SISTEMI DI 1 GRADO CON DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE

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1 Pagina 1 di 6 SISTEMI DI 1 GRADO CON DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE L insieme di due equazioni di primo grado in due incognite si dice SISTEMA DI 1 GRADO. La soluzione del sistema è ogni coppia di numeri che è soluzione contemporaneamente di entrambe le equazioni. Un sistema è ridotto in forma normale quando tutte le sue equazioni sono ridotte in forma normale. Due sistemi si dicono equivalenti quando ammettono le stesse soluzioni. Un sistema di 1 grado può essere: DETERMINATO, quando ammette una soluzione IMPOSSIBILE, quando non ammette soluzioni INDETERMINATO, quando ammette infinite soluzioni RISOLUZIONI DEI SISTEMI DI 1 GRADO Per un sistema ridoto a forma normale sono possibili quattro metodi di risoluzione: METODO DI SOSTITUZIONE METODO DI CONFRONTO METODO DI RIDUZIONE METODO DI CRAMER

2 Pagina 2 di 6 METODO DI SOSTITUZIONE 1. Si risolve una delle equazioni rispetto a una delle incognite, per esempio rispetto alla x. 2. Si sostituisce l espressione trovata nell altra equazione e la si risolve, trovando il valore della y. 3. Si sostituisce il valore della y nell espressione della x. x 2y 3 3x 2y 1 1. Si ricava x nella 1 a equazione, spostando 2y al 2 membro. x 3 2y 3x 2y 1 2. Si sostituisce la x nella 2 a equazione l espressione trovata 3-2y. x 3 2y 33 2y 2y 1 3. Si risolve la 2V equazione, ottenendo il valore di y. 9 6y 2y 1 6y 2y 8 1 8y 8 y 1 4. Si sostituisce alla y nella 1 a equazione il valore ottenuto e si calcola il valore di x. x x 3 2 x 1 y 1 y 1 y 1

3 Pagina 3 di 6 METODO DI CONFRONTO 1. Si ricava la stessa incognita in entrambe le equazioni. 2. Si uguagliano le due espressioni ottenute e si risolve calcolando il valore di una incognita. 3. Si sostituisce il valore trovato in una delle equazioni iniziali e si calcola il valore dell altra incognita. x 2y 3 3x 2y 1 1. Si ricava nelle due equazioni. x 3 2y x 3 2y 1 2y 3x 1 2y x 3 2. Si uguagliano le espressioni di x e si riscrive, come 2 a equazione, una qualsiasi di esse. 1 2y 3 2y 3 x 3 2y 3. Si risolve la 1 a equazione, ottenendo il valore di y y 1 2y 9 6y 1 2y 6y 2y 9 1 8y 8 y x 3 2y 4. Si sostituisce il valore trovato di y nella 2 a equazione e si ottiene x. y 1 y 1 y 1 x 3 21 x 3 2 x 1

4 Pagina 4 di 6 METODO DI RIDUZIONE 1. Si fa in modo che nelle due equazioni i coefficienti di un incognita siano opposti moltiplicando, se necessario, una delle due equazioni per un numero opportuno. 2. Si addizionano membro a membro le due equazioni, ottenendo una combinazione lineare in una sola incognita, e si ricava tale incognita. 3. Si sostituisce il valore trovato in una delle equazioni, ricavando l altra incognita. x 2y 3 3x 2y 1 1. I coefficienti della y sono opposti: se si addizionano membro a membro le due equazioni (combinazione lineare). x 2y 3 3x 2y 1 4 x / / 4 Da cui si ricava x=1 2. A x=1 si abbina una qualsiasi delle equazioni iniziali, si sostituisce e si ricava y. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2y 3 1 2y 3 2y 3 1 2y 2 y 1

5 METODO DI CRAMER Dato un sistema in forma normale ax by m cx dy n 1. si calcolano i tre determinanti. Pagina 5 di 6!!! NOTA BENE!!! Dati 4 numeri a,b,c,d il simbolo a c b d rappresenta una matrice quadrata di 2 ordine. Si chiama determinante della matrice, e si indica con il simbolo a b D c d Dx m n b d Dy a c m n a c b d 2. La soluzione del sistema è data Dx x D Dy y D il numero che si ottiene moltiplicando in croce e sottraendo i risultati, cioè ad-bc. 3x 2y 6 3x y Si determina la D, Dx e Dy. 3 2 D Dx Dy Si determina la soluzione. 36 x y 3 9

6 Pagina 6 di 6 RISOLUZIONE DEI SISTEMI FRATTI I sistemi fratti sono i sistemi nelle cui equazioni almeno una delle incognite compare al denominatore. I metodi di risoluzione sono sempre gli stessi, ma è necessario controllare che le soluzioni trovate non annullino uno dei denominatori del sistema dato. y 3 2 x 1 x y 2 y x 1. Pongo le condizioni di esistenza 1D 0 x 1 0 x 1 2D 0 y 1 0 y x C. E. x 1 y x 2. Si riduce il sistema in forma normale y 3 2 x 1 2x y 1 x y 2 y x 3x y 0 3. Dopo avere ridotto il sistema a forma normale si risolve con uno dei metodi seguenti: 3.1. METODO DI SOSTITUZIONE 3.2. METODO DI CONFRONTO 3.3. METODO DI RIDUZIONE 3.4. METODO DI CRAMER