinguiamo: la base, rappresentata dal poligono ABCD; le facce laterali rappresentate dai triangoli VAB, VBC, VCD e VDA; l altezza VH rappresentata dalla distanza fra il vertice e il piano della base; gli spigoli di base e laterali costituiti rispettivamente dai lati della base ABCD e dai segmenti che uniscono il vertice della piramide con i vertici di base. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

16 4 La piramide DEFINIZIONE. Una piramide si dice retta se nella base si può iscrivere una circonferenza e il piede dell altezza coincide con il centro di questa circonferenza. Il raggio della circonferenza è detto anche apotema di base. DEFINIZIONE. Una piramide si dice regolare se è retta e se ha come base un poligono regolare. DEFINIZIONE. L apotema di una piramide retta è l altezza di uno qualunque dei triangoli che costituiscono le facce laterali. Essendo l altezza della piramide perpendicolare alla base, facendo riferimento agli elementi della figura a lato, si può applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo VOM ottenendo le seguenti relazioni: a h 2 r 2 h a 2 r 2 r a 2 h 2 Area 2 - Capitolo 2 - PAG

17 4 La piramide L area della superficie della piramide L area della superficie laterale è data dalla somma delle aree dei triangoli che formano le facce laterali. REGOLA. L area della superficie laterale della piramide retta è uguale al prodotto del semiperimetro di base per la misura dell apotema della piramide; in simboli: A l p a Dalla formula precedente ricaviamo le seguenti formule inverse: p A l a a A l p Area 2 - Capitolo 2 - PAG

18 4 La piramide REGOLA. L area della superficie totale della piramide si ottiene addizionando l area della superficie laterale con l area di base: A t A l A b Dalla formula precedente ricaviamo le seguenti formule inverse: A l A t A b A b A t A l ATTENZIONE: Se la piramide non è retta, l area della superficie laterale si calcola effettuando la somma delle aree delle singole facce con l avvertenza che gli apotemi di ciascuna faccia differiscono tra loro in base alla lunghezza dello spigolo di base cui si riferiscono. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

19 5 I poliedri regolari DEFINIZIONE. Un poliedro si dice regolare se tutte le sue facce sono poligoni regolari congruenti fra di loro e se i suoi diedri e i suoi angoloidi sono congruenti tra di loro. L area della superficie dei poliedri regolari Poiché le facce sono poligoni regolari, possiamo calcolare le loro aree moltiplicando il quadrato della misura del lato per il numero fisso φ, caratteristico di ogni poligono regolare: A l 2 l A : Area 2 - Capitolo 2 - PAG

20 5 I poliedri regolari Tetraedro A t 4 l 2 0,433 l 2 1,732 Cubo o Esaedro A t 6 l 2 Ottaedro A t 8 l 2 0,433 l 2 3,464 Dodecaedro A t 12 l 2 1,720 l 2 20,64 Icosaedro A t 20 l 2 0,433 l 2 8,66 Area 2 - Capitolo 2 - PAG

21 6 Solidi equivalenti DEFINIZIONE. Il volume di un corpo consiste nella parte di spazio che il corpo occupa. DEFINIZIONE. Due solidi si dicono equivalenti se hanno lo stesso volume. PROPRIETÀ. Solidi scomponibili in solidi rispettivamente congruenti sono equivalenti; solidi che sono somma di solidi rispettivamente congruenti sono equivalenti; solidi che sono differenza di solidi rispettivamente congruenti sono equivalenti; solidi che sono somma di solidi rispettivamente equivalenti sono equivalenti; solidi che sono differenza di solidi rispettivamente equivalenti sono equivalenti. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

22 7 Il volume dei poliedri DEFINIZIONE. Misurare il volume di un solido significa confrontarlo con un altro solido scelto come unità di misura e stabilire quanto volte quest ultimo è contenuto nel primo. UNITÀ DI MISURA. Come unità di misura del volume dei solidi assumeremo un cubo con lo spigolo di 1 metro, cioè il metro cubo o un suo multiplo o sottomultiplo. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

23 7 Il volume del parallelepipedo rettangolo Indicando con a, b, c le misure delle tre dimensioni di un parallelepipedo rettangolo, possiamo enunciare la seguente: REGOLA. Il volume del parallelepipedo rettangolo si ottiene eseguendo il prodotto delle sue tre dimensioni: V a b c Sostituendo nella formula precedente A b al posto di a b che rappresenta l area di base, e h al posto di c, che rappresenta l altezza, otteniamo: V A b h A b V h h V A b REGOLA. Il volume del parallelepipedo rettangolo si ottiene moltiplicando l area di base per la misura dell altezza ad essa relativa. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

24 7 Il volume del prisma retto REGOLA. Il volume del prisma retto si ottiene moltiplicando l area di base per la misura dell altezza: V A b h Dalla formula precedente si ricavano le formule inverse: h V A b A b V h Area 2 - Capitolo 2 - PAG

25 7 Il volume del cubo REGOLA. Il volume del cubo si ottiene elevando alla terza potenza la misura del suo spigolo. In simboli: V l 3 Dalla formula precedente si ricava la formula inversa: l 3 V Area 2 - Capitolo 2 - PAG

26 7 Il volume della piramide PROPRIETÀ. La piramide è equivalente alla terza parte di un prisma avente la stessa area di base e l altezza congruente all altezza della piramide. Di conseguenza: REGOLA. Il volume della piramide è uguale a un terzo del prodotto dell area di base per la misura dell altezza. In simboli: V A b h 3 Dalla formula precedente ricaviamo le inverse: A b 3 V h h 3 V A b Area 2 - Capitolo 2 - PAG

27 7 Il volume dei poliedri regolari REGOLA. Il volume di un poliedro regolare è uguale al prodotto del cubo della misura dello spigolo per il numero fisso caratteristico di ogni poliedro regolare. In simboli: V l 3 n Dalla formula precedente ricaviamo la formula inversa: l 3 V n I numeri fissi n dei cinque poliedri regolari sono: Tetraedro regolare n = 0,118 Cubo o esaedro regolare n = 1 Ottaedro regolare n = 0,471 Dodecaedro regolare n = 7,663 Icosaedro regolare n = 2,182 Area 2 - Capitolo 2 - PAG

28 8 Il peso specifico DEFINIZIONE. Per ogni sostanza, il rapporto tra il peso e il volume è costante e prende il nome di peso specifico. In simboli: Ps P V Dalla formula precedente ricaviamo le formule inverse: P V Ps V P Ps Nell applicare queste formule bisogna inoltre considerare che: se il volume è espresso in cm 3, il peso è espresso in g e viceversa; se il volume è espresso in dm 3, il peso è espresso in kg e viceversa; se il volume è espresso in m 3, il peso è espresso in Mg (tonnellate) e viceversa. Area 2 - Capitolo 2 - PAG

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