ESERCIZIO 4.1 Si consideri una popolazione consistente delle quattro misurazioni 0, 3, 12 e 20 descritta dalla seguente distribuzione di probabilità:

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1 ESERCIZIO. S consder una popolazone consstente delle quattro msurazon,, e descrtta dalla seguente dstrbuzone d probabltà: X P(X) ¼ ¼ ¼ ¼ S estrae casualmente usando uno schema d camponamento senza rpetzone un campone d n= msurazon. ) Determnare l valore atteso della v.c. X ) Elencare tutt possbl campon d ampezza n= ) Determnare la dstrbuzone camponara della meda camponara x ) Determnare la dstrbuzone camponara della medana Med 5) Determnare la dstrbuzone d probabltà delle varabl casual prma osservazone camponara, seconda osservazone camponara e terza osservazone camponara 6) Calcolare valor attes degl stmator x e Med e confrontarl con quanto ottenuto per la popolazone 7) Calcolare le devazon standard degl stmator x e Med e confrontarl ) ( ) E X SVOLGIMENTO = xp = = 8.75 ) I possbl campon d ampezza n= ottenbl usando uno schema d camponamento senza rpetzone sono elencat nella seguente tabella. Per ognuno de campon è ndcato l valore della meda e della medana. X X X Meda Medana X X X Meda Medana )

2 Consderando la dstrbuzone d frequenze calcolata a partre dalla colonna delle mede camponare s ottene la dstrbuzone d probabltà della v.c. meda camponara: Meda Freq Assoluta Freq Relatva 5 6 / / 7 6 /.67 6 / ) Procedendo n manera analoga per la colonna della medana camponara s ottene: Medana Freq Assoluta Freq Relatva / / 5) Gl stess passagg possono essere effettuat per determnare le dstrbuzon d probabltà delle v.c. -esma osservazone camponara, d seguto rportate: X P(X) / / / / X P(X) / / / / X P(X) / / / / 6) Calcolo del valore atteso della v.c. meda camponara: Meda Freq Relatva 5 / 7.67 / 7 /.67 / E( X) = xp = = 8.75 Calcolo del valore atteso della v.c. medana camponara: Medana Freq Relatva / / E( Med) = xp = + = 7.5 La v.c. meda camponara è uno stmatore non dstorto del parametro meda della popolazone; lo stesso non accade per la v.c. medana camponara (che nvece rsulta non dstorto quando vene usata per stmare l parametro medana della popolazone). 7) Calcolo della varanza della v.c. meda camponara:

3 Meda Freq Relatva Scart 5 / /.7 7 / / 8.5 ( ) ( ) µ Var X = x p = = 6.85 Calcolo della varanza della v.c. medana camponara: Medana Freq Relatva Scart /.5 /.5 ( ) ( ) Var Med = x Med p = =.5 La v.c. meda camponara presenta una varabltà nferore rspetto alla v.c. medana camponara (è uno stmatore pù effcente n senso relatvo)

4 ESERCIZIO. S rpeta l eserczo. consderando un camponamento con rpetzone e s confrontno rsultat ottenut nelle due stuazon. ) ( ) E X SVOLGIMENTO = xp = = 8.75 ) I possbl campon d ampezza n= ottenbl usando uno schema d camponamento con rpetzone sono elencat nella seguente tabella. Per ognuno de campon è ndcato l valore della meda e della medana. X X X Meda Medana X X X Meda Medana ) Consderando la dstrbuzone d frequenze calcolata a partre dalla colonna delle mede camponare s ottene la dstrbuzone d probabltà della v.c. meda camponara:

5 Meda Freq Assoluta Freq Relatva /6 /6 /6 /6 /6 5 6 / 6 /6 6,67 /6 7,67 6 / 8 /6 8,67 /6 9 /6,67 6 /,67 6 / /6, /6, /6,67 /6 7, /6 /6 6 ) Procedendo n manera analoga per la colonna della medana camponara s ottene: Medana Freq Assoluta Freq Relatva 5/ / / 5/ 6 5) Gl stess passagg possono essere effettuat per determnare le dstrbuzon d probabltà delle v.c. -esma osservazone camponara, d seguto rportate: X P(X) / / / / X P(X) / / / / X P(X) / / / / 6) Calcolo del valore atteso della v.c. meda camponara: 5

6 Meda Freq Relatva /6 /6 / /6 /6 5 / 7.67 / 8 /6 7 /. /6 /6 6 / /6 9 /6.67 /. /6 /6.67 /6 7. /6 /6 E( X) = xp = = Calcolo del valore atteso della v.c. medana camponara: Medana Freq Relatva 5/ / / 5/ 5 5 E( Med) = xp = = 8.8 La v.c. meda camponara è uno stmatore non dstorto del parametro meda della popolazone; lo stesso non accade per la v.c. medana camponara (che nvece rsulta non dstorto quando vene usata per stmare l parametro medana della popolazone). 7) Calcolo della varanza della v.c. meda camponara: 6

7 Meda Freq Relatva Scart / /6 6.6 / /6. / / /.7 8 / /.67. /6. /6.6 6 / /6. 9 / / 8.5. /6.7 / / / / ( ) ( ) µ Var X = x p = = Calcolo della varanza della v.c. medana camponara: Medana Freq Relatva Scart 5/ / 7.89 /.8 5/ Var ( Med ) = ( x Med ) p = = 6.5 La v.c. meda camponara presenta una varabltà nferore rspetto alla v.c. medana camponara (è uno stmatore pù effcente n senso relatvo) 7

8 ESERCIZIO. La battera d un telefono cellulare ha una durata meda d 6 ore con uno scarto quadratco medo d 5 ore. Assumendo che s dstrbusca secondo una legge normale calcolare: P X < ) ( ) ) P( X > 9) ) P( < X < 5) ) P( 7 < X < ) 5) P( 7 < X < 5) 6) P( X < ) 7) P( < X < ) 8) P( X < 6) 9) P( 6 < X < 6) ) P( X < 5) ) P( < X < 5) ) P( X < o X > 6) ) l prmo, l secondo e l terzo quartle ) l numero d ore che la battera resce ad asscurare solo nel 5% de cas 5) l numero d ore che la battera resce ad asscurare almeno nel 7% de cas X = durata della battera X N 6 km,5 km ( ) SVOLGIMENTO P(X) ) 9 6 X = 9 Z = = = 8

9 P(Z) Usando le tavole della normale s ha: Area tra la meda e l valore z Le tavole usate danno l area compresa tra la meda e l ascssa: X µ P( µ < X < 9) = P < Z < = P( < Z < ) =.57 σ Da cu s può ottenere la probabltà d nteresse: X µ P( X > 9) = P Z > = P( Z > ) =.5.57 =.7 σ ) 9 6 X = Z = = = Sfruttando la smmetra della dstrbuzone possamo usare l rsultato ottenuto al punto : X µ P( X < ) = P Z < = P( Z < ) = P( Z > ) =.7 σ ) 6 X = Z = = = 5 6 X = 5 Z = = =.8 9

10 P(Z) I due valor sono entramb a destra della meda: posso calcolare la probabltà d nteresse nel seguente modo: X µ X µ P( < X < 5) = P < Z < = P( < Z <.8) = P( < Z <.8) P( < Z < ) σ σ Ottengo le due probabltà da sottrare dalle tavole: Area tra la meda e l valore z Da cu posso calcolare la probabltà rchesta: P < X < 5 = P < Z <.8 = P < Z <.8 P < Z < = 8 =.759 ( ) ( ) ( ) ( ) ) 7 6 X = 7 Z = = =.8 6 X = Z = = = Area tra la meda e l valore z

11 P(Z) I due valor sono entramb a snstra della meda: posso calcolare la probabltà d nteresse nel seguente modo: X µ X µ P( 7 < X < ) = P < Z < = P(.8 < Z < ) σ σ Sfruttando la smmetra della dstrbuzone possamo usare l rsultato ottenuto al punto precedente: P 7 < X < = P.8 < Z < = P < Z <.8 =.759 ( ) ( ) ( ) 5) 7 6 X = 7 Z = = = X = 5 Z = = = P(Z) In questo caso la meda è compresa tra due valor: è possble calcolare la probabltà rchesta facendo rfermento alle due aree tratteggate n colore dfferente: P 7 < X < 5 = P.8 < Z < = P.8 < Z < + P < Z < = P < Z <.8 + P < Z < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dalle tavole s ha:

12 Da cu: P 7 < X < 5 = P.8 < Z < = + 9 =.9 ( ) ( ) 6) 6 X = Z = = = P(Z) Area tra la meda e l valore z Area tra la meda e l valore z Dalle tavole ottenamo l valore tra la meda e l valore Z specfco: ( ) ( ) ( ) ( ) P X < = P < Z < = P < Z < + P < Z < =.5 +. = 7) 6 X = Z = = = 6 X = Z = = = Area tra la meda e l valore z

13 P(Z) Possamo sfruttare l rsultato al punto precedente e la smmetra della dstrbuzone per ottenere la probabltà d nteresse nel seguente modo: P < X < = P < Z < = P < Z < + P < Z < = P < Z < =. = 86 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8) 6 6 X = 6 Z = = = P(Z) Dalle tavole ottenamo l valore tra la meda e l valore Z specfco: ( ) ( ) ( ) ( ) P X < 6 = P < Z < = P < Z < + P < Z < = =.977 9) Area tra la meda e l valore z

14 X X 6 6 = 6 Z = = = 6 6 = 6 Z = = = P(Z) Possamo sfruttare l rsultato al punto precedente e la smmetra della dstrbuzone per ottenere la probabltà d nteresse nel seguente modo: P 6 < X < 6 = P < Z < = P < Z < + P < Z < = P < Z < =.77 =.95 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 5 6 X = 5 Z = = = P(Z) Dalle tavole ottenamo l valore tra la meda e l valore Z specfco: Area tra la meda e l valore z

15 ( ) ( ) ( ) ( ) P X < 5 = P < Z < = P < Z < + P < Z < = =.9987 ) 6 X = Z = = = 5 6 X = 5 Z = = = Possamo sfruttare l rsultato al punto precedente e la smmetra della dstrbuzone per ottenere la probabltà d nteresse nel seguente modo: P < X < 5 = P < Z < = P < Z < + P < Z < = P < Z < =.987 =.997 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 6 X = Z = = = 6 6 X = 6 Z = = = P(Z) ( < o > 6) = ( < ) + ( > 6) = ( < ) + ( > ) P X X P X P X P Z P Z Dalle tavole ottenamo l valore tra la meda e l valore Z specfco: ( ) ( ) ( ) P X < = P Z < = P Z > = = Area tra la meda e l valore z Area tra la meda e l valore z 5

16 ( ) P( Z ) P X > = > =.5.77 =.8 Combnando due rsultat ottenut s ha: P X < o X > 6 = P Z < + P Z > 6 = P Z < + P Z > = +.8 =. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Data la smmetra della dstrbuzone normale la medana (secondo quartle) è par alla meda (e ad ogn altro ndce d tendenza centrale). Per l calcolo del prmo e terzo quartle s può cercare l valore dell ascssa corrspondente ad un area d.5: Z Q µ Q µ σ σ = = Q = µ Zσ = =.65 Q = µ + Zσ = = 9.5 L area pù vcna a.5 corrsponde ad un ascssa d 7 ) In questo caso dobbamo cercare l valore dell ascssa che lasca a destra l 5% de cas, ovvero a snstra l 85% de cas. Per utlzzare le tavole bsogna scomporre quest area nel 5% (area a snstra della meda) a cu va aggunto l restante 5% (area a partre dalla meda). Bsogna qund cercare l valore dell ascssa corrspondente ad un area d.5: L area pù vcna a.5 corrsponde ad un ascssa d X µ P( < Z <.5) = P < <.5 =.5 σ Da questa possamo rcavare l valore corrspondente della X: X µ Z = X = µ + Zσ = =.5 σ 5) In questo caso dobbamo cercare l valore dell ascssa che lasca a snstra l 7% de cas. Per utlzzare le tavole bsogna scomporre quest area nel 5% (area a snstra della meda) a cu va aggunto l restante % (area a partre dalla meda). Bsogna qund cercare l valore dell ascssa corrspondente ad un area d.: 6

17 X µ P( < Z <.5) = P < <.5 =.985 σ Da questa possamo rcavare l valore corrspondente della X: X µ Z = X = µ + Zσ = = 8.6 σ L area pù vcna a. corrsponde ad un ascssa d.5 7