1. Proprietà della somma di matrici. 1. (A + B) + C = A + (B + C) qualunque. 2. A + B = B + A qualunque siano le matrici

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1 Matrici R. Notari 1

2 1. Proprietà della somma di matrici 1. (A + B) + C = A + (B + C) qualunque siano le matrici A, B, C Mat(m, n; K). 2. A + B = B + A qualunque siano le matrici A, B Mat(m, n; K). 3. Sia O la matrice di tipo m n le cui entrate sono tutte nulle (matrice nulla). Allora A + O = A qualunque sia A Mat(m, n; K). 4. Sia A una matrice di tipo m n su K. La matrice A di tipo m n le cui entrate sono opposte a quelle di A, posizione per posizione (matrice opposta), è l unica matrice di tipo m n per cui A + ( A) = O. 2

3 2. Proprietà del prodotto scalare-matrice 1. x(ya) = y(xa) = (xy)a qualunque siano x, y K e qualunque sia A Mat(m, n; K). 2. 1A = A qualunque sia A Mat(m, n; K). 3. x(a + B) = xa + xb qualunque sia x K e qualunque siano A, B Mat(m, n; K). 4. (x+y)a = xa+ya qualunque siano x, y K e qualunque sia A Mat(m, n; K). Vale la Legga di Annullamento del prodotto scalare-matrice. Infatti abbiamo Proposizione 1 Sia x K, e sia A una matrice di tipo m n su K. Se O è la matrice nulla di tipo m n allora xa = O se, e solo se, x = 0 o A = O. 3

4 3. Proprietà della trasposizione 1. t ( t A) = A per ogni A Mat(m, n; K). 2. t (A+B) = t A+ t B qualunque siano A, B Mat(m, n; K). 3. t (xa) = x t A qualunque sia x K, e qualunque sia A Mat(m, n; K). 4

5 4. Matrici simmetriche ed antisimmetriche Teorema 2 L unica matrice quadrata di ordine n che è sia simmetrica sia antisimmetrica è la matrice nulla. Inoltre, data una matrice M quadrata di ordine n, esistono un unica matrice quadrata S di ordine n simmetrica ed un unica matrice A quadrata di ordine n antisimmetrica che verificano l uguaglianza M = S + A. 5

6 5. Proprietà del prodotto di matrici 1. Siano A, B, C tre matrici qualsiasi su K di tipo m n, n p, p q, rispettivamente. Allora (AB)C = A(BC). 2. Sia I p la matrice identica di ordine p. Allora, qualunque sia A Mat(m, n; K) si ha I m A = AI n = A. 3. Siano A, B Mat(m, n; K) e siano C, D Mat(n, p; K). Valgono le uguaglianze e (A + B)C = AC + BC A(C + D) = AC + AD. 6

7 4. Siano A, B matrici su K di tipo m n, n p, rispettivamente, e sia x K. Allora si ha x(ab) = (xa)b = A(xB). 5. Siano A, B matrici su K di tipo m n, n p, rispettivamente. Allora abbiamo t (AB) = t B t A. Non valgono la proprietà commutativa e la Legge di Annullamento del Prodotto di due matrici. 7

8 6. Operazioni elementari e rango Teorema 3 Data una matrice A su K di tipo m n, esiste una successione finita di operazioni elementari sulle righe che trasforma A in una matrice A di tipo m n ridotta per righe. Lemma 4 Sia A una matrice su K di tipo m n, e sia B una matrice ridotta per righe ottenuta da A con operazioni elementari sulle righe, ma senza usare scambi di righe. Allora la riga t esima di B è nulla se, e solo se, la riga t esima di A è combinazione lineare delle righe 1,..., t 1 di A. Teorema 5 Sia A una matrice su K di tipo m n, e siano B, C matrici di tipo m n ridotte per righe trasformando A con successioni diverse di operazioni elementari sulle righe di A. B e C hanno lo stesso numero di righe non nulle. 8

9 7. Teoremi sui determinanti Teorema 6 (di Laplace) Sia A una matrice quadrata di ordine n. Allora 1. Qualunque sia la riga i di A si ha a i1 A i1 + + a in A in = det(a). 2. Qualunque sia la colonna j di A si ha a 1j A 1j + + a nj A nj = det(a). 3. Scelte le due righe distinte i ed h di A si ha a i1 A h1 + + a in A hn = Scelte le due colonne distinte j e k di A si ha a 1j A 1k + + a nj A nk = 0. 9

10 Corollario 7 Sia A una matrice quadrata di ordine n. Allora det( t A) = det(a). Teorema 8 (di Binet) Siano A e B matrici quadrate di ordine n su K. Allora det(ab) = det(a) det(b). Corollario 9 Sia x K e sia A una matrice quadrata di ordine n. Allora det(xa) = x n det(a). 10

11 8. Determinante ed operazioni elementari Teorema 10 Sia A una matrice quadrata di ordine n su K, e siano A 1, A 2, A 3 le matrici ottenute da A effettuando l operazione elementare R i R h, R i ar i, R h R h + ar i, rispettivamente. Allora abbiamo ed infine det(a 1 ) = det(a), det(a 2 ) = a det(a), det(a 3 ) = det(a). 11

12 9. Determinante e rango Teorema 11 (di Kronecker) Sia A una matrice su K di tipo m n. Allora r(a) = p se, e solo se, esiste un minore di A di ordine p non nullo e tutti i minori di A di ordine p + 1 sono nulli, ossia, p è il massimo ordine di un minore non nullo di A. Corollario 12 Sia A una matrice quadrata di ordine n su K. Abbiamo che r(a) = n se, e solo se, det(a) 0. Inoltre, se r(a) = n, allora, detta A una matrice ridotta per righe ottenuta da A con sole operazioni elementari di tipo E1 ed E3, abbiamo che det(a) è uguale, a meno del segno, al prodotto degli elementi speciali di A. 12

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