Funzioni Elementari 1/2

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1 Funzioni Lineri : Funzione qudrto: Modulo Funzione omogric iperbole: Funzioni Elementri / y m q y y y c b c b d Funzioni Potenz: Funzione Esponenzile Funzione Logritmic y y y log Funzioni trigonometriche y y y sin cos tn

2 Funzioni Elementri / Conoscenz Proprietà Elementri Segno Monotoni Invertibilità Concvità Simmetrie Periodicità Conoscenz grici elementri Conoscenz grici immeditmente riconducili i grici elementri

3 3 Monotoni De. Funzione Monoton Crescente De. Funzione Monoton Crescente in senso stretto De. Funzione Monoton Decrescente De. Funzione Monoton Decrescente in senso stretto con, A con, A con, A con, A Y X A : Le unzioni Monotone in senso stretto su tutto il cmpo di esistenz sono biunivoche e dunque invertibili

4 Funzioni Inverse e Monotoni /3 Teorem Se è un unzione strettmente monoton llor è iniettiv Dim dirett Si suppong monoton crescente in senso stretto. Dimostrimo che è iniettiv:, A con, A con se vel : A R se se Per l monotoni di. In entrmbi i csi: c.v.d. 4

5 Funzioni Inverse e Monotoni /3 Teorem Se è un unzione strettmente monoton llor è iniettiv Dim per ssurdo Si suppong monoton crescente in senso stretto., A con Dimostrimo che è iniettiv. Per ssurdo: con, A se intti osse : A R oppure In entrmbi i csi ci srebbe contrddizione con l ipotesi per ssurdo. c.v.d. Corollrio Se è un unzione strettmente monoton llor è biunivoc tr il proprio dominio ed il proprio codominio, dunque esiste l unzione invers - 5

6 Funzioni Inverse e Monotoni 3/3 Teorem Se è un unzione strettmente monoton sul proprio dominio llor l unzione invers - è strettmente monoton dello stesso tipo di. Dim Si suppong monoton crescente in senso stretto., A con : A R Il corollrio precedente erm l esistenz dell unzione invers -. Dimostrimo che - è monoton strettmente crescente: y, y A con y y y y Per ssurdo: y y y y y y y y Poichè è monoton crescente in senso stretto: y y c.v.d. 6

7 Concvità Convessità globli De. Funzione Convess su un intervllo L unzione :R R è dett convess sull intervllo [, ] se l cord congiungente i punti,,, st l di sopr del grico di. De. Funzione Concv su un intervllo L unzione :R R è dett concv sull intervllo [, ] se l cord congiungente i punti,,, st l di sotto del grico di. 7

8 8 Simmetri Pri De. Funzione Pri Un unzione è dett pri se =- per ogni di A Un unzione pri risult simmetric simmetri ssile rispetto ll sse delle ordinte sse y Y X A :

9 Simmetri Dispri De. Funzione Dispri Un unzione : A X Y è dett dispri se =-- per ogni di A Es Un unzione dispri risult simmetric simmetri centrle rispetto ll origine degli sistem di ssi crtesini 9

10 De. Funzione Periodic Periodicità / : A X Y è dett periodic se T A, T R T è il più piccolo numero rele positivo che soddis ll condizione precedente, ed è chimto Periodo dell unzione. sin R Es. Poiché il periodo dell unzione seno è pri π sin 0

11 Periodicità / cos cos R il periodo dell unzione coseno è pri π il periodo dell unzione tngente è pri π tn tn R \ k, k Z

12 Funzione Mntiss De. Funzione Prte Inter: []. [] è il più grnde intero minore o ugule d De. Funzione Mntiss: Mnt:=-[]. il periodo dell unzione mntiss è pri

13 Funzione Linere /3 Funzione Costnte: =k Il grico è rppresentto d un rett orizzontle: y=k Rett Verticle Non è un unzione!: =k Il grico è rppresentto d un rett verticle Dirett proporzionlità Funzione Linere: =m Il grico è rppresentto d un rett pssnte per l origine: y=m. m è detto Coeiciente Angolre dell rett ed è legto ll ngolo α che l rett orm con l sse delle semisse positivo dll relzione m=tnα. M nche y m Rppresentzione geometric del coeiciente ngolre. Proprietà di dditività: Proprietà di omogeneità: tn k k Un unzione in generle è dett linere se soddis contempornemente lle due precedenti proprietà cioè se è dditiv ed omogene. 3

14 Funzione Linere /3 Funzione Linere Aine: =m+q Il grico è rppresentto d un rett non verticle non pssnte per l origine: y=m+q. q=0 rppresent l ordint dell intercett ll origine. Es. Si consideri l rett y=-+ Se ne trcci un grico Si trovino le intercette punti di intersezione con gli ssi coordinti crtesini [R. 0, /,0 ] Dte due rette: y=m +q e y=m +q Rette Prllele Condizione di prllelismo: m =m Rette Perpendicolri Condizione di perpendicolrità: m *m =- Intersezione tr rette: y y m m q q 4

15 Funzione Linere 3/3 Fscio Proprio di rette di centro,y y-y =m- Rett per due punti,y e,y Vle l ormul sopr con m y y quindi y y y y Es. Determinre l rett pssnte per P=-, e perpendicolre ll rett y=3-5 [R. y=-/3+5/3 ] Es. Determinre l rett pssnte per P=-, e prllel ll congiungente A=-,0 e B=, [R. y=/ + 5/ ] Es. Sino y =+5 e y =-+7. Scrivere l equzione dell rett pssnte per il punto di intersezione di y ed y e prllel ll rett di equzione y 3 =/+. [R. y=/ + 6 ] 5

16 Equzioni e Disequzioni di I grdo Equzioni m+q=0 Possono essere viste come l ricerc del punto di intersezione tr l rett y=m+q e l sse delle y=0 Soluzione: =-q/m Disequzioni m+q>0 m+q<0 Insieme dei vlori per cui il grico dell rett y=m+q st l di sopr sotto l sse delle. Ricord: moltiplicndo entrmbi i membri di un disequzione per un numero negtivo, l disequzione cmbi di verso Es. Eq. I grdo : 3+7=-5 [ R. X=-7 ] Es. Diseq. di I grdo [ R. S=Ø ] 6

17 Funzione Qudrto /3 Funzione: = Rppresent un prbol y= E un unzione pri grico simmetrico rispetto ll sse y E convess se >0, concv se <0 Per disegnrl occorre trovre il vertice punto di mssimo <0, o minimo >0 Pss per l origine e non h ltre intersezione con gli ssi coordinti Funzione: = +b+c Rppresent un prbol y= +b+c E convess se >0, concv se <0 Per disegnrl occorre trovre il vertice punto di mssimo <0, o minimo >0 b V, con b 4c 4 e le intersezioni con gli ssi coordinti Intersezione sse y y 0 b c 0,c 7

18 Intersezione sse Funzione Qudrto /3 y y 0 b c b c 0, b Δ>0 Due Intersezioni Distinte Prbol secnte l sse delle Δ=0 Due Intersezioni Coincidenti Prbol tngente l sse delle Δ<0 Non ci sono intersezioni tr l Prbol e l sse delle 8

19 Funzione Qudrto 3/3 Es. Determinre l equzione dell prbol con vertice v=, pssnte per il P0,4 [R. y= -4+4 ] Es. Disegnre l prbol: = -5-4 Es. Scrivere l equzione dell prbol con sse prllelo ll sse delle y e pssnte per i punti di coordinte 0,0, e -,4 [R. y= ] 9

20 Equzioni e Disequzioni di II grdo /4 b c 0, b b c 0 0 Δ>0 Rdici Reli Distinte >0 +b+c>0 ll esterno delle rdici ed < vel > +b+c<0 ll interno delle rdici ed << <0 +b+c>0 ll interno delle rdici ed << +b+c<0 ll esterno delle rdici ed < vel > 0

21 Equzioni e Disequzioni di II grdo /4 Δ=0 Rdici Reli Coincidenti >0 +b+c>0 per -b/ +b+c<0 per nessun l disequzione non h soluzioni <0 +b+c>0 per nessun l disequzione non h soluzioni +b+c<0 per -b/

22 Equzioni e Disequzioni di II grdo 3/4 Δ<0 Rdici Complesse Coniugte >0 +b+c>0 per ogni rele +b+c<0 per nessun le disequzione non h soluzioni <0 +b+c>0 per nessun le disequzione non h soluzioni +b+c<0 per ogni rele

23 Equzioni e Disequzioni di II grdo 4/4 Es. 0 [R. ] Es [R. 3] Es. Risolvere, in dipendenz del prmetro rele k, le seguenti disequzioni: I k 8 0 II k per per. per per per k 0, 4 8k k 0, vel k k -/ 8, 8 8k / 8 k 0, k k -/8, S 8k k 8k k per R. per k k 0, S 0, k k 3

24 4 Funzione Modulo Vlore Assoluto De. 0 se 0 se 0 se 0 se Proprietà: y y Disuguglinz tringolre y y

25 5 Funzione Modulo Vlore Assoluto y y y y y y y y y y y y b y b b b b b b b b b b b b b Scmbindo e b Portndo primo membro: E quindi Sommndo membro membro:

26 Equzioni e Disequzioni con Modulo /3 Es. =k se k <0 non esistono soluzioni se k=0 =0 se k>0 =±k Es. +4 =3 Es. +4 =3 - Es. <k ** se k <0 non esistono soluzioni se k=0 non esistono soluzioni se k>0 -k<<k k k k k Es. +4 <3 Es. >k se k <0 : ogni che deinisce è soluzione se k=0 : ogni che deinisce 0 è soluzione se k>0 >k vel <-k Es. +4 >3 Es. + >+ [R. <-+ 3 v > ] 6

27 7 Equzioni e Disequzioni con Modulo /3 Es. <k ** se k <0 non esistono soluzioni se k=0 non esistono soluzioni se k>0 -k<<k ** 0 vel 0 -k k 0 vel 0 k k k k k

28 Equzioni e Disequzioni con Modulo 3/3 Es. =g 0 g vel 0 - g -g Es. <g 0 g vel 0 - g -g Es. >g 0 g vel 0 - g -g 8

29 Disequzioni Rzionli Frtte Sono del tipo N D 0 0 Risoluzione: si studi N>0, D>0 seprtmente, poi si un grico di conronto, mettendo su un rett il segno di N e su un rett prllel il segno di D, poi si determin il segno di N/D tenendo conto dell regol dei segni Es [ R. 8 ] L stess risoluzione vle nche per N*D>0 <0 9

30 Sistemi di Disequzioni Sono del tipo F 0 G Si determin l insieme delle soluzioni delle prim disequzione S, si determin l insieme delle soluzioni delle second disequzione S l insieme delle soluzioni del sistem srà llor S S S Es. 6 0 [ R. 4]

31 Funzione Omogric Invers Proporzionlità: unzione =/ Iperbole equilter rierit i propri sintoti gli ssi crtesini sono gli sintoti dell iperbole H simmetri dispri, dunque l origine è un centro di simmetri Funzione Omogric: =+b/c+d con d-bc 0 Iperbole equilter gli sintoti non coincidono con gli ssi crtesini m sono d essi prlleli. Essi hnno equzioni =-d/c y=/c d Il centro di simmetri -d/c, /c Es. Disegnre il grico di c C, c c b d 7 3 3

32 Funzione Omogric c b d d C, c c 3

33 Funzione Potenz esponente intero pri Funzione Potenz: = n n pri Simmetri pri, >0 per 0,, =0 per =0 Non invertibile Monoton crescente per positive, decrescente per negtive conronto y= con y= 4 [si provi per =/, =] y= 4 y= 33

34 Funzione Potenz esponente intero dispri Funzione Potenz: = n n dispri Simmetri dispri, >0 per >0, <0 per <0, =0 per =0 Invertibile Monoton crescente conronto y= 3 con y= 5 [si provi per =/, =] y= 5 y= 3 34

35 Funzione Potenz esponente rzionrio /4 Funzione Potenz: = /n n pri deinit solo per 0 Invers del rmo positivo di y= n conronto y= / con y= /4 [si provi =/6, =6] y= / y= /4 35

36 Potenze-Rdici: Funzioni Inverse /4 y=^/ y=^ 36

37 Funzione Potenz esponente rzionrio 3/4 Funzione Potenz: = /n n dispri simmetri dispri deinit solo per ogni rele Invers di y= n conronto y= /3 con y= /5 y= /5 y= /3 37

38 Potenze-Rdici: Funzioni Inverse 4/4 y= /3 y= 3 38

39 39 Proprietà Potenze 0, 0 y ssumimo n m n m - b b b b b b y y 0 0 R

40 Equzioni/Disequzioni Irrzionli /3 n g n dispri g Risolt d : n g n dispri Risolt d : g n n g n n dispri g Risolt d : n Not: pplicndo d entrmbi i membri di un disequzione un unzione monoton crescente, l disequzione con cmbi verso e mntiene inlterte le proprie soluzioni. Fcendo l stess cos con un unzione monotone decrescente l disequzione cmbi di verso e mntiene sempre inlterte le proprie soluzioni. 40

41 4 Equzioni/Disequzioni Irrzionli /3 n pri Risolt d : g n n g g g 0 n.n. 0 vel 0 0 g n n pri Risolt d : n g g 0 0 g n n pri Risolt d : n g g 0 n.n. 0

42 Equzioni/Disequzioni Irrzionli 3/ [ R. S R] 5 [ R. 3] 3 4 [ R. -,-4] 4/3, ] 4

43 Funzione Esponenzile /4 Funzione = può essere ben deinit solo per >0 per = si ottiene l unzione costnte = per > è monoton crescente conronto tr e 4 per 0<< è monoton decrescente conronto tr / e /4 >0 per ogni rele, 0= è sempre invertibile ed è sempre convess per > Per 0<< lim lim 0 lim lim 0 43

44 Funzione Esponenzile /4 y= y=/ e lim n n n...y e e=

45 Funzione Esponenzile 3/4 y=4 y= si provi per =-/, =/ = 45

46 Funzione Esponenzile 4/4 y=/4 y=/ si provi per =-/, =/ = 46

47 47 Disequzioni esponenzili Poiché ep è un unzione monoton crescente Poiché /^ è un unzione monoton decrescente e e 3 3

48 Funzione Logritmic / Funzione Logritmic: unzione invers dell esponenzile L unzione esponenzile è invertibile in qunto sempre monoton. y log y lim 0 >0 et Fissimo > deinit per >0 monoton crescente =0 è concv lim log log y=log 4 y=log si provi per =/ = log 4 /=-/ log 4 =/ log /=- log = 48

49 Funzione Logritmic / Funzione Logritmic: unzione invers dell esponenzile y >0 Fissimo 0<< deinit per >0 monoton decrescente =0 è convess lim log 0 lim log log y=log /4 y y=log / si provi per =/ = log /4 /=/ log /4 =-/ log / /= log / =- 49

50 Proprietà Logritmi log log log log log y y log log log log y y, y, y k k log 0, k R log log b 0 b log b,b 0 b b CONVENZIONI 0 0 log e ln log 0 Log log log e ln 50

51 Equzioni/Disequzioni Esponenzili e Logritmiche 5 4 log log 3 Applico l unzione invers log log 3 log log 3 log 4 log log 5 3 e e 3 ln log 5 4 ln 4 ln5 Identità Esponenzili y ln e e lny e ln R y R R 3 e 5 [R. S R] e 0 [R. ] e 5

52 5 Funzioni Goniometriche O A B C D θ OA AC sin OA OC cos cos sin tn OC AC OA BD Teorem di Pitgor : cos sin

53 Trigonometri: tringoli rettngoli A c b B C 90 rd 90 rd csin b c cos c cos b csin b tn b tn 53

54 Trigonometri: tringoli qulsisi B c 80 rd A b C Teorem dei seni: sin b sin c sin R Teorem di Crnot del coseno: c b bcos 54

55 Funzione Seno / Funzione y=sin Periodo π Limitt ssume vlori tr - e compresi Simmetri dispri Crescente per 0 π/ e per 3/π < π Decrescente per π/ 3/π Concv 0 π Convess π < π 55

56 Funzione Seno / Prticolri vlori sin 0 sin 4 sin 0 sin 6 sin 3 3 Vlori uguli sin Vlori opposti sin sin sin sin sin 56

57 Funzione Coseno / Funzione y=cos Periodo π Limitt ssume vlori tr - e compresi Simmetri pri Crescente per π < π Decrescente per 0 π Concv per 0 π/ e per 3/π < π Convess π/ < 3/π 57

58 Funzione Coseno / Prticolri vlori cos 0 cos 4 os 0 cos 6 cos 3 3 Vlori uguli cos Vlori opposti cos cos cos cos cos 58

59 Funzione y=tn Periodo π. Si studi tr 0 e π Illimitt Simmetri dispri Crescente per π/ Concv per π/ < π Convess per 0 < π/ Funzione Tngente / 59

60 Funzione Tngente / Prticolri vlori tn 0 tn 4 0 tn 6 tn Vlori opposti tn tn 60

61 Relzioni Fondmentli sin cos sin tn cos cos tg 6

62 Equzioni/Disequzioni Goniometriche sin 0 4sin 8sin 3 0 cos cos 0 sin cos 0 6

63 Funzione Arco-seno Viene operto un tglio in [-π/, +π/] per poter invertire l unzione per cui: rcsin :,, 63

64 Funzione Arco-coseno Viene operto un tglio in [0, π] per poter invertire l unzione per cui: rccos :, 0, 64

65 Funzione Arco-tngente Viene operto un tglio in [-π/, π/] per poter invertire l unzione per cui: rctn : R, 65

66 Grico y= Notimo: y Grici Riconducibili /9 se 0 - se 0 L prte del grico corrispondente vlori negtivi dell unzione sotto l sse delle viene simmetrizzt rispetto ll sse delle scisse. L prte del grico corrispondente vlori positivi dell unzione viene lscit invrit. 66

67 Grici Riconducibili /9 Grico y= Notimo: y se 0 se 0 Per le positive o nulle il grico coincide con quello di per quelle negtive il grico è il simmetrico di quello per le positive rispetto ll sse delle y ordinte. 67

68 Grici Riconducibili 3/9 Grico y=+b Il grico present un trslzione di b lungo l sse delle y. b=-3 b= 68

69 Grici Riconducibili 4/9 Grico y= se >0 se > è un diltzione zoom di ingrndimento di un ttore lungo l sse delle y se 0<< è un diltzione zoom di rimpicciolimento di un ttore lungo l sse delle y = =0.5 69

70 Grici Riconducibili 5/9 Grico y= se <0 se =- il grico è ottenuto d quello di ttrverso un simmetri ssile rispetto ll sse delle scisse se <- è un diltzione zoom di ingrndimento di un ttore lungo l sse delle y, composto con l simmetri ssile rispetto ll sse delle scisse se -<<0 è un diltzione zoom di rimpicciolimento di un ttore lungo l sse delle y, composto con l simmetri Assile rispetto ll sse delle scisse =-0.5 =- = 70

71 Grici Riconducibili 5b/9 =-0.5 =- = 7

72 Grico y= +c Grici Riconducibili 6/9 Il grico present un trslzione di c lungo l sse delle c=+ c=- 7

73 Grici Riconducibili 7/9 Grico y=d se d>0 se d> è un diltzione zoom di rimpicciolimento di un ttore /d lungo l sse delle se 0<d< è un diltzione zoom di ingrndimento di un ttore /d lungo l sse delle d= d=0.5 73

74 Grici Riconducibili 8/9 Grico y=d se d<0 se d=- il grico present un simmetri ssile sse delle y rispetto l grico originle se d<- è un diltzione zoom di ingrndimento di un ttore / d lungo l sse delle, compost con l simmetri ssile rispetto ll sse delle y se 0<d< è un diltzione zoom di rimpicciolimento di un ttore / d lungo l sse delle, compost con l simmetri ssile rispetto ll sse delle y d=- d=- d=

75 Grici Riconducibili 8b/9 d=- d=-0.5 d=- 75

76 Grici Riconducibili 9/9 Grico y=d. Cso unzioni goniometriche o periodiche. Supponimo d>0. Il vlore d v modiicre il periodo dell unzione. Precismente se il periodo dell unzione è T, il grico dell unzione y=d present un periodo T =T/d. Se d<0 ll vrizione di periodo indict sopr v ggiunt l simmetri rispetto ll sse y. Es. y=sin h periodo T=π. L unzione y=sin h periodo T = π L unzione y=sin/ h periodo T = 4π y=sin y=sin/ y=sin 76

77 Grici Riconducibili 9b/9 y=sin/ y=sin y=sin 77

78 Grici Riconducibili Composti / Grico y= - y=-/ rimpicciolimento di un ttore ½ lungo l sse delle seguito d un trslzione di +/ lungo l sse delle. y= y=- 78

79 Grici Riconducibili Composti / Grico y= - ++ y=- + + rimpicciolimento di un ttore ½ lungo l sse delle seguito d un trslzione di - lungo l sse delle seguito d un simmetri rispetto l sse delle seguito d un diltzione di ttore lungo l sse delle y seguito d un trslzione di + lungo l sse delle y y= y=+ y=-*++ 79

80 Conronto Grico / Equzione: =g Disequzione: >g [<g] Si teng conto del grico di y= e del grico di g e poi se ne operi un conronto quntittivo e, ove non è possibile, qulittivo. Es. sin-cos>0 sin sin cos y y y cos sin cos y S R :

81 Conronto Grico / Es. ln->0 ln y ln y y y S Es. ln+>0 ln y ln y y y ln=- mmette un unic soluzione 0 : 0< 0 < 0 ~ S R : 0 8

82 Trsormzioni :Rissunto Sull Funzione Sull rgomento 8

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