INTERPOLAZIONE STATISTICA

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1 ITERPOLAZIOE STATISTICA ell esme d fenomen collettv spesso c trovmo confrontre le coppe d vlor tr due vrl potzzndo v s un relzone tr loro; è noto, d esempo, v s relzone tr prezzo e domnd d un ene, reddto e consumo, ltezz e peso. Per stlre l esstenz d un legme tr due vrl è opportuno: rccoglere dt e orgnzzrl ordntmente n un tell; dsporre le coppe de dt n un grfco crtesno; c studre l ndmento tellre e grfco ll rcerc d relzon funzonl; d potzzre un legme mednte un funzone del tpo f che poss sntetzzre e rppresentre l meglo l relzone tr le vrl. L tell rport l rlevzone tr l ltezz e l numero d scrpe e l reltvo grfco crtesno d un gruppo d persone: tell ltezz n cm numero scrpe rele numero scrpe ltezz n cm Dll nls tellre notmo che ll umentre dell ltezz tende d umentre nche l numero delle scrpe; osservndo l grfco notmo un nuvol d punt estes secondo un ndmento che potremmo potzzre d tpo lnere. L scelt successv srà quell d supporre un funzone che poss sntetcmente descrvere l legme. Per determnre l funzone s può procedere n due mod : nterpolzone per punt o nterpolzone mtemtc, determnzone d un funzone che pss esttmente per tutt punt not ; nterpolzone fr punt o nterpolzone sttstc, determnzone d un funzone che pss tr punt osservt. FACOLTÀ DI ECOOMIA PESCARA Corso d Lure Trennle n ECOOMIA E COMMERCIO Clsse L-33 STATISTICA Anno Accdemco 00-0 Prof. Annle ROCCO ITERPOLAZIOE, REGRESSIOE E CORRELAZIOE Pgn d 3

2 METODO DEI MIIMI QUADRATI Il metodo de mnm qudrt s s sull nterpolzone fr punt. Indcte con X e Y rspettvmente l vrle suppost ndpendente e quell suppost dpendente, con l numero delle osservzon, con ;, ;, ;, ; le coppe de sngol vlor osservt, s ordnno le coppe n un tell e le s rppresentno ltresì grfcmente n un pno crtesno. Il grfco è costtuto d un nuvol d punt, le sngole coppe, e vene chmto DIAGRAMMA A DISPERSIOE O SCATTER. DIAGRAMMA A DISPERSIOE O SCATTER sse Y sse X Dll esme del grfco sogn potzzre e sceglere l funzone nterpolnte che meglo rppresent l nuvol d punt, l ndmento del fenomeno ; un volt scelt l funzone che può essere lnere, perolc, esponenzle, è necessro determnre prmetr dell funzone ; nel cso dell rett, d esempo, sogn determnre prmetr e, rspettvmente ntercett sull sse e coeffcente ngolre. Scelt prmetr dell funzone ndremo sostture le vecche coppe ; d vlor rel con le nuove coppe ; dove sull se de prmetr dell funzone nterpolnte. * o f sono le frequenze teorche clcolte L dfferenz tr vlor rel e vlor teorc d rppresent l errore che s commette nell nterpolzone per cu l oettvo è quello d sceglere un funzone nterpolnte che mnmzz gl error. Il metodo de mnm qudrt s s sull condzone d ccostmento tr vlor rel e vlor teorc n modo che s mnm l somm de qudrt delle dfferenze tr vlor rel e vlor teorc : MIIMO FACOLTÀ DI ECOOMIA PESCARA Corso d Lure Trennle n ECOOMIA E COMMERCIO Clsse L-33 STATISTICA Anno Accdemco 00-0 Prof. Annle ROCCO ITERPOLAZIOE, REGRESSIOE E CORRELAZIOE Pgn d 3

3 error dell rett nterpolnte I punt del grfco rppresentno le osservzon rel, le coppe ;, l rett nterpolnte vlor teorc, segment che unscono punt con l rett sono gl error d, l d sopr dell rett quell per dfetto vlor rel mggor d quell teorc e l d sotto dell rett quell per eccesso. Scelto l tpo d funzone rett, prol, esponenzle, perole l metodo de mnm qudrt sscur l mglore ccostmento reltvo quell tpolog ; se l nterpolnte è un rett l metodo offre l mglore rett tr le nfnte rette nterpolnt, coè quell con l mglore ccostmento ; se l nterpolnte è un prol l metodo offre l mglore delle prole; l metodo non fornsce l mglore nterpolnte, l scelt del tpo d funzone pprtene l rcerctore n se l grfco, ll relzone logc tr le due vrl e nche llo scopo dell rcerc. Un scelt sglt dell funzone nterpolnte, non rspondente ll ndmento del fenomeno, port esclusvmente ll mglore nterpolnte tr tutte quelle dello stesso tpo m non grntsce ssolutmente l mglore degl ccostment possl. Un volt scelt l funzone s può clcolre un ndce d scostmento per verfcre l ontà d dttmento dell funzone vlor rel : I con I 0, per vere un uon ccostmento, n lcun cs è rchesto un vlore ncor pù pccolo I 0, 0. FUZIOE ITERPOLATE LIEARE Dt l equzone dell rett, dove l coeffcente è l ntercett sull sse delle ordnte e l coeffcente l coeffcente ngolre, l mglore rett nterpolnte con l metodo de mnm qudrt s rppresent mednte l seguente funzone d mnmzzre: ϕ, con e prmetr d clcolre. S trtt d clcolre l mnmo d un funzone due vrl prme przl rspetto lle due vrl ponendole ugul zero:, ; clcolmo le dervte FACOLTÀ DI ECOOMIA PESCARA Corso d Lure Trennle n ECOOMIA E COMMERCIO Clsse L-33 STATISTICA Anno Accdemco 00-0 Prof. Annle ROCCO ITERPOLAZIOE, REGRESSIOE E CORRELAZIOE Pgn 3 d 3

4 FACOLTÀ DI ECOOMIA PESCARA Corso d Lure Trennle n ECOOMIA E COMMERCIO Clsse L-33 STATISTICA Anno Accdemco 00-0 Prof. Annle ROCCO ITERPOLAZIOE, REGRESSIOE E CORRELAZIOE Pgn 4 d 3 D D ' ' S dmostr che s l reltvo Hessno s l dervt second '', D sono mggor d zero e pertnto l rsoluzone del sstem fornrà prmetr ncognt e. Oltre llo schem precedente, s dmostr che prmetr dell rett nterpolnte e possono essere clcolt mednte le seguent formule: ;, con e gl scrt d ogn vlore rspetto ll med rtmetc. Rcordmo che l coeffcente esprme l vlore dell vrle qundo l vrle ssume l vlore zero, grfcmente è l punto dove l rett tgl l sse, l vlore del crttere qundo l crttere è nullo; l coeffcente ngolre esprme l pendenz dell rett, postv se 0 >, negtv se 0 <, null rett prllel ll sse se 0 ; dl punto d vst lgerco l coeffcente esprme l vrzone delle ordnte ll umentre untrmente delle scsse, s ottene nche come rpporto ncrementle dell vrzone delle ordnte e l vrzone delle scsse j j. Dll rett nterpolnte, sosttuendo l prmetro l espressone ottenut con l metodo de mnm qudrt s ottene e qund L copp delle mede rtmetche ; è chmto rcentro dell dstruzone.

5 Esempo. L tell sottostnte rport l prezzo d un ene d lrgo consumo e l reltv qunttà domndt n cnque dstnt perod; clcolre l rett de mnm qudrt e l ndce d scostmento. coppe rlevte rsoluzone mednte l sstem rsoluzone mednte l formul degl scrt rlevzone rlevzone rlevzone rlevzone rlevzone totle med 5 89 A rsoluzone mednte l sstem : uno de vr metod d rsoluzone s ottene B Applcndo l formul degl scrt s ottene 89 3, C per clcolre l ndce d scostmento I e pplcndo 43 ; l rett vrà equzone 3, , , 60, 30 sogn clcolre vlor teorc ; d esempo, l prmo vlore 43 3,60 99, 80. Il secondo vlore 43 3, ,0.L tell srà l seguente: coppe rlevte Vlor teorc Error - d qudrto degl error Vlore 00 99,8 0,0 0,04 Vlore , -,0,44 Vlore ,00 Vlore ,4 0,60 0,36 Vlore ,6-0,60 0,36 Totle ,00 3,0 I 3, ,009 L ndce denot un uon ccostmento. FACOLTÀ DI ECOOMIA PESCARA Corso d Lure Trennle n ECOOMIA E COMMERCIO Clsse L-33 STATISTICA Anno Accdemco 00-0 Prof. Annle ROCCO ITERPOLAZIOE, REGRESSIOE E CORRELAZIOE Pgn 5 d 3

6 R E G R E S S I O E L regressone e l correlzone studno l relzone tr vrl e permettono d ndvdure l legme, se esste, tr le vrl oggetto d studo. ello studo dell regressone s suppone che l legme tr un vrle e l ltr s d dpendenz dell un rspetto ll ltr. Pertnto s suppone che un vrle ssum vlor predetermnt e l ltr vrle s consder dpendente dll prm. esemp: sttur e peso; qunttà d fertlzznte e qunttà del prodotto rccolto; età e pressone sngugn; funzone dell domnd che esprme l legme tr l prezzo e l qunttà domndt; consumo e reddto. ello studo dell correlzone nessun delle due vrl ssume un ruolo prepondernte nel determnre l vlore dell ltr. Scopo dell regressone è quello d msurre l dpendenz d un vrle rspetto ll ltr. Scopo dell correlzone è quello d msurre l grdo d nterdpendenz tr le vrl. L funzone d regressone pù utlzzt è quell lnere e mo così l regressone lnere e l correlzone lnere dove s suppone che l dpendenz tr le vrl poss essere studt mednte l equzone dell rett. Dte coppe d vlor ; le stesse s possono rppresentre mednte l DIAGRAMMA A DISPERSIOE. ltezz n cm numero clztur L tell rport l dstruzone d 6 ndvdu secondo l ltezz e l rspettvo numero delle scrpe. Rppresentndo grfcmente le coppe de punt s ottene l seguente dgrmm dspersone: ltezz n cm FACOLTÀ DI ECOOMIA PESCARA Corso d Lure Trennle n ECOOMIA E COMMERCIO Clsse L-33 STATISTICA Anno Accdemco 00-0 Prof. Annle ROCCO ITERPOLAZIOE, REGRESSIOE E CORRELAZIOE Pgn 6 d 3

7 Lo studo dell regressone consste nel trovre un funzone f che esprme l meglo l legme esstente tr le vrl. ell regressone lnere sogn pertnto determnre un funzone lnere, l rett, che esprme nel modo pù rppresenttvo possle l relzone esstente tr le due vrl X vrle ndpendente e Y vrle dpendente. L equzone dell rett teorc srà : dove - esprme l vlore che ssume qundo l crttere è nullo e -, coeffcente ngolre dell rett, chmto prmo coeffcente d regressone, esprme d qunto vr n med l crttere l vrre d un untà del crttere. Se s vuole studre l nterdpendenz tr le vrl, s scmno le vrl e n modo che l vrle dvent vrle ndpendente ; s ntroduce l second rett dove - esprme l vlore che ssume qundo l crttere è nullo e -, chmto secondo coeffcente d regressone, esprme d qunto vr n med l crttere l vrre d un untà del crttere. I prmetr ; ; ; s determnno mednte l metodo de mnm qudrt che grntsce l mglore ccostmento tr vlor osservt e vlor teorc. I vlor de coeffcent s rcvno dlle seguent formule : I coeffcent e s ottengono scmndo l vrle con l vrle dlle rspettve formule d e. FACOLTÀ DI ECOOMIA PESCARA Corso d Lure Trennle n ECOOMIA E COMMERCIO Clsse L-33 STATISTICA Anno Accdemco 00-0 Prof. Annle ROCCO ITERPOLAZIOE, REGRESSIOE E CORRELAZIOE Pgn 7 d 3

8 I coeffcent d regressone e ssumono sempre lo stesso segno n qunto l numertore è ugule e l denomntore è un qudrto; è l coeffcente ngolre dell prm rett d regressone, mentre è l recproco del coeffcente ngolre dell second rett d regressone.. ello studo dell regressone s ndvduno seguent ltr ndc : CODEVIAZA COD, DEVIAZA DI X DEV X 3 DEVIAZA d Y DEV Y 4 COVARIAZA COV, e pertnto coeffcent d regressone s possono ottenere mednte le formule: COD X, Y COD X, Y e DEV X DEV Y D dt dell tell precedente s ottene l seguente grfco dell rett d regressone : 49 rett d regressone 0,543 -, ltezz n cm FACOLTÀ DI ECOOMIA PESCARA Corso d Lure Trennle n ECOOMIA E COMMERCIO Clsse L-33 STATISTICA Anno Accdemco 00-0 Prof. Annle ROCCO ITERPOLAZIOE, REGRESSIOE E CORRELAZIOE Pgn 8 d 3

9 C O R R E L A Z I O E ello studo dell correlzone nessun delle due vrl ssume un ruolo fondmentle nel determnre l vlore dell ltro. Scopo dell correlzone è quello d msurre l grdo d nterdpendenz delle due vrl. L correlzone s clcol mednte un ndce ndcto con r, compreso tr e, ed esprme come le due vrl vrno conguntmente. Così come nello studo dell vrltà d un vrle s utlzz l vrnz σ o VARX, oppure lo scrto qudrtco medo σ, per msurre l vrltà congunt d due vrl s utlzz l covrnz COVX,Y o σ. L ndce per msurre l correlzone è l coeffcente d correlzone d Person : COV X, Y r σ σ l ndce s può ottenere nche con coeffcent d regressone e r ± dove l segno s utlzz se l coeffcente d regressone è postvo, segno se l coeffcente è negtvo. OSSERVAZIOI S è gà rferto che due coeffcent d regressone hnno lo stesso segno e qund le rette d regressone sono o entrme crescent o entrme decrescent. - se e sono postv le rette sono crescent e r è postvo ; - se e sono negtv le rette sono decrescent e r è negtvo; - se è ugule 0 le rette sono prllele gl ss e r è ugule 0; - r è un ndce dmensonle, coè non dpende dlle untà d msur de crtter ed è sempre compreso tr e ; - qundo r s vvcn v è forte correlzone negtv, qundo s vvcn v è forte correlzone postv; qundo s vvcn 0 non v è correlzone lnere tr le vrl. FACOLTÀ DI ECOOMIA PESCARA Corso d Lure Trennle n ECOOMIA E COMMERCIO Clsse L-33 STATISTICA Anno Accdemco 00-0 Prof. Annle ROCCO ITERPOLAZIOE, REGRESSIOE E CORRELAZIOE Pgn 9 d 3

10 ell tell è evdenzto l orgnzzzone de dt per clcolre gl ndc d regressone e correlzone. TABELLA sttur n cm peso n kg scrt scrt prodotto degl scrt scrt qudrtc scrt qudrtc ndc totle n 0 med d X 7 med d Y 75 CODX,Y 936 DEVX 76 DEVY 830 COVX,Y 93,6 VARX 7,6 VARY 83 0,796-6,898,8 87,4 r 0,947 Il coeffcente d correlzone è sgnfctvmente vcno e pertnto v è un forte correlzone, un decs nterdpendenz tr le vrl sttur e peso; l crescere dell sttur s verfc un corrspondente umento d peso. In prtcolre l prmo coeffcente d regressone ndc che se l sttur ument d cm l peso ument medmente d 0,79 kg. Il secondo coeffcente d regressone ndc che l crescere del peso d kg s può rgonevolmente supporre l'umento dell'ltezz pr, cm. Le due rette d regressone sono -6,8980,7959 e 87,4,77. Se s volesse stmre l peso d un person dell qule conoscmo l'ltezz d 80 cm s v sostture questo vlore ll dell prm rett e s ottene l peso teorco tteso d 8 kg crc. Vcevers se s conosce l peso d un person pr kg 67 s v sostture questo vlore ll dell second rett d regressone e s ottene l sttur teorc ttes d 63 cm crc. FACOLTÀ DI ECOOMIA PESCARA Corso d Lure Trennle n ECOOMIA E COMMERCIO Clsse L-33 STATISTICA Anno Accdemco 00-0 Prof. Annle ROCCO ITERPOLAZIOE, REGRESSIOE E CORRELAZIOE Pgn 0 d 3

11 DISTRIBUZIOE SECODO DUE CARATTERI I UA TABELLA A DOPPIA ETRATA Qundo le untà del collettvo sono numerose e le coppe ; ssumono gl stess vlor, coè s rpetono, è preferle rppresentre dt mednte un dstruzone dopp d frequenze e contndo po le untà d cscun delle clss ottenute: Dte d esempo le seguent 0 coppe rppresentnt le untà rlevte del reddto e del consumo R;C 00;70 00;70 00;70 00;90 00;80 00;80 00;80 00;80 00;80 00;90 00;90 00;90 00;90 00;90 00;90 0;70 0;80 0;80 0;80 0;00 esse s possono rppresentre nell seguente tell dopp entrt : VALORI Y COSUMO VALORI X REDDITO totle rg totle colonn In generle un tell dopp entrt con frequenze srà così rppresentt: crttere crttere 3 j t totle rghe n n n 3 n j n t n 0 n n n 3 n j n t n 0 3 n 3 n 3 n 33 n 3j n 3t n 30 n n n 3 nj n t n 0 s n s n s n s3 n sj n st n s0 totle colonne n 0 n 0 n 03 n 0j n 0t n Dove l smolo n j ndc l frequenz dell copp dell esm rg e l j esm colonn, n 0 ndc l totle delle frequenze dell rg esm e n 0 j ndc l totle delle frequenze dell colonn j esm. FACOLTÀ DI ECOOMIA PESCARA Corso d Lure Trennle n ECOOMIA E COMMERCIO Clsse L-33 STATISTICA Anno Accdemco 00-0 Prof. Annle ROCCO ITERPOLAZIOE, REGRESSIOE E CORRELAZIOE Pgn d 3

12 DISTRIBUZIOI MARGIALI L colonn e l rg del totle ultm colonn e ultm rg dell tell sono chmte dstruzon mrgnl. Esse corrspondono lle dstruzon d frequenze de due crtter esmnt, reddto e consumo; l colonn del totle è l dstruzone del crttere X, nell esempo l dstruzone del crttere reddto; l rg del totle è l dstruzone del crttere Y, nell esempo l dstruzone del crttere consumo. dstruzone mrgnle reddto vlor X reddto totle rg totle 0 Ad ognun delle due dstruzon mrgnl corrsponde un med mrgnle s M e n 0 j n0 j j M 04 M 8, 50 n 0 n 0 I coeffcent delle due rette d regressone dlle seguent formule: t e dstruzone mrgnle consumo vlor Y consumo totle colonn totle 0 s ottengono M. COD X, Y j s DEV X s t M M M n 0 n j M M COD X, Y j t DEV Y s t M j M M n 0 j n j M M Il coeffcente d correlzone è dto dll rdce qudrt del prodotto de due coeffcent d regressone: r ± FACOLTÀ DI ECOOMIA PESCARA Corso d Lure Trennle n ECOOMIA E COMMERCIO Clsse L-33 STATISTICA Anno Accdemco 00-0 Prof. Annle ROCCO ITERPOLAZIOE, REGRESSIOE E CORRELAZIOE Pgn d 3

13 Esempo: Clcolre le rette d regressone d Y su X e X su Y e l coeffcente d correlzone. X Y totle totle s clcolno le mede mrgnl delle due vrl M e M : n j n0 j j M M 30 n n s costrusce l tell dopp entrt degl scrt: M -M Y 3 -M Y 4 -M totle totle -M 4 8 n M 3 9 n totle n 0 n 0 n 03 n 04 n totle c s clcolno l codevnz e le devnze: COD X, Y DEV X DEV Y d s clcolno coeffcent : ,0; 30, 0 6; 0,30; 0 0, le rette d regressone :,0 6 e 0,30 coeffcente d correlzone r,0 0,30 0,60 Blogrf : Let, Sttstc descrttv; Grone-Slvemn, Mtemtc con pplczon nformtche 3, Gmotto Mnzone - Consoln, Trmontn; Proltà e sttstc descrttv Bergmn,Trfone,Brozz, Znchell. FACOLTÀ DI ECOOMIA PESCARA Corso d Lure Trennle n ECOOMIA E COMMERCIO Clsse L-33 STATISTICA Anno Accdemco 00-0 Prof. Annle ROCCO ITERPOLAZIOE, REGRESSIOE E CORRELAZIOE Pgn 3 d 3

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