( ) [ ] = 6976,85 U 1/1/13 = 287,84e "0, ,74e "0,06 2 =401,21 ( ) "1 + ( 1,048) "2 & ( ) 3 =1+ 3 2

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1 1 Appello sessione estiva 2009/ 2010 (tassi equivalenti - ammortamento) 1 Parte Rispondere ai seguenti distinti quesiti in A) e in B). A) Il capitale C=10000 è stato impiegato in capitalizzazione composta semestrale, al tasso semestrale di interesse i 1/ 2 = 0,01 dal 1/1/2009 al 1/7/ ) Determinare il montante prodotto al 1/7/ ) Determinare il valore dei seguenti tassi equivalenti al tasso suddetto (i 1/ 2 = 0,01) per la durata di impiego dal 1/1/2009 al 1/7/2010: - tasso annuo i della capitalizzazione composta annua, convenzione esponenziale, - tasso annuo î della capitalizzazione composta annua, convenzione mista, - tasso annuo i* della capitalizzazione semplice. B) Il capitale A=20000 è stato prestato il 1/1/2009 e viene ammortizzato con 6 rate annue posticipate costanti al tasso annuo del 4%. 3) Stendere il piano d ammortamento. Il 1/1/2013, subito dopo il versamento della rata ivi dovuta, determinare valore del prestito e l usufrutto nelle seguenti ipotesi: 4) è dato il tasso annuo di interesse della capitalizzazione composta annua i=0,05; è data la legge di capitalizzazione continua ad intensità annua di annua di interesse δ=0,06; 5) sono dati i tassi annui spot (tempo misurato in anni a partire dal 1/1/2013) i 0 (0,1)= 0,053, i 0 (0,2)=0,048. Soluzione ( ) 3 =10303,01 ( ) 3 = ( 1+ i) 1,5 1+ i = ( 1,01) 2 i = 0,0201 1) M 1/ 7 /10 = ) 1,01 ( 1,01) 3 = 1+ ˆ " i # ( ) ˆ % i ' 1,01 ( ) 3 = ( 1,01) 3 =1+ 3 i* i* = 0, ) R = 20000" 6 = 3815,23 0,04 ˆ i + 1 ˆ i 2 2 ˆ i = "3,02 0,02007 non accett. Sì ˆ i = 0,02007 Anno z Rata Quota interessi Quota capitale Debito estinto Debito residuo , , , , ,23 679, , , , ,23 553, , , , ,23 423, , , , ,23 287, , , , ,23 146, , , ) V 1/1/13 = 3815,23a 2 = 7094,09 U 1/1/13 = 287,84 1,05 0,05 ( ) "1 +146,74( 1,05) "2 = 407,21 V 1/1/13 = 3815,23 e "0,06 + e "0,06 2 # 5) V 1/1/13 = 3815,23 1,053 % [ ] = 6976,85 U 1/1/13 = 287,84e "0, ,74e "0,06 2 =401,21 ( ) "1 + ( 1,048) "2 '( = 7096,95 U 1/1/13 = 287,84( 1,053) "1 +146,74( 1,048) "2 =406,96

2 7 ) Appello 03/06/2009 (valutazione rendite -titoli) 1 parte Si consideri la seguente rendita: cinque rate semestrali di ammontare R=500 (prima rata disponibile il 1 /1/09). Determinarne il valore al 1 /1/11 nelle distinte ipotesi: 1) capitalizzazione composta annua a tasso semestrale di interesse i 1 = 0,02; 2 2) convenzione di c/c bancario (con capitalizzazione a fine anno) al tasso annuo di interesse i=0,04. 0,01 3) capitalizzazione continua ad intensità annua di interesse "( s) = (l'istante iniziale di 1+ 0,01s questa legge è il 1 /1/09). Oggi 1 gennaio 2009 (tempo 0) è disponibile il "titoloa" di valore nominale C=100, che dà diritto a cedole annuali di ammontare Ci=3 e rimborso alla pari il 1 /1/2013 (prima cedola disponibile il 1 /1/ 2010); il suo prezzo (valore) oggi è 98: _ /1/09 1/1/10 1/1/11 1/3/11 1/1/12 1/1/13 4) Determinare il tasso di effettivo rendimento del "titolo A" acquistato oggi e trattenuto fino al rimborso; 5) ipotesi di struttura piatta al tasso annuo i=0,04, determinare il dietimo e il corso secco del titoloa alla data 1 marzo SOLUZIONE 7 ) ( 1) 1) S 1/ 1/ 11 = 500s 5 0,02 = 2602,02 ( 2) ( " 2) S 1/1/11 = 500 ( 1,04) # 2 0,04 % + * ' +1-1,04 ), t 0,01 3) "( t) = # ,01s ds = ln( 1+ 0,01s) 1+0,01t 1+ 0,02 = 1+ 0,01t! = 500 e " ( 2 ) "( 2)#" ( 0,5) " 2 + e + e % e "( 2)#" ( t) 1+0,02 ln = e ( 3) S 1/1/11 (" ( ) + 500* ,04 )# [ ] 0 t = ln 1+ 0,01t ( )#" 1 ( ) + e " 2 ( )! ( )#" 1,5 _ /1/09 1/1/10 1/1/11 1/3/11 1/1/12 1/1/ ) 98=3 a 4 0, ( 1+ x) "4 " x = "1 s 4 x % + ' +1- = 2601,2, ( ) ' +1 ) = 2524,876. ( 100 x 1 = "1 100 = 0, x 2 = 3 s 4 x "1 = 0, s 4 x x 3 = "1 = 0, ! x = 0,03545 s 4 x2 5) Dietimo=3 2 =0,5 Corso secco= : x 0 = 3 98 = 0, ( ) " % 10 ( 1+ 0,04) " ,04 # ' ( =98,2734

3 Appello del 17/06/2009 (ammortamento a rate semestrali costanti-mercato ) Si risponda ai seguenti distinti quesiti. -Oggi si contrae il debito A=1000 euro e si decide di ammortizzarlo in 5 anni al tasso annuo i=0,03 in capitalizzazione composta (convenzione esponenziale) con 10 rate semestrali posticipate costanti, si chiede di determinare: 1) il tasso semestrale equivalente al tasso annuo i=0,03 e il tasso nominale convertibile 2 volte l anno j(2); 2) la rata semestrale costante e il debito residuo subito dopo il versamento della sesta rata semestrale; 3) supponiamo che dopo il versamento della sesta rata non si sia più in grado di versare le rate successive. Si chiede di determinare quale capitale iniziale, al tempo 0, (A ) si è ammortizzato con il versamento delle sole 6 prime rate. -Oggi il 1 /01/09 (tempo 0) sono disponibili in un mercato coerente i seguenti 2 titoli: Primo titolo senza cedole (z.c.b.) con valore nominale 100, prezzo oggi 98 e rimborso alla pari il 1 /01/10; Secondo titolo con cedole (c.b.) con valore nominale 100, cedole annue posticipate ciascuna di ammontare 2, prezzo oggi 97 e rimborso alla pari il 1 /01/11; si misuri il tempo in anni a partire dal 1 /01/09, si chiede di: 4) determinare il tasso annuo spot i 0 (0,1) e il tasso annuo spot i 0 (0,2); 5)il tasso anuo forward i 0 (1,2). SOLUZIONE ) 1) 1+0,03=(1+i 1/2 ) 2 da cui i 1/2! 0,01489 j(2)=0,01489x2=0, ) 1000=R a 10 0,01489 da cui R=108,37099 D 3 anni =108,37099 a 4 0,01489 =417,815 3) A =108,37099 a 6 0,01489 =617,64 4) 98(1+i 0 (0,1))=100 da cui i 0 (0,1))=0,0204, 97=2(1+ i 0 (0,1)) (1+ i 0 (0,2)) -2 =2x98/ /(1+ i 0 (0,2)) -2 da cui i 0 (0,2)=0, ) (1+ i 0 (0,2)) 2 =(1+ i 0 (0,1)) (1+ i 0 (1,2)) cioè (1+ 0,03596) 2 = (1+ i 0(1,2)) da cui i 0 (1,2)=0,05176

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5 Appello del 1 luglio 2009 (costituzione, ammortamento) 1 parte Devo costituire il capitale C=1000 per la scadenza 1 /1/2012. Per la costituzione utilizzo 3 rate annue (1 rata versata il 1 /1/2010). Determinare il valore di ciascuna rata nelle distinte ipotesi: 1) le rate sono costanti in regime di capitalizzazione composta annua al tasso annuo i=0,04; 2) le rate sono ciascuna il doppio della precedente (cioè R 1, R 2 =2 R 1, R 3 =2 R 2 =4 R 1 ) in regime di capitalizzazione composta annua al tasso annuo i=0,04; 3) le rate sono costanti in regime di capitalizzazione continua ad intensità annua di interesse " s ( ) = 0,04 + 0,02s (l'istante iniziale di questa legge è il 1 /1/10). Devo ammortizzare il debito A=889 mediante il versamento di 3 rate annue posticipate costanti al tasso annuo i=0,04. 4) Determinare il valore delle rate e delle quote capitale; 5) subito dopo il versamento della prima rata, determinare il valore del prestito e la nuda proprietà al tasso annuo di valutazione i=0,05. Soluzione 1) 1000 = R (1) s 3 0,04 " R (1) = 320,35 2) 1000 = R 1 ( 1+ 0,04) 2 + 2R 1 ( 1+ 0,04) + 4R 1 " R 1 =139,63 R 2 = 279,26 R 3 = 558,53 t ' 3) "( t) = # ( 0,04 + 0,02s)ds = 0,04s + 0,02 s2 ) = 0,04t + 0,01t 2, 0 % 2 ( = R ( 3) e "( 2) + e "( 2)#" ( 1) +1 ( ) e 0,08+0,04 0,08+0,04-0,04+0,01 + e ( ) +1 ( ) = R 3 ( ) R 3 4) 889 = R (4) a 3 0,04 " R (4) = 320,35 C z = 889" 3 ( 1,04) z#1 C 1 = 284,79 C 2 = 296,18 C 3 = 308,03 0,04 5) V = 320,35a 2 = ,05 A = 296,18( 1 + 0,05) " ,03( 1+ 0,05) "2 = 561,87 t ( ) = 312,5

6 APPELLO (Capitalizzazioni, ammortamento) A) Si risponda ai seguenti distinti quesiti. Primo quesito. Si versino 100 euro il 1 /04/2010. Determinare il montante al 31/12/2012: 1) in regime di interesse semplice e in regime di capitalizzazione composta annua convenzione esponenziale al tasso annuo di interesse del 3% rispettivamente; 2) in regime di conto corrente bancario (capitalizzazione degli interessi il 31/12 di ciascun anno solare) al tasso annuo di interesse del 3%; 3) in regime di capitalizzazione continua a tasso annuo istantaneo di interessa ρ(s)=0,1+0,02s, l istante iniziale di tale legge è il 1 /01/2010. Secondo quesito. Il debito A= 200 euro è ammortizzato in 8 anni con un ammortamento francese a tasso annuo di interesse i=0,05. 4) Si chiede di determinare il valore della rata costante e compilare la quinta riga del piano di ammortamento. 5) Supponiamo che dopo il versamento della quinta rata non si paghino più le ultime 3 rate di ammortamento previste dall ammortamento francese, si chiede di: dire a quanto ammonta il debito ancora da estinguere in tale data (cioè alla fine del quinto anno). Tale debito residuo è ammortizzato negli ultimi 3 anni con un ammortamento americano, determinare le ultime 3 rate di ammortamento, e determinare la sesta, la settima e l ottava riga del piano di ammortamento così modificato (il tasso di interesse annuo è sempre i=0,05). SOLUZIONE " " 1) M 1 = ,03 9 # %% '' =108,25 # ( ) 2+ 9 M 2 = ,03 12 =108,46 " 2) M 3 = ,03 9 % ' 1+ 0,03 # 12 ( ) 2 =108,47 [ ] 3) "(t) = ( 0,1+ 0,02s)ds = 0,1s + 0,01s 2 t = 0,1t + 0,01t 2 M 4 =100 e t # 0 0 "(3)#" 3 ' ) 0,3+0,09"0,1 3 % 12 ( 12 "0,01 # 3 2 % ( 12 =100 e ' =143,96 4) 200=R a 8 0,05 da cui R=30,94; D 4 =30,94 a 4 0,05 =109,71 z R D z I z C z 4 109, ,94 84,25 5,48 25,45 5) D 5 =84,25; R* 6 =R* 7 =84,25x0,05=4,21 R* 8 =84,25+4,21=88,46 z R* z D* z I* z C* z 6 4,21 84,25 4, ,21 84,25 4, ,46 0 4,21 84,25

7 APPELLO (Capitalizzazioni, ammortamento) B) Si risponda ai seguenti distinti quesiti. Primo quesito. Si versino 300 euro il 1 /03/2010. Determinare il montante al 31/12/2012: 1) in regime di interesse semplice e in regime di capitalizzazione composta annua convenzione esponenziale al tasso annuo di interesse del 4% rispettivamente; 2) in regime di conto corrente bancario (capitalizzazione degli interessi il 31/12 di ciascun anno solare) al tasso annuo di interesse del 4%; 3) in regime di capitalizzazione continua a tasso annuo istantaneo di interesse ρ(s)=0,03s 2, l istante iniziale di tale legge è il 1 /01/2010. Secondo quesito. Il debito A= 600 euro è ammortizzato in 6 anni con un ammortamento a quote di capitale costanti a tasso annuo di interesse del 4%. 4) Si chiede di determinare il valore della quota di capitale e compilare la terza riga del piano di ammortamento. 5) Supponiamo che dopo il versamento della terza rata non si paghino più le ultime 3 rate di ammortamento previste dall ammortamento a quote di capitale costanti, si chiede di: dire a quanto ammonta il debito ancora da estinguere in tale data (cioè alla fine del terzo anno). Tale debito residuo è ammortizzato negli ultimi 3 anni con un ammortamento americano, determinare le ultime 3 rate di ammortamento, e determinare la quarta, la quinta e l sesta riga del piano di ammortamento così modificato (il tasso di interesse annuo è sempre del 4%). SOLUZIONE " " 1) M 1 = ,04 10 # %% '' =334 # ( ) 2+10 M 2 = ,04 12 =335,26 " 2) M 3 = ,04 10 % ' 1+ 0,04 # 12 t 3) "(t) = # ( 0,03s 2 )ds = [ 0,01s 3 ] t 0= 0,01t 3 M 4 =300 e 4) C= =100; 2 0 "(3)#" 2 ' % 12 ( ( ) 2 =335,296 # 3 % ( 12 ' ) =100 e 0,27"0,01 2 B 2 = " 100=200, D 2 = =400, z=1 =392,97 z C D z I z R z ) D 3 =300; R* 4 =R* 5 =300x0,04=12 R* 6 =300+12=312 z R* z D* z I* z C* z

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9 Appello 15 gennaio Fattore di capitalizzazione Ammortamento Rispondere ai seguenti distinti quesiti A) e B). A) E data la funzione così definita: (*) f t 1,t 2 ( ( )), 0 # t 1 # t 2, a costante. ( ) = 1+ a t 2 2 " t 1 2 Si misuri il tempo in anni a partire dal 1 /1/ ) Determinare per quali valori della costante a f t 1,t 2 ( ) può essere un fattore di capitalizzazione da t 1 a t 2. Assunto tale fattore di capitalizzazione, determinare il valore di a sapendo che il capitale C 1 =100 impiegato il 1 /1/2010 produce il montante M=132 il 1 /1/ ) Si consideri sempre il fattore di capitalizzazione (*) e si assuma a=0,02 in esso. Il capitale C 2 =800 è disponibile il 1 /1/2012. Determinare il valore di C 2 alla data 1 /1/2014. B) Il 1 gennaio 2004 ho prestato il capitale A=70000 con l'accordo di ammortamento mediante 7 rate annue posticipate a quote di capitale costanti al tasso della capitalizzazione composta annua i=0,06. 3) Scrivere le prime quattro righe del piano d ammortamento; 4) determinare la nuda proprietà il 1 gennaio 2008 nelle distinte ipotesi: - al tasso annuo di interesse i=0,06 della capitalizzazione composta annua, - al tasso semestrale di interesse i 1/ 2 = 0,04 della capitalizzazione composta semestrale. 5) Subito dopo il versamento della quarta rata si decide di cambiare il tipo di ammortamento completando l ammortamento mediante il versamento di 3 rate annue posticipate costanti (prima rata versata il 1 gennaio 2009) di ammontare R ciascuna. Determinare il valore di R sapendo che il tasso annuo è sempre i=0,06. Soluzione ( ) = 1+a t 1 2 " t 1 2 1) f t 1,t 1 è adatta se è a > f 0,4 ( ( )) = 1 Sì ; ( ) = 132 " a( 16 # 0) ( ) = 1+0,02 t " t 1 2) f t 1,t 2 " f ( t 1,t 2 ) = a2t 2 > 0 per t 2 > 0 # a > 0 " "t 2 ( ) = 132 " a = 0,02 ( ( )) V 1 / 1/ 2014 = 800 f 2,4 ( ) = 992 ( ) = ,02( 16 " 4) 3) Quota capitale: C = = Anno z Quota capitale Debito estinto Debito residuo Quota interessi Rata ) A 4;0,07 = 10000a 3 0,06= 26730,12 1+ i = ( 1+ 0,04) 2 " i = 0,0816 A 4;0,0816 = 10000a 3 0,0816 = 25696,749 5) D 4 = " R = 30000" 3 0,06 = 11223,294

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11 3 Appello sessione estiva 2009/ 2010 (capitalizzazione continua - ammortamento) 1 Parte A) Si consideri la legge di capitalizzazione continua definita dalla seguente intensità annua di interesse: (*) "( s) = 0,03s 2 + 0,01 s 0: 1) determinare il fattore logaritmico di capitalizzazione ϕ(t) da 0 a t, t>0, 2) determinare il fattore di capitalizzazione f( t 1,t 2 ) = e " ( t 2)#" ( t 1 ) da t1 a t 2, 0 " t 1 " t 2 ; 3) si misuri il tempo in anni a partire dal 1/1/2010 e si consideri sempre la legge di capitalizzazione definita dalla (*): - determinare il montante prodotto alla data 1/1/2012 dal capitale C 1 =100 impiegato il 1/1/2010; -- determinare il montante prodotto alla data 1/1/2012 dal capitale C 2 = 200impiegato il 1/7/2010. B) Il capitale A=1000 è ammortizzato in 20 anni al tasso della capitalizzazione composta annua i=0,04 con ammortamento a quote di capitale costanti: 4) scrivere le prime 4 righe del piano d ammortamento; 5) determinare la nuda proprietà subito dopo il versamento della quarta rata nelle seguenti distinte ipotesi: ^ tasso della capitalizzazione composta annua i 1 = 0,05, ^^ tasso annuo di interesse effettivo corrispondente al tasso annuo nominale convertbile 2 volte l anno j ( 2) = 0,06. Soluzione A) 1) " t B) t 0 ( )ds = 0,03s 2 t 0( + 0,01)ds = 0,03s 2 % ( + 0,01)ds = 0,03 ( 0 3 s3 + 0,01s ' ) * t ( ) = # s ( ) = e " t 2 2) f t 1,t 2 3) M 1 =100f 0,2 ( )#" t 1 ( ) =100e " M 2 = 200f 1 # 2,2 % ' = 200e ( ) = e 0,01 t 2 3 +t 2 ( )"0,01 t 1 3 +t 1 0,01( 8+2)"0, ,01 ( 8+2 )"0,01 # % 2 ' ( ) ; ( ) =110,517 ( = 219,657 t 0 = 0,01( t 3 + t) ; 4) C = = 50 Anno z Quota capitale Debito estinto Debito residuo Quota interessi Rata ) A 4;0,05 = 50a 16 0,05 = 541,888 = 0,03 tasso annuo effettivo i = ( 1+ 0,03) 2 "1= 0,0609 i 1 = 0, A 4;0,0609 = 50a 16 = 502,186 0,0609

12 1 ) Appello 16/12/2008 (ammortamento -mercato) Rispondere ad entrambi i quesiti A) e B). A) Il prestito di Euro contratto oggi 1/1/2008, tempo 0, è rimborsabile in 20 anni al tasso annuo del 5% della capitalizzazione composta con un ammortamento francese; si chiede di: 1) determinare le rate e il debito residuo alla fine del diciasettesimo anno, cioè D 17 ; 2) compilare le ultime 3 righe del piano di ammortamento; 3) determinare il valore del prestito alla fine del diciottesimo anno, cioè V 18, al tasso annuo istantaneo di valutazione!*= 0,07. B) Oggi, tempo zero, sul mercato vi sono 2 titoli, entrambi con valore di rimborso pari al valore nominale =100: - zcb 1 scadente tra un anno, prezzo oggi 97,04; - zcb 2 scadente tra due anni, prezzo oggi 95,26. Determinare, in ipotesi di mercato coerente: 4) i tassi annui spot i0(0,1), i0(0,2) e il tasso annuo forward i0(1,2). (Facoltativo: se i fattori di capitalizzazione f0(0,1) e f0(0,2) sono quelli determinati al punto 4) e f0(1,2) è uguale a 100/97, il mercato è coerente? Motivare la risposta). Se la struttura del mercato è quella sopra definita al punto 4), determinare: 5) il prezzo oggi (tempo zero) di un titolo cb, titolo con cedole annue posticipate= 7, di vita residua 2 anni e valore di rimborso pari al valore nominale=100. SOLUZIONE 1 ) 1) =R a 20 0,05 da cui R=40.121,29; D 17=R a 20"17 0,05 = ,22; 2) z R D z I z C z , , , , , , , , , ,75 3) 1+i*=e "* =e 0,07 da cui i*=0,0725; V 18;!"!7 =R a 2 0,0725=72.289,43. 4) 97,04(1+i 0 (0,1))=100 da cui i 0 (0,1)=0, , 95,26(1+ i 0 (0,2)) 2 =100 da cui i 0 (0,2)=0,024577, 100 f 0 (0,2)=f 0 (0,1) f 0 (1,2) cioè 95,26 = ,04 (1+ i 0(1,2)) da cui i 0 (1,2)=, ; [FAC: il mercato non è coerente perché f 0 (0,2)#f 0 (0,1)f 0 (1,2) infatti 1,05042#1,06237]. 5) V(0)= 7 97,04 95, =108, ,26 " ,04 97 cioè

13 2 ) Appello 18/12/2008 (costituzione- titoli) Vengono versate 4 rate annue costanti (prima rata versata il 1 /1/2009) per costituire il capitale C=1.000 alla data 1 /1/2012. Per la costituzione si utilizza, alternativamente: a) il tasso annuo della capitalizzazione composta annua i=0,04 oppure b) il tasso annuo nominale convertibile 4 volte l anno j(4)=0,08 oppure c) la legge di capitalizzazione continua ad intensità annua di interesse "( s) = 0,03 (l istante iniziale di questa legge è il il 1 /1/2009). 1# 0,03s Determinare l ammontare delle rate: 1) nel caso a) e nel caso b); 2) nel caso c). 3) Se nel caso a) si versano regolarmente le prime 2 rate, non si versa la 3 rata e si completa la costituzione versando ancora soltanto un ultima rata di ammontare R il 1 /1/2012, determinare il valor di R. Il 1 /1/2007 è stato emesso un titolo di valore nominale 100 che dà diritto a cedole annue posticipate al tasso annuo nominale i=0,03 e al rimborso alla pari il 1 /1/2011: _ /1/07 1/1/08 1/10/08 1/1/09 1/1/10 1/1/11 Oggi è il 1 /10/2008. Fissato il tasso annuo di valutazione i*=0,04, determinare oggi: 4) l ammontare di ciascuna cedola e il valore del titolo; 5) il dietimo e il corso secco del titolo. SOLUZIONE 2 ) 1) a)r (a) s 4 0,04 =1000 da cui R(a) =235,49, b)i 1/4 =0,08/4=0,02, R (b) (1,02) 12 + R (b) 81,02) 8 + R (b) (1,02) 4 + R (b) =1.000, da cui R (b) =221,1268; t 0,03 2) "(t) = ds = #[ ln(1# 0,03s) ] 0 t = #ln(1# 0.03t) 1# 0,03s 0 R (c) e "( 3) + e "( 3)#" ( 1) + e "( 3)#" ( 2) ' +1 % () =1.000, da cui R(c) =238,219; 3) R (a) s 2 0,04 (1,04)2 + R =1000, da cui R =480,399. 4) Ci=100x0,03=3; V=3(1,04) -3/12 +3(1,04) -(1+3/12) +103(1,04) -(2+3/12) =100,1273; 5) "(p)= "(9/12)=3x9/12=2,25, S=3x3/12(1,04) -3/12 +3(1,04) -(1+3/12) +103(1,04) -(2+3/12) =97,89926.

14 3 ) Appello 14/01/2009 (leggi di capitalizzazione/sconto ammortamento/costituzione) E data la funzione così definita: # 2 "t1 2 (#) f ( t 1, t 2 ) = e a % t 2 ( ', 0 ) t1 ) t 2, a costante. Si misuri il tempo in anni a partire dal 1 /1/ ) Determinare per quali valori di a la quantità f t 1,t 2 capitalizzazione da t 1 a t 2. ( ) è adatta ad esprimere un fattore di Si ponga a = 0,03 in (#). 2) * Stabilire se il fattore di capitalizzazione (#), con a = 0,03, definisce una legge di capitalizzazione scindibile o non scindibile; ** Scrivere la legge di capitalizzazione definita da (#), con a = 0,03, esprimente il montante in t 2 del capitale C impiegato in t 1. 3) Il capitale C1=200 è impiegato il 1 /5/2009 e il capitale C2=100 è impiegato il 1 /5/2010. Assunto il fattore di capitalizzazione (#), con a = 0,03, o il fattore di sconto della legge di sconto coniugata di (#), determinare il valore di C1 e il valore di C2 alla data 1 /1/2010. E data una rendita di 5 rate semestrali costanti di ammontare R=20 ciascuna (1 rata disponibile il 1 /7/09). Determinare: 4) il debito A (contratto il 1 /1/2009) che tale rendita ammortizza al tasso semestrale i 1/ 2 = 0,03 della capitalizzazione composta semestrale; 5) il capitale C che tale rendita costituisce alla data 1 /1/2012 allo stesso tasso semestrale i 1/ 2 = 0,03 della capitalizzazione composta semestrale. SOLUZIONE 3 ) 1) f ( t 1, t 1 ) = e a ( 0 ) " =1 sì, ( ) = 2at 2 e a % t 2 f t 1, t 2 "t 2 esprimere un fattore di capitalizzazione " a > 0. 2) * f ( t 1,z)f z, t 2 è scindibile; ( ) = e 0,03 % z # 2 "t1 2 ' ( 0,03 # t 2 e 2 "z 2 % ' ** "( C, t 1,t 2 ) = Cf ( t 1,t 2 ) = Ce 0,03 % t 2 ( 3) V C 1) " 4 = 200f # 12,1 % ' = 200e ( V C 2) 1 =100 f 1, 16 =100 " % ' # 12 e 4) A = 20a 5 0,03= 91, #t1 2 ' ) ( " 0, " ( 4 % 2 % ' ' # 12 ' # 1 " " 0,03 16 % 2 % ' (1 2 ' # 12 ' # 2 #t1 2 ' ( # ) > 0 per "t 2 # 0 a > 0 # è adatta ad # ( 0,03 % z 2 "t 2 = e 1 +t2 2 "z 2 ' ( 0,03 % t 2 = e 2 "t1 2 ( ' = f ( t1,t 2 ),0 ) t 1 ) z ) t 2 # = 205,4051 = 97,6937 5) C = 20s 5 0,03 =109,368 oppure C= A( 1,03) 6 =109,368.

15 4 ) Appello 27/01/09 (rendite-costituzione) Si considerino le seguenti rendite: rendita A: /01/09 01/01/10 01/01/11 01/01/12 01/01/ rendita B:..... ; 01/01/10 01/01/11 01/01/12 01/01/13 01/01/14 si chiede di: 1) determinare il valore all 01/01/09 della rendita A e della rendita B nell'ipotesi di capitalizzazione composta annua al tasso annuo di interesse i=0,05; 2) determinare il valore all 01/01/09 della rendita A se è assegnato il tasso annuo di sconto d=0,04 in regime di sconto commerciale; 3) trovare il valore all 01/01/11 rispettivamente della rendita A e della rendita B se è assegnato il tasso annuo nominale convertibile 2 volte l'anno j(2)=0,04. Oggi l 01/01/09 decido di costituire il capitale C per l'1/1/2013 versando la rendita A in regime di capitalizzazione composta annua a tasso annuo i=0,05: si chiede di 4) determinare C e determinare il fondo costituito all 01/01/11; 5) supponiamo che l 01/01/2011, dopo il versamento della rata qui dovuta, si sospendano tutti i successivi versamenti, e se dall 1/1/2011, in poi, il tasso di interesse cambia e diventa il tasso annuo istanteneo di interesse!=0,09 del regime della capitalizzazione continua

16 5 ) Appello 11/02/09 (ammortamento-valore prestito-tassi spot e forward) A) Il 1 gennaio 2001 ho prestato il capitale A= con l'accordo di ammortamento mediante 10 rate annue posticipate costanti al tasso della capitalizzazione composta annua i=0,08. 1) Determinare l ammontare di ciascuna rata e scrivere le prime tre righe del piano d ammortamento; 2) determinare il valore del prestito il 1 gennaio 2009 al tasso annuo di interesse i=0,05 della capitalizzazione composta annua; 3) determinare il valore del prestito il 1 ottobre 2009 al tasso annuo di interesse i=0,05 della capitalizzazione composta annua-convenzione esponenziale. B) Oggi 1 /1/2009 sono presenti sul mercato i seguenti due titoli: il "Titolo I" senza cedole (z.c.b.) con valore nominale 100, prezzo oggi 96 e rimborso alla pari il 1 /1/2010, il "Titolo II" senza cedole (z.c.b.) con valore nominale 100, prezzo oggi 91 e rimborso alla pari il 1 /1/2011, Si misuri il tempo in anni a partire dal 1 /1/ ) Determinare i tassi annui spot i 0 ( 0,1) e i 0 ( 0,2) definiti rispettivamente dai Titoli I e II e, in ipotesi di mercato coerente, determinare il tasso i 0 ( 1,2 ) ; 5) assunta la struttura sopra determinata, trovare il valore oggi 1 /1/2009: 5.1) di un titolo che dà diritto a cedole annuali di ammontare 2 euro ciascuna (prima cedola disponibile il 1 /1/2010) e al rimborso di 100 euro il 1 /1/2011; 5.2) del prestito considerato in A). SOLUZIONE 5 ) A) _ /1/01 1/1/02 1/1/03 1/1/04 1/1/05 1/1/06 1/1/07 1/10/08 1/1/09 1/1/10 1/1/11 R R R R R R R R R R 1) R=10000 " 10 0,08=1490,295 z R I z C z B z D z , , , , , , , , , , , , , ,026 2) V 1/1/09;0,05 = 1490,295 a 2 0,05 =2771,07 3) V 1/10/09;0,05 = 1490,295(1,05) -3/ ,295(1,05) - (1+3/12) =2874,3489 B) _... 1/1/09 1/1/10 1/1/ ) 96(1+i 0 (0,1)) = 100 # i 0 (0,1) = 0, (1+i 0 (0,2)) 2 = 100 # i 0 (0,2) = 0,0483 (1+i 0 (0,2)) 2 = (1+i 0 (0,1)) (1+i 0 (1,2)) 100 5) _... 1/1/09 1/1/10 1/1/ V Titolo = 2(1+i 0 (0,1)) (1+i 0 (0,2)) -2 = 94,74 91 = (1+i 0(1,2)) i 0 (1,2) = 0,0549 V Prestito = 1490,295(1+i 0 (0,1)) ,295 (1+i 0 (0,2)) -2 = 2786,8516

17 6 ) Appello 23/04/09 (ammortamenti uniforme e americano-duration) Il prestito di A= % contratto oggi, tempo 0, è rimborsabile in 8 anni con rate posticipate, al tasso annuo del 4% della capitalizzazione composta nei seguenti modi alternativi: A) con ammortamento uniforme (cioè a quote di capitale costanti); B) con ammortamento americano; Nel caso A) determinare: 1) le quote capitali, il debito estinto e il debito residuo alla fine del 5 anno; 2) la prima e l ultima rata. Nel caso B) determinare: 3) le rate e il debito estinto e il debito residuo alla fine del 5 anno; 4) determinare il valore del prestito alla fine del 5 anno al tasso annuo di valutazione del 4%. Oggi tempo 0, è emesso un titolo coupon bond, di durata 3 anni, di valore nominale 100, cedole annue posticipate Ci=5, valore di rimborso pari al valore nominale. Si chiede di determinare: 5) la Duration oggi di tale titolo se è assegnato il tasso annuo di valutazione i*=0,04. SOLUZIONE 6 ) 1)C= = B 5 =62500x5=312500, D 5 = = )R z =A( 1 n + i " i n (z "1))#R 1=500000( ,04)=82500, R 8 =500000( 1 8 3)R 1 = =R 7 =20000, R 8 = =520000, B 5 =0, D 5 = ) V 5 =D 5 = ,04 + 0,04 " (8 "1))= )D(0;0,04)= 5x1(1,04)"1 + 5x2(1,04) "2 +105x3(1,04) "3 5(1,04) "1 + 5(1,04) "2 +105(1,04) "3 =2,8614

18 Appello (costituzione capitale valutazione titoli-volatilità) II 1 Parte Rispondere ai seguenti distinti quesiti A) e B). A) Si consideri una rendita a rate annue costanti di ammontare R (1 rata disponibile il 1 /1/2010 e ultima rata disponibile il 1 /1/2013; si utilizza tale rendita per costituire il capitale C=10000 per il 1 /1/2013. Determinare il valore di R nelle seguenti distinte ipotesi: 1) capitalizzazione composta annua al tasso annuo i=0,04; 2) capitalizzazione continua ad intensità annua di interesse "( s) = 0, ,03s (l istante iniziale di tale legge è il 1 /1/2009). 3) Ipotizziamo che per la costituzione si utilizzi l ipotesi in 1). Supponiamo di versare soltanto le prime 2 rate di ammontare R e di sospendere i restanti versamenti. Sapendo che il tasso della capitalizzazione composta annua è sempre del 4%, determinare: 3.1) il fondo costituito alla data 1 /1/2011; 3.2) il capitale costituito alla data 1 /1/2013 mediante il versamento delle suddette sole prime 2 rate. B) Al tempo 0 acquisto un titolo di credito che mi dà diritto ad incassare i capitali R 1 =40 e R 2 =1040 rispettivamente tra 1 anno e tra 2 anni. In ipotesi di struttura piatta al tasso annuo di interesse i*=0,03: 4) determinare, al tempo 0, il valore del titolo ; 5) determinare, al tempo 0, la variazione relativa del valore del titolo se il tasso passa da i*=0,03 a i*+di*=0,032. Che segno ha la variazione relativa? Perché? Soluzione 1) = Rs 4 0,04" R = 2354,90 2) "( t) = t 0,03 # 1+ 0,03s ds = ln 1+ 0,03s 0 " e # ( t)# ( s) = e ( ) 0 t ln( 1+0,03t)ln ( 1+0,03s ) = = Re " ( 4)#" ( 1) + Re " ( 4)#" 2 = ln( 1+ 0,03t) 1+ 0,03t 1+ 0,03s ( ) + Re " ( 4)#" ( 3) + Re " 4 " = R 1,12 1,03 + 1,12 1,06 + 1,12 1,09 + 1,12 % # 1,12 ' R=2397,436 3) F 1/ 1 / 11 = 2354,90s 2 0,04= 4803,996 ; C 1/ 1/ 13 = 2354,90s 2 0,04( 1,04) 2 = 5196,00 4) V ( 0;0,03) = 40( 1,03) " ( 1,03) "2 = 1019,13 ( )#" ( 4) ( ) "V ( 0;0,03) 5) Var.rel. = V 0;0, ,26 " 1019,13 = = "0,0038 < 0 V ( 0;0,03) 1019,13 tale Var.rel. è minore di zero perché il tasso ha subito un aumento.

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20 APPELLO (tassi equivalenti-ammortamento americano) Rispondere ai seguenti distinti quesiti A e B. A) E assegnato il tasso annuo nominale convertibile bimestralmente j(6)=0,12. 1) Si chiede di determinare il tasso di interesse bimestrale i 1/6, il tasso di interesse annuo i e il tasso di interesse annuo istantaneo δ della capitalizzazione continua corrispondenti a j(6). 2) Si chiede inoltre di determinare il tasso di sconto annuo d, dello sconto composto, e il tasso di sconto bimestrale d 1/6, dello sconto composto, corrispondenti a j(6). B) Oggi il 1 /01/2010 decido di ammortizzare il capitale di 100 euro per il 1 /01/2014 (cioè in 4 anni) con un ammortamento americano a tasso annuo i=0,02: si chiede di: 3) determinare l ammontare delle rate annue; 4) compilare il piano di ammortamento; 5) determinare il valore del prestito, l usufrutto e la nuda proprietà al 1 /01/2011 al tasso istantaneo annuo di valutazione della capitalizzazione continua ρ(s)=0,1+0,02s, legge con istante iniziale il 1 /01/2010. Soluzione 1) j(6)=0,12=6 i 1/6 i 1/6 =0,02 1+i=(1+ i 1/6 ) 6 i=0,12616 δ=log e (1+i)=0, ) 1-d= 1 1+ i d=0, d=(1-d 1/6 ) 6 d 1/6 =0, )R 1 = R 2 = R 3 =100x0,02=2 R 4 =100+2=102 4) z R z I z C z D z B z )ρ(s)=0,1+0,01s ϕ(t)=0,1t+0,01t 2 V 1/1/11 =2 e "(1)#"(2) + 2 e "(1)#"(3) +102 e "(1)#"(4) =68,3058 A 1/1/11 =100 e "(1)#"(4) =100x0, =63,7628 U 1/1/11 =68, ,7628=4,543

21 APPELLO (tassi equivalenti-ammortamento americano) Rispondere ai seguenti distinti quesiti A e B. A) E assegnato il tasso annuo nominale convertibile bimestralmente j(6)=0,12. 1) Si chiede di determinare il tasso di interesse bimestrale i 1/6, il tasso di interesse annuo i e il tasso di interesse annuo istantaneo δ della capitalizzazione continua corrispondenti a j(6). 2) Si chiede inoltre di determinare il tasso di sconto annuo d, dello sconto composto, e il tasso di sconto bimestrale d 1/6, dello sconto composto, corrispondenti a j(6). B) Oggi il 1 /01/2010 decido di ammortizzare il capitale di 100 euro per il 1 /01/2014 (cioè in 4 anni) con un ammortamento americano a tasso annuo i=0,02: si chiede di: 3) determinare l ammontare delle rate annue; 4) compilare il piano di ammortamento; 5) determinare il valore del prestito, l usufrutto e la nuda proprietà al 1 /01/2011 al tasso istantaneo annuo di valutazione della capitalizzazione continua ρ(s)=0,1+0,02s, legge con istante iniziale il 1 /01/2010. Soluzione 1) j(6)=0,12=6 i 1/6 i 1/6 =0,02 1+i=(1+ i 1/6 ) 6 i=0,12616 δ=log e (1+i)=0, ) 1-d= 1 1+ i d=0, d=(1-d 1/6 ) 6 d 1/6 =0, )R 1 = R 2 = R 3 =100x0,02=2 R 4 =100+2=102 4) z R z I z C z D z B z )ρ(s)=0,1+0,01s ϕ(t)=0,1t+0,01t 2 V 1/1/11 =2 e "(1)#"(2) + 2 e "(1)#"(3) +102 e "(1)#"(4) =68,3058 A 1/1/11 =100 e "(1)#"(4) =100x0, =63,7628 U 1/1/11 =68, ,7628=4,543

22 APPELLO (valore finale e valore attuale rendita, titolo con cedola) Supponiamo che i capitali di ammontare costante R=100 siano disponibili annualmente, primo capitale disponibile il 01/01/2010 e ultimo capitale disponibile il 01/01/2013. Si chiede di: 1) calcolare il montante complessivo, per l impiego dei suddetti capitali, al 01/01/2013 in regime di interesse semplice e in regime di capitalizzazione composta annua al tasso annuo di interesse i=0,05; 2) calcolare il valore attuale complesssivo, dei suddetti capitali, al 01/01/2010 in regime di sconto commerciale a tasso annuo di sconto d=0,03. Sia assegnata la funzione f tale che f(t 1,t 2 ) =1+ 0,001(t 2 - t 1 ) 2, 0 t 1 t 2 : 3)verificare che f(t 1,t 2 ) rappresenta un fattore di capitalizzazione da t 1 a t 2. Siano i tempi misurati in semestri dal 01/01/2010: determinare il montante complessivo al 01/01/2013 per l impiego dei suddetti capitali di ammontare costante R=100. Oggi, il 01/01/2010, tempo 0, è emesso un titolo coupon bond (titolo con cedole), di durata 4 anni, di valore nominale 100, cedole annue posticipate Ci=4, valore di rimborso pari al valore nominale. Si chiede di determinare al 01/10/2012 se il tasso annuo di valutazione è i*=0,01: 4) il valore del titolo; 5) la Duration. SOLUZIONE 1) M 1 = 100(1+0,05x3)+ 100(1+0,05x2)+ 100(1+0,05)+100=430 M 2 = 100(1+0,05) (1+0,05) (1+0,05)+100=431,0125 2) V= (1-0,03)+ 100(1-0,03x2)+ 100(1-0,03x3)=382 3) f(t 1,t 1 ) =1+0,01x0=1 f 2 (t 1,t 2 ) =0,01x2(t 2 -t 1 ) >0 f(t 1,t 2 ) >0 e quindi f(t 1,t 2 ) >1; M 3 =100(1+0,001(6-0) 2 )+100(1+0,001(6-2) 2 )+100(1+0,001(6-4) 2 )+100=405,6 4) V=4(1+0,01) -3/ (1+0,01) -1-3/12 =106,70 D= 4x3/12(1+ 0,01)"3/ (1+ 3/12)(1+ 0,01) "1"3/12 =1,2126 V

23 APPELLO (costituzione, tassi spot e forward) Prima parte Al tempo 0, si decide di costituire il capitale di 1000 per la fine del quarto anno, al tasso annuo i=0,05 in capitalizzazione composta, nei seguenti distinti modi A e B. A) Con 4 rate annue posticipate costanti immediate: si chiede di: 1) determinare la rata annua costante T e compilare il piano di costituzione. B) Con le seguenti 4 rate annue T 1 = 200, T 2 = 230, T 3 = 250, T 4 rispettivamente disponibili alla fine del primo, del secondo, del terzo e del quarto anno. Si chiede di: 2) determinare T 4 ; 3) determinare il fondo costituito alle fine del secondo anno dopo il versamento della rata qui dovuta. Oggi il 1 /01/2010 (tempo 0) sono disponibili in un mercato coerente i seguenti 2 titoli: TITOLOA: zero coupon bond valore oggi 98,5 e rimborsato il 1 /01/11 con valore di rimborso pari al valore nominale =100 TITOLOB: coupon bond valore oggi 97, cedole annue posticipate pari a 3, rimborsato il 1 /01/12 con valore di rimborso pari al valore nominale=100 si chiede di: 4) determinare il tasso annuo spot i 0 (0,1) e il tasso annuo spot i 0 (0,2); 5)il tasso annuo forward i 0 (1,2). SOLUZIONE 1) 1000=T s 4 0,05 da cui T=232, z Fondo cost inizio anno Interessi Rata Fondo cost alla fine dell anno ,6 475, ,6 23,78 731, ,8 36, ) 1000=200(1+0,05) (1+0,05) (1+0,05)+T 4 da cui T 4 =252,4 3) F 2 =200(1+0,05)+230=440 4)98,5(1+i 0 (0,1))=100 da cui i 0 (0,1)=0, =3(1+0,01522) (1+i 0 (0,2)) -2 da cui i 0 (0,2)=0, )f 0 (0,2)= f 0 (0,1) f 0 (1,2) cioè (1+0,046527) 2 =(1+0,01522)( (1+i 0 (1,2)) da cui i 0 (1,2)=0,0788

24 Appello 29 gennaio 2010 (costituzione capitale valutazione titoli-volatilità) Rispondere ai seguenti distinti quesiti A) e B). A) Si deve costituire il capitale capitale C=10000 per il 1 /1/2014. Per costituirlo si utilizza una rendita a rate annue costanti di ammontare R (1 rata disponibile il 1 /1/2010 e ultima rata disponibile il 1 /1/2014. Determinare il valore di R nelle seguenti distinte ipotesi: 1) capitalizzazione composta annua al tasso annuo i=0,05; 2) capitalizzazione continua ad intensità annua di interesse "( s) = 0, ,02s (l istante iniziale di tale legge è il 1 /1/2009). 3) Ipotizziamo che per la costituzione si utilizzi l ipotesi in 1). Supponiamo di versare soltanto le prime 2 rate di ammontare R e di sospendere i restanti versamenti. Sapendo che il tasso della capitalizzazione composta annua è sempre del 5%, determinare: 3.1) il fondo costituito alla data 1 /1/2011; 3.2) il capitale costituito alla data 1 /1/2014 mediante il versamento delle suddette sole prime 2 rate. B) Al tempo 0 acquisto un titolo di credito che mi dà diritto ad incassare i capitali R 1 =30 e R 2 =1030 rispettivamente tra 1 anno e tra 2 anni. In ipotesi di struttura piatta al tasso annuo di interesse i*=0,04: 4) determinare, al tempo 0, il valore del titolo ; 5) determinare, al tempo 0, la variazione relativa del valore del titolo se il tasso passa da i*=0,04 a i*+di*=0,038. Che segno ha la variazione relativa? Perché? Soluzione 1) = Rs 5 0,05 " R = 1809,75 2) "( t) = t 0,02 # 1+ 0,02s ds = ln 1+ 0,02s 0 " e # ( t)# ( s) = e ( ) 0 t ln( 1+0,02t)ln ( 1+0,02s ) = = Re " ( 5)#" ( 1) + Re " ( 5)#" 2 = ln( 1+ 0,02t) 1+ 0,02t 1+ 0,02s ( ) + Re " ( 5)#" ( 3) + Re " 5 ( )#" 4 ( ) Re " 5 " = R 1,1 1,02 + 1,1 1,04 + 1,1 1,06 + 1,1 1,08 + 1,1 % # 1,1 ' R=1925,89 3) F 1/ 1/ 11 = 1809,75s 2 0,05= 3709,987 ; C 1 / 1 / 14 = 1809,75s 2 0,05( 1.05) 3 = 4294,77 4) V ( 0;0,04) = 30( 1,04) " ( 1,04) "2 = 981,14 ( ) "V ( 0;0,04) ( )#" ( 5) 5) Var.rel. = V 0;0, ,868 " 981,14 = = 0,0038 > 0 V ( 0;0,04) 981,14 tale Var.rel. è maggiore di zero perché il tasso ha subito una diminuzione.

25 Appello 29 gennaio 2010 (costituzione capitale valutazione titoli-volatilità) Rispondere ai seguenti distinti quesiti A) e B). A) Si deve costituire il capitale capitale C=10000 per il 1 /1/2014. Per costituirlo si utilizza una rendita a rate annue costanti di ammontare R (1 rata disponibile il 1 /1/2010 e ultima rata disponibile il 1 /1/2014. Determinare il valore di R nelle seguenti distinte ipotesi: 1) capitalizzazione composta annua al tasso annuo i=0,05; 2) capitalizzazione continua ad intensità annua di interesse "( s) = 0, ,02s (l istante iniziale di tale legge è il 1 /1/2009). 3) Ipotizziamo che per la costituzione si utilizzi l ipotesi in 1). Supponiamo di versare soltanto le prime 2 rate di ammontare R e di sospendere i restanti versamenti. Sapendo che il tasso della capitalizzazione composta annua è sempre del 5%, determinare: 3.1) il fondo costituito alla data 1 /1/2011; 3.2) il capitale costituito alla data 1 /1/2014 mediante il versamento delle suddette sole prime 2 rate. B) Al tempo 0 acquisto un titolo di credito che mi dà diritto ad incassare i capitali R 1 =30 e R 2 =1030 rispettivamente tra 1 anno e tra 2 anni. In ipotesi di struttura piatta al tasso annuo di interesse i*=0,04: 4) determinare, al tempo 0, il valore del titolo ; 5) determinare, al tempo 0, la variazione relativa del valore del titolo se il tasso passa da i*=0,04 a i*+di*=0,038. Che segno ha la variazione relativa? Perché? Soluzione 1) = Rs 5 0,05 " R = 1809,75 2) "( t) = t 0,02 # 1+ 0,02s ds = ln 1+ 0,02s 0 " e # ( t)# ( s) = e ( ) 0 t ln( 1+0,02t)ln ( 1+0,02s ) = = Re " ( 5)#" ( 1) + Re " ( 5)#" 2 = ln( 1+ 0,02t) 1+ 0,02t 1+ 0,02s ( ) + Re " ( 5)#" ( 3) + Re " 5 ( )#" 4 ( ) Re " 5 " = R 1,1 1,02 + 1,1 1,04 + 1,1 1,06 + 1,1 1,08 + 1,1 % # 1,1 ' R=1925,89 3) F 1/ 1/ 11 = 1809,75s 2 0,05= 3709,987 ; C 1 / 1 / 14 = 1809,75s 2 0,05( 1.05) 3 = 4294,77 4) V ( 0;0,04) = 30( 1,04) " ( 1,04) "2 = 981,14 ( ) "V ( 0;0,04) ( )#" ( 5) 5) Var.rel. = V 0;0, ,868 " 981,14 = = 0,0038 > 0 V ( 0;0,04) 981,14 tale Var.rel. è maggiore di zero perché il tasso ha subito una diminuzione.

26 1 ) Appello 16/12/2008 (ammortamento -mercato) Rispondere ad entrambi i quesiti A) e B). A) Il prestito di Euro contratto oggi 1/1/2008, tempo 0, è rimborsabile in 20 anni al tasso annuo del 5% della capitalizzazione composta con un ammortamento francese; si chiede di: 1) determinare le rate e il debito residuo alla fine del diciasettesimo anno, cioè D 17 ; 2) compilare le ultime 3 righe del piano di ammortamento; 3) determinare il valore del prestito alla fine del diciottesimo anno, cioè V 18, al tasso annuo istantaneo di valutazione δ*= 0,07. B) Oggi, tempo zero, sul mercato vi sono 2 titoli, entrambi con valore di rimborso pari al valore nominale =100: - zcb 1 scadente tra un anno, prezzo oggi 97,04; - zcb 2 scadente tra due anni, prezzo oggi 95,26. Determinare, in ipotesi di mercato coerente: 4) i tassi annui spot i0(0,1), i0(0,2) e il tasso annuo forward i0(1,2). (Facoltativo: se i fattori di capitalizzazione f0(0,1) e f0(0,2) sono quelli determinati al punto 4) e f0(1,2) è uguale a 100/97, il mercato è coerente? Motivare la risposta). Se la struttura del mercato è quella sopra definita al punto 4), determinare: 5) il prezzo oggi (tempo zero) di un titolo cb, titolo con cedole annue posticipate= 7, di vita residua 2 anni e valore di rimborso pari al valore nominale=100. SOLUZIONE 1 ) 1) =R a 20 0,05 da cui R=40.121,29; D 17 =R a 20"17 0,05= ,22; 2) z R D z I z C z , , , , , , , , , ,75 3) 1+i*=e "* =e 0,07 da cui i*=0,0725; V 18; 7 =R a 2 0,0725=72.289,43. 4) 97,04(1+i 0 (0,1))=100 da cui i 0 (0,1)=0, , 95,26(1+ i 0 (0,2)) 2 =100 da cui i 0 (0,2)=0,024577, 100 f 0 (0,2)=f 0 (0,1) f 0 (1,2) cioè 95,26 = ,04 (1+ i 0 (1,2)) da cui i 0(1,2)=, ; [FAC: il mercato non è coerente perché f 0 (0,2) f 0 (0,1)f 0 (1,2) infatti 1, ,06237]. 5) V(0)= 7 97,04 95, =108, ,26 " ,04 97 cioè

27 2 ) Appello 18/12/2008 (costituzione- titoli) Vengono versate 4 rate annue costanti (prima rata versata il 1 /1/2009) per costituire il capitale C=1.000 alla data 1 /1/2012. Per la costituzione si utilizza, alternativamente: a) il tasso annuo della capitalizzazione composta annua i=0,04 oppure b) il tasso annuo nominale convertibile 4 volte l anno j(4)=0,08 oppure c) la legge di capitalizzazione continua ad intensità annua di interesse "( s) = 0,03 (l istante iniziale di questa legge è il il 1 /1/2009). 1# 0,03s Determinare l ammontare delle rate: 1) nel caso a) e nel caso b); 2) nel caso c). 3) Se nel caso a) si versano regolarmente le prime 2 rate, non si versa la 3 rata e si completa la costituzione versando ancora soltanto un ultima rata di ammontare R il 1 /1/2012, determinare il valor di R. Il 1 /1/2007 è stato emesso un titolo di valore nominale 100 che dà diritto a cedole annue posticipate al tasso annuo nominale i=0,03 e al rimborso alla pari il 1 /1/2011: _ /1/07 1/1/08 1/10/08 1/1/09 1/1/10 1/1/11 Oggi è il 1 /10/2008. Fissato il tasso annuo di valutazione i*=0,04, determinare oggi: 4) l ammontare di ciascuna cedola e il valore del titolo; 5) il dietimo e il corso secco del titolo. SOLUZIONE 2 ) 1) a)r (a) s 4 0,04 =1000 da cui R(a) =235,49, b)i 1/4 =0,08/4=0,02, R (b) (1,02) 12 + R (b) 81,02) 8 + R (b) (1,02) 4 + R (b) =1.000, da cui R (b) =221,1268; t 0,03 2) "(t) = ds = #[ ln(1# 0,03s) ] 0 t = #ln(1# 0.03t) 1# 0,03s 0 R (c) e "( 3) + e "( 3)#" ( 1) + e "( 3)#" ( 2) ' +1 % () =1.000, da cui R(c) =238,219; 3) R (a) s 2 0,04 (1,04)2 + R =1000, da cui R =480,399. 4) Ci=100x0,03=3; V=3(1,04) -3/12 +3(1,04) -(1+3/12) +103(1,04) -(2+3/12) =100,1273; 5) α(p)= α(9/12)=3x9/12=2,25, S=3x3/12(1,04) -3/12 +3(1,04) -(1+3/12) +103(1,04) -(2+3/12) =97,89926.

28 3 ) Appello 14/01/2009 (leggi di capitalizzazione/sconto ammortamento/costituzione) E data la funzione così definita: # 2 "t1 2 (#) f ( t 1, t 2 ) = e a % t 2 ( ', 0 ) t1 ) t 2, a costante. Si misuri il tempo in anni a partire dal 1 /1/ ) Determinare per quali valori di a la quantità f t 1,t 2 capitalizzazione da t 1 a t 2. ( ) è adatta ad esprimere un fattore di Si ponga a = 0,03 in (#). 2) * Stabilire se il fattore di capitalizzazione (#), con a = 0,03, definisce una legge di capitalizzazione scindibile o non scindibile; ** Scrivere la legge di capitalizzazione definita da (#), con a = 0,03, esprimente il montante in t 2 del capitale C impiegato in t 1. 3) Il capitale C1=200 è impiegato il 1 /5/2009 e il capitale C2=100 è impiegato il 1 /5/2010. Assunto il fattore di capitalizzazione (#), con a = 0,03, o il fattore di sconto della legge di sconto coniugata di (#), determinare il valore di C1 e il valore di C2 alla data 1 /1/2010. E data una rendita di 5 rate semestrali costanti di ammontare R=20 ciascuna (1 rata disponibile il 1 /7/09). Determinare: 4) il debito A (contratto il 1 /1/2009) che tale rendita ammortizza al tasso semestrale i 1/ 2 = 0,03 della capitalizzazione composta semestrale; 5) il capitale C che tale rendita costituisce alla data 1 /1/2012 allo stesso tasso semestrale i 1/ 2 = 0,03 della capitalizzazione composta semestrale. SOLUZIONE 3 ) 1) f ( t 1, t 1 ) = e a ( 0 ) " =1 sì, ( ) = 2at 2 e a % t 2 f t 1,t 2 "t 2 esprimere un fattore di capitalizzazione " a > 0. 2) * f ( t 1,z)f z,t 2 scindibile; ( ) = e 0,03 % z # 2 "t1 2 ' ( 0,03 # t 2 e 2 "z 2 % ' ** "( C,t 1,t 2 ) = Cf ( t 1, t 2 ) = Ce 0,03 % t 2 ( 3) V C 1) " 4 = 200f # 12,1 % ' = 200e ( V C 2 ) 1 =100 f 1, 16 =100 " % ' # 12 e 4) A = 20a 5 0,03 = 91, #t1 2 ' ) ( " 0, " ( 4 % 2 % ' ' # 12 ' # 1 " " 0,03 16 % 2 % ' (1 2 ' # 12 ' # # 2 #t1 2 ' ( ) > 0 per "t 2 # 0 a > 0 è adatta ad # ( 0,03 % z 2 "t 2 = e 1 +t2 2 "z 2 ' ( 0,03 % t 2 = e 2 "t1 2 ( ' = f ( t1,t 2 ),0 ) t 1 ) z ) t 2 è = 205,4051 = 97,6937 5) C = 20s 5 0,03 =109,368 oppure C= A( 1,03) 6 =109,368.

29 4 ) Appello 27/01/09 (rendite-costituzione) Si considerino le seguenti rendite: rendita A: /01/09 01/01/10 01/01/11 01/01/12 01/01/ rendita B:..... ; 01/01/10 01/01/11 01/01/12 01/01/13 01/01/14 si chiede di: 1) determinare il valore all 01/01/09 della rendita A e della rendita B nell'ipotesi di capitalizzazione composta annua al tasso annuo di interesse i=0,05; 2) determinare il valore all 01/01/09 della rendita A se è assegnato il tasso annuo di sconto d=0,04 in regime di sconto commerciale; 3) trovare il valore all 01/01/11 rispettivamente della rendita A e della rendita B se è assegnato il tasso annuo nominale convertibile 2 volte l'anno j(2)=0,04. Oggi l 01/01/09 decido di costituire il capitale C per l'1/1/2013 versando la rendita A in regime di capitalizzazione composta annua a tasso annuo i=0,05: si chiede di 4) determinare C e determinare il fondo costituito all 01/01/11; 5) supponiamo che l 01/01/2011, dopo il versamento della rata qui dovuta, si sospendano tutti i successivi versamenti, e se dall 1/1/2011, in poi, il tasso di interesse cambia e diventa il tasso annuo istanteneo di interesse δ=0,09 del regime della capitalizzazione continua, determinare il capitale costituito per l 01/01/13. SOLUZIONE 4 ) 1) V 1/1/09 A(1) =20a 5 0,05=90,919 V 1/1/09 B(1) =12 a 3 0,05+20 a 2 0,05(1+0,05) -3 =64,80 2) V 1/1/09 A(2) =20+ 20(1-0,04x1)+ 20(1-0,04x2)+ 20(1-0,04x3)+ 20(1-0,04x4)=92 3) j(2)=0,04=2i 1/2 i 1/2 =0,02 1+i=(1+0,02) 2 i=0,0404 V 1/1/11 A =20 a 5 0,0404(1+0,404) 2 =100,1569 V 1/1/11 B =12(1+0,0404)+12+12(1+0,0404) (1+0,0404) (1+0,0404) -3 =72,255 4) C= V 1/1/09 A(1) (1+0,05) 4 110,51 F 1/1/11= 20 s 3 0,05 =63,05 5) F 1/1/11 e 0,09x2 =75,48.

30 5 ) Appello 11/02/09 (ammortamento-valore prestito-tassi spot e forward) A) Il 1 gennaio 2001 ho prestato il capitale A= con l'accordo di ammortamento mediante 10 rate annue posticipate costanti al tasso della capitalizzazione composta annua i=0,08. 1) Determinare l ammontare di ciascuna rata e scrivere le prime tre righe del piano d ammortamento; 2) determinare il valore del prestito il 1 gennaio 2009 al tasso annuo di interesse i=0,05 della capitalizzazione composta annua; 3) determinare il valore del prestito il 1 ottobre 2009 al tasso annuo di interesse i=0,05 della capitalizzazione composta annua-convenzione esponenziale. B) Oggi 1 /1/2009 sono presenti sul mercato i seguenti due titoli: il "Titolo I" senza cedole (z.c.b.) con valore nominale 100, prezzo oggi 96 e rimborso alla pari il 1 /1/2010, il "Titolo II" senza cedole (z.c.b.) con valore nominale 100, prezzo oggi 91 e rimborso alla pari il 1 /1/2011, Si misuri il tempo in anni a partire dal 1 /1/ ) Determinare i tassi annui spot i 0 ( 0,1) e i 0 ( 0,2) definiti rispettivamente dai Titoli I e II e, in ipotesi di mercato coerente, determinare il tasso i 0 ( 1,2 ) ; 5) assunta la struttura sopra determinata, trovare il valore oggi 1 /1/2009: 5.1) di un titolo che dà diritto a cedole annuali di ammontare 2 euro ciascuna (prima cedola disponibile il 1 /1/2010) e al rimborso di 100 euro il 1 /1/2011; 5.2) del prestito considerato in A). SOLUZIONE 5 ) A) _ /1/01 1/1/02 1/1/03 1/1/04 1/1/05 1/1/06 1/1/07 1/10/08 1/1/09 1/1/10 1/1/11 R R R R R R R R R R 1) R=10000 " 10 0,08=1490,295 z R I z C z B z D z , , , , , , , , , , , , , ,026 2) V 1/1/09;0,05 = 1490,295 a 2 0,05 =2771,07 3) V 1/10/09;0,05 = 1490,295(1,05) -3/ ,295(1,05) - (1+3/12) =2874,3489 B) _... 1/1/09 1/1/10 1/1/ ) 96(1+i 0 (0,1)) = 100 i 0 (0,1) = 0, (1+i 0 (0,2)) 2 = 100 i 0 (0,2) = 0,0483 (1+i 0 (0,2)) 2 = (1+i 0 (0,1)) (1+i 0 (1,2)) 100 5) _... 1/1/09 1/1/10 1/1/ V Titolo = 2(1+i 0 (0,1)) (1+i 0 (0,2)) -2 = 94,74 91 = (1+i 0(1,2)) i 0 (1,2) = 0,0549 V Prestito = 1490,295(1+i 0 (0,1)) ,295 (1+i 0 (0,2)) -2 = 2786,8516

31 6 ) Appello 23/04/09 (ammortamenti uniforme e americano-duration) Il prestito di A= contratto oggi, tempo 0, è rimborsabile in 8 anni con rate posticipate, al tasso annuo del 4% della capitalizzazione composta nei seguenti modi alternativi: A) con ammortamento uniforme (cioè a quote di capitale costanti); B) con ammortamento americano; Nel caso A) determinare: 1) le quote capitali, il debito estinto e il debito residuo alla fine del 5 anno; 2) la prima e l ultima rata. Nel caso B) determinare: 3) le rate e il debito estinto e il debito residuo alla fine del 5 anno; 4) determinare il valore del prestito alla fine del 5 anno al tasso annuo di valutazione del 4%. Oggi tempo 0, è emesso un titolo coupon bond, di durata 3 anni, di valore nominale 100, cedole annue posticipate Ci=5, valore di rimborso pari al valore nominale. Si chiede di determinare: 5) la Duration oggi di tale titolo se è assegnato il tasso annuo di valutazione i*=0,04. SOLUZIONE 6 ) 1)C= = B 5 =62500x5=312500, D 5 = = )R z =A( 1 n + i " i n (z "1)) R 1=500000( ,04)=82500, R 8 =500000( 1 8 3)R 1 = =R 7 =20000, R 8 = =520000, B 5 =0, D 5 = ) V 5 =D 5 = ,04 + 0,04 " (8 "1))= )D(0;0,04)= 5x1(1,04)"1 + 5x2(1,04) "2 +105x3(1,04) "3 5(1,04) "1 + 5(1,04) "2 +105(1,04) "3 =2,8614