1. NUMERI ED OPERAZIONI SUI NUMERI. a b a b a b a b

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1 1. NUMERI ED OPERAZIONI SUI NUMERI m/ n m n x 3 4 x 5 4 x a b a b a b a b 1

2 Operazioni sui numeri 2

3 Nota: a 1 a operazione impossibile 0 0 non esiste! 3

4 1 2 n 0 a a, a a a, a a a a a n 0 a 1 n n volte n j n 0, j : n 0 a a 10 0,001 j a a a a a 3 10 Proprietà delle potenze: j volte 4

5 n è un numero primo se è divisibile solamente per l unità e se stesso: numeri primi: 2,3,5,7,11,13,17, Scomposizione di un numero secondo (le potenze di) numeri primi 5

6 Come riconoscere l equivalenza (o non) tra frazioni? Frazioni equivalenti (non equivalenti) hanno la stessa (diversa) forma irriducibile Sì, è irreducibile 6

7 Prodotto di numeri razionali: Somma di numeri razionali: 1) via minimo comune multiplo 2) via diretta Risultati delle operazioni non necessariamente irreducibili! 7

8 Rappresentazione decimale dei numeri Numero razionale: cifre decimali finite o periodiche Numero irrazionale: numero infinito di cifre decimali Troncamento con numero di cifre crescenti: restringimento dell intervallo in cui si colloca il numero esatto 8

9 Troncamento nella rappresentazione decimale di un parametro chimico-fisico: stesso significato ma diversa origine! Esempio: distanza d misurata con un regolo avente suddivisioni (tacche) in millimetri: d = 12,1 cm nel significato di: 12,05 cm< d 12,15 cm In questo caso il troncamento non è scelto a priori, ma è determinato dall incertezza (errore) della misura Stima dell errore (incertezza) e d della misura del parametro d: e d = 0,05 cm Cifre significative di un parametro: cifre decimali riportate e non affette da errore d = 12,1 cm: 3 cifre significative Normalmente si suppone che tutte le cifre riportate siano significative Esempio: come si dovrebbe riportare in metri una distanza d = 3,5 km? 3,45km< d 3,55km e d = 50m d = 3500m 3499,5m< d 3500,5m, e d = 0,5m : sbagliato! d = m 34, m< d 35, m, e d = 50m : corretto! 9

10 Stesso significato per i parametri chimico-fisici tabulati, ad esempio costante dei gas: R = 8,314 J/mol K Implicito: R di per sé è un numero con infinite cifre decimali (numero irrazionale) e se ne riporta la forma troncata con 4 cifre significative, cioè: 8,3135 J/mol K < R 8,3145 J/mol K p 10

11 Quali cifre riportare nella somma di parametri? Esempio: dati due parametri p 1 = 12,1 e p 2 = 0,512, quale valore riportare per la loro somma p = p 1 + p 2? Riportando la soma algebrica, p = 12,1 + 0,512 = 12,612, si attribuirebbe a p una incertezza e p = 0,0005. E corretto? Estremo inferiore/superiore di p = somma degli estremi inferiori/superiori degli addendi p 1 e p1 p 1 + e p1 p 2 e p2 p 2 + e p2 p 1 p e p p + e p p 2 p + e p = p 1 + e p1 + p 2 + e p2 = p 1 + p 2 + e p1 + e p2 e p = e p1 +e p2 = 0,05 + 0,0005 0,05 Somma degli errori assoluti nell addizione! Nella somma prevale la maggiore delle incertezze degli addendi! Risultato corretto: p = 12, < p 12,65 p 11

12 E se i due parametri nella somma hanno la stessa incertezza? Ad esempio: p 1 = 12,1 p 2 = 0,5 e p1 = e p2 = 0,05 e p = e p1 + e p2 = 0,1? Una analisi più accurata prederebbe un addensamento dei valori più probabili verso il centro dell intervallo Sovrastima dell incertezza con e p = 0,1 In pratica si tronca alla stessa cifra decimale: p = p 1 + p 2 = 12,6 12,55 < p 12,65 e p = 0,05 E nell operazione di sottrazione? p = p 1 p 2 = p 1 + ( p 2 ) Equivalenza con la somma attraverso l opposto stesse regole della somma per l individuazione dell incertezza 12

13 Quali cifre riportare nel prodotto di parametri? Un esempio: p 1 = 12,1 p 2 = 0,15 p = p 1 p 2? Estremi inferiore/superiore di p = prodotti degli estremi inferiori/superiori dei fattori 12,05 12,15 0,145 0,155 12,1 p 1 0,15 p 2 12,05 0,145 12,15 0,155 1, , ,1 0,15 p 1,815 p Ragionevole intervallo di incertezza: Risultato: p = 1,8 1,75 1,85 1,8 p 13

14 C è una strada più diretta: confronto tra gli errori (incertezze) relativi Errori relativi sui fattori: e p1 p 1 = 0,05 12,1 0,004 e p2 p 2 = 0,005 0,15 0,03 Incertezza sul prodotto dall estremo superiore: p 1 + e p p = p + e p = (p 1 + e p1 ) p 2 + e p2 = p 1 p 2 (1 + e p1 p 1 )(1 + e p2 p 2 ) 1 + e p p = (1 + e p1 p 1 )(1 + e p2 p 2 ) e p p = e p1 p 1 + e p2 p 2 +(e p1 p 1 ) (e p2 p 2 ) e p1 p 1 + e p2 p 2 Trascurabile! Gli errori relativi si sommano nel prodotto e p p 0, ,03 0,03 = e p2 p 2 Nel prodotto prevale la maggiore delle incertezze relative e p 0,03 p 0,06 p = 1,8 Regola pratica: numero cifre significative nel prodotto = minimo del numero di cifre significative dei fattori 12,1 0,15 = 1,

15 Nella precedente trattazione era implicito che tutti i parametri fossero positivi Generalizzazione a parametri generici: errore relativo (sempre positivo): e p p errore relativo nel prodotto p = p 1 p 2 : e p ep e 1 p2 p p p E nella divisione p = a b = a 1 b? 1 2 E sufficiente valutare l errore e 1 b del reciproco 1 b, noto l errore e b sul parametro b b e b b + e b 1 b e 1 b 1 b + e 1 b b e e e b b b e b e b b b e 1 b 1/ b 1/ b b b b e1/ b eb e b 1/ b b e b b Errore relativo sul reciproco = errore relativo sul parametro 15