FUNZIONE CARATTERISTICA DI UN FENOMENO ALEATORIO

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1 B. DE FINETTI (Rma - ItaKa) FUNZIONE CARATTERISTICA DI UN FENOMENO ALEATORIO 1. - Scp di questa cmunicazine è di mstrare cme il metd deka funzine caratteristica ( l ), già csì vantaggisamente intrdtt neka teria deke variabik casuak, si presti pure assai utilmente ak studi dei fenmeni aleatri. Mstrerem quindi, in prim lug, cme si pssa individuare cmpletamente un fenmen aleatri mediante la sua funzine caratteristica, e accennerem pi ake perazini che ne fann un ptente strument di calcl. Un'espsizine cmpleta si trverà in una memria che sarà presentata quant prima aka R. Accademia dei Lincei ( 2 ) Un fenmen di cui si può fare ( quant men si può cncepire) un numer qualunque di prve l direm fenmen aleatri quand l'rdine in cui le prve favrevk e sfavrevk si alternan sia da attribuirsi al cas. Si esige ciè che tutte le L J successini di n prve di cui h favrevk, successini che differiscn tra lr sl per l'rdine, abbian uguale prbabiktà. Questa, in termini precisi, la prprietà caratteristica di quelk che abbiam cnvenut di definire fenmeni aleatri. Sarà bene vedere cn qualche esempi la prtata di tale restrizine, e avere csì un'idea chiara del camp di questa ricerca. Se si ha una mneta un dad, e l si lancia sempre ak stess md, nn ci sarà nessun mtiv, d'indle causale, nemmen se deka perfezine del pezz nn siam sicuri, che pssa influire suk'rdine in cui si alternan le prve favrevk e sfavrevk: l'rdine sarà dvut al cas, e si ha quindi un fenmen aleatri, secnd la data definizine. L stess si dica per il prblema della rulette, per le estrazini da un'urna scelta a srte in una cllezine nta, e tutti i casi cnsimik. Se invece si cnsidera una successine di tiri al bersagli di un stess tiratre, la successine deke girnate pivse e nn pivse, deke girnate in cui il signre di rimpett si rade la barba, tale cndizine nn si ptrà raginevlmente rite- (*) V. i Trattati di Calcl delle Prbabilità di G. CASTELNUOVO e di P. LéVY. ( 2 ) Memrie della R. Aee. Naz. dei Lincei, S. 6 a, vi. IV, fase. V.

2 180 COMUNICAZIONI nere verificata, perchè nel prim cas si può prevedere dapprima un prgressiv addestrament del tiratre, e pi il spravvenire della stanchezza, ciò che rende prbabüe un addensament deke prve favrevk nel perid di frma migkre, perchè i girni pivsi sarann riuniti in peridi di pivsità più men lunghi, senza parlare pi deka peridicità staginale, e perchè il signre di rimpett si raderà sempre a intervalk più men reglari. Per decidere, in pratica, se un cert fenmen si pssa cnsiderare fenmen aleatri, ppure n, basta pensare se un'eventuale reglarità altra singlarità riscntrata nek'rdine della successine si attribuirebbe al cas (e akra si ha un fenmen aleatri) si ptrebbe ritenere dvuta a qualche circstanza cnnessa al fenmen, in md da far pensare che anche in un'altra uguale serie di prve sia prbabile si rinnvi Se di un cert fenmen aleatri si fann n prve, il numer di queke che risultan favrevli è vviamente una variabile casuale x n capace di assumere sltant i valri 0, 1,..., n ; se indichiam wf/f la prbabilità che il fenmen cnsiderat si verifichi h vlte su n prve, la variabile casuale x n è caratterizzata dake prbabiktà wf\ c^,..., cty cke quak può assumere i diversi valri pssibik. Nel cas particlare e ben nt in cui il fenmen abbia una prbabiktà cstante p nta a priri, si sa che c^)=( )p h (l p) n ~ h, ma nel cas generale di cui ci ccupiam le œ { /p ptrann essere qualunque (a parte delle limitazini impste dalla natura stessa del prblema, e che trverem in seguit). Un fenmen aleatri ci definirà dunque una successine di variabili casuak Xi, x 2,..., x n,..., che è chiar debban risultare tra lr interdipendenti. Tale interdipendenza si traduce anakticamente in una relazine differenziale ricrrente che lega le lr funzini caratteristiche yj if ip 2,..., ip n,..., e che cstituisce la base di questa ricerca. Si dimstra che al crescere di n la funzine tende unifrmemente in gni regine finita aka funzine intera s ' n n 0 JS i h t h che è queka appunt che si dirà per definizine «funzine caratteristica del fenmen aleatri». Nta la yj si ricavan tutte le \p n e di cnseguenza tutte le c\f, e ciò giustifica bene la denminazine. eit e -m L'integrale da a + deka funzine %p(t) esiste sempre per gni valre di f, ed è uguale rispettivamente a 0 e 2n per f < 0 e f> 1 ; di

3 B. DE FINETTI : Funzine caratteristica di un fenmen aleatri 181 cnseguenza esiste una variabile casuale di cui yj(t) è la funzine caratteristica, la crrispndente funzine di ripartizine è r P u p-w ed è #(!)=0 per <0 e &( ) =! per f>l. Da tak risultati scendn due teremi imprtanti : I. La prbabilità che la frequenza su n prve sia cmpresa entr limiti assegnati fi e 2 tende a <P(f 2 ) <5(fi) al crescere di n; IL La prbabiktà che tutte le frequenze dp Vn m * sian cmprese fra Kmiti assegnati 4 e f 2 tende a Kmd #(f)-kms <5( ) al crescere di w. Perchè, assegnata una ip(t), pssa esistere un fenmen aleatri di cui essa sia funzine caratteristica ccrre e basta che la crrispndente funzine di ripartizine &($) (naturalmente reale e mai decrescente) sia nuka per f<0 e =1 per f>l Espniam succintamente i calck. Tra le c^ dvrà sussistere la relazine (h\ In h\ n-m+k (1) ap-j^wfiz*) perchè I ÏÏ J:( U ) è la prbabiktà che su m prve, prese tra n di cui h favrevk, le favrevk sian Jc, quand tutte le cmbinazini sn ugualmente prbabili. In particlare (per m=n 1): (2) nœ^=(n-k)m^ + (k+l)c^\.i e pnend (3) (*) = 2> V' 0 tutte le (2) per k=0,1,..., n 1 si riassumn neka relazine differenziale ricrrente (4) nq n _i(z)=nq n (z) + (1 -z)dq n (z). Derivand la (4) e ricavandne i valri deke successive derivate per z=l si ha (5) ü n (l+z)^j n h)c^

4 182 COMUNICAZIONI e si trva che Q n [l + -\, quand ^-*, tende unifrmemente a nj (6) ß(l+ 2 ) = 2 Ä < 0^. La funzine caratteristica yj u è (7) Wn(t)=Q n (e% t si dimstra che Q\e u ) tende pure a Q(l + t), e quindi la funzine caratteristica del fenmen aleatri (funzine Kmite cui tende unifrmemente v^(~)) è (8) yj(t) = Q(l+it) Una prima cnseguenza ntevle: cme mstran le (8), (6), per n indefinitamente crescente, il mment m m di, ssia il valr-prbabile-kmite della ptenza m ma deka frequenza per un numer indefinitamente crescente di prve, tende a c\" t '\ ciè al valre della prbabiktà che m prve sian tutte favrevli. Ai teremi enunciati nel 3 si arriva traducend i risultati ttenuti per le funzini caratteristiche in quelli crrispndenti per le funzini di ripartizine: indicand $> n (x) la funzine di ripartizine di x n, si ha (9) lim $ (nf) = #( ). n= L'altr terema, relativ alla prbabilità che tutte le frequenze da un cert n in pi appartengan a un dat intervak, si può cnsiderare cme l'estensine al cas di un qualunque fenmen aleatri del terema relativ alle prve ripetute indipendenti e cn prbabiktà cstante, che è un cas particlare del nt terema di CANTELLI (*). Anche la dimstrazine si può ricndurre a quella del cas trattat da CANTELLI Le (6), (5), (7) prvan chiaramente l'assert che la %p basta a determinare cmpletamente tutte le %p n. Altrettant si ptrà dire della (, perchè da essa si ha i i (10) ip(t) = I e u 'd0=e lt -it j e u t<p(ç)dç d i (11) Q n (l+z) = f(l+zèrd$=(l+z)"-nzf(l+zèy-i (è)dç ó (12) >j?>=(j) />(l-!)-'^=(g [(h-nè)^(l-èr-»~t<p(è)dè. j i (*) F. P. CANTELLI : Sulla prbabilità cme limite della frequenza. Rend. R. Ace. dei Lincei, serie V, vi. XXVI, gennai 1917.

5 B. DE FINETTI: Funzine caratteristica di un fenmen aleatri Cnsideriam due casi di particlare imprtanza, che servirann anche utilmente cme esempi. Nel cas ben nt in cui la prbabiktà di un fenmen è nta a priri e uguale a p,. <*>W=Qp h (i -py-\ c^=p h, Ü n (l+z) = (l+pzy, ß(l + s)=km (l+ p^] l =e^, anche direttamente (daka (7)) w(t)==,e^\... ^-^ i^t y>(t) = 2j h P h YT =eipt > ( )= > Vs, 1, a secnda che Ç<p, =p, >p. Al crescere di n la prbabilità che la frequenza sia cmpresa in un intrn p + s di p tende ah"unità; inversamente da tale iptesi scende che yj(t) = e ipt, e ciè che il fenmen ha prbabilità cstante e uguale a p in tutte le prve. Cme casi particlari, per p=0, p = l, si ha yj(t) = l, %p(t) = e u. Nel cas in cui tutte le frequenze sian ugualmente prbabili si avrà e*'("+ 1 ) VM-W+Ï' 1-e" ' fi(l+0)=lim 1 n > n + 1 z n #»<*) = ^ (A=0,1,..., n), <P(tf=lim <& <«) «. n *i~ - 1 «=00 Al crescere di n la prbabiktà che la frequenza sia cmpresa in un intervall L, 2 tende a 2 4 ; inversamente da tale iptesi scende i y J (t)=fe it tdè= it <W = ' n + 1' e il fenmen ha quindi ugualmente prbabili tutte le diverse frequenze su n prve Passiam alle perazini suke funzini caratteristiche. Cme sservazine generale pssiam dire che tutte le perazini che incntrerem sn distributive, a men (ve ccrra) di un fattre mltipkcativ che fa assumere il valre 1 aka tp(t) per =0, cme necessariamente deve aversi.

6 184 COMUNICAZIONI Intrducend l'peratre U: Uf(t) = f(0) pssiam dire che le perazini che ci si presenterann sn prdtti del tip TIF cn F distributiva. Piché la funzine di ripartizine ^(f) è funzine lineare biunivca deka funzine caratteristica ip(t), ad gni perazine distributiva sulla xp crrispnderà la trasfrmata che pera su 0. Due perazini utili per semplificare le ntazini sn F n (leggere: «plinmi ennesim») che applicat a ip prduce Q n (*), e prduce a) ( / t '\ Si pssn definire in generale pnend : se (13) 00 m h p -A=s*(;)«fc =s*( i +«)* n ' n Si sservi in particlare che f=a n, e che la ip n (f) è J* n ip(e u 1). che appkcat a ip 9. - Sia ip(t) la funzine caratteristica di un cert fenmen aleatri. La funzine caratteristica del fenmen cntrari è (14) Kyj(t) = e u yj(-t). Infatti dire che su n prve queke favrevli sn h, equivale a dire che sn n h quelle favrevli all'event cntrari, ciò che si esprime <15) e dà (scrivend aj i " ) = y): K= n h n Pjr V (*-l)-a>ir ) + >S Ì l «+... +ca< M) s»= = 2» j <»<"> +<>ì+... +<' i J = ^P vç-l), P n Ky(e ü -1)=e""P y (e""" -1) t f.t Kyj(t)=ìim? n Kip{e z»-l)=1ìm {e t "Tlim'P n yj{e~^-l) = e it yj(-t). Essend in particlare K= (16) KyM-l + aftht-awj-, -cfi^ < ) i n ~ + (*) Precisamente la funzine Q n (l+z), nn la Q n {z)-

7 B. DE FINETTI: Funzine caratteristica di un fenmen aleatri 185 Se 0 è la funzine di ripartizine crrispndente a \p, si trva che la funzine di ripartizine K&<!> crrispndente a Kxp è (17) K*$( ) = l-&(!- ) cme era del rest intuitiv : la prbabilità che al Kmite la frequenza d'un event sia inferire afe uguale a queka che la frequenza dell'event cntrari sia superire a 1 f. K è perazine distributiva reversibile invlutria : K(ip' + ip")=ky>, + Kxp", KKy>=y>, K~^=K%p La funzine caratteristica nell'iptesi che la prima prva sia favrevle è (18) Ryj=UDy>, nell'iptesi che la prima prva sia sfavrevle è (19) Sxp=U(i-D)xp, più in generale, dp r prve favrevli ed s sfavrevli diviene (20) R r S 8 ip= Uir^l - D) s yj. La prbabiktà afìp che le prime n prve sian tutte favrevli è infatti uguale al prdtt deka prbabiktà c^ che la prima prva sia favrevle per la prbabiktà che, verificata quest'iptesi, l sian le prime n 1 prve successive, r n jh prbabilità che è Ryj. Il cefficente n m dek svilupp di Ryj è quindi il cefficente (n + l) m, en+i > dek svilupp di yj divis per il prim, e quindi mf=-idip(0), **- ^! «*>+«*> -«* fi «&? % + i - E g g - ^ Per dimstrare che S= U(i D) cnviene partire dak' sservazine che S è vviamente la trasfrmata di R mediante K: S=KRK. DaKa (14) : DKyj(t) = e u [iyj(-t)-dyj(-t)]; KDKyj(t) = e ü le- ü [iyj(t)-i)xp(t)]l==(i-d)yj(t) ; KDK=i-D; e per facili prprietà di U: da cui S=KRK= UKDK= U(i-D), Atti del Cngress. 13

8 186 COMUNICAZIONI Le perazini R ed S sn permutabili: e quindi RJS = SR, Rrß*=S 8 R r =S s *R r *S s *R r K... (si + s =s, r L + r =r). Ciò prva che dp r prve favrevk ed s sfavrevk, indipendentemente dall'rdine in cui esse si alternan, la funzine caratteristica diviene R r S s yj. La prbabiktà che un fenmen aleatri che ha la funzine caratteristica yj si verifichi h vlte su n prve successive neh'iptesi che delle prime r+1 prve queke favrevk sian r e s le sfavrevli è data daka frmula (h + r\ In h + s\ h + r t (21) RrS s y>= fn + r + s\ i + r + s r r+ s %p Indichiam R, S, le perazini che trasfrman la funzine di ripartizine crrispndente a yj in quella crrispndente a Ryj a Sxp. Partend dak'espressine di Dip(t) che si ttiene derivand la (10) si ricava (22) R*$(è) = analgamente si trva ~" 1» l j$(l)dk hd$ *<*) (23) S##(f)~ e in generale (24) RlSi (è) = ò i» 0 fçr(l Ç) s d$ /l'd-w d$ A tak risultati pssiam dare una frma più espressiva. Pel terema della media : (25) [^Ä^] =-/^^ [*Ê 0 cn Si^S^h e indicand [çp]f*=$(f 2 ) <&(&). Si deduce da questa frmula un terema asinttic assai ntevle nel camp delle relazini fra prbabilità e frequenza. Se la frequenza su un numer suffi-

9 B. DE FINETTI : Funzine caratteristica di un fenmen aleatri 187 centemente grande di prve è /, la funzine caratteristica tende a quella stessa che varrebbe se il fenmen avesse prbabiktà nta a priri uguale ad /, a men che in un intrn di / la <5 sia cstante. In termini precisi : se per nessun e > 0 è *(^- s - e )=*(4r7+ e )' è Mm (ÄjSi)"*(ö = 0, V«, 1 a secnda che!</, f=/, f>/, e cnseguentemente (26) Km (R>'S s ) n yj(t) = e^, n=œ e la tendenza al limite è unifrme in gni regine finita (CASTELNUOVO, Op. cit., vl. II, p. 198). Quindi, qualunque sia la natura di un fenmen aleatri (purché la sua 0 sddisfaccia la detta restrizine), la prbabiktà che, nell'iptesi che suke prime n prve la frequenza sservata sia /, in queke successive la frequenza tenda a un Kmite che differisca da / per più di un dat s può rendersi piccla quant si vule pur di prendere n sufficentemente grande Cme esercizi, applichiam i risultati trvati alle funzini caratteristiche cnsiderate nel 8. Se yj(f) = ew, si ha Kyj(t) = e* l -&\ Ryj(t)=Syj(t)=R r S*yj(t)=e ipt. Nn si hann altre funzini caratteristiche che rimangn invariate cnscend l'esit di una prva: se Ryj=yj Syj=yj scende che yj(t) = e ipt (O^p^l). pit 1 T X ' %t pit f ity(0 = p (ex-ite*-!) ; Sy>(t)= f 2 (l + it-e H ) ; Cit~': +,x ' ')» RrS*yj= y ; _» + r + s + l (27) Dr.O«.,._.. \ r /n t\ + r + b s\ / n r + s + 1 In particlare la prbabiktà che 1' (r + s+ l) ma favrevli ed s sfavrevk è prva sia favrevle, dp r prve (28) y r + s + 2 È questa la frmula di cui si fece us e anche abus neka teria deka prbaeit \ biktà a psteriri. Essa è rigrsamente esatta quand sia yj(t)= -, ma è valida sl in quest cas specialissim.

10 188 COMUNICAZIONI Due altri prblemi meritan un cenn. Se si hann due fenmeni (analgamente per tre più), indipendenti tra lr, le cui funzini caratteristiche sn 0 0 il lr cverificarsi è un fenmen aleatri la cui funzine caratteristica è (29) V(0=ÌW^. Infatti an è la prbabilità che U prim fenmen si verifichi sempre su h prve, bh l'analga per il secnd, e di cnseguenza a^b% è la prbabilità che su h prve si verifichin sempre entrambi. In particlare se yj"(t) = e ipt (fenmen a prbabilità nta p) si ha ys(t) = yj'(pt); se pìt_\ è * y>(f) = Ad esempi per jfy'wt Se un fenmen può dipendere da diverse cause (incmpatibik) che hann rispettivamente le prbabiktà Xi, l 2,..., X m, e neke diverse iptesi il fenmen ha rispettivamente le funzini caratteristiche yj^(t), ipw(t),..., ya m^(t), la funzine caratteristica del fenmen aleatri è (30) yj(t)=w i) (t) + X 2 yjm(t)+... +l m y* m) (t). Su quest terema si può fndare in md frmalmente impeccabile la teria deke prbabilità deke iptesi. L'esempi classic cui si applica tale risultat è quek deke estrazini da un'urna che è stata scelta a cas in una cllezine nta. Se sappiam che le percentuali di palle nere pssn essere p l} p 2,..., p m cke prbabilità X if k 2,..., X m, la funzine caratteristica sarà yj(t)=k i é^t + h^t+... +l m e ik mt. Un esempi che, pur riferendsi, per fissare le idee, ake estrazini da un' urna, megk si avvicina al tip dei prblemi che si pssn presentare in pratica, è quest'altr. Abbiam un'urna A cntenente n pake tra bianche e nere, che vi sn state immerse da un individu il quale aveva a sua dispsizine N=cn pake (e inter maggire di 1), di cui H=ch bianche e K=ck nere (H+K=N, ssia h + k=n). Di tutte le iptesi pssibik riteniam che sltant le due seguenti

11 B. DE FINETTI: Funzine caratteristica di un fenmen aleatri 189 pssan essersi verificate: a) le n pake sn state scelte a cas fra le N dispnibik; b) l'individu che preparò l'urna ebbe cura di scegkere le n pake in md da cnservare le percentuali di pake bianche e nere (e quindi prendend h pake bianche e k nere). Cnsciam ancra la prbabilità che hann queste due iptesi: sian a e ß. Il fenmen cnsistente neh'estrazine di una paka bianca dak'urna A ha la funzine caratteristica ve yj(t) = a.yt a \t) + ß-ytß\f) yjw(t) =.h. (essend ( )(,)"( ) la prbabiktà che delle n pake estratte a srte e immesse neh'urna l sian bianche). Dp r + s estrazini di cui r dieder pake bianche, la funzine caratteristica è 1 R r S 8 yj(t) = r r r+ s W r+ s yjw- Rr S 8 yjw(t) + ß r r+ s yjiß). RrS8 yaß)(t) Derivand si ha, per t=0, la prbabiktà di ttenere, all'(r + s+l) ma estrazine, una paka bianca (determinazine di una prbabiktà a psteriri); la prbabiktà che le pake sian state scelte a cas (iptesi a) dp r estrazini di pake bianche e s di pake nere è \ r ' r + s «(«) r r+ s (determinazine di una prbabiktà deke iptesi). Per fare un'appkcazine numerica: se l'urna cntiene 6 pake scelte fra che si avevan a dispsizine, di cui 4 bianche e 8 nere, e si ritiene a= -, ß= 3* m ^<«)(*)=_]l + 8ßG + 15ß3 + 8e +ß3 yj<ß)(t) = ez, yj(t) = 1 99 it it it 2it é^+63é^+16e* + 2e* Dp r + s estrazini, di cui r dieder pake bianche, la prbabiktà deh'iptesi b) (scelta nn a cas) è 33.2'\4* 16.5* r.4* ''+* / \2* * Dp 6 estrazini l'iptesi b) ha le prbabiktà 0, se si ebber r=6 pake bianche, 0, se r=5, 0, se r=4, 0, se r=3, 0, se r=2, 0, se r=l, e finalmente 0,260,018 se r=0, ssia se si estrasser sl palle nere. Al crescere del numer deke prve, la prbabiktà dek'ip-

12 190 COMUNICAZIONI tesi b) tende rispettivamente a =0, , =0, , a zer, a secnda che la frequenza è cmpresa fra (lg V*)/(lg 5 /*) = 0, e (lg */ 3 )/(lg 2)=0, , è uguale a un di questi due Kmiti, è esterna Il prblema deke prbabiktà a psteriri cnsiste nel cercare di determinare la prbabilità di un fenmen aleatri in base ak'sservazine della frequenza effettivamente cnstatata in un cert numer di prve. In base a quant s'è vist: un prblema di prbabilità a psteriri è pienamente determinat se e sl se si riferisce a un fenmen nt (di cui è nta la funzine caratteristica). Il prblema delle prbabiktà deke iptesi cnsiste nel ricercare la prbabiktà di un'iptesi causa cui un fenmen aleatri si pssa far risakre, in base sempre all'sservazine della frequenza cn cui il fenmen s'è verificat in un cert numer di prve. E pssiam cncludere: un prblema di prbabilità delle iptesi è pienamente determinat quand e sl quand è nt il fenmen (è data la sua funzine caratteristica), è nta la precisa influenza dell'iptesi (è data la funzine caratteristica del fenmen subrdinatamente ak'iptesi), e è nta la prbabilità a priri dell' iptesi stessa. Altrimenti questi due prblemi nn hann sens. Il terema del 11 cntiene tutt quek che vi può essere di precis in un tentativ d'inversine del terema asinttic di Bernulli. Dp un numer indefinitamente crescente di prve, la prbabiktà di un fenmen aleatri tende a divenire uguale alla frequenza (clla restrizine detta a su lug). Ma la cnvergenza nn è unifrme per tutte le funzini caratteristiche, e quindi, per quant grande sia il numer deke prve già eseguite, nn è pssibile dedurre che la prbabilità sia anche apprssimativamente uguale alla frequenza senza cnscere quale fsse a priri la funzine caratteristica del fenmen. Pssiam dire però che cl crescere del numer deke prve divengn sempre men restrittive le cndizini che si debbn supprre verificate daka funzine caratteristica del fenmen aleatri perchè ne cnsegua che l'uguagkanza apprssimativa tra prbabiktà e frequenza sussista. Queste cnclusini e questi esempi pssn chiarire in md precis nei due casi trattati delle prbabilità a psteriri e delle prbabiktà deke cause, cme spirit anche nel cas generale l'influenza che suka valutazine di una prbabilità esercitan i dati deh" esperienza (*). (*) Per una discussine più esauriente rimand a Prbabilism. Saggi critic sulla teria delle prbabilità e sul valre della scienza. Bibliteca di Filsfia diretta da A. ALIOTTA, Perrella ed., Napli, 1931 (L. 5); cfr. specialmente il n. 22.