FUNZIONE CARATTERISTICA DI UN FENOMENO ALEATORIO

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "FUNZIONE CARATTERISTICA DI UN FENOMENO ALEATORIO"

Transcript

1 B. DE FINETTI (Rma - ItaKa) FUNZIONE CARATTERISTICA DI UN FENOMENO ALEATORIO 1. - Scp di questa cmunicazine è di mstrare cme il metd deka funzine caratteristica ( l ), già csì vantaggisamente intrdtt neka teria deke variabik casuak, si presti pure assai utilmente ak studi dei fenmeni aleatri. Mstrerem quindi, in prim lug, cme si pssa individuare cmpletamente un fenmen aleatri mediante la sua funzine caratteristica, e accennerem pi ake perazini che ne fann un ptente strument di calcl. Un'espsizine cmpleta si trverà in una memria che sarà presentata quant prima aka R. Accademia dei Lincei ( 2 ) Un fenmen di cui si può fare ( quant men si può cncepire) un numer qualunque di prve l direm fenmen aleatri quand l'rdine in cui le prve favrevk e sfavrevk si alternan sia da attribuirsi al cas. Si esige ciè che tutte le L J successini di n prve di cui h favrevk, successini che differiscn tra lr sl per l'rdine, abbian uguale prbabiktà. Questa, in termini precisi, la prprietà caratteristica di quelk che abbiam cnvenut di definire fenmeni aleatri. Sarà bene vedere cn qualche esempi la prtata di tale restrizine, e avere csì un'idea chiara del camp di questa ricerca. Se si ha una mneta un dad, e l si lancia sempre ak stess md, nn ci sarà nessun mtiv, d'indle causale, nemmen se deka perfezine del pezz nn siam sicuri, che pssa influire suk'rdine in cui si alternan le prve favrevk e sfavrevk: l'rdine sarà dvut al cas, e si ha quindi un fenmen aleatri, secnd la data definizine. L stess si dica per il prblema della rulette, per le estrazini da un'urna scelta a srte in una cllezine nta, e tutti i casi cnsimik. Se invece si cnsidera una successine di tiri al bersagli di un stess tiratre, la successine deke girnate pivse e nn pivse, deke girnate in cui il signre di rimpett si rade la barba, tale cndizine nn si ptrà raginevlmente rite- (*) V. i Trattati di Calcl delle Prbabilità di G. CASTELNUOVO e di P. LéVY. ( 2 ) Memrie della R. Aee. Naz. dei Lincei, S. 6 a, vi. IV, fase. V.

2 180 COMUNICAZIONI nere verificata, perchè nel prim cas si può prevedere dapprima un prgressiv addestrament del tiratre, e pi il spravvenire della stanchezza, ciò che rende prbabüe un addensament deke prve favrevk nel perid di frma migkre, perchè i girni pivsi sarann riuniti in peridi di pivsità più men lunghi, senza parlare pi deka peridicità staginale, e perchè il signre di rimpett si raderà sempre a intervalk più men reglari. Per decidere, in pratica, se un cert fenmen si pssa cnsiderare fenmen aleatri, ppure n, basta pensare se un'eventuale reglarità altra singlarità riscntrata nek'rdine della successine si attribuirebbe al cas (e akra si ha un fenmen aleatri) si ptrebbe ritenere dvuta a qualche circstanza cnnessa al fenmen, in md da far pensare che anche in un'altra uguale serie di prve sia prbabile si rinnvi Se di un cert fenmen aleatri si fann n prve, il numer di queke che risultan favrevli è vviamente una variabile casuale x n capace di assumere sltant i valri 0, 1,..., n ; se indichiam wf/f la prbabilità che il fenmen cnsiderat si verifichi h vlte su n prve, la variabile casuale x n è caratterizzata dake prbabiktà wf\ c^,..., cty cke quak può assumere i diversi valri pssibik. Nel cas particlare e ben nt in cui il fenmen abbia una prbabiktà cstante p nta a priri, si sa che c^)=( )p h (l p) n ~ h, ma nel cas generale di cui ci ccupiam le œ { /p ptrann essere qualunque (a parte delle limitazini impste dalla natura stessa del prblema, e che trverem in seguit). Un fenmen aleatri ci definirà dunque una successine di variabili casuak Xi, x 2,..., x n,..., che è chiar debban risultare tra lr interdipendenti. Tale interdipendenza si traduce anakticamente in una relazine differenziale ricrrente che lega le lr funzini caratteristiche yj if ip 2,..., ip n,..., e che cstituisce la base di questa ricerca. Si dimstra che al crescere di n la funzine tende unifrmemente in gni regine finita aka funzine intera s ' n n 0 JS i h t h che è queka appunt che si dirà per definizine «funzine caratteristica del fenmen aleatri». Nta la yj si ricavan tutte le \p n e di cnseguenza tutte le c\f, e ciò giustifica bene la denminazine. eit e -m L'integrale da a + deka funzine %p(t) esiste sempre per gni valre di f, ed è uguale rispettivamente a 0 e 2n per f < 0 e f> 1 ; di

3 B. DE FINETTI : Funzine caratteristica di un fenmen aleatri 181 cnseguenza esiste una variabile casuale di cui yj(t) è la funzine caratteristica, la crrispndente funzine di ripartizine è r P u p-w ed è #(!)=0 per <0 e &( ) =! per f>l. Da tak risultati scendn due teremi imprtanti : I. La prbabilità che la frequenza su n prve sia cmpresa entr limiti assegnati fi e 2 tende a <P(f 2 ) <5(fi) al crescere di n; IL La prbabiktà che tutte le frequenze dp Vn m * sian cmprese fra Kmiti assegnati 4 e f 2 tende a Kmd #(f)-kms <5( ) al crescere di w. Perchè, assegnata una ip(t), pssa esistere un fenmen aleatri di cui essa sia funzine caratteristica ccrre e basta che la crrispndente funzine di ripartizine &($) (naturalmente reale e mai decrescente) sia nuka per f<0 e =1 per f>l Espniam succintamente i calck. Tra le c^ dvrà sussistere la relazine (h\ In h\ n-m+k (1) ap-j^wfiz*) perchè I ÏÏ J:( U ) è la prbabiktà che su m prve, prese tra n di cui h favrevk, le favrevk sian Jc, quand tutte le cmbinazini sn ugualmente prbabili. In particlare (per m=n 1): (2) nœ^=(n-k)m^ + (k+l)c^\.i e pnend (3) (*) = 2> V' 0 tutte le (2) per k=0,1,..., n 1 si riassumn neka relazine differenziale ricrrente (4) nq n _i(z)=nq n (z) + (1 -z)dq n (z). Derivand la (4) e ricavandne i valri deke successive derivate per z=l si ha (5) ü n (l+z)^j n h)c^

4 182 COMUNICAZIONI e si trva che Q n [l + -\, quand ^-*, tende unifrmemente a nj (6) ß(l+ 2 ) = 2 Ä < 0^. La funzine caratteristica yj u è (7) Wn(t)=Q n (e% t si dimstra che Q\e u ) tende pure a Q(l + t), e quindi la funzine caratteristica del fenmen aleatri (funzine Kmite cui tende unifrmemente v^(~)) è (8) yj(t) = Q(l+it) Una prima cnseguenza ntevle: cme mstran le (8), (6), per n indefinitamente crescente, il mment m m di, ssia il valr-prbabile-kmite della ptenza m ma deka frequenza per un numer indefinitamente crescente di prve, tende a c\" t '\ ciè al valre della prbabiktà che m prve sian tutte favrevli. Ai teremi enunciati nel 3 si arriva traducend i risultati ttenuti per le funzini caratteristiche in quelli crrispndenti per le funzini di ripartizine: indicand $> n (x) la funzine di ripartizine di x n, si ha (9) lim $ (nf) = #( ). n= L'altr terema, relativ alla prbabilità che tutte le frequenze da un cert n in pi appartengan a un dat intervak, si può cnsiderare cme l'estensine al cas di un qualunque fenmen aleatri del terema relativ alle prve ripetute indipendenti e cn prbabiktà cstante, che è un cas particlare del nt terema di CANTELLI (*). Anche la dimstrazine si può ricndurre a quella del cas trattat da CANTELLI Le (6), (5), (7) prvan chiaramente l'assert che la %p basta a determinare cmpletamente tutte le %p n. Altrettant si ptrà dire della (, perchè da essa si ha i i (10) ip(t) = I e u 'd0=e lt -it j e u t<p(ç)dç d i (11) Q n (l+z) = f(l+zèrd$=(l+z)"-nzf(l+zèy-i (è)dç ó (12) >j?>=(j) />(l-!)-'^=(g [(h-nè)^(l-èr-»~t<p(è)dè. j i (*) F. P. CANTELLI : Sulla prbabilità cme limite della frequenza. Rend. R. Ace. dei Lincei, serie V, vi. XXVI, gennai 1917.

5 B. DE FINETTI: Funzine caratteristica di un fenmen aleatri Cnsideriam due casi di particlare imprtanza, che servirann anche utilmente cme esempi. Nel cas ben nt in cui la prbabiktà di un fenmen è nta a priri e uguale a p,. <*>W=Qp h (i -py-\ c^=p h, Ü n (l+z) = (l+pzy, ß(l + s)=km (l+ p^] l =e^, anche direttamente (daka (7)) w(t)==,e^\... ^-^ i^t y>(t) = 2j h P h YT =eipt > ( )= > Vs, 1, a secnda che Ç<p, =p, >p. Al crescere di n la prbabilità che la frequenza sia cmpresa in un intrn p + s di p tende ah"unità; inversamente da tale iptesi scende che yj(t) = e ipt, e ciè che il fenmen ha prbabilità cstante e uguale a p in tutte le prve. Cme casi particlari, per p=0, p = l, si ha yj(t) = l, %p(t) = e u. Nel cas in cui tutte le frequenze sian ugualmente prbabili si avrà e*'("+ 1 ) VM-W+Ï' 1-e" ' fi(l+0)=lim 1 n > n + 1 z n #»<*) = ^ (A=0,1,..., n), <P(tf=lim <& <«) «. n *i~ - 1 «=00 Al crescere di n la prbabiktà che la frequenza sia cmpresa in un intervall L, 2 tende a 2 4 ; inversamente da tale iptesi scende i y J (t)=fe it tdè= it <W = ' n + 1' e il fenmen ha quindi ugualmente prbabili tutte le diverse frequenze su n prve Passiam alle perazini suke funzini caratteristiche. Cme sservazine generale pssiam dire che tutte le perazini che incntrerem sn distributive, a men (ve ccrra) di un fattre mltipkcativ che fa assumere il valre 1 aka tp(t) per =0, cme necessariamente deve aversi.

6 184 COMUNICAZIONI Intrducend l'peratre U: Uf(t) = f(0) pssiam dire che le perazini che ci si presenterann sn prdtti del tip TIF cn F distributiva. Piché la funzine di ripartizine ^(f) è funzine lineare biunivca deka funzine caratteristica ip(t), ad gni perazine distributiva sulla xp crrispnderà la trasfrmata che pera su 0. Due perazini utili per semplificare le ntazini sn F n (leggere: «plinmi ennesim») che applicat a ip prduce Q n (*), e prduce a) ( / t '\ Si pssn definire in generale pnend : se (13) 00 m h p -A=s*(;)«fc =s*( i +«)* n ' n Si sservi in particlare che f=a n, e che la ip n (f) è J* n ip(e u 1). che appkcat a ip 9. - Sia ip(t) la funzine caratteristica di un cert fenmen aleatri. La funzine caratteristica del fenmen cntrari è (14) Kyj(t) = e u yj(-t). Infatti dire che su n prve queke favrevli sn h, equivale a dire che sn n h quelle favrevli all'event cntrari, ciò che si esprime <15) e dà (scrivend aj i " ) = y): K= n h n Pjr V (*-l)-a>ir ) + >S Ì l «+... +ca< M) s»= = 2» j <»<"> +<>ì+... +<' i J = ^P vç-l), P n Ky(e ü -1)=e""P y (e""" -1) t f.t Kyj(t)=ìim? n Kip{e z»-l)=1ìm {e t "Tlim'P n yj{e~^-l) = e it yj(-t). Essend in particlare K= (16) KyM-l + aftht-awj-, -cfi^ < ) i n ~ + (*) Precisamente la funzine Q n (l+z), nn la Q n {z)-

7 B. DE FINETTI: Funzine caratteristica di un fenmen aleatri 185 Se 0 è la funzine di ripartizine crrispndente a \p, si trva che la funzine di ripartizine K&<!> crrispndente a Kxp è (17) K*$( ) = l-&(!- ) cme era del rest intuitiv : la prbabilità che al Kmite la frequenza d'un event sia inferire afe uguale a queka che la frequenza dell'event cntrari sia superire a 1 f. K è perazine distributiva reversibile invlutria : K(ip' + ip")=ky>, + Kxp", KKy>=y>, K~^=K%p La funzine caratteristica nell'iptesi che la prima prva sia favrevle è (18) Ryj=UDy>, nell'iptesi che la prima prva sia sfavrevle è (19) Sxp=U(i-D)xp, più in generale, dp r prve favrevli ed s sfavrevli diviene (20) R r S 8 ip= Uir^l - D) s yj. La prbabiktà afìp che le prime n prve sian tutte favrevli è infatti uguale al prdtt deka prbabiktà c^ che la prima prva sia favrevle per la prbabiktà che, verificata quest'iptesi, l sian le prime n 1 prve successive, r n jh prbabilità che è Ryj. Il cefficente n m dek svilupp di Ryj è quindi il cefficente (n + l) m, en+i > dek svilupp di yj divis per il prim, e quindi mf=-idip(0), **- ^! «*>+«*> -«* fi «&? % + i - E g g - ^ Per dimstrare che S= U(i D) cnviene partire dak' sservazine che S è vviamente la trasfrmata di R mediante K: S=KRK. DaKa (14) : DKyj(t) = e u [iyj(-t)-dyj(-t)]; KDKyj(t) = e ü le- ü [iyj(t)-i)xp(t)]l==(i-d)yj(t) ; KDK=i-D; e per facili prprietà di U: da cui S=KRK= UKDK= U(i-D), Atti del Cngress. 13

8 186 COMUNICAZIONI Le perazini R ed S sn permutabili: e quindi RJS = SR, Rrß*=S 8 R r =S s *R r *S s *R r K... (si + s =s, r L + r =r). Ciò prva che dp r prve favrevk ed s sfavrevk, indipendentemente dall'rdine in cui esse si alternan, la funzine caratteristica diviene R r S s yj. La prbabiktà che un fenmen aleatri che ha la funzine caratteristica yj si verifichi h vlte su n prve successive neh'iptesi che delle prime r+1 prve queke favrevk sian r e s le sfavrevli è data daka frmula (h + r\ In h + s\ h + r t (21) RrS s y>= fn + r + s\ i + r + s r r+ s %p Indichiam R, S, le perazini che trasfrman la funzine di ripartizine crrispndente a yj in quella crrispndente a Ryj a Sxp. Partend dak'espressine di Dip(t) che si ttiene derivand la (10) si ricava (22) R*$(è) = analgamente si trva ~" 1» l j$(l)dk hd$ *<*) (23) S##(f)~ e in generale (24) RlSi (è) = ò i» 0 fçr(l Ç) s d$ /l'd-w d$ A tak risultati pssiam dare una frma più espressiva. Pel terema della media : (25) [^Ä^] =-/^^ [*Ê 0 cn Si^S^h e indicand [çp]f*=$(f 2 ) <&(&). Si deduce da questa frmula un terema asinttic assai ntevle nel camp delle relazini fra prbabilità e frequenza. Se la frequenza su un numer suffi-

9 B. DE FINETTI : Funzine caratteristica di un fenmen aleatri 187 centemente grande di prve è /, la funzine caratteristica tende a quella stessa che varrebbe se il fenmen avesse prbabiktà nta a priri uguale ad /, a men che in un intrn di / la <5 sia cstante. In termini precisi : se per nessun e > 0 è *(^- s - e )=*(4r7+ e )' è Mm (ÄjSi)"*(ö = 0, V«, 1 a secnda che!</, f=/, f>/, e cnseguentemente (26) Km (R>'S s ) n yj(t) = e^, n=œ e la tendenza al limite è unifrme in gni regine finita (CASTELNUOVO, Op. cit., vl. II, p. 198). Quindi, qualunque sia la natura di un fenmen aleatri (purché la sua 0 sddisfaccia la detta restrizine), la prbabiktà che, nell'iptesi che suke prime n prve la frequenza sservata sia /, in queke successive la frequenza tenda a un Kmite che differisca da / per più di un dat s può rendersi piccla quant si vule pur di prendere n sufficentemente grande Cme esercizi, applichiam i risultati trvati alle funzini caratteristiche cnsiderate nel 8. Se yj(f) = ew, si ha Kyj(t) = e* l -&\ Ryj(t)=Syj(t)=R r S*yj(t)=e ipt. Nn si hann altre funzini caratteristiche che rimangn invariate cnscend l'esit di una prva: se Ryj=yj Syj=yj scende che yj(t) = e ipt (O^p^l). pit 1 T X ' %t pit f ity(0 = p (ex-ite*-!) ; Sy>(t)= f 2 (l + it-e H ) ; Cit~': +,x ' ')» RrS*yj= y ; _» + r + s + l (27) Dr.O«.,._.. \ r /n t\ + r + b s\ / n r + s + 1 In particlare la prbabiktà che 1' (r + s+ l) ma favrevli ed s sfavrevk è prva sia favrevle, dp r prve (28) y r + s + 2 È questa la frmula di cui si fece us e anche abus neka teria deka prbaeit \ biktà a psteriri. Essa è rigrsamente esatta quand sia yj(t)= -, ma è valida sl in quest cas specialissim.

10 188 COMUNICAZIONI Due altri prblemi meritan un cenn. Se si hann due fenmeni (analgamente per tre più), indipendenti tra lr, le cui funzini caratteristiche sn 0 0 il lr cverificarsi è un fenmen aleatri la cui funzine caratteristica è (29) V(0=ÌW^. Infatti an è la prbabilità che U prim fenmen si verifichi sempre su h prve, bh l'analga per il secnd, e di cnseguenza a^b% è la prbabilità che su h prve si verifichin sempre entrambi. In particlare se yj"(t) = e ipt (fenmen a prbabilità nta p) si ha ys(t) = yj'(pt); se pìt_\ è * y>(f) = Ad esempi per jfy'wt Se un fenmen può dipendere da diverse cause (incmpatibik) che hann rispettivamente le prbabiktà Xi, l 2,..., X m, e neke diverse iptesi il fenmen ha rispettivamente le funzini caratteristiche yj^(t), ipw(t),..., ya m^(t), la funzine caratteristica del fenmen aleatri è (30) yj(t)=w i) (t) + X 2 yjm(t)+... +l m y* m) (t). Su quest terema si può fndare in md frmalmente impeccabile la teria deke prbabilità deke iptesi. L'esempi classic cui si applica tale risultat è quek deke estrazini da un'urna che è stata scelta a cas in una cllezine nta. Se sappiam che le percentuali di palle nere pssn essere p l} p 2,..., p m cke prbabilità X if k 2,..., X m, la funzine caratteristica sarà yj(t)=k i é^t + h^t+... +l m e ik mt. Un esempi che, pur riferendsi, per fissare le idee, ake estrazini da un' urna, megk si avvicina al tip dei prblemi che si pssn presentare in pratica, è quest'altr. Abbiam un'urna A cntenente n pake tra bianche e nere, che vi sn state immerse da un individu il quale aveva a sua dispsizine N=cn pake (e inter maggire di 1), di cui H=ch bianche e K=ck nere (H+K=N, ssia h + k=n). Di tutte le iptesi pssibik riteniam che sltant le due seguenti

11 B. DE FINETTI: Funzine caratteristica di un fenmen aleatri 189 pssan essersi verificate: a) le n pake sn state scelte a cas fra le N dispnibik; b) l'individu che preparò l'urna ebbe cura di scegkere le n pake in md da cnservare le percentuali di pake bianche e nere (e quindi prendend h pake bianche e k nere). Cnsciam ancra la prbabilità che hann queste due iptesi: sian a e ß. Il fenmen cnsistente neh'estrazine di una paka bianca dak'urna A ha la funzine caratteristica ve yj(t) = a.yt a \t) + ß-ytß\f) yjw(t) =.h. (essend ( )(,)"( ) la prbabiktà che delle n pake estratte a srte e immesse neh'urna l sian bianche). Dp r + s estrazini di cui r dieder pake bianche, la funzine caratteristica è 1 R r S 8 yj(t) = r r r+ s W r+ s yjw- Rr S 8 yjw(t) + ß r r+ s yjiß). RrS8 yaß)(t) Derivand si ha, per t=0, la prbabiktà di ttenere, all'(r + s+l) ma estrazine, una paka bianca (determinazine di una prbabiktà a psteriri); la prbabiktà che le pake sian state scelte a cas (iptesi a) dp r estrazini di pake bianche e s di pake nere è \ r ' r + s «(«) r r+ s (determinazine di una prbabiktà deke iptesi). Per fare un'appkcazine numerica: se l'urna cntiene 6 pake scelte fra che si avevan a dispsizine, di cui 4 bianche e 8 nere, e si ritiene a= -, ß= 3* m ^<«)(*)=_]l + 8ßG + 15ß3 + 8e +ß3 yj<ß)(t) = ez, yj(t) = 1 99 it it it 2it é^+63é^+16e* + 2e* Dp r + s estrazini, di cui r dieder pake bianche, la prbabiktà deh'iptesi b) (scelta nn a cas) è 33.2'\4* 16.5* r.4* ''+* / \2* * Dp 6 estrazini l'iptesi b) ha le prbabiktà 0, se si ebber r=6 pake bianche, 0, se r=5, 0, se r=4, 0, se r=3, 0, se r=2, 0, se r=l, e finalmente 0,260,018 se r=0, ssia se si estrasser sl palle nere. Al crescere del numer deke prve, la prbabiktà dek'ip-

12 190 COMUNICAZIONI tesi b) tende rispettivamente a =0, , =0, , a zer, a secnda che la frequenza è cmpresa fra (lg V*)/(lg 5 /*) = 0, e (lg */ 3 )/(lg 2)=0, , è uguale a un di questi due Kmiti, è esterna Il prblema deke prbabiktà a psteriri cnsiste nel cercare di determinare la prbabilità di un fenmen aleatri in base ak'sservazine della frequenza effettivamente cnstatata in un cert numer di prve. In base a quant s'è vist: un prblema di prbabilità a psteriri è pienamente determinat se e sl se si riferisce a un fenmen nt (di cui è nta la funzine caratteristica). Il prblema delle prbabiktà deke iptesi cnsiste nel ricercare la prbabiktà di un'iptesi causa cui un fenmen aleatri si pssa far risakre, in base sempre all'sservazine della frequenza cn cui il fenmen s'è verificat in un cert numer di prve. E pssiam cncludere: un prblema di prbabilità delle iptesi è pienamente determinat quand e sl quand è nt il fenmen (è data la sua funzine caratteristica), è nta la precisa influenza dell'iptesi (è data la funzine caratteristica del fenmen subrdinatamente ak'iptesi), e è nta la prbabilità a priri dell' iptesi stessa. Altrimenti questi due prblemi nn hann sens. Il terema del 11 cntiene tutt quek che vi può essere di precis in un tentativ d'inversine del terema asinttic di Bernulli. Dp un numer indefinitamente crescente di prve, la prbabiktà di un fenmen aleatri tende a divenire uguale alla frequenza (clla restrizine detta a su lug). Ma la cnvergenza nn è unifrme per tutte le funzini caratteristiche, e quindi, per quant grande sia il numer deke prve già eseguite, nn è pssibile dedurre che la prbabilità sia anche apprssimativamente uguale alla frequenza senza cnscere quale fsse a priri la funzine caratteristica del fenmen. Pssiam dire però che cl crescere del numer deke prve divengn sempre men restrittive le cndizini che si debbn supprre verificate daka funzine caratteristica del fenmen aleatri perchè ne cnsegua che l'uguagkanza apprssimativa tra prbabiktà e frequenza sussista. Queste cnclusini e questi esempi pssn chiarire in md precis nei due casi trattati delle prbabilità a psteriri e delle prbabiktà deke cause, cme spirit anche nel cas generale l'influenza che suka valutazine di una prbabilità esercitan i dati deh" esperienza (*). (*) Per una discussine più esauriente rimand a Prbabilism. Saggi critic sulla teria delle prbabilità e sul valre della scienza. Bibliteca di Filsfia diretta da A. ALIOTTA, Perrella ed., Napli, 1931 (L. 5); cfr. specialmente il n. 22.

ESERCITAZIONI DI STATISTICA BIOMEDICA

ESERCITAZIONI DI STATISTICA BIOMEDICA ESERCITAZIONI DI STATISTICA BIOMEDICA ALCUNE NOTE SU R Matte Dell Omdarme agst 2012 Cpyright c 2012 Matte Dell Omdarme versin 1.3.3 mattdell@fastmail.fm Permissin is granted t cpy, distribute and/r mdify

Dettagli

1. Microsoft Power Point: costruire una presentazione

1. Microsoft Power Point: costruire una presentazione Dtt. Pal Mnella Labratri di Infrmatica Specialistica per Lettere Mderne 2 semestre, A.A. 2009-2010 Dispensa n. 3: Presentazini Indice Dispensa n. 3: Presentazini...1 1. Micrsft Pwer Pint: cstruire una

Dettagli

(Fonte: Vademecum Nextville 2013, Efficienza energetica, gli incentivi per il risparmio energetico, le rinnovabili termiche e la cogenerazione )

(Fonte: Vademecum Nextville 2013, Efficienza energetica, gli incentivi per il risparmio energetico, le rinnovabili termiche e la cogenerazione ) CERTIFICATI BIANCHI (TITOLI DI EFFICIENZA ENERGETICA TEE) (Fnte: Vademecum Nextville 2013, Efficienza energetica, gli incentivi per il risparmi energetic, le rinnvabili termiche e la cgenerazine ) 1) MECCANISMO

Dettagli

GLI AMMORTIZZATORI SOCIALI

GLI AMMORTIZZATORI SOCIALI GLI AMMORTIZZATORI SOCIALI Ringraziamenti Diverse persne hann cntribuit a quest lavr. Tra queste ringrazi l Avv. Rsari Salnia, che nel nstr ambiente, è cnsiderat il miglir giuslavrista di Rma ed il su

Dettagli

1. Lessicologia vs terminologia... 4 2. Lessico comune e lessico specialistico... 4 3. I linguaggi speciali... 6 4. Cenni storici... 6 5.

1. Lessicologia vs terminologia... 4 2. Lessico comune e lessico specialistico... 4 3. I linguaggi speciali... 6 4. Cenni storici... 6 5. 1. Lessiclgia vs terminlgia... 4 2. Lessic cmune e lessic specialistic... 4 3. I linguaggi speciali... 6 4. Cenni strici... 6 5. La nrmazine terminlgica... 7 6. Dalla lessicgrafia alla termingrafia, dai

Dettagli

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione.

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1.1. Intorni circolari. Assumiamo come distanza di due numeri reali x e y il numero non negativo x y (che, come sappiamo, esprime la distanza tra i punti

Dettagli

Strategia Energetica Nazionale: per un energia più competitiva e sostenibile

Strategia Energetica Nazionale: per un energia più competitiva e sostenibile Strategia Energetica Nazinale: per un energia più cmpetitiva e sstenibile Marz 2013 Premessa Il cntest nazinale e internazinale di questi anni è difficile ed incert. La crisi ecnmica ha investit tutte

Dettagli

Chi è il soggetto che procede ad erogare il servizio di scambio sul posto? Quali sono i vantaggi di aderire al regime di scambio sul posto?

Chi è il soggetto che procede ad erogare il servizio di scambio sul posto? Quali sono i vantaggi di aderire al regime di scambio sul posto? Mdalità di access alla cnvenzine (13) Csa si intende per servizi di scambi sul pst? L scambi sul pst [Deliberazine ARG/elt 74/08, Allegat A Test integrat dell scambi sul pst (TISP)], è un meccanism che

Dettagli

La nuova Strategia Energetica Nazionale per un energia più competitiva e sostenibile DOCUMENTO PER CONSULTAZIONE PUBBLICA

La nuova Strategia Energetica Nazionale per un energia più competitiva e sostenibile DOCUMENTO PER CONSULTAZIONE PUBBLICA La nuva Strategia Energetica Nazinale per un energia più cmpetitiva e sstenibile DOCUMENTO PER CONSULTAZIONE PUBBLICA Settembre 2012 La Nuva Strategia Energetica Nazinale Premessa Il cntest nazinale e

Dettagli

Lo schema di Bernoulli (o delle prove indipendenti): un esempio di modello probabilistico applicabile a diversi contesti

Lo schema di Bernoulli (o delle prove indipendenti): un esempio di modello probabilistico applicabile a diversi contesti Lo schema di Bernoulli (o delle prove indipendenti): un esempio di modello probabilistico applicabile a diversi contesti Rita Giuliano (Pisa) 0. Introduzione. È ormai acquisizione comune il fatto che uno

Dettagli

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Definizione 1. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, in forma normale, è del tipo a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + +

Dettagli

PREMESSA PREMESSA PREMESSA PRE

PREMESSA PREMESSA PREMESSA PRE PREMESSA PREMESSA I Servizi via internet, cellulare e telefn le permettn di perare in md semplice e dirett cn la Banca, dvunque lei sia, a qualsiasi ra del girn, scegliend di vlta in vlta il canale che

Dettagli

Capitolo 8 - Introduzione alla probabilità

Capitolo 8 - Introduzione alla probabilità Appunti di Teoria dei Segnali Capitolo 8 - Introduzione alla probabilità Concetti preliminari di probabilità... Introduzione alla probabilità... Deinizione di spazio degli eventi... Deinizione di evento...

Dettagli

Per risolvere le equazioni alle differenze si può utilizzare il metodo della Z-trasformata.

Per risolvere le equazioni alle differenze si può utilizzare il metodo della Z-trasformata. 8.. STRUMENTI MATEMATICI 8. Equazini alle differenze. Sn legami statici che legan i valri attuali (all istante k) e passati (negli istanti k, k, ecc.) dell ingress e k e dell uscita u k : u k = f(e 0,

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

Analisi dei sistemi nel dominio del tempo

Analisi dei sistemi nel dominio del tempo Appunti di Teoria dei Segnali a.a. 010/011 L.Verdoliva In questa sezione studieremo i sistemi tempo continuo e tempo discreto nel dominio del tempo. Li classificheremo in base alle loro proprietà e focalizzeremo

Dettagli

Appunti di Logica Matematica

Appunti di Logica Matematica Appunti di Logica Matematica Francesco Bottacin 1 Logica Proposizionale Una proposizione è un affermazione che esprime un valore di verità, cioè una affermazione che è VERA oppure FALSA. Ad esempio: 5

Dettagli

Appunti ed esercizi. di Meccanica Razionale

Appunti ed esercizi. di Meccanica Razionale Appunti ed esercizi di Meccanica Razionale Università degli Studi di Trieste - Sede di Pordenone Facoltà di Ingegneria Appunti ed esercizi di Meccanica Razionale Luciano Battaia Versione del 29 dicembre

Dettagli

Appunti dalle Lezioni di MECCANICA RAZIONALE

Appunti dalle Lezioni di MECCANICA RAZIONALE Università degli Studi de L Aquila Appunti dalle Lezioni di MECCANICA RAZIONALE tenute dal prof. Raffaele ESPOSITO i INDICE Indice.......................................................................

Dettagli

REGOLAMENTO del CONCORSO A PREMI denominato Scopri l'azerbaijan e vinci un biglietto per Expo2015.

REGOLAMENTO del CONCORSO A PREMI denominato Scopri l'azerbaijan e vinci un biglietto per Expo2015. REGOLAMENTO del CONCORSO A PREMI denminat Scpri l'azerbaijan e vinci un bigliett per Exp2015. 1. SOCIETA PROMOTRICE Simmetric SRL Via V. Frcella 13, 20144 Milan P.IVA 05682780969 (di seguit la Prmtrice

Dettagli

ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE Per gli studenti del 1 Anno della Facoltà di Agraria APPUNTI DALLE LEZIONI (A.A. 00/003) Andrea Onofri Dipartimento di Scienze Agroambientali e della

Dettagli

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA 1. RICHIAMI SULLE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI Ho mostrato in un altra dispensa come ricavare a partire dagli assiomi di

Dettagli

STUDIO DEL MODELLO DI ISING SU GRAFI FRATTALI

STUDIO DEL MODELLO DI ISING SU GRAFI FRATTALI UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PARMA FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA IN FISICA STUDIO DEL MODELLO DI ISING SU GRAFI FRATTALI Relatore: Correlatore: Dott. DAVIDE CASSI Dott.ssa

Dettagli

Introduzione alla Teoria dei Giochi

Introduzione alla Teoria dei Giochi Introduzione alla Teoria dei Giochi A. Agnetis Questi appunti presentano alcuni concetti introduttivi fondamentali di Teoria dei Giochi. Si tratta di appunti pensati per studenti di Ingegneria Gestionale

Dettagli

24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2

24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2 Dati due numeri naturali a e b, diremo che a è divisibile per b se la divisione a : b è esatta, cioè con resto 0. In questo caso diremo anche che b è un divisore di a. 24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6

Dettagli

Equazioni alle differenze finite (cenni).

Equazioni alle differenze finite (cenni). AL 011. Equazioni alle differenze finite (cenni). Sia a n } n IN una successione di numeri reali. (Qui usiamo la convenzione IN = 0, 1,,...}). Diremo che è una successione ricorsiva o definita per ricorrenza

Dettagli

La f(x) dovrà rimanere all interno di questo intorno quando la x è all interno di un intorno di x 0, cioè I(x 0 ), cioè:

La f(x) dovrà rimanere all interno di questo intorno quando la x è all interno di un intorno di x 0, cioè I(x 0 ), cioè: 1 Limiti Roberto Petroni, 2011 Possiamo introdurre intuitivamente il concetto di limite dicendo che quanto più la x si avvicina ad un dato valore x 0 tanto più la f(x) si avvicina ad un valore l detto

Dettagli

CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1

CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1 1.1 Che cos è un algoritmo CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1 Gli algoritmi sono metodi per la soluzione di problemi. Possiamo caratterizzare un problema mediante i dati di cui si dispone all inizio

Dettagli

Orso Mario Corbino. Nozioni di Fisica per le scuole secondarie

Orso Mario Corbino. Nozioni di Fisica per le scuole secondarie Orso Mario Corbino Nozioni di Fisica per le scuole secondarie Vol. II Calore - Ottica - Elettrostatica e Magnetismo - Corrente elettrica - Elettrotecnica www.liberliber.it QUESTO E-BOOK: Questo e-book

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi Indice 1 Le disequazioni non lineari 2 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli