maturità 2015

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1 wwwmatematicameteit matuità QUETIONIO Detemiae l esessioe aalitica della fuzioe =f saedo ce la etta =-+ è tagete al gafico di f el secodo quadate e ce f =- + Dimostae ce il volume del toco di coo è esesso dalla fomula: dove e soo i aggi e l altezza Laciado ua moeta sei volte qual è la obabilità ce si ottega testa al iù due volte? Qual è la obabilità ce si ottega testa almeo due volte? Di quale delle segueti equazioi diffeeziali la fuzioe è soluzioe? Detemiae u esessioe aalitica della etta eedicolae ell oigie al iao di equazioi +-z= ia f la fuzioe defiita e tutti gli eali da detemiae il miimo di f 7 Detta l aea del oligoo egolae di lati iscitto i u cecio di aggio veificae ce e calcolae il limite e 8 I lati di u tiagolo misuao isettivamete cm cm e cm Peso a caso u uto P all iteo del tiagolo qual è la obabilità ce P disti iù di cm da tutti i te vetici del tiagolo? 9 Data la fuzioe detemiae il aameto i modo ce ell itevallo [] sia alicabile il teoema di Lagage e tovae il uto i cui la tesi del teoema assicua l esisteza Il gafico della fuzioe divide i due ozioi il ettagolo BD avete vetici B e D alcolae il aoto ta le aee delle due ozioi

2 wwwmatematicameteit matuità VOLGIMENTO Itegado si ottiee: d f ; la codizioe di tageza co la etta data imoe ce sia: m f i u uto del II quadate da cui: la soluzioe ositiva è da scatae; il uto di ascissa sulla etta a odiata: 9 ; il uto 9 aatiee alla cuva f se: 8 9 da cui: 7 La fuzioe iciesta etato è: 7 f osideiamo il toco come il solido geeato dalla otazioe del taezio delimitato dal segmeto e dall asse i figua itoo all asse La etta assate e i uti ed a equazioe: ; il volume si calcola co: d d V ce co la sostituzioe: d dz z diveta: dz z V da cui l asseto Vaiabile aleatoia a distibuzioe biomiale q co: q L eveto: si ottiee testa al iù due volte coisode idicado co il umeo di volte ce esce Testa alla obabilità: ] [ P La secoda obabilità iciesta è: 7 7 ] [ ] [ P P

3 wwwmatematicameteit matuità d l Deivado si ottiee: l l ce emette subito di d scatae veificado tamite sostituzioe ell equazioe la teza iotesi Deivado ulteiomete otteiamo: d d [ l l ] l sostituedo si veifica ce soltato ella quata oosta si ottiee u idetità: ; l l l l l cvd L equazioe: z coisode a oe uguale a zeo il odotto scalae ta il vettoe OP z ed il vettoe v ; il iao i oggetto assa e l oigie ed è quidi otogoale a v ; la etta iciesta è l isieme dei uti Q z tali ce: OQ t v t t ce equivale al sistema: t z t La fuzioe è u oliomio di secodo gado; il suo temie i a evidetemete coefficiete ositivo a quidi il gafico coisodete è quello di ua aabola a cocavità veso l alto i veifica facilmete oeado la sostituzioe: ce l equazioe f è ivaiate e simmetia isetto alla etta ce etato aeseta l asse di simmetia della aabola ove quidi si tova il vetice ce è il uto di miimo iciesto ed è: f 7 Il oligoo è l uioe di tiagoli isosceli di lato obliquo ed agolo al vetice di ciascuo di questi vale: si ; l iteo oligoo a aea: si L aea Il limite: lim si co la sostituzioe: diveta: si si lim si lim avedo fatto uso del limite otevole: lim

4 wwwmatematicameteit matuità 8 I uti distati iù di cm da ciascu vetice si ossoo evideziae el seguete modo: si tacciao le te cicofeeze di aggio cm cetate ei te vetici B del tiagolo; la egioe ce si ottiee elimiado dal tiagolo i te settoi cicolai i esso coteuti è l isieme dei uti distati iù di cm da ciascu vetice La obabilità ce u uto scelto el tiagolo cada i questa egioe è data dal aoto dell aea della stessa co l aea del tiagolo Idicate co e le amiezze dei te agoli e osto cm la somma dei te settoi cicolai vale: B B Iolte è: aea: B B / cos quidi: si B B B si 9 cm cos cm 9 ed il tiagolo etato a B B La obabilità iciesta vale: 9 B 9 Le iotesi del teoema di Lagage iciedoo cotiuità i e deivabilità i Pe la cotiuità dev essee: lim f lim f f lim lim da cui: il ce è veo e Pe la deivabilità: Petato è: lim f lim f f se se lim L ascissa evista dal teoema è quella e cui: lim f f f dove: da cui: f f Pededo la deivata del imo tatto di fuzioe si ottiee: accettabile soltato la soluzioe tova: di cui è ; oeado i modo aalogo sul secodo tatto si o accettabile i quato o comesa ell itevallo ] ]

5 wwwmatematicameteit matuità L aea del ettagolo vale ; di questo la ate comesa ta la cuva assegata e l asse delle ascisse a aea data da: d ; la imaete ate di ettagolo a duque aea: iciesto vale etato 7 ed il aoto