Solutori per le equazioni di Navier-Stokes in un ambiente di calcolo ad oggetti per le equazioni differenziali

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1 Università degli Studi di Roma Tor Vergata Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria dei Modelli e dei Sistemi Tesi di Laurea Solutori per le equazioni di Navier-Stokes in un ambiente di calcolo ad oggetti per le equazioni differenziali Laureando Daniele Paoli Relatore Prof. Ing. Giuseppe Tomassetti Correlatore Prof. Ing. Salvatore Filippone A.A

2 Indice 1 Introduzione La Meccanica del Continuo NEMO, un codice per CCM Motivazioni per un nuovo codice Principali caratteristiche Obbietivi e contributo personale Struttura del lavoro NEMO La programmazione O-O Interfaccia vs implementazione Procedurale vs OO NEMO e le PSBLAS Partizionamento e riordinamento Partizionamento Riordinamento La gestione della mesh Pde solver: high level interface Le equazioni di Navier-Stokes e gli algoritmi risolutivi Le equazioni

3 INDICE i 3.2 La correzione della pressione Un semplice schema esplicito Un semplice schema implicito Implicit Pressure-Correction Methods SIMPLE PISO L approssimazione di Rhie-Chow Correzioni di non ortogonalità Le implementazioni in NEMO Le classi field e pde La struttura dei files sorgenti Le equazioni del momento Le equazioni di correzione della pressione Test e risultati Lid-driven cavity Costruzione cavity: la mesh e le condizioni al bordo Test SIMPLE test PISO Il canale di Poiseuille Costruzione canale: la mesh e le condizioni al bordo test SIMPLE test PISO Non orth lid-driven cavity Cavity a gradi alpha : la costruzione della mesh test SIMPLE Conclusioni 88

4 Capitolo 1 Introduzione La fisica dei continui è descritta per mezzo di equazioni differenziali alle derivate parziali (P DEs), che vengono risolte attraverso diversi algoritmi, usando metodi numerici. Il presente lavoro di tesi si propone di contribuire allo sviluppo di NEMO (Numerical Engine per Multiphysics Operators), un nuovo pacchetto software progettato per la risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali mediante il metodo dei volumi finiti, in grado di girare in parallelo su computer a memoria distribuita. Al fine di realizzare un codice interdisciplinare (multiphysics code), capace di risolvere PDEs che regolano diversi fenomeni di meccanica dei continui (ad esempio il trasferimento di calore, la fluidodinamica, ecc.) e la loro interazione (ad esempio, interazione fluido-struttura, magneto-fluidodinamica, ecc.), è stato seguito un innovativo approccio object-oriented. Questo si basa sulla definizione di classi, che rappresentano i diversi elementi costitutivi di un problema di PDE (ad esempio PDE, Field, Mesh, Boundary Conditions, ecc.), e di operatori differenziali, procedure numeriche che nascondono, dietro la loro interfaccia, gli schemi di discretizzazione e la

5 1.1 La Meccanica del Continuo 2 specifica implementazione del prescelto metodo ai volumi finiti. Il codice è scritto in Fortran 95; questo linguaggio supporta le caratteristiche fondamentali della progettazione orientata agli oggetti, come data hiding, incapsulamento, polimorfismo, e garantisce generalmente una buona efficienza del codice prodotto ed un interfacciamento naturale con altre applicazioni. Il software utilizza il metodo dei volumi finiti per l integrazione delle equazioni alle derivate parziali, e si basa su un approccio co-located, con incognite del problema posizionate a centro cella, e supporta mesh ibride, con celle poligonali (2D) e poliedriche (3D) del tutto generiche, per poter affrontare le complesse geometrie che tipicamente si incontrano in applicazioni ingegneristiche. Particolare cura è stata dedicata al rendimento complessivo computazionale, grazie all integrazione con le librerie P SBLAS, che implementano un set di precondizionatori altamente efficienti e di metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari con grandi matrici sparse, seguendo il message-passing paradigm. 1.1 La Meccanica del Continuo Un continuo è una quantità di materia la cui fisica può essere indagata ignorando le discontinuità a livello microscopico legate alla struttura e ai moti delle molecole. Quando si studia un liquido o un solido ipotizzando che sia un continuo, si descrive il suo comportamento in termini di proprietà macroscopiche, come la velocità, la pressione, la densità, la temperatura e le loro derivate spaziali e temporali. Queste possono essere pensate come medie su un sufficientemente grande numero di molecole. Un punto in un continuo è allora la più piccolo elemento di materia le cui proprietà macroscopiche non sono influenzate dalle singole molecole.

6 1.1 La Meccanica del Continuo 3 La Computational Continuum Mechanics (CCM) è la scienza che studia i continui mediante simulazioni numeriche. Essa comprende, tra gli altri, la Computational Fluid Dynamics (CFD) e la Computational Solid Mechanics (CSM), la prima relativa alla stima dei campi di flusso, la seconda alla valutazione delle tensioni e delle deformazioni che agiscono sui corpi deformabili. Quando si è di fronte a un problema di CCM il primo passo da affrontare è la modellazione matematica del problema fisico di interesse. Le Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali (PDEs) sono gli evidenti strumenti matematici necessari per la modellazione dell equilibrio o dell evoluzione nello spazio e nel tempo di un sistema continuo. Inoltre è facile vedere che anche fenomeni diversi, come ad esempio quelli di fluido dinamica e quelli strutturali, possono essere classificati in maniera uniforme, grazie alle analogie nelle equazioni alle derivate parziali che li governano. Una volta che un fenomeno fisico è stato matematicamente descritto mediante una PDE, si deve applicare un metodo specifico, al fine di trovare una soluzione numerica di tale problema. Finora sono stati sviluppati molti metodi, ciascuno con le sue peculiarità e campi di applicazione preferiti. Tra i più importanti citiamo: Metodo delle Differenze Finite (FDM); Metodo degli Elementi Finiti (FEM); Metodo dei Volumi Finiti (FVM) ; Metodi SpettraliSpectral Methods. Come spiegato da Versteeg e Malalasekera (1995), la linea guida comune a tutti questi metodi percorre tre tappe fondamentali:

7 1.1 La Meccanica del Continuo 4 1. approssimazione delle variabili incognite per mezzo di funzioni semplici; 2. discretizzazione delle equazioni di governo attraverso la sostituzione delle approssimazioni e successive manipolazioni matematiche; 3. soluzione delle equazioni algebriche derivate nel passaggio precedente. Le principali differenze tra i quattro schemi di cui sopra sono relative al modo in cui le variabili vengono approssimate nel processo di discretizzazione. Con particolare riferimento al volume finiti metodo, il più importante tra quelli applicati in CFD e utilizzato in NEMO, possiamo riconoscere le seguenti operazioni: - integrazione formale delle PDEs che governano tutti i volumi di controllo (CV) in cui il dominio di soluzione è stato suddiviso; - possibile applicazione del teorema di Gauss per la conversione di integrali di volume in integrali di superficie; - discretizzazione nelle equazioni integrali dei termini che rappresentano i processi di flusso, come la convezione, la diffusione e le sorgenti, per mezzo di una tra le possibili approssimazioni alle differenze finite. Questo trasforma le equazioni integrali in un sistema di equazioni algebriche; - soluzione delle equazioni algebriche per mezzo di un metodo iterativo; l algoritmo principale include la soluzione di un sistema lineare con matrice dei coefficienti generalmente sparsa. In sintesi, il processo di modellazione di un fenomeno fisico e la sua risoluzione per mezzo di uno dei metodi di cui sopra, può essere rappresentato dalla seguente sequenza di problemi:

8 1.2 NEMO, un codice per CCM 5 1. Problema fisico: un fenomeno di interesse per uno scienziato o un ingegnere. Nel nostro caso riguarda il cambiamento di dello stato dei continui. 2. Problema matematico: la modellazione mediante PDE con adeguate condizioni iniziali e al contorno. 3. Problema Numerico: l applicazione del metodo che trasforma le PDEs in equazioni algebriche, vale a dire FDM, FEM, FVM, ecc. 4. Problema di programmazione: l implementazione del prescelto metodo numerico, seguendo uno specifico paradigma (in serie o in parallelo, procedurale o object-oriented), con un adeguato linguaggio adeguato di programmazione (C, C++, Fortran 95, ecc.) 1.2 NEMO, un codice per CCM Motivazioni per un nuovo codice In origine questo progetto era nato con l obiettivo di sviluppare un codice parallelo per la CFD in grado di essere utilizzato per simulazioni complesse come quelle relative ai motori a combustione interna. L obiettivo era di sviluppare un codice : - estremamente efficiente, grazie ad una struttura parallela adatta per girare sui sistemi a memoria distribuita; - scritto in Fortran 95; - che implementasse molti dei migliori algoritmi di CFD disponibili in letteratura.

9 1.2 NEMO, un codice per CCM 6 Negli ultimi anni l esperienza con vari strumenti di programmazione, tra cui OpenFOAM, ha dimostrato che l utilizzo di tecniche object-oriented può portare a vantaggi significativi nello sviluppo di applicazioni su larga scala. Si è quindi pensato di sviluppare un nuovo codice progettato con tecniche ad oggetti, basato su Fortran 95 e sulle librerie di supporto PSBLAS; per coniugare efficienza paralleliusmo e mantenibilita- il suo nome è NEMO e sta per Numerical Engine for Multiphysics Operators Principali caratteristiche Nel resto del capitolo descriveremo le principali caratteristiche del codice, che qui riassumiamo brevemente: - è un framework object-oriented per la soluzione di PDEs nell ambito di CCM; - scritto in standard Fortran 95; - approccio ai volumi finiti; - supporta meshes ibride con celle poliedriche del tutto generiche; - approccio co-located (cell-centered); - è dotato di schemi di discretizzazione con un accuratezza del secondo ordine; - lavora in parallelo seguendo il message-passing paradigm; - utilizza un efficiente set di precondizionatori e risolutori paralleli; - notevole portabilità su piattaforme Unix-like.

10 1.3 Obbietivi e contributo personale Obbietivi e contributo personale Questo lavoro di tesi mira a contribuire allo sviluppo di NEMO, un pacchetto software in via di sviluppo per la risoluzione di problemi di CCM. L obbiettivo primario è realizzare un programma capace di risolvere problemi di CCM accoppiati, che coinvolgono l interazione di due o più fenomeni differenti, come la dinamica dei fluidi e trasferimento di calore. Per far questo è necessario che il codice riesca a gestire più equazioni differenziali nello stesso momento. All inizio del lavoro di tesi il codice NEMO era in uno stadio prototipale in cui era possibile gestire separatamente equazioni scalari e vettoriali; infatti è stato già utilizzato con successo per: 1. la simulazione di anomalie di pressione in fluidi (ingranaggi in olio); 2. l ottimizzazione di mesh (modellizzata come equazione differenziale nel campo vettoriale che descrive le posizioni dei nodi). Obiettivo del lavoro di tesi è stato impostare l accoppiamento tra equazioni scalari e vettoriali necessario alla soluzione delle equazioni di Navier Stokes; si è cominciato affrontando il caso semplice di fluido incomprimibile in regime laminare. In particolare, si è scelto di implementare due metodi iterativi, noti in letteratura e implementati in molti codici di fluidodinamica, facenti parte della famiglia dei projection methods: SIMPLE e PISO. Il funzionamento, l accuratezza ed efficienza di tali algoritmi sono stati testati in tre differenti situazioni bidimensionali in cui vengono analizzati fluidi incomprimibili in regime laminare: - lid-driven cavity: un quadrato in cui il flusso viene generato da una delle quattro pareti che scorre parallelamente a se stessa;

11 1.4 Struttura del lavoro 8 - il canale di Poiseuille: un tubo circolare lungo, rigido e privo di anse in cui si anzlizza un flusso stazionario generato da una differenza di pressione alle estremità del canale; - non orthogonal lid-driven cavity: l angolo tra le pareti differisce da 90. I risultati ottenuti nei primi due tests sono più che soddisfacenti e testimoniano un perfetto funzionamento di entrambi gli algoritmi. Le correzioni apportate ai codici per supportare griglie non ortogonali, invece, funzionano in maniera efficiente solo per determinati angoli. La rifinitura di queste correzioni rappresenta sicuramente il primo passo da compiere per ottenere un solutore completo ed affidabile per lo studio di problemi di fluidodinamica. 1.4 Struttura del lavoro Questo lavoro di tesi è strutturata nel seguente modo. Ogni capitolo è introdotto da una piccola panoramica dei suoi contenuti. CAPITOLO 1 - Introduzione preliminare alla Computational Continuum Mechanics e a Nemo, codice parallelo Object-Oriented per CCM scritto in Fortran 95. Il capitolo si conclude con gli obbiettivi della tesi e il contributo personale apportato allo sviluppo del software. CAPITOLO 2 - NEMO: descrizione del software. CAPITOLO 3 - Descrizione delle equazioni di Navier-Stokes, dei metodi impliciti che usualmente vengono utilizzati per risolverle numericamente. Descrizione di SIMPLE e PISO, dalle idee base alle implementazioni in NEMO.

12 1.4 Struttura del lavoro 9 CAPITOLO 4 - Descrizione di tests per gli algoritmi di SIMPLE e PISO e risultati ottenuti. CAPITOLO 5 - Conclusioni, stato corrente e sviluppi futuri.

13 Capitolo 2 NEMO In questo capitolo viene brevemente descritta la struttura di NEMO. Considereremo in primo luogo l approccio Object-oriented per un software per CCM e come viene eseguito in NEMO. Passeremo, successivamente, a descrivere alcune delle caratteristiche del software, nell ordine: il rapporto con le librerie PSBLAS, che rappresentano il kernel numerico del codice; le strategie di partizionamento per l assegnazione dei dati a diversi processori che lavorano in parallelo e gli algoritmi di riordinamento per la riduzione della larghezza di banda della matrice sparsa associata alla mesh computazionale; la gestione della mesh. Analizzeremo infine il modo in cui il codice svolge il suo compito principale: la risoluzione delle PDEs algebriche. Per un lettore interessato, una descrizione più dettagliata può essere trovata in Toninel [5].

14 2.1 La programmazione O-O La programmazione O-O Interfaccia vs implementazione Prendiamo in considerazione la progettazione di un nuovo codice CCM per la risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali applicate ai continui, non limitato al campo della CFD, ma adatto anche, per esempio, all analisi strutturale. Una delle prime cose di cui gli sviluppatori dovrebbero essere consapevoli è che ci sono due livelli completamente diversi di interesse: 1. il livello dell utente; 2. il livello dello sviluppatore. L utente vorrà avere la possibilità di risolvere una qualsiasi PDE semplicemente o costruendo l equazione che governa un particolare problema attraverso strumenti di programmazione a livello alto, che potrebbero riprodurre la sequenza di operatori differenziali applicati a determinati campi, come scritto nella stessa PDE. Lo sviluppatore dovrebbe invece aver cura che dietro un interfaccia userfriendly, il codice consista di un implementazione modulare del prescelto metodo risolutivo, possibilmente nascondendo ogni dettaglio in qualche modo collegato allo specifico schema di discretizzazione o algoritmo in uso. Questo approccio, cioè la separazione dell interfaccia dall implementazione porta molti vantaggi: - l utente non deve preoccuparsi di troppi dettagli di implementazione; - se l applicazione è completamente trasparente all utente, e le interfacce ri-

15 2.1 La programmazione O-O 12 mangono immutate, lo sviluppatore può applicare qualsiasi modifica al codice sorgente, senza alterare le applicazioni dell utente; - a seconda del caso specifico, sarebbe possibile applicare di volta in volta il miglior metodo numerico disponibile (ad esempio i volumi finiti per la CFD, elementi finiti per la CSM), utilizzando sempre la stessa interfaccia. Questa separazione riflette anche il modo in cui vengono risolte le PDEs in un codice CCM: c è una corrispondenza 1-1 tra ogni operatore differenziale applicato ad una variabile e il contributo di questo termine nell equazione algebrica che deriva dalla discretizzazione della PDE. La linea di confine tra gli operatori differenziali (nella PDE) e le equazioni algebriche (nel metodo numerico) dovrebbe corrispondere alla separazione tra gli strati dell utente e dello sviluppatore, così come tra interfaccia e implementazione Procedurale vs OO Le applicazioni classiche di CFD si basano su un approccio procedurale, che consiste in una cascata di chiamate a procedure dedite ad uno specifico task. Il vantaggio principale di questo tipo di programmazione consiste nello sviluppo di applicazioni che riproducono il diagramma di flusso dell algoritmo prescelto e le sue formule di soluzione. Inoltre, un applicazione procedurale si suppone essere progettata per un attività specifica e dovrebbe quindi essere ottimizzata per tale obiettivo. La modularità e la riutilizzabilità sono di poco interesse in un programma procedurale, perché spesso è più facile e veloce, per una diversa applicazione, sviluppare un nuovo codice a partire da zero. Oggi il paradigma più popolare nel campo della moderna ingegneria del software (SE) è la programmazione orientata a oggetti (OOP), basata sul

16 2.1 La programmazione O-O 13 concetto di classe. In questo contesto una classe è un costrutto di un linguaggio di programmazione usato come modello per creare oggetti. Il modello comprende attributi e metodi che saranno condivisi da tutti gli oggetti creati. Una classe è l astrazione di un concetto implementata in un programma per computer. Fondamentalmente essa definisce al proprio interno lo stato ed il comportamento dell entità di cui è rappresentazione. I dati che descrivono lo stato sono memorizzati nelle variabili membro, mentre il comportamento è descritto da blocchi di codice riutilizzabile chiamati metodi. Con particolare riferimento alla soluzione di PDEs in CCM, si potrebbe pensare ad una Pde come una classe, che interagisce con oggetti della classe Field, modellando il comportamento di un continuo, in accordo con le istanze della classe BoundaryCondition. Gli operatori differenziali possono essere implementati come procedure che modificano il contenuto di un oggetto P de, nascondendo, dietro ad un più alto livello di interfaccia, la traslazione nell equazione algebrica discretizzata del corrispondente termine nella PDE. La programmazione procedurale, che caratterizza le applicazioni scientifiche in Fortran 77, è focalizzata sulle azioni, mentre la programmazione orientata a oggetti è incentrata sui dati. Sebbene questa semplificazione potrebbe sembrare troppo forte, è vero che l approccio OO parte dall organizzazione di gruppi di dati, e richiede la definizione di ciò che essi contengono, come possono essere costruiti, distrutti, come si può avere accesso ad essi e come possono essere modificati. In passato, la maggior parte dei programmi di calcolo scientifici veniva realizzata solo attraverso linguaggi di programmazione procedurali, come il Fortran, che ha garantito codici altamente efficienti. Oggi le esigenze sono cambiate e la necessità di sviluppare le applicazioni

17 2.2 NEMO e le PSBLAS 14 multiuso, migliorando la riutilizzabilità e la flessibilità dei codici, richiede l impiego dell OOP anche nel calcolo ad alte prestazioni. Tuttavia, c è da fare una considerazione, che parzialmente ridimensiona le capacità solitamente attribuite alla programmazione OO. L OOP non è la soluzione ad ogni tipo di applicazione numerica; inoltre il guadagno in termini di flessibilità ha un proprio prezzo da pagare in termini di prestazione pura. Questo è il motivo per cui un buon sviluppatore dovrebbe differenziare le aree del suo codice dove si può usare la programmazione a oggetti e dove, invece, è meglio dare la priorità all efficienza computazionale utilizzando un approccio procedurale. 2.2 NEMO e le PSBLAS Come anticipato all inizio del capitolo, NEMO è stato progettato per l esecuzione in parallelo su sistemi a memoria distribuita, secondo il message passing paradigm. Questa soluzione garantisce la portabilità su una vasta gamma di macchine. L applicazione del metodo dei volumi finiti porta alla discretizzazione delle PDEs. Se le risultanti equazioni algebriche vengono scritte in forma implicita per ogni nodo computazionale della mesh, quello che bisogna fare è risolvere un sistema lineare del tipo Ax = b, con A matrice sparsa. Per risolvere tale sistema i metodi diretti non sono appropriati. Bisogna ricorrere a metodi iterativi, la cui parallelizzazione richiede grande sforzo. In NEMO questo compito è assegnato alle librerie P SBLAS (P arallel Sparse Basic Linear Algebra Subprograms), sviluppate da Filippone e Colajanni [2].

18 2.3 Partizionamento e riordinamento 15 Queste librerie forniscono un framework per consentire implementazioni di solutori iterativi per sistemi lineari, nascondendo all utente la maggior parte della loro parallelizzazione. In particolare, le PSBLAS forniscono un ampio set di precondizionatori molto efficienti e di metodi iterativi non-stazionari del sottospazio di Krylov. Per fornire gli elementi costitutivi di questi algoritmi complessi e di alto livello, è stata utilizzata un applicazione parallela delle BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms). I precondizionatori e i metodi iterativi vengono invocati chiamando singole subroutines in maniera completamente trasparente all utente. Sarebbe impossibile separare il kernel numerico di NEMO dalle PSBLAS, perché NEMO è disegnato intorno alle PSBLAS. Ad esempio, il modo in cui le PSBLAS gestiscono gli halos, cioè i buffers al bordo numerico di un processo, che svolgono un ruolo chiave per la soluzione parallela di un sistema lineare, influenza la strategia per l immagazzinamento di dati locali, relativi alla geometria e topologia della meshes. In sintesi, l attuale struttura di NEMO non esisterebbe senza le PSBLAS. 2.3 Partizionamento e riordinamento Partizionamento In ogni applicazione che lavora in parallelo, è di fondamentale importanza la strategia secondo cui si assegnano i dati da elaborare ai differenti processi. Questo partizionamento deve soddisfare due richieste: - bilanciare il piú possibile il numero di operazioni svolte da ogni processo; - minimizzare il numero di informazioni che devono scambiarsi i processi.

19 2.3 Partizionamento e riordinamento 16 Nelle PSBLAS il criterio di assegnamento dei dati ai differenti processi è basato sulla corrispondenza tra il grafo di adiacenza della mesh di discretizzazione e lo sparsity pattern della matrice dei coefficienti del sistema lineare Ax = b che deve essere risolto. Ripartire i dati nei differenti processi equivale a ripartire le equazioni algebriche di tale sistema. Ognuna di queste fa riferimento ad una cella della mesh di discretizzazione. Quindi assegnare dati ai diversi processi equivale ad assegnare celle ai diversi processi, ed il partizionamento risulta una suddivisione dell intero dominio in sottodomini. Se si considera la sequenza di steps computazionali eseguiti nella risoluzione iterativa di un sistema lineare, si ha che l ammontare delle operazioni floatingpoint in ogni processo è proporzionale al numero di celle assegnate al processo stesso, mentre l ammontare di dati che i processi devono scambiarsi è proporzionale al numero di celle che giacciono sul bordo numerico tra due o più processi adiacenti. In altre parole, il carico computazionale è proporzionale al volume di ogni sottodominio, mentre la comunicazione è proporzionale alla superficie di contatto tra i vari sottodomini. La scelta ottima per l allocazione dei dati quindi è equivalente al problema del partizionamento di un grafo, ossia al problema di assegnare i nodi di un grafo a distinti subsets (che non si intersecano tra di loro) in modo tale che: - l assegnamento dei nodi ai vari sottodomini sia omogeneo e ben bilanciato; - il numero di archi che connettono nodi in differenti subsets, attraversando la loro superficie di contatto, sia minimo. Il problema appena descritto è NP Complete: appartiene cioè a quella classe di problemi per cui non si puó, in generale, trovare una soluzione ottima.

20 2.3 Partizionamento e riordinamento 17 Bisogna quindi usare una strategia euristica per trovare un giusto compromesso tra il tempo necessario per trovare una soluzione e la qualità della stessa. La caratteristica principale del progetto PSBLAS è quella di lasciare l utente libero di scegliere liberamante la strategia di partizionamento del dominio di simulazione. Questo perchè le strategie di partizionamento possono essere molto diverse tra di loro, e sarebbe stato quindi troppo restrittivo, nella definizione del protocollo delle PSBLAS, forzare l utente ad adottarne una specifica. Il partizionamento a blocchi Un primo tipo di decomposizione dei dati è il partizionamento a blocchi, che si basa semplicemente sulla grandezza dello spazio degli indici del vettore di stato x e sul numero di processi paralleli disponibili; lo sparsity pattern della matrice dei coefficienti viene completamente trascurato. Se np è il numero dei processi disponibili, lo spazio degli indici i 1...N viene splittato in np blocchi composti di indici contigui. i i/l L = N/np Come mostrato in Fig. (2.1), il criterio di bilanciamento dei carichi consiste essenzialmente nel creare blocchi più omogenei possibili; essendo una suddivisione molto semplice e diretta, non assicura efficienza perchè non considera minimamente la topologia di discretizzazione della mesh. Buoni risultati possono essere ottenuti quindi nel caso di meshes strutturate, come mostrato in Fig (2.2); viceversa è chiaro che se la numerazione è irregolare, come in Fig.

21 2.3 Partizionamento e riordinamento 18 Figura 2.1: Partizionamento a blocchi in 3 subsets di un vettore di 8 elementi. (2.3), si ottiene un effetto a scacchiera, che per quanto detto è l opposto di ciò che si desidera. Metis e Parmetis Quando si ha a che fare con meshes complesse, non strutturate, è necessaria una decomposizione dei dati basata su tecniche più complesse, come gli algoritmi di graph partitioning. Come abbiamo accennato in precedenza, c è una corrispondenza 1-1 tra lo sparsity pattern della matrice dei coefficienti del sistema lineare derivante dalla discretizzazione di una PDE, A, e la mesh di discretizzazione; con riferimento al metodo dei volumi finiti, si può costruire un grafo di adiacenza a partire dalla mesh associando un nodo ad ogni volume di controllo e collegando tramite un arco ogni coppia di nodi, diciamo N1 e N2, tali che l equazione di bilancio per N1 contiene anche la variabile incognita in N2.

22 2.3 Partizionamento e riordinamento 19 Figura 2.2: Partizionamento a blocchi in 4 subsets di una mesh strutturata. Figura 2.3: Partizionamento a blocchi in 4 subsets di una mesh non strutturata.

23 2.3 Partizionamento e riordinamento 20 I coefficienti non nulli a ij corrispondono al contributo della variabile immagazzinata nel nodo j al bilancio espresso dalla PDE discretizzata scritta per il nodo i. E quindi chiaro che il grafo di adiacenza così costruito coincide esattamente con lo sparsity pattern di A. Per questo motivo è più che ragionevole usare un algoritmo di graph partitioning per risolvere il problema della decomposizione dei dati. Al momento, uno dei tools più utilizzati a tal proposito è il pacchetto METIS, sviluppato da Karypis e Kumar (1998). Seguendo il processo di decomposizione schematizzato in Fig.(2.4), METIS riesce a dominare la complessità del grafo di adiacenza riducendo drasticamente le superfici di comunicazione rispetto alla decomposizione a blocchi, come mostrato dalle figure (2.5) e (2.6).

24 2.3 Partizionamento e riordinamento 21 Figura 2.4: Schema di partizionamento di un grafo attraverso il software METIS NEMO supporta ParMETIS (ParallelMETIS), un tool di partizionamento della famiglia METIS che lavora in parallelo e utilizza le librerie MPI per le attività di comunicazione. ParMetis è più recente e meglio supportato di METIS, e rappresenta quindi la miglior scelta per un complesso framework parallelo multidisciplinare come NEMO.

25 2.3 Partizionamento e riordinamento 22 Figura 2.5: Partizionamento a blocchi di una mesh di un pistone di un motore Diesel. Figura 2.6: Partizionamento con METIS di una mesh di un pistone di un motore Diesel.

26 2.3 Partizionamento e riordinamento Riordinamento La numerazione iniziale delle celle influenza il grafo di adiacenza della mesh, e quindi il pattern della matrice associata A. Nel caso di meshes non strutturate, i generatori commerciali di griglie producono numerazioni molto disordinate, a seconda del particolare algoritmo di meshing utilizzato. Questa situazione può compromettere la performance di tutta l applicazione, qualunque strategia di partizionamento si usi. Nel caso di Metis e Parmetis la qualità finale della decomposizione è fortemente influenzata dalla numerazione iniziale dei nodi, che costituisce il punto di partenza per l algoritmo di graph partitioning. Figura 2.7: Sparsity pattern della Fig.(2.5) In questi casi prima del partizionamento è utile applicare un algoritmo di riordinamento.

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