Trigonometria. sen α = ordinata del punto B secondo estremo dell arco α (il primo estremo è in A) = BH.

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1 Trigonometria Teoria in sintesi Radiante: angolo al centro di una circonferenza che sottende un arco di lunghezza rettificata uguale al raggio Si assa dai gradi ai radianti con la seguente roorzione: : 180 rad :π Considerato un sistema di riferimento cartesiano si definisce circonferenza goniometrica la circonferenza avente centro nell origine e raggio unitario (circonferenza di euazione x y 1). Il unto A(1,0) è detto origine degli archi, il verso di ercorrenza ositivo è uello antiorario. Notiamo anche che la misura in radianti dell angolo al centro coincide con la misura dell arco della circonferenza goniometrica sotteso, uindi in trigonometria si arla indifferentemente di archi o di angoli. Detto l angolo al centro AO ˆ B definiamo ora le seguenti funzioni trigonometriche: sen ordinata del unto B secondo estremo dell arco (il rimo estremo è in A) BH. cos ascissa del unto B secondo estremo dell arco OH. tg (ο tan) raorto, uando esiste, tra il seno e il coseno dell'angolo (cioè uando cos 0) cotg (ο cotan) raorto, uando esiste, tra il coseno e il seno dell'angolo (cioè uando sen 0). N.B. Dalle definizioni date segue che seno coseno tangente e cotangente sono funzioni di, cioè sono numeri reali che diendono solamente dal valore dell angolo. 51

2 RELAZIONI FONDAMENTALI FRA LE DIVERSE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE DI UNO STESSO ANGOLO ORIENTATO: Tra le funzioni trigonometriche viste intercorrono le seguenti relazioni: sen cos 1 ( teorema di Pitagora) sen tg cos 1 cos cotg tg sen Si uò inoltre dimostrare che tg è l ordinata del unto T di intersezione tra la tangente geometrica alla circonferenza nel unto A e la semiretta OT (che teorema sui triangoli si usa?). Nota la funzione trigonometrica di un angolo è ossibile ricavare le altre, e, dalle relazioni recedenti si ottiene l esressione di tutte le funzioni di un dato angolo orientato mediante una sola di esse N.B. Il segno va scelto a seconda del uadrante in cui si trova l angolo. 5

3 NOTO sen cos tg sen sen ± 1 sen cos tg cctg ± 1 cos cos tg ± 1 tg ± tg ctg ± 1 ctg ± 1 ctg ± ± tg 1 ctg sen 1 sen 1 cos cos VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ARCHI PARTICOLARI sen cos tg 15 π/ π/ π/6 1/ 3 / 3 /3 45 π/4 / / 1 60 π/3 3 / 1/ 3 90 π/ 1 0 non esiste 180 π /π -1 0 non esiste π

4 Da evidenti simmetrie sulla circonferenza si deducono oi i valori delle funzioni trigonometriche di altri archi articolari. Esemio il coseno di 4/3 π è uguale in modulo a uello di π/3 (infatti 4/3 π π π/3), essendo nel terzo uadrante erò il suo segno è negativo, uindi cos 4/3 π 1/. Esercizi 1. Doo aver disegnato gli archi corrisondenti a cos uadrante le altre funzioni trigonometriche. 3, trovare dell arco nel uarto. Saendo che è acuto e ositivo e che sen 3/5 calcolarne le altre funzioni trigonometriche. 3. Ragionando solo sulla circonferenza goniometrica comletare con i segni > < le seguenti: π π π sen... sen sen π π π cos...cos cos π π sen sen π π cos cos Ragionando solo sulla circonferenza goniometrica rovare che: sen( π ) sen sen (π/ ) cos sen (π ) - sen sen ( π ) - sen 5. Semlificare le seguenti esressioni: tg(π )sen(π-) cos(π ) tg (π-)cos (-) [0] sen 4 sen cos 4 cos [0] 54

5 Esistono utili formule er il calcolo delle funzioni trigonometriche, che sono riortate in fondo. VARIAZIONE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE: Ricordando la definizione data osserviamo che: - 1 sen 1; - 1 cos 1 I grafici delle funzioni trigonometriche sono i seguenti: y sen x definita er ogni x, il codominio è [-1,1], eriodica di eriodo π, interseca l asse x nei unti della forma k π, con k Z. y cos x definita er ogni x, il codominio è [-1,1], eriodica di eriodo π, interseca l asse x nei unti della π forma kπ, con k Z. 55

6 y tg x definita er x π/ kπ, il codominio è R, eriodica di eriodo π, interseca l asse x nei unti della forma k π, con k Z. Esercizi Prova a disegnare i grafici di: 1. sin x. 3 cos x 56

7 RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI PRIMO GRADO, elementari 1. sinx h. cosx h con h [-1, 1] Ricordando la definizione delle funzioni sinx e cosx ueste euazioni si risolvono intersecando la circonferenza (di euazione x y 1) con l euazione 1. y h. x h (che raresenta una retta) Esemio: sen x ½ x y 1 Può essere interretata come : y 1/ disegnando la circonferenza goniometrica e la retta y 1/ si ha: I unti di intersezione sono osizionati nel rimo uadrante: x π/6, e nel secondo, x π π/6 5π/6 In uesto modo abbiamo trovato le due soluzioni, ma ricordando che la funzione seno è eriodica di eriodo π se voglio ottenere tutte le soluzioni dell euazione ho: x π/6 kπ, x 5π/6 kπ, con k Z 57

8 cos x -1/ disegnando la circonferenza goniometrica e la retta x -1/ si ha: In uesto caso i unti di intersezione sono osti nel secondo e terzo uadrante. L arco con cos x ½ è x π/3, uindi uello osto nel secondo uadrante sarà x π π/3 /3 π mentre uello nel terzo uadrante sarà. x π π/3 4/3 π Le soluzioni sono uindi, tenendo conte del eriodo: x /3 π kπ, x 4/3 π kπ, con k Z. PRIMO GRADO, lineari 3. asenx bcosx h Si risolvono intersecando la circonferenza (di euazione x y 1) con l euazione ay bx h(che raresenta una retta) Esemio senx cos x 1 Si one y senx, x cosx e si interseca la retta y -x 1 così ottenuta con la circonferenza di euazione x y 1 Si ottengono i unti (0,1) e (1,0) che corrisondono alle soluzioni x 0, x π/ considerando oi il eriodo si ha:x 0 kπ, x π/ kπ, con k Z. 58

9 SECONDO GRADO 1. Se l euazione data contiene una sola funzione trigonometrica si risolve mediante la formula b ± b 4ac generale delle euazioni di secondo grado, ossia x1,. a. Se contiene iù di una funzione si cerca, mediante le formule viste recedentemente, di trasformarla in una che contenga una sola funzione trigonometrica. Esemio cos x cos x 1 0 Alicando la formula risolutiva si ha: 1± 1 8 cos x, 4 1 1;1/ ora risolvo le euazioni cos x ½, cos x -1 x π/3 kπ, x π kπ, x -π/3 kπ, con k Z. Risolviamo ora: cos x sen x cos x 0 è di secondo grado, ed in essa non comare una sola funzione goniometrica; ricordando che sen x 1 cos x si ha: cos x 1 cos x cos x 0 cos x cos x 1 0 da cui si ottiene l euazione recedente. 59

10 Esercizi 1. Risolvere le seguenti euazioni: sen (x π/) ½ [x π/6 kπ, xπ/6 kπ] cos x cos x 1 0 [ x kπ, x ±π/3 kπ] cos x sen x cos x [x π kπ, x ±π/3 kπ] sen ( π/4 x) sen (π/4 x) 1 [x ±π/4 kπ] sen x sen x [x kπ, x ±π/3 kπ] cos x sen x 3 1 [x π/6 kπ, x π/3 kπ] RISOLUZIONE DI DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE Diseuazioni elementari Consideriamo ad esemio la diseuazione sen x > ½ Disegnando la circonferenza e la retta y ½ cerco tutti gli archi er cui l ordinata è maggiore di ½, ed ottengo la soluzione π/6 kπ < x < 5π/6 kπ, con k Z. uindi ricordando che - 1 sen 1; - 1 cos 1 Diseuazione: sen x > a a 1: imossibile a < 1: semre vera a 1: 3 vera x π kπ 1 < a < 1: 1 kπ < x < kπ, con k Z 60

11 Diseuazione sen x < a a 1: imossibile a > 1: semre vera a 1: vera π x kπ 1 < a < 1: kπ < x < π kπ, con k Z Diseuazione cos x > a a 1: imossibile a < 1: semre vera a 1: vera x π kπ 1 < a < 1: kπ < x < kπ, con arccos a, k Z Diseuazione cos x < a a 1: semre vera a < 1: imossibile a 1: vera x π kπ 1 < a < 1: kπ < x < π kπ, con k Z 61

12 Diseuazioni lineari Nel caso di una diseuazione lineare del tio asenx bcosx > (<) h si rocede come er l euazione corrisondente, cioè si risolve intersecando la circonferenza di euazione x y 1 con la diseuazione ay bx >h (che raresenta un semiiano) Esemio senx cos x <1 Si one y senx, x cosx e si interseca il semiiano y < -x 1 così ottenuto con la circonferenza di euazione x y 1 Si ottiene così la soluzione: π/ kπ < x <π kπ, con k Z Diseuazioni di grado Si risolvono come le diseuazioni di secondo grado, scegliendo gli intervalli interni o esterni alle soluzioni trovate, si ottengono così delle diseuazioni di rimo grado che si risolvono come recedentemente visto. Esemio sen x sen x 1 >0 risolvendo l euazione sen x sen x 1 0 ottengo, mediante la formula risolutiva delle euazioni di secondo grado: sen x 1 sen x -1/, da cui, rendendo i valori esterni si ha: sen x > 1 sen x < -1/ cioè: sen x >1 non dà soluzioni, mentre sen x < ½ ha come soluzioni 7π/6 kπ < x < 11π/6 kπ, con k Z 6

13 Esercizi 1. Risolvere le seguenti diseuazioni: cos x > ½ [-π/3 kπ < x < π/3 kπ] cos x cos x < 0 [π/3 kπ < x < π/ kπ 3π/ kπ < x < 5π/3 kπ] sen x cos x < 1 [π/6 kπ < x < 5π/6 kπ π kπ < x < π kπ] cos x - 3 sen x > 0 [-5π/6 kπ < x < π/ kπ; 3π/ kπ < x < π kπ; kπ < x < kπ] 3 sen x cos x > 1 [kπ < x < π/3 kπ] cos x senx 3 0 [ kπ /3π < x < π kπ] 63

14 Formule di addizione e sottrazione: sen( β) sencosβ cossenβ sen( - β) sencosβ - cossenβ cos( β) coscosβ - sensenβ cos( - β) coscosβ sensenβ tg tgβ tg( β ) 1 tgtgβ tg tgβ tg( β ) 1 tgtgβ FORMULE DI TRIGONOMETRIA Formule di dulicazione: (si ottengono dalle recedenti onendo β) sen sencos cos cos - sen 1 sen cos -1 tg tg 1 tg Formule di bisezione: (si ottengono dalle recedenti dimezzando l angolo ) sin ± 1 cos 1 cos cos ± 1 cos 1 cos sin tg ± 1 cos sin 1 cos Formule arametriche: (ESPRESSIONI DI sen, cos IN FUNZIONE RAZIONALE DI t t sin 1 t 1 t cos 1 t t tg 1 t tan ) 64

15 65 Formule di rostaferesi: cos sin sin sin sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin cos cos Formule di Werner: [ ] [ ] [ ] ) sin( ) sin( 1 cos sin ) cos( ) cos( 1 cos cos ) cos( ) cos( 1 sin sin β β β β β β β β β

16 Aendice 1 Funzioni goniometriche inverse Considerata la funzione ysenx è ossibile invertirla, sotto oortune condizioni, e si ottiene la funzione : yarcsen x definita er -1 x 1, a valori in π/ f(x) π/ nello stesso modo se oeriamo con la y cos x otteniamo la y arccos x definita er -1 x 1, a valori in 0 f(x) π 66

17 e con y tg x si ha: y arctg x definita er ogni x, a valori in π/ f(x) π/ 67

18 Aendice Relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo b a senβ b a cosγ b c tgβ b c cotgγ c a senγ c a cosβ c b tgγ c b cotgβ Relazioni tra gli elementi di un triangolo ualsiasi I due seguenti teoremi si utilizzano uando di un triangolo ualsiasi devo determinare lati e angoli a b c Teorema dei seni: si utilizza se sono noti due lati e un angolo ad essi sen senβ senγ oosto, oure un lato e due angoli ualunue Esemio 0 0 sin 30 sin 45 30, β 45, a 16 b b 1.6 sin 40 sin β 40 0, b 15, a 5 sin β

19 Teorema del coseno: a b c bc cos si utilizza uando del triangolo sono noti due lati e l angolo tra essi comreso oure tre lati. Esemio 0 γ 60, a 5, b 8 c a b abcos 60 er cui c 7, a 5, b 6 cosγ 0., γ 1.37 (radianti: ) 69