Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO GEOMETRIA

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1 Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO GEOMETRIA

2 TRIANGOLI Criteri di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti: 2 lati e 1 angolo compreso 1 lato e 2 angoli 3 lati L angolo esterno.. SUPPLEMENTARE dell ANGOLO ADIACENTE.. è uguale alla SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI non ADIACENTI

3 POLIGONI SIMILI Due poligoni sono simili se hanno i lati corrispondenti proporzionali Il rapporto di similitudine R è il rapporto tra due lati corrispondenti. Il rapporto tra i perimetri di due poligoni simili è R. Il rapporto tra le aree di due poligoni simili è R 2.

4 Criteri di similitudine dei triangoli Due triangoli sono simili se hanno: 2 coppie di lati proporzionali e 1 angolo congruente 3 angoli congruenti 3 coppie di lati proporzionali

5 TEOREMA DELLA BISETTRICE La bisettrice di un TRIANGOLO divide il LATO OPPOSTO in SEGMENTI PROPORZIONALI AGLI ALTRI DUE LATI. B D A C AC : CD = AB : BD

6 TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI A AH = Altezza relativa all ipotenusa AH AB AC BC B H C I triangoli ABC, ABH e CAH sono SIMILI TEOREMA DI PITAGORA AB 2 + AC 2 = BC 2 I TEOREMA DI EUCLIDE AB 2 = BH BC AC 2 = CH BC II TEOREMA DI EUCLIDE AH 2 = BH HC

7 APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI PITAGORA 2 d l ALTEZZA DEL TRIANGOLO EQUILATERO DIAGONALE DI UN QUADRATO d l l l/2 h 3 2 l h 3 3 2h l AREA DEL TRIANGOLO EQUILATERO h h l l l h l A

8 QUESITO

9 SUGGERIMENTO Traccia il quadrato costruito sull'ipotenusa e quello che comprende triangolo e quadrato come in figura: I triangoli ABC - CXD - DYE - BZE sono.. Le aree dei triangoli ACD e ABE sono =..

10 SOLUZIONE Tracciamo il quadrato costruito sull'ipotenusa e quello che comprende triangolo e quadrato come in figura: I triangoli ABC - CXD - DYE - BZE sono congruenti perchè hanno per ipotenusa il lato del quadrato BCDE ed hanno angoli congruenti. Segue che l'area di ACD = Analogamente, l'area di ABE = In conclusione l'area di ABC =

11 QUESITO

12 SUGGERIMENTO Considera il triangolo che si forma unendo il centro con un vertice e con un punto simmetrico: A 30 C.O H B Adesso costruisci i due triangoli.. D AO = 2 OH

13 SOLUZIONE A C.O 30 H D AO = 2 OH B F A C.O D E B La parte comune è formata da 6 triangoli = 6/9 dell area del triangolo ABC A comune 2 A 3 2 3

14 QUESITO

15 SUGGERIMENTO Detto ABC il triangolo che forma la base, la zona di sicurezza è un triangolo A B C (con A appartenente alla bisettrice dell angolo in A) interno al triangolo ABC. Dette H e K le proiezioni di A e B rispettivamente sul lato AB, si ha A H = 1 metro.

16 SOLUZIONE a a a 2 a 1 30

17 CIRCONFERENZA E CERCHIO La CIRCONFERENZA è il luogo dei punti equidistanti da un punto detto centro. Il CERCHIO è la figura piana compresa. PROPRIETA C r L asse di una corda passa per il centro L asse di un segmento è anche il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento Raggio e retta tangente in un punto sono perpendicolari Misura della circonferenza = 2r

18 MISURA DEGLI ANGOLI Gli angoli si possono misurare in.. GRADI Un ANGOLO GRADO è la 360-esima parte di un angolo GIRO Si divide in 60 ANGOLI PRIMI. Ogni ANGOLO PRIMO si divide in 60 ANGOLI SECONDI RADIANTI A B La misura in radianti di un angolo al centro che insiste su un arco AB di una circonferenza di raggio r è: AB r Un angolo di 1 radiante insiste su un arco di lunghezza = raggio! : 180 : g r g r 180 g r 180

19 ) (90 2 ) ( ) (0 0 ) (360 2 ) 180 ( ) ( ) ( ) (60 3 ) ( ) ( ) ( ) (30 6 ) ( ) ( ) ( ) (45 4 ) ( ANGOLI ELEMENTARI

20 AREA DI FIGURE PIANE TRIANGOLO RETTANGOLO PARALLELOGRAMMO ROMBO A b h 2 A bh A d 1 d 2 2 TRAPEZIO CERCHIO SEGMENTO CIRCOLARE DI AMPIEZZA (RADIANTI) A ( B b) h 2 A r 2 A 2 r 2

21 QUESITO

22 SUGGERIMENTO Con riferimento alla figura, siano A e B estremità di sbarre contigue, V il vertice dell arco AB, M il punto medio di AB e O il centro della circonferenza cui appartiene l arco AB. Deve valere OB = OV, posto dunque OM = x.. 9 x

23 SOLUZIONE Deve valere OB = OV, posto dunque OM = x. Per il Teorema di Pitagora, deve valere: x x 54 x

24 QUESITO NUMERICO

25 SUGGERIMENTO Si cerchi la relazione tra il raggio di 1 e quello di 0 : sarà la stessa esistente tra il raggio di n e quello di n-1. A tale scopo essendo D 0 O 0 B 0 = 60 (angolo a centro di D 0 C 0 B 0 ) segue che il triangolo D 0 O 0 B 0 è equilatero..

26 SOLUZIONE Quindi, poichè B 0 H 0 è perpendicolare a C 0 D 0, H 0 è punto medio di O 0 D 0 e il raggio 1 di 1 è 4 R( 0 ) Con la stessa costruzione si mostra che in generale vale

27 POLIGONI REGOLARI Un poligono regolare ha lati e angoli congruenti. Un poligono regolare è simmetrico rispetto a ogni retta passante per un vertice e il centro. Pertanto, vi sono esattamente n assi di simmetria; se poi il numero di lati n è pari, allora il centro è centro di simmetria per il poligono. Ogni angolo interno di un poligono ha ampiezza pari a, pertanto la somma degli angoli interni è (n-2)180. Gli angoli esterni invece misurano 360 /n e dunque la loro somma consiste in un angolo di 360.

28 POLIGONI REGOLARI Ogni poligono regolare è inscrivibile e circoscrivibile in due circonferenze concentriche. Il raggio della circonferenza inscritta è detto apotema e, chiaramente, coincide con la distanza dal centro di un qualsiasi lato del poligono.

29 QUESITO

30 I triangoli AEB e ACB sono isosceli. Calcoliamo la misura di un angolo del pentagono e dimostriamo che il triangolo BCP.. SUGGERIMENTO

31 SOLUZIONE

32 ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA Gli angoli alla circonferenza che insistono sulla stessa corda (arco) sono: - CONGRUENTI se insistono dallo stesso arco - SUPPLEMENTARI se insistono dallo archi opposti - LA META' dell'angolo al centro corrispondente Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo:

33 QUADRILATERO INSCRIVILE IN UNA CIRCONFERENZA Un quadrilatero si può inscrivere in una circonferenza (e si dice CICLICO) solo se la somma delle ampiezze degli angoli opposti è = 180. Per esempio, il trapezio isoscele, il rettangolo e il quadrato sono sempre inscrittibili, mentre il trapezio rettangolo, il parallelogramma e il rombo no. Un altro criterio per stabilire se un quadrilatero è ciclico è verificare se sullo stesso lato insistono angoli congruenti:

34 QUADRILATERO CIRCOSCRIVIBILE AD UNA CIRCONFERENZA Un quadrilatero si può circoscrivere a una circonferenza solo se le somme delle lunghezze dei lati opposti sono uguali: per esempio, il rombo e il quadrato sono sempre circoscrivibili, mentre il rettangolo e il parallelogramma no.

35 Corde, secanti e tangenti in una circonferenza Teorema delle due corde: Il punto P comune a due corde di una circonferenza divide le corde in parti in modo che le due parti di una corda siano i medi e le due parti dell'altra gli estremi di una proporzione. PA : PC = PD : PB Teorema delle due secanti: Una circonferenza divide due secanti condotte da uno stesso punto P, esterno alla circonferenza, in modo che un'intera secante e la sua parte esterna siano i medi, l'altra secante e la sua parte esterna gli estremi di una proporzione. PA : PC = PD : PB Teorema della secante e della tangente: Condotte da un punto P esterno ad una circonferenza una tangente ed una secante, il segmento di tangente è medio proporzionale tra l'intera secante e la sua parte esterna. PD : PT = PT : PC

36 QUESITO

37 SUGGERIMENTO

38 SOLUZIONE

39 VOLUMI E SUPERFICI DI SOLIDI CUBO di lato l PARALLELEPIPEDO di dim. a,b,c CILINDRO di raggio di base r e altezza h V r 2 h 3 V l V abc S L 2rh SFERA diraggio r CONO PIRAMIDE V 4 r 3 3 V 1 r 3 2 h V 1 3 A base h S 4r 2 S L ra S L P base a

40 QUESITO

41 SUGGERIMENTO P I C d = 4 km D Sviluppiamo sul piano la superficie laterale della montagna, tagliandola lungo il segmento DC. Si avrà un settore circolare di centro C, raggio 4 km, ossia la lunghezza di DC, e delimitato da un arco di circonferenza di 4π km, ossia..

42 SOLUZIONE C D C 4 km D 3 km I P I d = 4 km D 1 km P 4π km Lo sviluppo è un semicerchio. Il triangolo ICD è rettangolo. L ipotenusa ID = 5 km.

43 QUESITO A RISPOSTA APERTA

44 SUGGERIMENTO (a)

45 SOLUZIONE (a)

46 SUGGERIMENTO (b) Ridisegna il quadrilatero ABCM e la circonferenza circoscritta: Il triangolo ABC è isoscele e gli angoli che insistono sulla corda AB..

47 SOLUZIONE (b)

48 SCHEDA DI VALUTAZIONE

49 QUESITO DI LOGICA

50 SOLUZIONE A B C D PIOVE T (V) V S (F) V - S (F) T (V) NON PIOVE S (F) V T (V) V T (V) V (V) S (F)

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