9. La distribuzione 2 e i test per dati su scala nominale

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1 9. La distribuzione e i test per dati su scala nominale 9.1. La distribuzione La statistica e la sua distribuzione In una popolazione distribuita normalmente con parametri e estraiamo un campione di n elementi. Di questo campione calcoliamo la statistica (leggi chi quadrato) definita dalla seguente relazione: y Ripetendo il campionamento indefinitamente, mantenendo sempre il numero n di elementi otteniamo una distribuzione continua di valori della statistica. Anche per la nuova statistica non esiste una curva di distribuzione, ma infinite curve, in dipendenza del numero di elementi n scelto per il campione. Anche in questo caso si parla di gradi di libertà della statistica, e più precisamente i gradi di libertà sono n 1 (9.) I matematici hanno calcolato l equazione di una curva di distribuzione del con gradi di libertà; ancora una volta è riportata in forma semplificata per evidenziarne la dipendenza da : / 1 f Y 0 e (9.3) dove ancora una volta Y 0 è una costante che dipende da. Anche la curva di distribuzione del è asimmetrica come quella della statistica F. In Fig. 9.1 sono riportate diverse curve di distribuzione corrispondenti a diversi gradi di libertà (da 1 a 6). (9.1) Fig. 9.1 Come per ogni curva di distribuzione l area totale sotto una curva di distribuzione del vale 1; l area sotto la curva per gradi di libertà, fra due valori a e b, corrisponde alla probabilità di ottenere in uno dei campionamenti casuali descritti in apertura, con + 1 elementi, valori della statistica compresi fra a e b Le tavole dei valori critici del Anche per il come per F interessano le code destre della distribuzione; i valori critici riportati in Tavola 6 a livello sono i valori di a partire dai quali l area sotto la coda destra della distribuzione vale. Si tratta dunque di una tavola ad una coda, per le stesse ragioni per cui lo è la tavola dei valori critici di F. Anche per i valori critici della distribuzione valgono le convenzioni simboliche già utilizzate per le altre statistiche: a pedice viene indicato dapprima il livello di significatività, quindi i gradi di libertà fra parentesi quadre: [ ]. Per esemplificare cerchiamo il valore critico che delimita la coda raffigurata in Fig. 9.: per i gradi di libertà della distribuzione in figura abbiamo = 6, mentre l area sotto la coda vale 0.05; per il corrispondente valore critico abbiamo 0.05 [6] Infine, Fig. 9.3 mostra che anche per la statistica (qui con = 6) valgono le convenzioni già note per specificare i livelli di significatività della statistica.

2 Fig. 9. Fig Test di indipendenza per dati su scala nominale Tavole di contingenza Si confrontano gli esiti dello scrutinio di fine anno nel primo biennio di un istituto professionale e di un istituto tecnico. In particolare sono sotto osservazione le modalità selettive nel primo anno. I dati sono raccolti in Tab. 9.1, in cui P sta per promosso, PD sta per promosso con debito e NP sta per non promosso. P PD NP Professionale Tecnico Tab. 9.1 Ogni numero corrisponde ad una frequenza; ad esempio 53 è il numero dei promossi nel professionale. In questo caso abbiamo sotto osservazione due variabili: tipo di scuola e selettività (in termini di esito dello scrutinio finale); entrambe le variabili sono di tipo qualitativo, cioè sono misurate su scala nominale, e quindi attraverso frequenze. La prima variabile (tipo di scuola) ha due modalità: professionale e tecnico; la seconda variabile (selettività) ha tre modalità: promosso, promosso con debito e non promosso. La tabella in cui sono riassunti i dati è detta tavola di contingenza, con dimensioni 3. In generale le tavole di contingenza relative a due variabili, con un numero di modalità rispettivamente m ed n hanno dimensione m n. E utile completare la matrice dei dati della tavola di contingenza in Tab. 9.1 attraverso i totali di riga e di colonna, come in Tab. 9., che rappresenta un esempio dell assetto definitivo dalle tavole di contingenza. Si osservi che il totale dei totali di colonna è uguale al totale dei totali di riga, ed equivale alla somma di tutte le frequenze della tavola: =44=6+16. Il totale generale delle frequenze sarà nel seguito indicato con n; dunque, nell esempio, n=44. P PD NP Totali Professionale Tecnico Totali Tab Il concetto di associazione Riprendiamo e per certi versi specifichiamo ulteriormente la nozione di variazione concomitante o associazione presentata in della Parte metodologica. Osservando i dati della tavola di contingenza in Tab. 9. si ha l impressione che gli scrutini nelle due scuole non abbiano dato esiti omogenei: pare vi sia una maggior selettività nell istituto professionale. Esprimendo lo stesso concetto con altre parole, la variabile selettività pare in qualche modo legata alla variabile tipo di istituto, nel senso che tipi diversi di istituto mostrano una differente selettività. Questa circostanza si esprime dicendo che fra i due fattori vi è associazione, o che le due variabili non sono indipendenti. Se viceversa a differenti tipi di istituto corrispondessero livelli simili di selettività diremmo che fra i due fattori non vi è associazione, ovvero che i due fattori sono indipendenti. In generale, e parlando in modo un po informale: quando siamo in presenza di due variabili, misurate su scala nominale, che agiscono simultaneamente influenzandosi reciprocamente, si dice che fra queste variabili vi è associazione, ovvero che le due variabili non sono indipendenti. Si osservi che di fatto il concetto di associazione qui discusso non è altro che l estensione del concetto di correlazione (discusso nei per i dati su scala almeno ordinale) ai dati su scala nominale.

3 Frequenze osservate e frequenze attese L impressione soggettiva di associazione fra le variabili tipo di scuola e selettività, espressa nel paragrafo precedente, è naturalmente da verificare su un piano oggettivo, il che significa sottoporre a test la significatività dell associazione. Il primo passo, come in qualunque test di ipotesi, è l esplicitazione di H 0 e H 1. H 0 : fra le variabili tipo di scuola e selettività non vi è associazione, ovvero i due fattori sono indipendenti; H 1 : fra le variabili tipo di scuola e selettività vi è associazione, ovvero i due fattori non sono indipendenti. Come in tutti i test di ipotesi lavoriamo per rigettare l ipotesi nulla. Allora, cominciamo a metterla bene a fuoco. Cosa significa che i fattori sono indipendenti? In sostanza questo avviene se le frequenze delle diverse celle di una tavola di contingenza variano solo in dipendenza dei totali di riga e di colonna, e più precisamente se il contenuto di ogni cella è proporzionale ai suoi totali di riga e colonna. Questa osservazione permette di calcolare con semplici proporzioni il contenuto che ogni cella dovrebbe avere se i fattori fossero indipendenti. Lo schema di calcolo è illustrato con riferimento alla Tab. 9.3 Tot x R Tot C n Tab. 9.3 x rappresenta il valore che avrebbe la frequenza della relativa cella se i fattori fossero indipendenti; R rappresenta il totale di riga e C il totale di colonna; n è il totale delle frequenze. Sotto ipotesi di indipendenza (non associazione) il valore x sta al totale R come C sta al totale generale n. In simboli: x R C n (9.4) x : R C : n. Risolvendo la proporzione otteniamo che è la formula generale per il calcolo delle frequenze che avremmo in caso di indipendenza. Dunque abbiamo delle frequenze raccolte nell indagine da confrontare con delle frequenze calcolate sotto l ipotesi di indipendenza. Le prime si chiamano frequenze osservate e si indicano col simbolo f, mentre le frequenze calcolate prendono il nome di frequenze attese e si indicano col simbolo fˆ La statistica e il test di indipendenza Torniamo al test a cui siamo interessati. Abbiamo enunciato le ipotesi in opposizione ed abbiamo trovato un metodo per calcolare le frequenze attese in caso di indipendenza. Ora si tratta di misurare in modo oggettivo la differenza fra le frequenze osservate e quelle attese in caso di indipendenza attraverso una apposita statistica, e di valutarne la significatività. Se la differenza risulterà significativa rifiuteremo l ipotesi nulla di indipendenza fra i fattori ed avremo provato la differente selettività nei due tipi di scuola. Per valutare la differenza fra f e fˆ è ovvio che si debba ricorrere alla quantità f fˆ. L idea sarebbe di sommare il risultato di questa differenza, cella per cella, fra le due tavole di contingenza dei valori osservati e attesi, in modo da avere una misura complessiva della diversità fra frequenze osservate e attese. Come al solito il condizionale indica una difficoltà; è il solito problema: queste differenze hanno segni sia positivi che negativi, e si annullano vicendevolmente; la soluzione è ancora una volta l elevamento a quadrato: f ˆf (per garantire la positività). Ancora un difetto. Per spiegarlo facciamo due esempi: se la frequenza osservata è 1 e quella attesa è, il quadrato della differenza è 1; se la frequenza osservata è 999 e quella attesa è 1000, il quadrato della differenza è ancora 1. Ma è intuitivo che 1 su sia cosa ben diversa da 1 su Le differenze vanno in qualche modo pesate; il metodo più semplice è quello di rapportarle al valore atteso; questo ci conduce al perfezionamento: f f fˆ ˆ. Finalmente abbiamo una quantità che misura la differenza fra frequenza osservata e frequenza attesa per ciascuna cella. Infine, occorre sommare queste quantità relative a ciascuna delle m n celle, ottenendo una nuova statistica: m n f f fˆ dove il simbolo m n posto sopra il simbolo di somma indica che essa è estesa appunto a tutte le m n celle delle tavole di contingenza. La statistica è nulla quando le frequenze attese e osservate sono identiche, ed è tanto maggiore quanto maggiore è la differenza fra frequenze attese e osservate. ˆ (9.5)

4 Si noti ancora una volta (come già notammo per la statistica F) che i valori di sono sempre positivi (salvo il caso di perfetta uguaglianza fra i valori di f e fˆ ). Dunque, se c è differenza, si sposta sempre verso la coda di destra della distribuzione. Il simbolo per la nuova statistica è scelto perché assomiglia al simbolo senza tuttavia esserlo. Ciò non è casuale: si può infatti dimostrare che la distribuzione di approssima molto bene la distribuzione del con m 1 n 1 gradi di libertà. Le due distribuzioni sono praticamente uguali quando nelle celle delle frequenze attese tutti i valori sono almeno pari a 5. Questo basta per concludere il test: confrontiamo il valore di col corrispondente valore critico del al livello di significatività scelto: se supera il valore critico del possiamo rifiutare l ipotesi nulla. I calcoli necessari sono mostrati nel Box 9.1 Parte a La correzione di Yates per la continuità La distribuzione è una distribuzione continua (cioè che copre la gamma continua di tutti i valori da 0 in avanti), mentre la statistica è calcolata a partire da valori discreti (le frequenze osservate). Questa discrepanza crea qualche problema nell adattamento dei valori assunti da alla distribuzione del. Per ovviare a questo inconveniente si usa una correzione alla formula (9.5) nota come correzione di Yates: m n f fˆ fˆ 0.5 dove il pedice indica appunto l aggiustamento del valore di (dall inglese usted). La correzione di Yates abbassa leggermente il valore della statistica e rende il test più affidabile. Il Box 9.1 Parte b illustra i dettagli del calcolo Necessità di accorpare le frequenze di due o più righe o colonne In si è detto che la distribuzione di approssima molto bene la distribuzione del con m 1 n 1 gradi di libertà a patto che le frequenze attese siano almeno pari a 5. Nei casi in cui almeno una delle frequenze attese sia inferiore a 5 il test non è troppo affidabile. Per avere risultati sicuri occorre fare in modo di ottenere frequenze attese tutte superiori o almeno uguali a 5. A tale scopo si può procedere ad un accorpamento di due o più colonne o righe, in modo da arrivare ad ottenere per ciascuna cella frequenze osservate maggiori, e quindi maggiori frequenze attese. La tecnica è illustrata nel Box 9. Parte a Partizione dei gradi di libertà Una volta che abbiamo rifiutato l ipotesi nulla in un test di indipendenza abbiamo provato che almeno in una cella le frequenze osservate sono differenti in modo significativo da quelle attese, ma quale sia la cella (o quali siano le celle) non è ancora dato sapere. Per ottenere questa informazione occorre un supplemento di indagine analogo a quello necessario per l ANOVA e suggerito in e La tecnica è nota come partizione dei gradi di libertà del ed è basata su una successione di accorpamenti di righe e/o colonne del tipo illustrato in , con determinate precauzioni circa i gradi di libertà. In questo contesto ci limitiamo alla sua segnalazione; la tecnica è descritta in S. Siegel, Coefficienti di associazione per dati nominali Il coefficiente di contingenza C Come per i dati quantitativi esistono opportuni coefficienti di correlazione, anche per i dati qualitativi su scala nominale esistono opportuni coefficienti che quantificano il grado di associazione fra due fattori. Il più diffuso è il cosiddetto coefficiente di contingenza C. La sua formulazione matematica è: C n dove ovviamente è calcolato secondo la (9.5) mentre n è la somma di tutte le frequenze osservate. Nella frazione sotto radice il numeratore è minore del denominatore, e questo comporta che il suo valore è compreso fra 0 e 1. Tuttavia il valore 1 non viene mai raggiunto. Il massimo valore ottenibile dipende dal numero di righe e di colonne della tavola di contingenza. In generale non è immediato calcolare questo valore massimo. Nel caso in cui le righe e le colonne siano uguali a k (quindi nel caso di una tavola di contingenza quadrata k k) i valore massimo raggiungibile è (9.7) (9.6)

5 C max k 1 k (9.8) Per questo motivo il coefficiente di contingenza C è usato prevalentemente con tavole quadrate, in quanto in questo caso è possibile avere il riferimento al massimo valore possibile. Il calcolo banale è esemplificato nel Box 9.1 Parte c e nel Box 9. Parte b Correlazione degli attributi Il coefficiente di correlazione degli attributi è un coefficiente analogo al precedente, ma valido solo quando la tavola di contingenza è quadrata. In tal caso abbiamo: r (9.9) n k 1 dove k è il numero delle righe e delle colonne della tavola di contingenza. Nel caso speciale in cui k = il coefficiente di correlazione degli attributi è chiamato talvolta coefficiente di correlazione tetracorico. Esiste un opportuno abaco in forma grafica riportato in Tavola 7 che aiuta a valutare se il valore ottenuto debba essere considerato alto o basso. Un esempio di calcolo si trova nel Box 9. Parte b Test di buon adattamento Con ipotesi estrinseca: confronto di frequenze osservate con percentuali attese Cominciamo illustrando un esempio. Un collegio dei docenti vuole fare il punto sulla situazione del recupero dei debiti formativi. Le statistiche informano che all interno di un istituto le percentuali di debiti formativi recuperati R, parzialmente recuperati PR e non recuperati NR sono: R=13%, PR=46% e NR=41%. Visti gli esiti deludenti viene progettata e messa in sperimentazione una nuova strategia per le attività di recupero, al termine della quale si ottengono per gli 850 studenti dell istituto le seguenti frequenze assolute per le tre categorie: R=11, PR=41 e NR=317. Il problema è: questi nuovi dati si adattano alle percentuali precedentemente registrate oppure mostrano qualche cambiamento? Una stima soggettiva a occhio potrebbe essere fatta calcolando le percentuali dei nuovi risultati e confrontandole con le vecchie. Vediamo invece come si organizza un test oggettivo. Per prima cosa formalizziamo le due ipotesi in opposizione: H 0 : i nuovi dati osservati si adattano alle percentuali attese, ovvero, non c è differenza fra le frequenze osservate e quelle attese secondo le percentuali note; H 1 : i nuovi dati osservati non si adattano alle percentuali attese, ovvero, c è differenza fra le frequenze osservate e quelle attese secondo le percentuali note. Il punto di partenza è dunque quello di calcolare, a partire dal totale 850, quali sarebbero le frequenze attese per le tre categorie dalle percentuali note; si tratta cioè di calcolare semplicemente il 13%, il 46% e il 41% di 850, ottenendo così le frequenze attese. A questo punto calcoliamo ancora la statistica definita come in (9.5) o secondo la correzione di Yates come in (9.6). Si dimostra che la statistica è distribuita come un, ma questa volta con un numero di gradi di libertà pari al numero delle classi di frequenza diminuito di 1; nel nostro caso le classi sono 3, quindi i gradi di libertà sono. In generale, se le classi sono c per i gradi di libertà abbiamo c 1 (9.10) Un test cosiffatto prende il nome di test di buon adattamento. I test di buon adattamento si distinguono in base all ipotesi di partenza, che può essere sia estrinseca che intrinseca. L ipotesi di partenza si dice estrinseca se il calcolo delle frequenze attese non comporta una stima di parametri ( o, ad esempio) della popolazione. In questo caso per i valori attesi dobbiamo solo eseguire delle percentuali; si tratta dunque di ipotesi estrinseca. Il caso dell ipotesi intrinseca è trattato in I dettagli computazionali del test descritto ora sono mostrati nel Box Con ipotesi intrinseca: test di adattamento alla distribuzione normale Quando in un test di buon adattamento il calcolo delle frequenze attese richiede la stima di qualche parametro della popolazione indagata si parla di ipotesi intrinseca. Lo schema di calcolo generale di un simile test è identico a quello esposto in (calcolo di attraverso le differenze fra frequenze osservate e attese e sua significatività in base alla distribuzione ) salvo che i gradi di libertà sono condizionati dalla stima del parametro o dei parametri eventualmente necessari per il calcolo delle frequenze attese; in generale, se si è resa necessaria la stima di m parametri e le classi di frequenza sono c per i gradi di libertà abbiamo: c 1 m (9.11) Un esempio. In un istituto è stato somministrato ai nuovi iscritti in prima un test oggettivo di ingresso per verificare le abilità di base possedute.

6 Interessa sapere se la distribuzione dei risultati è normale, perché questa condizione permetterebbe (congiuntamente ad altre, da provare) di effettuare successive indagini attraverso test parametrici. I risultati sono raccolti in classi pentesimali (vedi. 4.. e Box.1): B=34, MB=131, M=50, MA=19 e A=7. Attraverso Tavola è semplice calcolare le percentuali attese, sotto ipotesi di normalità, in ciascuna delle 5 classi (vedi Box.): B MB M MA A 6.68% 4.17% 38.30% 4.17% 6.8% Tab. 9.4 Ora, si ricordi che per effettuare una classificazione pentesimale delle prove (che poi serve per il calcolo delle frequenze attese) occorre stimare i parametri e attraverso Y e s ; dunque, nel test di buon adattamento i gradi di libertà andranno calcolati secondo la (9.11). Salvo questo dettaglio i calcoli per questo test, descritti nel Box 9.4, seguono la falsariga del Box Proprietà additiva del. Cenno alla meta analisi Additività del Una importante proprietà del è l additività. Supponiamo di ripetere più volte un determinato esperimento ottenendo una serie di valori 1,, 3, 4 rispettivamente con 1,, 3, 4 gradi di libertà. Ebbene, si dimostra che la somma di tutti i è anch essa distribuita come un ( i ) con i gradi di libertà Applicazione dell additività Supponiamo di essere interessati a verificare una determinata ipotesi H 1 attraverso un opportuno disegno sperimentale, e supponiamo che il test utilizzato per refutare H 0 sia un (non importa se di indipendenza o di buon adattamento). Effettuiamo l esperimento; supponiamo che il corrispondente 1 con 1 gradi di libertà non permetta di rigettare l ipotesi nulla al livello desiderato. Non soddisfatti dell esito dell esperimento decidiamo di ripetere la prova (magari attuando un maggiore o migliore controllo sui fattori di disturbo, o cambiando i gradi di libertà della statistica ); otteniamo un secondo con gradi di libertà; supponiamo che anche in questo caso i risultati non siano significativi. Procedendo analogamente altre volte supponiamo di otteniamo ancora risultati deludenti. Una situazione analoga si può avere se diversi sperimentatori hanno effettuato la stessa prova e nessuno di loro ha ottenuto risultati significativi. Ebbene, sfruttando l additività del possiamo approdare ad esiti favorevoli, in quanto non si esclude che il gradi di libertà possa essere significativo pur in difetto di significatività degli addendi. i con i Un esempio concreto è illustrato nel Box 9.5: alcuni istituti scolastici di una provincia, coordinati a livello di Provveditorato, effettuano una sperimentazione su una tecnica dissuasiva nei confronti del fumo. L obiettivo è quello di modificare per le tre classi NF (non fumatori) MF (medi fumatori) e FF (forti fumatori), definite in base al numero medio di sigarette giornaliere, le percentuali NF=34%, MF=41% e FF=5% registrate in una precedente inchiesta. In nessun istituto preso isolatamente si raggiunge la significatività, mentre sfruttando l additività del si dimostra l efficacia del metodo Cenno alla meta analisi Riconsideriamo l esempio trattato in e nel Box 9.5. In pratica succede spesso che sperimentazioni condotte diffusamente sul territorio producano risultati non significativi per il solo fatto di essere basate su campioni troppo ristretti, o per il fatto che circostanze accidentali non bene controllate o non controllabili dal disegno sperimentale hanno in qualche modo interferito col risultato. D altra parte è di tutta evidenza l impegno notevole che richiede una sperimentazione condotta su vasta scala. Per questi motivi si sono rese necessarie una serie di tecniche le quali, sulla base di un censimento dei risultati raccolti in sperimentazioni diffuse, sintetizzano i risultati, i quali possono globalmente raggiungere la significatività anche in assenza di significatività dei singoli esperimenti. Abbiamo visto in della Parte metodologica che tali tecniche vanno sotto il nome di meta analisi. Abbiamo anche visto che le tecniche di meta analisi mirano a riunificare gli esiti di più sperimentazioni sia sotto il profilo della significatività, sia sotto l aspetto della dimensione dell effetto. Nel abbiamo un semplicissimo esempio di meta analisi del primo tipo.

7 Box 9.1. Test di indipendenza per tavole di contingenza m n; correzione di Yates; coefficiente di contingenza C Livelli di selettività (P=Promossi; PD=Promossi con Debito; NP=Non Promossi) in rapporto al tipo di scuola negli scrutini finali delle prime classi. Frequenze osservate: P PD NP Totali Professionale Tecnico Totali Parte a Test di indipendenza H 0 : fra i fattori tipo di scuola e selettività non vi è associazione, ovvero i due fattori sono indipendenti; H 1 : fra i fattori tipo di scuola e selettività vi è associazione, ovvero i due fattori non sono indipendenti. Schema di calcolo per le frequenze attese sotto H 0 : proporzioni P PD NP Totali Professionale x : 6 = 140 : 44 x : 6 = 10 : 44 x : 6 = 9 : 44 6 Tecnico x : 16 = 140 : 44 x : 16 = 10 : 44 x : 16 = 9 : Totali Risolvendo le proporzioni otteniamo le frequenze attese: P PD NP Totali Professionale Tecnico Totali m 1 n ˆ f f f ˆ [] *** Conclusioni: è significativo a livello 0.001; rigetto H 0 : vi è associazione fra selettività e tipo di scuola. Parte b Calcolo con la correzione di Yates: 0.001[] f f ˆ fˆ *** In questo caso la correzione non modifica l esito complessivo del test precedente, perché anche è superiore a 0.001[]; talvolta può tuttavia succedere che con la correzione si perda un livello di significatività quando il valore corrispondente calcolato senza correzione fosse appena sopra la soglia di significatività. Parte c Coefficiente di contingenza C: C n (N.B.: Non disponendo del valore massimo possibile è difficile dire se il valore trovato sia alto oppure basso) Usando il valore di C si riduce leggermente:

8 C n Rif.: Parte a: ; Parte b: ; Parte c:

9 Box 9.. Accorpamento di due colonne in test di indipendenza per tavole di contingenza m n; coefficiente di correlazione degli attributi; coefficiente di contingenza C. Numero di sufficienze (S), insufficienze (I) e gravi insufficienze (GI) in due classi parallele con uno stesso insegnante. S I GI Totali 1A B Totali Parte a Test di indipendenza H 0 : fra i fattori classe e risultati non vi è associazione, ovvero i due fattori sono indipendenti; H 1 : fra i fattori classe e risultati vi è associazione, ovvero i due fattori non sono indipendenti. Frequenze attese sotto H 0 : S I GI Totali 1A 3 3/47= /47= /47= B 4 3/47= /47= /47= Totali Le frequenze attese alla colonna I sono inferiori a 5 (4.40 e 4.60). Il test in queste condizioni sarebbe inattendibile. Occorre accorpare la colonna I con una delle due colonne a lato. Accorpamento delle colonne S+I: S+I GI Totali 1A B Totali Frequenze attese sotto H 0 con due colonne accorpate: S+I GI Totali 1A 3 3/47= /47= B 4 3/47= /47= Totali Tutte le frequenze attese superano il valore 5. Posso procedere col test. m 1 n [1] f f ˆ fˆ Conclusioni: è significativo a livello 0.05; rigetto H 0 : vi è associazione fra classe e risultati. Parte b 3.91* La tavola di contingenza nella sua versione a colonne aggregate è quadrata, con k =. Posso calcolare il coefficiente di correlazione degli attributi (in questo caso si tratta del coefficiente di correlazione tetracorico). r n 3.91 k Per il coefficiente di contingenza C abbiamo: C n Per C max abbiamo: C max k 1 k

10 che confrontato con C indica un livello modesto di associazione. Rif.: Parte a: ; Parte b:

11 Box 9.3. Test di buon adattamento per ipotesi estrinseca Percentuali attese e frequenze osservate circa il recupero del debito formativo; R = recuperato, PR = parzialmente recuperato, NR = non recuperato. % attese f osservate 13% 11 46% 41 41% Test di buon adattamento H 0 : non c è differenza fra le frequenze osservate e quelle attese secondo le percentuali note; H 1 : c è differenza fra le frequenze osservate e quelle attese secondo le percentuali note. Per il calcolo delle frequenze attese: f fˆ /100= /100= /100= c 1 31 Formula con correzione di Yates: ns [] Conclusioni: non è significativo; non vi sono elementi per rigettare H 0 : non è provata l efficacia della nuova strategia per il recupero. Rif.:

12 Box 9.4. Test di buon adattamento per ipotesi intrinseca: buon adattamento di una classificazione pentesimale ad una distribuzione normale Percentuali attese e frequenze osservate per una classificazione pentesimale, in un test di ingresso per la verifica delle abilità di base. % attese f osservate Test di buon adattamento H 0 : non c è differenza fra le frequenze osservate e quelle attese secondo la distribuzione normale; H 1 : c è differenza fra le frequenze osservate e quelle attese secondo la distribuzione normale. Per il calcolo delle frequenze attese: f fˆ /100= /100= /100= /100= /100= c 1 m 5 1 Formula con correzione di Yates: 0.05[] 0.01[] * Conclusioni: è significativo a livello 0.05; rigetto H 0 : c è differenza fra le frequenze osservate e quelle attese in caso di normalità. Rif.:

13 Box 9.5. Additività del Esiti di sperimentazioni condotte in tre diversi istituti per verificare l efficacia di una tecnica dissuasiva per fumatori (NF = non fumatori, MF = medi fumatori, FF = forti fumatori) % attese f istituto A f istituto B f istituto C NF 34% MF 41% FF 5% H 0 : il metodo persuasivo è inefficace; ovvero: non c è differenza fra le frequenze osservate e quelle attese secondo l ipotesi di inefficacia del metodo; H 1 : il metodo è efficace: c è differenza fra le frequenze osservate e quelle attese secondo l ipotesi di inefficacia del metodo. Attenzione! Un eventualmente significativo di per sé non indica l efficacia del metodo, ma solo che i risultati ottenuti sono differenti da quelli attesi; la differenza potrebbe anche essere nel senso di un peggioramento! Per valutare se si tratta di una differenza nella direzione auspicata occorre valutare i dati grezzi; nel nostro caso le frequenze FF dei forti fumatori sono leggermente inferiori a quanto previsto dalle percentuali attese; si tratterebbe quindi di un miglioramento. Essendo , nessuno degli esperimenti di istituto è in grado di provare isolatamente l efficacia del 0.05[] trattamento. Per l additività del abbiamo: i 6 i 0.05[6] 0.01[6] * Conclusioni: è significativo a livello 0.05; rigetto H 0 : c è differenza fra le frequenze osservate e quelle attese in caso di inefficacia del trattamento. Rif.: