SISTEMI LINEARI. Prof.ssa R. Schettino Classe II a.s. 10/ 10/ 1111

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1 SISTEMI LINEARI Prof.ssa R. Schettino Classe II a.s. 10/ 10/ 1111

2 EQUAZIONE LINEARE IN DUE INCOGNITE 3x+7y=21-12x+6y-36=0 x-y+2=0 9y-21x+9=0 Con x e y si indicano le incognite delle equazioni Quali sono i valori delle incognite per cui le uguaglianze sono vere? Bisogna determinare uno o due valori? 2

3 EQUAZIONE LINEARE IN DUE INCOGNITE La forma normale di un equazione lineare è ax+ x+by= y=c a e b si dicono coefficienti, c si dice termine noto L equazione si dice lineare perché è di 1 1 grado 3

4 EQUAZIONE LINEARE IN DUE INCOGNITE È un equazione che ha due incognite da determinare: x e y Essendo un equazione, è l uguaglianza di due membri vera solo per alcuni valori delle incognite È,, quindi, sempre valido il concetto di equazione, di incognita e di soluzione dell equazione equazione In questo caso, la soluzione dell equazione equazione in due incognite è data da due valori: uno per la x e l altro l per la y

5 EQUAZIONE LINEARE IN DUE INCOGNITE Quante coppie di numeri soddisfano un equazione lineare? Una sola soluzione dell equazione equazione in due incognite è una coppia di numeri Ripensando agli esempi, è possibile dire se vi sono una, infinite, poche soluzioni o nessuna? 5

6 EQUAZIONE LINEARE IN Conclusioni: a) Un DUE INCOGNITE Un equazione lineare in due incognite ammette infinite soluzioni b) Ogni soluzione è formata da una coppia di numeri: uno per x e l altro l per y c) L unica equazione lineare in due incognite che sia impossibile è : 0 x + 0 y = c 0 d) L unica equazione con tutte le possibile coppie di numeri come soluzioni è : 0 x + 0 y = 0 6

7 SISTEMI LINEARI DI DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE Si dice sistema di equazioni l insieme di due equazioni in due incognite, considerate contemporaneamente, allo scopo di determinare le soluzioni comuni ossia le soluzioni valide per entrambe le equazioni 7

8 SISTEMI LINEARI Per scrivere le due equazioni insieme, si usa una parentesi graffa aperta che le racchiuda una sopra l altra: es. 3x+7y=21 I) x -2y = 1 x-y+2=0 II) 9y-21x+9=0 8

9 SISTEMI LINEARI La forma normale di un sistema lineare è ax x + by y = c a 1 x + b 1 y = c 1 M.I. matrice incompleta o dei coefficienti M.C. matrice completa a MI.. = a1 b b 1 a MC.. = a 1 b b 1 c c 1 9

10 SISTEMI LINEARI Risolvere un sistema significa determinare le soluzioni comuni ad entrambe le equazioni Nei sistemi si vogliono determinare tutte le coppie di numeri che soddisfano la 1 1 e la 2 2 equazione. Ne avete trovata qualcuna? ATTENZIONE! Bisogna determinare le soluzioni per entrambe le equazioni 10

11 SISTEMI LINEARI A cosa servono i sistemi? Molte volte si incontrano situazioni in cui bisogna determinare più elementi incogniti che sono legati tra loro da relazioni Es: Un automobilista deve percorrere 615 Km in due gg. Il tragitto del primo giorno è il doppio del secondo. Quanti Km percorre ogni giorno e quanto tempo impiega se viaggia alla velocità di 150 Km/h? 11

12 In questo caso gli elementi da determinare sono:a) Km percorsi nel 1 1 giorno (x) b) Km percorsi nel 2 2 giorno (y) c) tempo impiegato a percorrerli Le relazioni che legano contemporaneamente le prime due incognite sono: x + y = 615 x = 2 y Quando si saranno conosciuti i Km percorsi, sarà possibile determinare il tempo impiegato usando la formula: t = s/v 12

13 Si capisce che bisogna risolvere un sistema.. Ma come si fa? Innanzitutto si scrive il sistema in forma normale: ax x + by y = c a 1 x + b 1 y = c 1 Poi si stabilisce se il sistema è risolvibile o no e quante soluzioni ammette Per questo ci aiuta il TEOREMA FONDAMENTALE dei sistemi lineari 13

14 TEOREMA FONDAMENTALE DEI SISTEMI LINEARI Se i ranghi delle matrici, incompleta e completa, del sistema sono uguali il sistema è risolvibile e ammette una sola soluzione se il rango è 2, infinite soluzioni se il rango è 1 Se i ranghi delle matrici sono disuguali il sistema è impossibile ossia non ammette nessuna soluzione 14

15 ESEMPI 3x+ 2x+ M M.. I. C. y 3y = 5 = Rango : 2 Rango : 2 Il sistema è risolvibile e ammette una sola soluzione perché i ranghi delle due matrici sono uguali e valgono 2 come il numero di incognite 15

16 ESEMPI 5x 2y= 3 10x 4y= 5 5 MI MC Rango1 3 Rango 2 5 Il sistema non ammette nessuna soluzione perché i ranghi delle due matrici sono disuguali 16

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