I Prodotti. Notevoli

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1 I Prodotti Muovimi nella pagina Notevoli Prof.ssa G. Messina 1

2 I PRODOTTI NOTEVOLI Dopo questa unità: imparerai a riconoscere e ad applicare le regole dei prodotti notevoli Obiettivi Prerequisiti Prof.ssa G. Messina 2

3 E' necessario che tu 1) sappia operare con i monomi 2) sappia operare con i polinomi Materia: Argomento: Istituto: Classe: Prof.ssa: Diritti: Matematica Prodotti notevoli I.I.S. Gastaldi Abba Prima G. Messina Obiettivi Prerequisiti Prof.ssa G. Messina 3

4 Alcuni particolari prodotti di polinomi si usano così spesso che, invece di eseguirli ogni volta, si impara direttamente la formula che serve per calcolare il risultato. Per questo si chiamano PRODOTTI NOTEVOLI Prof.ssa G. Messina 4

5 Quadrato del binomio Indichiamo con A e B due monomi qualsiasi. Vediamo come si calcolano il quadrato della loro somma o della loro differenza. In simboli, vogliamo determinare: e Non è difficile, basta applicare la definizione di potenza. Invece: Prof.ssa G. Messina 5

6 Il quadrato di un binomio è uguale a: 1) il quadrato del primo monomio 2) il quadrato del secondo monomio 3) il doppio prodotto del primo monomio per il secondo Prof.ssa G. Messina 6

7 x QUADRATO DI UN BINOMIO y x+y x 2 y 2 xy (x+y) 2 Prof.ssa G. Messina 7

8 SOMMA PER DIFFERENZA Chiamiamo, come sempre, A e B i nostri due monomi. Stavolta vogliamo calcolare il risultato del prodotto fra la loro somma e la loro differenza Quindi, vogliamo calcolare usando di nuovo la regola del prodotto termine a termine. Prof.ssa G. Messina 8

9 GENERALIZZAZIONE Questa regola si applica quando leggiamo nei binomi che vogliamo moltiplicare due monomi uguali e due monomi opposti. Esempi: UGUALI OPPOSTI OPPOSTI UGUALI UGUALI OPPOSTI UGUALI OPPOSTI Prof.ssa G. Messina 9

10 In questo caso, il prodotto è un binomio in cui compaiono: il quadrato del monomio che nei due fattori compare con lo stesso segno MENO il quadrato del monomio che nei due fattori compare con segni diversi UGUALI OPPOSTI OPPOSTI UGUALI UGUALI OPPOSTI Prof.ssa G. Messina 10

11 La somma di due monomi per la loro differenza è uguale: al quadrato del monomio che compare con lo stesso segno MENO il quadrato del monomio che compare con segni opposti Prof.ssa G. Messina 11

12 QUADRATO DEL TRINOMIO Indichiamo con A, B e C tre monomi qualsiasi. Vediamo come si calcola il quadrato della loro somma. In simboli, vogliamo determinare: Applichiamo, ancora una volta la definizione di potenza. Come abbiamo già visto, A, B e C rappresentano monomi completi di segno, coefficiente e parte letterale, quindi: Prof.ssa G. Messina 12

13 nel risultato di questo prodotto notevole: i tre quadrati saranno sempre positivi, mentre i doppi prodotti saranno positivi o negativi a seconda se i monomi che sto moltiplicando sono concordi o discordi. Questa regola può essere generalizzata, per determinare il quadrato di polinomi che contengono qualunque numero di monomi (e naturalmente andrà bene anche per i binomi). Quindi: Il quadrato di un polinomio è uguale alla somma dei quadrati dei singoli monomi più il doppio prodotto di ogni monomio per tutti i monomi che lo seguono. Prof.ssa G. Messina 13

14 x QUADRATO DI UN TRINOMIO y z x 2 y 2 x 2 y 2 z 2 z 2 xy xz (x+y+z) 2 yz Prof.ssa G. Messina 14

15 CUBO Nel dizionario la parola cubo ha tre distinte definizioni: 1. solido a sei facce quadrate uguali es.: Calcola il volume del cubo avente lo spigolo lungo 15 cm 2. qualunque oggetto che ha la forma di cubo es.: Del cubo di Rubik riesco a completare solo una faccia 3. terza potenza di un numero es.: Calcola il cubo di 3 Quest'ultima definizione della parola "cubo" è giustificata dal fatto che il volume di un cubo si calcola elevando alla terza la lunghezza di uno spigolo Prof.ssa G. Messina 15

16 Cubo del binomio Calcolare il cubo di un binomio significa, allora, elevare alla terza potenza la somma di due monomi Indichiamo con A e B i soliti due monomi qualsiasi. Vediamo come si calcola il cubo della loro somma. In simboli, vogliamo determinare: Prof.ssa G. Messina 16

17 Allora, il cubo del binomio è uguale: al cubo del primo monomio clicca per veder comparire le scritte più il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo monomio più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo monomio più il cubo del secondo monomio Prof.ssa G. Messina 17

18 Il cubo di un binomio è uguale a: 1) il cubo del primo monomio 2) il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo 3) il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo 4) il cubo del secondo monomio Prof.ssa G. Messina 18

19 CUBO DI UN BINOMIO a b a+b a 3 b 3 a 2 b ab 2 Costruzione geometrica cubo binomio Prof.ssa G. Messina 19

20 Nicolò Tartaglia Nicolò Fontana, detto Tartaglia (Brescia 1499 Venezia 1557) Prof.ssa G. Messina 20

21 Potenza n-esima del binomio Il triangolo di Tartaglia serve a calcolare i coefficienti dello sviluppo della potenza n esima di un binomio dove n può essere un numero naturale qualsiasi Naturalmente, per oppure usiamo le formule già studiate, che comunque trovano conferma dalla Costruzione del triangolo di Tartaglia clicca sulla scritta Prof.ssa G. Messina 21

22 Completamento della formula Resta da costruire la parte letterale dei monomi che compongono lo sviluppo della potenza. A questo scopo, calcoliamo e usando i prodotti notevoli già studiati Costruzione del triangolo di Tartaglia con Excel Prof.ssa G. Messina 22

23 Che noia! Costruzione del triangolo di Tartaglia in Excel Però, se adesso confrontiamo i risultati degli sviluppi che abbiamo appena calcolato, riusciamo a individuare la regola che ci permetterà di ottenere la potenza di un binomio, qualunque sia l'esponente... e che ci permetterà di risparmiare un sacco di calcoli!!! Vero! Verissimo! Prof.ssa G. Messina 23

24 Allora? Scoperto qual è la regola? Prova a scriverla tu. Completa la frase seguente scegliendo fra le diverse opzioni OMOGENEO Lo sviluppo di è un polinomio COMPLETO ORDINATO in cui l'esponente di A parte da 1 n 0 e, via via, fino ad arrivare a cresce 0 1 n decresce mentre, contemporaneamente, l'esponente di B decresce cresce da fino ad arrivare a 1 n 0 e con i coefficienti che si leggono sulla n esima riga del triangolo di Tartaglia Prof.ssa G. Messina 24

25 Esercizi sui prodotti notevoli calcolo e riconoscimento di alcuni tipi di prodotti notevoli espressioni con prodotti notevoli Prof.ssa G. Messina 25

26 Allegati Costruzione geometrica cubo binomio calcolo e riconoscimento di alcuni tipi di prodotti notevoli espressioni con prodotti notevoli costruzione del triangolo di Tartaglia Costruzione del triangolo di Tartaglia.xls