02. Modelli Matematici: Derivazione

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1 Controlli Automatici 02. Modelli Matematici: Derivazione Prof. Cesare Fantuzzi Ing. Cristian Secchi Ing. Federica Ferraguti ARSControl - DISMI - Università di Modena e Reggio Emilia {nome.cognome}@unimore.it

2 Principi di modellistica Problema: Determinare il modello matematico che approssimi il comportamento di un sistema dinamico Indagine diretta: il sistema viene suddiviso in sottosistemi elementari il cui modello matematico è facilmente identificabile e il modello complessivo viene dedotto componendo i modelli dei sottosistemi elementari e applicando leggi base della fisica. Applicabile a casi semplici in cui, sotto certe ipotesi, l introspezione fisica del sistema permette la modellazione. Black box: il sistema si considera come una «scatola nera» di cui occorre identificarne il comportamento mediante l analisi dei segnali di ingresso (opportunamente variati) e delle rispettive uscite (analisi armonica). Utile in quei casi dove la fisica del sistema è così complessa da non permettere una introspezione. Gray box (approccio misto): il sistema complessivo viene scomposto in diversi sottosistemi interagenti, di cui alcuni modellati mediante introspezione fisica e altri mediante l analisi ingresso/uscita. Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 2

3 Derivazione del modello mediante indagine diretta L analisi energetica del sistema risulta un utile strumento per la derivazione del modello matematico. Dalla definizione di stato (grandezza che sintetizza la storia passata del sistema utile al fine di calcolare l uscita corrente) sembra ragionevole scegliere, come variabili di stato, grandezze che determinano quantità di energia accumulate nel sistema (variabili energetiche). In ogni dominio energetico (tranne in quello termico) ci sono due variabili energetiche e due meccanismi di accumulo dell energia che dipendono, ciascuno, da una sola delle due variabili energetiche. Il prodotto delle due variabili energetiche rappresenta la potenza in quel particolare dominio energetico. In ogni dominio energetico esiste un parametro che lega le due variabili energetiche e che caratterizza il meccanismo di dissipazione dell energia in quel dominio. Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 3

4 Considerazioni energetiche Meccanismi elementari di accumulo dell energia Dominio Accumulo capacitivo Accumulo induttivo elettrico E = 1 2 Cv2 E = 1 2 Li2 meccanico traslante meccanico rotante E = K f2 E = K c2 E = 1 2 Mv2 E = 1 2 Jω2 idraulico/pneumatico E = 1 2 C fp 2 E = 1 2 L fq 2 termico E = C t T manca l energia accumulata dipende dalle variabili ai morsetti Le variabili ai morsetti sono in realtà differenze variabili passanti Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 4

5 Derivazione di modelli matematici di sistemi fisici Scomposizione del sistema complessivo in sottosistemi elementari il cui modello matematico sia facilmente derivabile (sotto opportune ipotesi). Composizione dei modelli elementari mediante principi base della fisica (conservazione dell energia) per derivare il modello complessivo: Sistemi elettrici: Leggi di Kirchhoff per le tensioni e per le correnti Sistemi meccanici: Legge di Newton Sistemi idraulici: Equazioni di Bernoulli Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 5

6 Si prenderanno in esame alcuni esempi di modelli matematici dinamici per: illustrare i procedimenti generali che usualmente si impiegano nella loro deduzione chiarire le analogie esistenti fra modelli di sistemi fisici di diversa natura In particolare, verranno descritti sistemi: elettrici meccanici elettro-meccanici idraulici termici Si dedurranno i modelli in forma di equazioni differenziali ordinarie del tipo: d n y a n dt n + a d n 1 y n 1 dt n a d m u 0y = b m dt m + b d m 1 u m 1 dt m b 0u Il problema della soluzione di tali equazioni differenziali, cioè ricavare l andamento di y(t) in funzione di u(t), verrà preso in esame successivamente Trasformate di Laplace Modelli matematici di alcuni sistemi dinamici Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 6

7 Operatore D Per semplificare la scrittura delle equazioni differenziali si userà il simbolo (operatore) D per indicare l operazione di derivazione rispetto al tempo: Dx(t) D 2 x(t) dx(t) dt d 2 x(t) dt 2 L operatore D si può trattare come se fosse una costante: gode infatti della proprietà distributiva rispetto alla somma e della proprietà commutativa con le costanti (non con le funzioni del tempo) Ad esempio, se x 1 (t), x 2 (t) sono funzioni derivabili e a 1, a 2 costanti, allora: y t = a 1 x 1 (t)+a 2 Dx 2 (t) implica Dy t = D a 1 x 1 t +a 2 Dx 2 t = a 1 Dx 1 (t)+a 2 D 2 x 2 (t) Si può dare un significato anche al simbolo 1 D o D 1 ponendo 1 D x t = 0 t x(τ) dτ + K in cui K è un opportuna costante Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 7

8 Questa relazione costituisce una notazione convenzionale, in quanto in realtà l operatore D non è invertibile, rappresentando una corrispondenza che non è uno a uno, ma molti a uno: tutte le funzioni che differiscono per una costante presentano infatti la stessa derivata. Esempio y 1 t = 5x 2 t + 7 y 2 t = 5x 2 t + 7 Dy 1 t = Dy 2 t = 10x(t) Per questo motivo, 1 non si può applicare ai due membri di una relazione D esprimente l uguaglianza di due funzioni: se è y t = x t Dy t = Dx t Operatore D non è detto che sia D 1 y t = D 1 x t (solo per condizioni iniziali nulle) Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 8

9 Circuiti elettrici I circuiti elettrici lineari sono sistemi complessi rappresentabili come interconnessioni dei seguenti sistemi elementari (componenti): RESISTENZA v t = Ri(t) INDUTTANZA v t = L di(t) dt v(t) = LDi(t) CAPACITA v t = 1 t Q C 0 i τ dτ + 0 C v t = 1 C 1 D i(t) GENERATORE DI TENSIONE v t = V 0 (=cost) GENERATORE DI CORRENTE i t = I 0 (=cost) TRASFORMATORE IDEALE v 1 t = N 1 N 2 v 2 (t) i 1 t = N 2 N 1 i 2 (t) Q 0 indica la carica iniziale della capacità N 1 e N 2 indicano i numeri delle spire del circuito primario e secondario Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 9

10 Circuiti elettrici Altri componenti di circuiti elettrici sono: Amplificatore operazionale Transistor Trattando con segnali logici, si possono considerare anche operatori logici quali: AND, OR, NOT, NOR, che costituiscono gli elementi di base delle Reti Logiche. Le unità di misura delle grandezze elettriche nel sistema SI sono: Variabili Parametri v = V Volt R = Ω Ohm i = A Ampere L = H Henry Q = C Coulomb C = F Farad Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 10

11 I modelli matematici dei circuiti elettrici (composizione di sistemi elementari) si ottengono in genere applicando le Leggi di Kirchhoff, cioè esprimendo il bilancio delle cadute di potenziale lungo le maglie o delle correnti ai nodi: La somma algebrica delle tensioni in una maglia è nulla La somma algebrica delle correnti in un nodo è nulla v 2 Circuiti elettrici v 1 v 3 v 4 i 2 i 1 i 4 i 3 v 1 = v 2 + v 3 + v 4 i 1 + i 2 + i 3 + i 4 = 0 Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 11

12 Circuiti elettrici - Esempio v i t = v L t + v R t + v C t = L di(t) dt + Ri t + 1 C 0 t i τ dτ = LDi t + Ri t + 1 C 1 D i(t) Dv i t = LD 2 + RD + 1 C i(t) Volendo ricavare, anziché la corrente i, la tensione d uscita v u, si può operare la sostituzione i t = CDv u (t), mediante la quale si ottiene (v C t = v u (t)) l equazione differenziale 1 v u (t)= LCD 2 + RCD + 1 v i(t) che mette in evidenza la relazione tra causa v i ed effetto v u. Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 12

13 Circuiti elettrici - Esempio A condizioni iniziali nulle i(t) ingresso i R i C v(t) uscita Kirchhoff al nodo A i = i R + i C i R = 1 R v t i C = C dv(t) dt Equazione differenziale i t = 1 R v t + C dv(t) dt Sistema del 1 ordine Equazione algebrica nell operatore D i t = 1 R v + CDv 1 accumulatore di energia Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 13

14 Circuiti elettrici - Esempio i(t) condizioni iniziali nulle v i (t) v R (t) v C (t) Kirchhoff alla maglia v i = v R + v C v R = Ri(t) v C = 1 C 0 ti τ dτ Equazione differenziale Equazione algebrica nell operatore D v i t = Ri(t) + 1 ti τ dτ C 0 v i (t) = Ri + 1 C D 1 i Sistema del 1 ordine Dv i = RDi + 1 C i Dv i = RD + 1 C i Se interessa v C come uscita, ricordando che i = CDv C v i = RCD + 1 v C Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 14

15 Circuiti elettrici - Esempio A condizioni iniziali nulle i L = 1 L v t dt i(t) ingresso i L i R i C Equazione integro-differenziale Derivando ambo i membri: Equazione differenziale del 2 ordine v(t) uscita Kirchhoff al nodo A i = i L + i R + i C i t = 1 L di(t) dt = 1 L v + 1 R v t dt + 1 R i R = 1 R dv dt + C d2 v dt 2 v t i C = C dv(t) dt v t + C dv(t) dt Sistema del 2 ordine Equazione algebrica nell operatore D Di = 1 L + 1 R D + CD2 v 2 accumulatori di energia Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 15

16 Circuiti elettrici - Esempio A condizioni iniziali nulle i L = 1 L v t dt i(t) ingresso i L i R i C v(t) uscita Kirchhoff al nodo A i = i L + i R + i C i R = 1 R v t i C = C dv(t) dt Di = 1 L + 1 R D + CD2 v Consente di ricavare l uscita v t a partire dall ingresso i(t) Se interessa come uscita interessa la corrente nell induttanza, ricordando che v = LDi Di = 1 L + 1 R D + CD2 LDi L i = 1 + L R D + CLD2 i L Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 16

17 Circuiti elettrici - Esempio A condizioni iniziali nulle i L = 1 L v t dt i(t) ingresso i L i R i C v(t) uscita Kirchhoff al nodo A i = i L + i R + i C i R = 1 R v t i C = C dv(t) dt Di = 1 L + 1 R D + CD2 v Consente di ricavare l uscita v t a partire dall ingresso i(t) Se interessa come uscita interessa la corrente nella resistenza, ricordando che v = Ri R Di = R L + D + RCD2 i R Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 17

18 Circuiti elettrici - Esempio A condizioni iniziali nulle i L = 1 L v t dt i(t) ingresso i L i R i C v(t) uscita Kirchhoff al nodo A i = i L + i R + i C i R = 1 R v t i C = C dv(t) dt Di = D + L R CD2 v Consente di ricavare l uscita v t a partire dall ingresso i(t) Se interessa come uscita interessa la corrente nei diversi componenti, ricordando che v = 1 C D 1 i C Di = 1 L + 1 R D + CD2 1 C D 1 i C D 2 i = 1 LC + 1 RC D + D2 i C Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 18

19 Sistemi meccanici Le equazioni differenziali che descrivono il moto dei sistemi meccanici si ricavano di regola esprimendo l equilibrio delle forze e delle coppie applicate a ciascuna delle parti in movimento. In generale, si cerca di adottare modelli a costanti concentrate, perché di più facile impiego, anche se spesso alquanto approssimativi e meno aderenti alla realtà di quanto non lo siano nel caso dei circuiti elettrici: ad esempio, in un modello a costanti concentrate la massa di una molla (distribuita), è supposta trascurabile o concentrata agli estremi della molla. Inoltre, si cerca di adottare modelli lineari, anche se ciò implica la limitazione dello studio a variazioni relativamente piccole delle grandezze in gioco. Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 19

20 Sistemi meccanici I sistemi meccanici in moto traslatorio si possono considerare costituiti di componenti elementare dei seguenti tipi: Equilibrio delle forze applicate MASSA in cui si concentrano le forze d inerzia f 1 f 2 M x f t = f 1 t f 2 t = M d2 x dt 2 = MD2 x(t) MOLLA in cui si concentrano le forze di richiamo elastico f K x 1 x 2 f f t = K x 1 t x 2 (t) Ipotesi: la distanza tra i punti x 1 = 0 e x 2 = 0 è uguale alla lunghezza della molla non caricata AMMORTIZZATORE in cui si concentrano le forze di attrito viscoso f B x 1 x 2 f f t = B d dt x 1 t x 2 (t) = BD x 1 t x 2 (t) Si suppone che gli estremi di tali componenti meccanici siano sottoposti a moto traslatorio orizzontale. Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 20

21 Sistemi meccanici Considerazioni del tutto analoghe a quelle supposte per i sistemi meccanici in moto traslatorio possono ripetersi per i sistemi meccanici in moto rotatorio Forze Masse Coppie Momenti di inerzia c t = J θ(t) c t, ω(t) J c t = K θ 1 t θ 2 t c t, θ 1 (t) K c t, θ 2 (t) c t, ω 1 (t) B c t, ω 2 (t) c t = B ω 1 t ω 2 t Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 21

22 RIDUTTORE Sistemi meccanici c 1 (t), ω 1 (t) c 2 (t), ω 2 (t) k r = N 1 N 2 N 2 > N 1 k r < 1 In un riduttore ideale (senza perdite per attrito e con accoppiamento perfetto tra gli ingranaggi) la velocità viene ridotta del fattore k r θ 2 = k r θ 1 Poiché in questo meccanismo la potenza entrante deve essere uguale a quella uscente, la coppia risulta amplificata P i t = c 1 t θ 1 t = c 2 t θ 2 t = P u t c 2 t = c 1 t k r Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 22

23 Sistemi meccanici Altri elementi: Cinghia/puleggia Vite a ricircolazione di sfere Camma Biella/manovella Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 23

24 Sistemi meccanici Le unità di misura delle grandezze meccaniche nel sistema SI sono: Moto traslatorio Variabili Moto rotatorio Variabili f = N Forza c = N m Coppia x = m Posizione θ = rad Posizione x = m Velocità sec θ = rad sec Velocità x = m sec 2 Accelerazione θ = rad sec 2 Accelerazione Parametri Parametri M = kg Massa J = kg m 2 Momento di inerzia K = N m N sec B = m Coefficiente di rigidezza Coefficiente di attrito viscoso N m K = rad N m sec B = rad Coefficiente di rigidezza torsionale Coefficiente di attrito torsionale Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 24

25 CARRELLI CON ATTRITO Sistemi meccanici - Esempio m 2 m 1 u(t) x 2 (t) x 1 (t) f f k v2 f k m 2 m 1 f v1 x 2 x 1 u(t) f k = k x 1 x 2 f v1 = b 1 x 1 f v2 = b 2 x 2 Applicando la Legge di Newton a ciascuna massa si ottiene: m 1 m 2 x 1 t = u t b 1 x 1 (t) k x 1 (t) x 2 (t) x 2 t = b 2 x 2 t + k x 1 (t) x 2 (t) Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 25

26 Sistemi meccanici - Esempio m 2 m 1 u(t) x 2 (t) x 1 (t) La variabile osservata del sistema è la velocità di m 2 e quindi y t = x 2 (t) Dalle due equazioni differenziali, utilizzando l operatore D, si ottiene: m 1 D 2 + b 1 D + k x 1 t = u t + kx 2 (t) m 2 D 2 + b 2 D + k x 2 t = kx 1 t = k u t + kx 2(t) m 1 D 2 + b 1 D + k Si ricava quindi D 3 y t + m 1b 2 + m 2 b 1 m 1 m 2 D 2 y t + m 1 + m 2 k + b 1 b 2 m 1 m 2 Dy t + k b 1 + b 2 m 1 m 2 y t = k m 1 m 2 u(t) Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 26

27 Esempio con valori numerici m 1 = 100 kg m 2 = 10 kg b 1 = 20 b 2 = 2 N sec m N sec m Sistemi meccanici - Esempio k = 10 N m Si ottiene quindi l equazione differenziale d 3 y(t) dt d2 y(t) dt dy(t) dt y t = 0.01u(t) La cui soluzione y(t) descrive l andamento dell uscita in funzione dell ingresso u(t) e delle condizioni iniziali y t 0 = x 2 (t 0 ). Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 27

28 Sistemi meccanici - Esempio Le coppie applicate in questo caso sono: coppia esterna c(t) coppia dovuta alla molla torsionale c k t = kθ(t) coppia dovuta all attrito torsionale c b t = B θ(t) Applicando la Legge di Newton si ha: J θ t = c t kθ t B θ(t) Controlli Automatici Derivazione di Modelli Matematici 28