Politecnico di Milano - Anno Accademico Statistica Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo

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1 Politecnico di Milano - Anno Accademico Statistica Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo Esercitazione 9 2 Giugno 20 Esercizio. In un laboratorio per il test dei materiali, campioni diversi di cemento di un certo tipo vengono testati. Un test di sforzo di rottura (espresso in N/mm 2 ) viene effettuato su due serie di campioni: il primo composto da campioni prodotti da giorno (x i, i =,..., 0), il secondo da campioni prodotti da 7 giorni (y j, j =,..., 0). I risultati sono: x i : y j : Si consideri Gaussiana la popolazione da cui provengono le osservazioni.. Si fornisca una stima delle medie µ X, µ Y e delle varianze σx 2, σ2 Y popolazioni. delle due 2. Supponendo che il codice normativo UNI633 richieda che i cementi di giorno abbiano una resistenza alla rottura almeno pari a 47.5N/mm 2, c è evidenza sperimentale che il cemento analizzato soddisfi le specifiche UNI633? Si proponga un test a livello di significatività 0.05, traendo una conclusione basata sul campione a disposizione. 3. Supponendo che i due campioni siano indipendenti e che le varianze delle due popolazioni siano note e pari a σ 2 = 4, c è evidenza sperimentale che le resistenze medie nei due campioni siano diverse, a livello α = 0.0?. Con i dati forniti abbiamo x 0 = , s 2 x = , ȳ 0 = e s 2 y = Le ipotesi per il test richiesto sono H 0 : µ X µ 0 = 47.5 vs. H : µ X > µ 0 ; la statistica test è T = ( X n µ 0 )/(S X / n), che in questo caso è uguale a t = ( x )/(s X / 0) = ; dato che > t α,n = t 0.05,9 =.833, rifiutiamo H 0. Il p-value è F tn (t) (0.025, 0.05) (valore esatto: ), dove F Tn è la funzione di ripartizione di una T di Student con n gradi di libertà. 3. Le ipotesi sono H 0 : µ X = µ Y vs. H : µ X µ Y. Dato che sotto H 0 abbiamo X n Ȳn N(0, σ 2 /n + σ 2 /n), la statistica test è uguale a z = ( x 0 ȳ 0 )/ σ 2 /0 + σ 2 /0. Dato che z = > z α/2 = z = 2.576,rifiutiamo H 0 per α = 0.0. Esercizio 2. Una grossa industria vuole confrontare le caratteristiche di due materiali plastici utilizzati per costruire tubi; il materiale è più economico

2 del materiale 2, ma si sospetta che il materiale 2 abbia un tasso di allungamento medio superiore. Le misure su un campione casuale di ampiezza 20 del materiale hanno restituito un tasso di allungamento di media 2. e deviazione standard campionaria 0.5, mentre le misure su un campione casuale di ampiezza 30 del materiale 2 hanno dato un tasso di allungamento di media 2.5 e deviazione standard campionaria Si assuma che i due tassi di estensione abbiano la stessa varianza σ 2.. Si fornisca una stima comune della varianza dei due materiali. 2. I dati a disposizione permettono di concludere a un livello dell % che il tasso di allungamento medio del materiale 2 è maggiore di quello del materiale? 3. Si fornisca un intervallo di confidenza al 98% per la differenza tra i tassi di allungamento medi dei due materiali considerati. Dato che la varianza si assume uguale nei due campioni, calcoliamo la varianza campionaria pooleds 2 p = (n )s2 +(n2 )s2 2 n +n 2 2 = Vogliamo testare H 0 : µ 2 µ vs H : µ 2 > µ. La regione di rifiuto è X 2 R = X 0 > t α,n+n 2 2 s p n + n 2 dove 0 = 0. La statistica test è pari a x2 x 0 s p n + = n ( ) = , while t 0.0,248 = Per questa ragione i dati permettono di rifiutare H L intervallo di confidenza per la differenza delle media µ 2 µ è [ IC = X 2 X ± s p + ] t α/2,n+n n n Per un livello di confidenza del 98% otteniamo µ 2 µ [0.4 ± 0.6] Esercizio 3. Per stabilire chi, tra due produttori di biscotti, sia il migliore (che corrisponde alla compagnia che usa una maggior percentuale di burro nei biscotti) vengono selezionate 0 scatole di biscotti della società AA e 7 della società BB. Le percentuali misurate sono le seguenti: AA BB Si supponga che queste percentuali rappresentino due campioni da una popolazione Gaussiana con la stessa varianza σ 2 = 9.. Si scrivano esplicitamente le ipotesi H 0 e H per un test in cui l errore di I tipo è quello commesso affermando che AA usa una percentuale di burro minore, mentre in realtà usa una percentuale maggiore rispetto a BB. 2

3 2. Si esegua un test di livello 2.5% per confrontare le ipotesi H 0 e H al punto precedente. Quali sono le conclusioni? 3. Si calcoli la probabilità di commettere un errore del II tipo quando la percentuale media di burro per BB è più elevata rispetto a quella di AA di 4 punti percentuali.. Le ipotesi sono H 0 : µ AA µ BB, vs. H : µ AA < µ BB, where (X,..., X 0 ) N(µ AA, σ 2 ), (Y,..., Y 7 ) N(µ BB, σ 2 ), e X i, Y j rappresentano le percentuali di burro nei biscotti prodotti da AA e BB rispettivamente. Inoltre, x = 7.24, ȳ = La statistica test è X Z = Ȳ H0 N(0, ) σ 2 ( ) e rifiutiamo se H 0 if z < z In questo caso z = 0.93 and z =.960, quindi non possiamo rifiutare H La probabilità di commettere un errore del II tipo è ( P H (don t reject H 0 ) = P µaa µ BB = 4 X Ȳ > σ z = P µaa µ BB X Ȳ + 4 = 4 > 4 z σ σ = P Z > 4 σ z = Φ(0.745) dato che Z = X Ȳ ( 4) σ2 ( n + m ) N(0, ) se µ X µ y = 4. Esercizio 4. Per stabilire se le scarpe da corsa prodotte dalla compagnia A siano migliori di quelle prodotte dalla compagnia B, a 0 maratoneti viene chiesto di correre per 0 km a distanza di 2 settimane. I corridori indossano le scarpe di tipo A durante una gara e le scarpe di tipo B durante l altra gara. Ogni corridore sceglie in quale gara indossare le scarpe A o B. Vengono registrati i tempi di tutti i corridori e ad ognuno viene richiesto di correre il più velocemente possibile durante entrambe le gare. I risultati (i tempi in minuti per ogni atleta nelle due gare) sono mostrati nella tabella: ) = Corridore: Marca A Marca B Si assume che i dati siano indipendenti e identicamente distribuiti da una popolazione normale. 3

4 . Si verifichi l ipotesi che in media il tempo ottenuto indossando le scarpe A sia inferiore a quello ottenuto indossando le scarpe B, con un test statistico di livello α = Si calcoli il p-value del test. 3. Si calcoli un intervallo di confidenza al 95% per la media delle differenze tra i tempi.. I dati che stiamo considerando sono accoppiati. Sia D la differenza tra i tempi ottenuti con le scarpe A e quelli ottenuti con le scarpe B, ovvero D = X A X B. Le differenze ottenute sono: -0.79, 0.35, -0.3, -0.47, 0.3, -0.0, -0.5, -0.05, -0.2, 0.7. Dato che abbiamo assunto che i due campioni siano indipendenti e identicamente distribuiti secondo una legge normale, possiamo anche assumere che le loro differenze siano i.i.d. da una legge normale. Vogliamo testare H 0 : µ D = 0 vs H : µ D < 0. La regione di rifiuto associata è { } D 0 R = s D / 0 < t α,9 dove D n = 0.07, s D = e T 0 = D n 0 s D / 0 t 0.05,9 =.833, non possiamo rifiutare H 0. =.038. Dato che 2. Il p-value del test è il valore α tale per cui t α,9 = D n 0 s D / =.038, che 0 significa α (0., 0.25) (valore esatto α = 0.6). 3. L intervallo di confidenza di livello 95% per la differenza delle medie è [ ] IC = D n ± sd t α/2,n. n Dato che t 0.975,9 = 2.26, otteniamo IC 0.95 = [ 0.07 ± 0.233]. Esercizio 5. Si considerino due campioni di variabili casuali di medesima ampiezza n: X,..., X n variabili i.i.d. di legge normale a media µ ed Y,..., Y n variabili i.i.d. di legge normale a media ν. Si intende sottoporre a test l ipotesi nulla H 0 : ν = µ contro l ipotesi alternativa H : µ > ν. Nel caso di campioni indipendenti tali per cui X i N(µ, 3), Y i N(ν, 3) per i =,... n,. si indichi la regione critica per un test di livello 5%; 2. in funzione di n si trovi la probabilità di accettare erroneamente H 0 nel caso µ = ν + ; 3. si ricavi la minima ampiezza n 0 per cui la probabilità calcolata al punto 2 non supera il 50%. Nel caso di dati accoppiati con Y i X i di legge N(ν µ, 3) per ogni i =,..., n, 4. si indichi la regione critica per un test di livello 5%; 4

5 5. in funzione di n si trovi la probabilità di accettare erroneamente H 0 nel caso µ = ν + ; 6. si ricavi la minima ampiezza n 0 per cui la probabilità calcolata al punto 5 non supera il 50%. In quale caso è minore n 0? Siano x n e ȳ n le medie campionarie dei due campioni casuali. { x. R = (x,..., x n, y,..., y n ) : n ȳ n > z 0.05 }. 3/n+3/n 2. Equivale a trovare la probabilità di errore di II tipo nel caso in cui µ ν =, ovvero ( ) ( ) Xn P Ȳn µ ν= < z 0.05 = P Z < z /n + 3/n 3/n + 3/n = φ(z 0.05 n/6). 3. Si ottiene imponendo φ(z 0.05 n/6) 0.5, ovvero z 0.05 n/6 0, da cui si ottiene che il minimo intero che soddisfa la disuguaglianza è n 0 = 7. { 4. R = (x,..., x n, y,..., y n ) : xn ȳn > z 0.05 }. 3/n 5. Analogamente al punto 2, questa volta abbiamo P µ ν= ( Xn Ȳn 3/n < z 0.05 ) = φ(z 0.05 n/3). 6. Imponendo φ(z 0.05 n/3) 0.5 si ottiene n 0 = 9. n 0 è minore nel secondo caso. Esercizio 6. Un rapporto dell Associazione consumatori riporta lo studio effettuato sulla durata due tipi di batterie: Duracell AA e Energizer AA. Supponiamo che le deviazioni standard delle durate siano rispettivamente: per le Duracell σ D =.8 ore e per le Energizer σ E = 2 ore. La durata media di 00 Duracell è risultata essere di 4. ore e la durata media di 20 Energizer è risultata di 4.5 ore.. E possibile affermare che le batterie Energizer sono migliori di quelle Duracell, ad un livello di significatività del 5%? 2. Calcolare il p-value. 3. Calcolare un intervallo di confidenza di livello 99% per la differenza delle medie. Indichiamo con µ E e µ D rispettivamente la media della durata delle batterie Energizer e Duracell. Non viene fatta alcuna assunzione sulle distribuzioni dei campioni, ma le ampiezze sono abbastanza elevate da poter ritenere valida un approssimazione normale per la media campionaria. 5

6 . Dobbiamo effettuare un test con ipotesi H 0 : µ E = µ D contro H : µ E > µ D. Rifiutiamo H 0 se x E x D > z α σ 2 D n D + σ2 E n E = = Poichè la differenza tra le due medie campionarie è pari a 0.4 < 0.42, l ipotesi nulla non può essere rifiutata ad un livello di significatività del 5%. ( 2. Il p-value è pari a φ ( x E x D )/ ) σd 2 /n D + σe 2 /n E = φ (.56053) = L intervallo di confidenza è dato da x E x D ± z α/2 σ 2 D /n D + σ 2 E /n E = ( 0.26,.06). Esercizio 7. Vengono sottoposti a confronto i consumi delle autovetture VW Polo.0 e Citroen Saxo. SPI alla velocità costante di 20 Km/h. Si ritiene che i consumi dei due tipi di autovetture possano essere descritti da variabili aleatorie con distribuzione normale con la stessa varianza. La Polo in 20 prove consuma mediamente x = 6.5 l/00km, la Saxo in 22 prove consuma mediamente x 2 = 6.6 l/00km. Le relative varianze campionarie sono rispettivamente di s 2 = 0.30 e s 2 2 = Possiamo ritenere che le due autovetture abbiano lo stesso consumo medio al livello di significatività del 5%? 2. Si calcoli un intervallo di confidenza di livello 95% per la differenza dei consumi medi.. Consideriamo i consumi della Polo provenienti da una legge N(µ, σ) 2 e quelli della Saxo da una N(µ 2, σ2). 2 Assumendo che σ 2 = σ 2 = σ2, 2 la stima di σ 2 si ottiene da s 2 p = (n )s 2 + (n 2 )s 2 2 n + n 2 2 = (20 )(0.3) + (22 )(0.28) = Si vuole testare le ipotesi H 0 : µ = µ 2 vs µ µ 2 ; siccome X X 2 S p /n + /n 2 t n+n 2 2, rifiuteremo H 0 se x x 2 > t α/2,n+n 2 2s p /n + /n 2. Con i dati del problema (t 0.025,40 = 2.02, s p /n + /n 2 = 0.66 e t α/2,n+n 2 2s p /n + /n 2 = 0.336) non si può rifiutare H L intervallo di confidenza è dato da x x 2 ±t α/2,n+n 2 2s p /n + /n 2 = ( 0.436, 0.236). 6

7 Esercizio 8. Una grossa industria vuole confrontare le caratteristiche di due resine plastiche per costruire tubature. La resina è meno costosa della resina 2, ma si sospetta che la resina 2 abbia un maggior allungamento medio percentuale (capacità del materiale di allungarsi senza superare la rottura). Le misurazioni su un campione casuale di dimensione 20 della resina hanno fornito allungamenti percentuali di media 2. e deviazione standard campionaria 0.5, mentre le misurazioni su un campione di dimensione 30 della resina 2 hanno fornito allungamenti percentuali di media 2.5 e deviazione standard campionaria Si assuma che gli allungamenti percentuali delle due resine abbiano la stessa varianza σ 2.. Si fornisca una stima della varianza σ 2 delle due resine. 2. I dati a disposizione permettono di concludere, a livello %, che l allungamento medio della resina 2 è maggiore di quello della resina? 3. Si costruisca un intervallo di confidenza di livello 98% per la differenza tra gli allungamenti medi percentuali delle due resine considerate.. Poichè possiamo assumere che le due varianze siano uguali, utilizziamo lo stimatore pooled per σ 2. Indicando con n e n 2 le numerosità dei campioni di resina e 2, rispettivamente, e con S 2 e S 2 2 le loro rispettive varianza campionarie, lo stimatore ha la forma Sp 2 = (n )S 2 + (n 2 )S2 2. n + n 2 2 Applicando lo stimatore ai dati in nostro possesso otteniamo s 2 p = ( )/248 = Denotando con µ e µ 2 i valori attesi degli allungamenti delle due resine e con X e X 2 le rispettive medie campionarie, il test per dati non accoppiati che dobbiamo impostare ha ipotesi H 0 : µ µ 2 vs. H : µ < µ 2. La statistica test è la seguente: T = X X 2 (µ µ 2 ). S p n + n 2 Poichè sotto H 0 abbiamo µ = µ 2, con i dati a nostra disposizione la statistica test assume valore t = = Poichè la regione di rifiuto per tale test è R = {T < t α,n+n 2 2} e t α/2,n+n 2 2 = , a livello % cè evidenza statistica per affermare che l allungamento della resina 2 è maggiore di quello della resina (rifiuto H 0 ). 7

8 3. L intervallo di confidenza di livello α per la differenza delle medie ha la forma IC 0.98 = X X 2 ± t α/2,n+n 2 2S p n + n 2, che con i dati a disposizione fornisce IC 0.98 = 0.4 ± Esercizio 9. Una questione di interesse medico è stabilire se l attività sportiva porta ad una diminuzione della frequenza cardiaca a riposo. Per verificare questa ipotesi, 8 volontari che non hanno mai fatto esercizio fisico hanno accettato di iniziare un programma di un mese di jogging. Alla fine del programma si è stati in grado di confrontare la frequenza cardiaca a riposo prima e dopo il mese di pratica: Freq. cardiaca prima Freq. cardiaca dopo Si assuma che la differenza tra le frequenze cardiache prima e dopo il mese di jogging segua una distribuzione gaussiana.. In base ai dati ottenuti, costruire un intervallo di confidenza di livello 99% per la media della differenza tra la frequenza cardiaca dopo e prima il mese di jogging. 2. Stabilire se, ad un livello di significatività del 0%, l attività fisica riduce la frequenza cardiaca media a riposo. Dopo aver tratto la conclusione, fornire una stima del p-value del test. 3. Allo stesso livello di significatività è possibile concludere che la frequenza cardiaca media sia cambiata?. Detta D i = X i Y i la differenza tra la frequenza cardiaca dell i-esimo paziente prima e dopo il mese di jogging, siano d = 3.75 la media campionaria e s 2 = la varianza campionaria di tali differenze. Dato che t 0.005,8 s/ 8 = 7.62, si ottiene IC 0.99 = d±t 0.005,8 s/ 8 = [ 3.87,.37]. 2. Sì, l attività fisica riduce la frequenza cardiaca media a riposo, infatti il p-value del test H 0 : µ d <= 0 vs H : µ d > 0 appartiene all intervallo d (0.05, 0.). Il valore esatto del p-value è il valore tale che s/ = t 8 α,7, che corrisponde a Non si può rifiutare l ipotesi nulla H 0 : µ d = 0 ad un livello di significatività pari a perchè il p-value del test bilatero è pari a Esercizio 0. Un gruppo di 6 pazienti si è sottoposto ad una certa cura dimagrante. All inizio della cura pesavano (in Kg): 77, 87, 04, 98, 9, 78. Dopo tre mesi pesano (in Kg): 75, 88, 97, 99, 83, 70, rispettivamente.. Supponendo che i soggetti siano tra loro indipendenti e che i loro pesi provengano da una distribuzione Gaussiana, si può affermare, ad un livello α = 0.05, che la cura è stata efficace (cioè che, mediamente, c è stato un calo di peso)? 8

9 2. Se la cura prometteva un calo di almeno 5 Kg, si può dire che è stata efficace?. Sia D i = X i Y i, dove X i e Y i sono i pesi del soggetto i-esimo rispettivamente prima e dopo la cura dimagrante, e sia la media di ciascuna variabile D i. Dobbiamo effettuare un test per dati accoppiati, con ipotesi H 0 : 0 = 0 vs. H : > 0. La statistica test è D n 0, (s 2 n ) n dove D n e s 2 n sono rispettivamente media e varianza campionaria del campione D,..., D n. In questo caso abbiamo n = 6, D6 = e s 2 6 = , quindi la statistica test assume il valore t = ( )/(4.355/ 6) = Poichè t > t 0.05,5 = 2.050, a livello α = 0.05 possiamo rifiutare l ipotesi nulla che non vi sia stato un calo di peso. 2. Dobbiamo calcolare la statistica test del punto precedente, dove però questa volta 0 = 5. In questo caso otteniamo t = ( )/(4.355/ 6) = , dalla quale si ottiene un p-value contenuto nell intervallo (0.6, 0.75) (valore esatto ). Per cui, per livelli di significatività ragionevoli, non possiamo rifiutare l ipotesi nulla che non ci sia stato un calo di peso di almeno 5 Kg. Esercizio. Si sta effettuando un referendum in cui si teme che non venga raggiunto il quorum (percentuale dei votanti superiore al 50%). A tale scopo, si intervistano n persone scelte a caso nella popolazione chiedendo loro se si recheranno alle urne.. Si supponga che in Lombardia su 000 persone intervistate ve ne siano solo 480 che dichiarano che si presenteranno alle urne. I dati a disposizione consentono di affermare che il quorum non verrà raggiunto a livello di significativitá del 5%? 2. Supponiamo inoltre che in Emilia Romagna su 000 persone intervistate solo 470 si dichiarino intenzionate a votare. Possiamo concludere, tenendo conto dei dati al punto 2, che in Lombardia andrà a votare un maggior numero di persone rispetto all Emilia Romagna? 3. Calcolare un intervallo di confidenza di levello 95% per la differenza di proporzione tra i votanti in Lombardia ed Emilia Romagna.. Vogliamo effettuare il test H 0 : p = p 0 = 0.50 contro H : p < La statistica test è z 0 = ˆp p 0 p0 ( p 0 )/n = =.27 > z α = ( 0.50)/000 dato che la regione di rifiuto è R = {Z 0 < z α } non possiamo rifiutare l ipotesi nulla. 9

10 2. Si vuole effettuare il test H 0 : p = p2 contro H : p > p2. La statistica test è ˆp ˆp 2 0 z 0 = ( ) ˆp ( ˆp) n + n 2 con ˆp = x+x2 n +n 2 = La statistica test è uguale a z 0 = = ( 0.475) e la regione di rifuto è R = {Z 0 > z α }. Per questo motivo il p-value del test è pari a α = Φ(z 0 ) dato che il p-value è superiore a 0. non c è evidenza contro l ipotesi nulla. 3. L intervallo di confidenza di livello 95% per la differenza tra due proporzioni è ˆp ( ˆp ) IC = ˆp ˆp 2 ± z α/2 + ˆp 2 ( ˆp 2 ) = n n 2 ( ) 0.48 ( 0.48) 0.47 ( 0.47) = ±.96 + = = (0. ± ) = (0.0562, 0.438) Si può notare che il valore 0 non cade all interno dell IC. Esercizio 2. Un insegnante del Politecnico di Milano riceve gli studenti al suo studio ogni settimana in un giorno fissato. Il numero di studenti ricevuti settimanalmente nelle ultime 96 settimane è il seguente: Nr. di studenti 0 o 2 3 o 4 5 o 6 7 o 8 almeno 9 Nr. di sett quindi per 3 settimane nelle ultime 96 nessuno studente è venuto, per settimane il docente ha ricevuto o 2 studenti, e così via. Basandosi sulle informazioni precedenti, l insegnante sospetta che la media del numero di studenti che si presentano ogni settimana sia pari a 5.. Si valuti la bontà dell adattamento a una distribuzione di Poisson con media 5 per i dati disponibili, ad un livello di significatività del 2.5%, attraverso un opportuno test d ipotesi. 2. Si fornisca un intervallo in cui cade il p-value. Cosa si può concludere?. Il test è H 0 : F P (5) vs. H 0 : F P (5). Prima di tutto, si noti che n = 96 > 50; le probabilità teoriche p 0i e le frequenze assolute teoriche np 0i sotto H 0, per le classi C = {0},..., C 6 = {9, 0,...}, sono Nr. studenti {0} {, 2} {3, 4} {5, 6} {7, 8} at least 9 n i p 0i np 0i

11 dove p 0i = P(N C i ) e N P (5). Dato che np 0 5, uniamo le prime due classi, ottenendo le seguenti k = 5 classi Nr. studenti {0,, 2} {3, 4} {5, 6} {7, 8} at least 9 n i p 0i np 0i La statistica test è data da Q n = k i= (n i np 0i ) 2 np 0i H 0 χ 2 k = χ 2 4 Con i nostri dati abbiamo q 96 = 7.50 <.4 = χ ,4, quindi non possiamo rifiutare H 0 poiché la regione di rifiuto è R = {Q n > χ 2 α,k }. 2. Il p-value è pari a F χ 2 4 (7.50) = 0.2 (0., 0.5), quindi non abbiamo evidenza contro H 0. Esercizio misure ripetute di una certa quantità sono state raccolte, ma solo le seguenti informazioni sono state registrate: esattamente 7 misure sono minori o uguali alla mediana di una variabile aleatoria gaussiana di media 20 e varianza 6, e, tra queste, 32 sono minori o uguali al primo quartile di una variabile aleatoria N(20, 6). 3 misure sono maggiori del terzo quartile (quantile di livello 0.25), e 34 hanno un valore che cade tra la mediana e il terzo quartile di una variabile N(20, 6).. Si esprima la funzione di ripartizione di una variabile N(20, 6) in termini della funzione di ripartizione di una N(0, ); si esprima il quantile di ordine a di una variabile aleatoria N(20, 6), indicato con q a, in termini del quantile di ordine a della normale standard N(0, ). 2. Si può affermare che le misure provengono da una popolazione Gaussiana con media 20 e varianza 6? Si costruisca un opportuno test con α = 5% per rispondere alla domanda. 3. Si calcoli il p-value approssimato, o si fornisca un intervallo in cui cade.. Sia X N(µ, σ 2 ) e Z N(0, ). Allora è facile verificare, per standardizzazione, che F X (x) = P (X x) = P (Z (x µ)/σ) = Φ((x µ)/σ). Questo implica che F X (q a ) = Φ((q a µ)/σ), quindi per ogni a (0, ) il quantile di ordine a di una N(µ, σ 2 ) è dato da q a = µ + σz a. 2. N(20, 6) è simmetrica rispetto alla sua media, quindi la mediana coincide con la media, ed è quindi uguale a 20. Utilizzando la relazione ottenuta al punto precedente abbiamo che q 0.75 = z 0.75 = e q 0.25 = z 0.25 = Raccogliendo i dati in una tabella abbiamo:

12 Classe (, 7.302] (7.302, 20] (20, ] (22.698, + ) n i = p 0i np 0i La statistica test è uguale a 4 i= (n i np 0i ) 2 /(np 0i ) =.76, mentre χ 2 3, , quindi non rifiutiamo l ipotesi nulla che le osservazioni provengano da una legge N(20, 6). 3. Il p-value appartiene all intervallo (0.75, 0.8) e in particolare è uguale a

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