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1 Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri fissti Un sistem di equzioni lineri consider simultnemente più equzioni lineri, l su soluzione è dt di vlori per le incognite che verificno simultnemente tutte le equzioni considerte. Un sistem può non vere soluzione (in questo cso si dice che il sistem è incomptibile), vere un sol soluzione (comptibile) o infinite soluzioni (indeterminto). Due equzioni in due incognite L soluzione di un sistem di due equzioni lineri in due incognite è dt dlle coordinte del punto (o dei punti) di intersezione tr le due rette. Già nello studio di funzione si risolve un sistem di equzioni per trovre le intersezioni tr l funzione studit e l sse delle x: ( ) y = f x y = 0 d cui si ottiene (per sostituzione): f ( x ) = 0; se l f ( x) rppresent nche ess un rett vremo un sistem di due equzioni lineri in due incognite: y = x+ b y = 0 Dl punto di vist geometrico il ftto che il sistem mmett nessun, un o infinite soluzioni corrisponde i tre csi seguenti: 1) rette prllele: due rette con lo stesso coefficiente ngolre e diverso termine noto non hnno punti in comune. Il sistem non h soluzione; y x 2) rette con coefficiente ngolre diverso: le due rette si intersecno in un punto, le cui coordinte (x 0 ;y 0 )sono l soluzione del sistem;

2 y y 0 x 0 x ) le due rette hnno si lo stesso coefficiente ngolre che lo stesso termine noto: essendo coincidenti, tutti i punti di un rett pprtengono nche ll ltr rett, e pertnto il sistem vrà infinite soluzioni. y x Dl punto di vist lgebrico vremo: y = 1x+ b1 y = x + b 2 2 Nel qule se 1 è diverso d 2 le due rette vrnno coefficiente ngolre diverso e, quindi, il sistem vrà un sol soluzione Se invece 1 è ugule d 2 le due rette vrnno lo stesso coefficiente ngolre: dobbimo verificre se nche i termini noti sono uguli, in questo cso le due rette coincidono (sistem indeterminto, infinite soluzioni). Se le due rette hnno lo stesso coefficiente ngolre m i termini noti sono diversi, llor le due rette sono prllele in senso proprio, e il sistem è incomptibile (nessun soluzione). Per permettere un deguto sviluppo del problem dobbimo cmbire l rppresentzione delle equzioni portndo tutti i termini noti destr e le vribili con i loro coefficienti sinistr: x + by = c dx + gy = h O nche, per permetterne un più fcile estensione:

3 x + x = b x + x = b Nel qule il coefficiente ngolre di ciscun delle due rette dipende di coefficienti delle due vribili. Se se se il sistem h un sol soluzione; b1 = il sistem è incomptibile (nessun soluzione) b b1 = = il sistem è indeterminto (infinite soluzioni) b D un ltro punto di vist, possimo considerre nche che le due rette sono prllele (hnno lo stesso coefficiente ngolre) qundo il determinnte dell mtrice dei coefficienti delle vribili ugule zero, ossi: = 0 Dobbimo quindi definire mtrice e determinnte. Mtrice: è un tbell di numeri disposti in righe e colonne, del tipo! " 11 12! 1m 21 22! 2m! "! n1 n2! nm $ % Usulmente le mtrici vengono indicte con gli elementi rcchiusi tr prentesi tonde, o con lettere miuscole, o con indiczione dell elemento generico e dimensioni (righe per colonne), ovvero: = = 1 2 A2 ij 2 Il primo indice si riferisce sempre lle righe, il secondo lle colonne, si per qunto rigurd le dimensioni dell mtrice che per l individuzione dell elemento, d esempio 5 è l elemento dell terz rig e quint colonn. Determinnte di un mtrice: è un numero rele ssocito d ogni mtrice qudrt (stesso numero di righe e colonne), ottenuto come segue A = (mtrice qudrt di ordine o dimensione 1) Se ( ) Il suo determinnte è ugule ll unico elemento dell mtrice det A= 11

4 Se A = Il suo determinnte è ugule : det A= = (mtrice qudrt di ordine o dimensione 2) Per i determinnti di mtrici di ordine superiore n qulsisi, l regol seguente permette di ricondurre il clcolo determinnti di ordine n-1: Il determinnte di un mtrice è ugule ll somm del prodotto di ciscun elemento di un rig o di un colonn per il suo complemento lgebrico. Ad esempio, sviluppndo sull prim rig bbimo: det A n n = 11 A A A 1!+ ( 1) 1+n 1n A 1n Nel qule A11è il complemento lgebrico di 11, ossi il determinnte dell mtrice qudrt di dimensione n-1 ottenut escludendo l prim rig e l prim colonn. Similmente A12srà il determinnte dell mtrice ottenut escludendo l prim rig e l second colonn, e così vi. Ciscuno di tli elementi v preso con il segno + se l somm degli indici di rig e colonn è un numero pri, con il segno se, vicevers, l somm degli indici è dispri. Così nell esempio indicto sopr il primo termine A è positivo perché l somm degli indici (1+1) è pri, mentre il secondo 12 A12 è negtivo perché 1+2= è dispri. A, moltiplicndo per -1 Lo stesso risultto si può ottenere come indicto per l ultimo termine, 1n 1n 1 elevto l somm degli indici, nell esempio + ( 1) + n, che vle -1 se 1+n è dispri, e +1 se 1+n è pri. Esempio: A = Sviluppndo sull terz rig bbimo: det A = 1 2 = ( 1) 0 + ( 1) 1 + ( 1) = = 0(2 2) 1( 2 6) + (1 + ) = = 20

5 Soluzione di un sistem di n equzioni in n incognite: Il teorem di Crmer ci ssicur che: un sistem con lo stesso numero di equzioni e di incognite mmette soluzione unic se e solo se l mtrice dei coefficienti delle vribili h determinnte diverso d zero. Quindi considerto un sistem del tipo:! 11 x x x +!+ 1n x n = b 1 21 x x x +!+ 2n x n = b " 2! $ n1 x 1 + n2 x 2 + n x +!+ nn x n = b n Esso vrà un sol soluzione se e soltnto se: 11 12! 1n 21 22! 2n! "! n1 n2! nn 0 L regol di Crmer ci permette di clcolrne l soluzione: Il vlore dell soluzione per ciscun vribile è ottenut ponendo l denomintore il determinnte dell l mtrice dei coefficienti delle vribili, e l numertore il determinnte dell stess mtrice modifict sostituendo l colonn dei coefficienti dell vribile ricerct con l colonn dei termini noti, ovvero, per il sistem generico precedente, l prim vribile è dt d: b 1 12! 1n x 1 = b 2 22! 2n " " b n n2! nn 11 12! 1n 21 22! 2n " " n1 n2! nn Esempio: risolvimo il sistem: x y+ 2z = 5 x+ y 2z = 1 y + z = 11 L mtrice dei coefficienti è

6 A = Il suo determinnte: det A = 1 2 = Il teorem di Crmer ci ssicur che il sistem h soluzione unic. L regol di Crmer ci indic l soluzione: ( 1) x = = = = y = = = = ( 1) z = = = = L soluzione del sistem srà quindi: x = 1; y = 2; z =

7 Crtteristic di un mtrice Dt un mtrice generic A, di n righe per m colonne, chimimo minore di ordine k di A il determinnte di un qulsisi mtrice di k righe per k colonne estrtt dll mtrice A prendendo ordintmente gli elementi delle qulsisi k righe e k colonne. Esempio: dt l mtrice A = I minori di ordine due sono tre: 1 1 = = = 2 L Crtteristic di un mtrice è l dimensione del mssimo minore non nullo dell mtrice Dto che il teorem di Crmer si pplic soltnto sistemi con lo stesso numero di equzioni e incognite, qundo il numero di equzioni è diverso dl numero di incognite o qundo il determinnte dell mtrice dei coefficienti è ugule zero si può pplicre il seguente Teorem di Rouchè-Cpelli Un sistem di n equzioni in m incognite mmette soluzione se l mtrice incomplet e l mtrice complet hnno l stess crtteristic Come evidente dll enuncito, non ci sono vincoli sul numero di equzioni e incognite, m solo sull crtteristic delle mtrici incomplet (coefficienti delle vribili) e complet (coefficienti dell vribili più l colonn dei termini noti). Esempio: x 2y = 1 2x + y = 5 2x + y = 2 L mtrice incomplet è L cui crtteristic è 2 dto che lmeno il minore L mtrice complet è 1 2 = 0

8 Il cui unico minore di ordine è ugule zero = ( 2 ) = ( ) + 2( +10) +1( 8+ 2) = 0 = Lo stesso minore considerto per l mtrice incomplet 1 2 = 0 è nche minore dell mtrice complet, pertnto nche l mtrice complet vrà crtteristic 2. Quindi, per il teorem di Rouchè-Cpelli il sistem mmette soluzione. Per trovre l soluzione ricordimo che il determinnte di un mtrice qudrt è ugule zero se lmeno un rig o un colonn sono combinzione linere delle restnti (nell esempio precedente l terz rig è ottenut sommndo l second rig ll prim moltiplict per -2). In questo cso, visto che il minore di ordine 2 non nullo è ottenuto escludendo l terz rig dll mtrice incomplet, possimo trlscire l terz equzione e risolvere il sistem restnte con l regol di Crmer (sppimo già che l mtrice incomplet h determinnte diverso d zero). x 2y = 1 2x + y = x = = = y = = = 1 2 Possimo verificre che le soluzioni trovte soddisfno nche l terz equzione: = = 2 Riepilogo: 1) il sistem h lo stesso numero di equzioni e di incognite. L mtrice incomplet h determinnte diverso d zero: il sistem (per il teorem di Crmer) mmette soluzione unic ottenibile ttrverso l ppliczione dell regol di Crmer b. L mtrice incomplet h determinnte ugule d zero: pplichimo il teorem di Rouchè-Cpelli, se è verificto (l mtrice incomplet e complet hnno l stess crtteristic) il sistem mmette infinite soluzioni, ottenibili prendendo riferimento il minore non nullo che ci h permesso di determinre l crtteristic

9 dell mtrice incomplet, trlscindo le equzioni (righe) che non ne fnno prte, e portndo destr le vribili (colonne) che non fnno prte dello stesso minore. c. L mtrice incomplet h determinnte ugule zero, l mtrice incomplet e l mtrice complet hnno crtteristic divers: il sistem è incomptibile. 2) Il sistem h più equzioni che incognite:. l mtrice incomplet e complet hnno l stess crtteristic: il sistem mmette soluzioni, ottenibili prendendo riferimento il minore non nullo che ci h permesso di determinre l crtteristic dell mtrice incomplet, trlscindo le equzioni (righe) che non ne fnno prte (eventulmente portndo destr le vribili che non fnno prte dello stesso minore). b. l mtrice incomplet e complet hnno l stess crtteristic divers: il sistem è incomptibile ) Il sistem h più incognite che equzioni:. l mtrice incomplet e complet hnno l stess crtteristic: il sistem mmette infinite soluzioni, ottenibili portndo destr (e trttndole come prte del termine noto) le vribili che non fnno prte del minore dell mtrice incomplet che ci h permesso di determinre l crtteristic. Le soluzioni srnno quindi funzione delle vribili portte destr. b. l mtrice incomplet e complet hnno l stess crtteristic divers: il sistem è incomptibile Esercizio: Determinre per quli vlori del prmetro k il sistem seguente mmette soluzione e determinrne l soluzione. x y+ z = 0 2x y+ kz = k x y + 2z = Risoluzione: Il sistem h lo stesso numero di equzioni e di incognite; pplicndo il teorem di Crmer ottenimo l seguente condizione: il sistem mmette soluzione unic se e solo se k ovvero, dto che k = k 1 2 se k In tle cso vremo k 1 k x = 1 2 k = = k 2 1 k 1 2 e, similmente y = 2; z = 1

10 Se invece k = vremo: x y+ z = 0 2x y+ z = x y + 2z = ; con = E tutti i minori di ordine estribili dll mtrice complet (escludendo l prim o l second o l terz colonn) uguli zero. Essendo 1 1 = si l mtrice incomplet che l mtrice complet vrnno crtteristic 2. Quindi per il teorem di Rouchè Cpelli il sistem mmette soluzione. Trlscindo l terz rig (equzione) vremo: x y = z 2x y = z D cui ricvimo x = z 1 z =! z + " z $ % = 1 z + z = z + y = 1 z 2 z = z + 2z 1 z +8z = = 5z + L verific dell correttezz dell soluzione può essere ftt fcilmente sostituendo i vlori trovti nel sistem inizile e verificndo l tenut dell uguglinz: " z + 5z + $ = z $ 2 z + 5z + = % $ z

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