Politecnico di Milano - Anno Accademico Statistica Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Politecnico di Milano - Anno Accademico 2010-2011 Statistica 086449 Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo"

Transcript

1 Politecnico di Milano - Anno Accademico Statistica Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo Esercitazione 9 2 Giugno 20 Esercizio. In un laboratorio per il test dei materiali, campioni diversi di cemento di un certo tipo vengono testati. Un test di sforzo di rottura (espresso in N/mm 2 ) viene effettuato su due serie di campioni: il primo composto da campioni prodotti da giorno (x i, i =,..., 0), il secondo da campioni prodotti da 7 giorni (y j, j =,..., 0). I risultati sono: x i : y j : Si consideri Gaussiana la popolazione da cui provengono le osservazioni.. Si fornisca una stima delle medie µ X, µ Y e delle varianze σx 2, σ2 Y popolazioni. delle due 2. Supponendo che il codice normativo UNI633 richieda che i cementi di giorno abbiano una resistenza alla rottura almeno pari a 47.5N/mm 2, c è evidenza sperimentale che il cemento analizzato soddisfi le specifiche UNI633? Si proponga un test a livello di significatività 0.05, traendo una conclusione basata sul campione a disposizione. 3. Supponendo che i due campioni siano indipendenti e che le varianze delle due popolazioni siano note e pari a σ 2 = 4, c è evidenza sperimentale che le resistenze medie nei due campioni siano diverse, a livello α = 0.0?. Con i dati forniti abbiamo x 0 = , s 2 x = , ȳ 0 = e s 2 y = Le ipotesi per il test richiesto sono H 0 : µ X µ 0 = 47.5 vs. H : µ X > µ 0 ; la statistica test è T = ( X n µ 0 )/(S X / n), che in questo caso è uguale a t = ( x )/(s X / 0) = ; dato che > t α,n = t 0.05,9 =.833, rifiutiamo H 0. Il p-value è F tn (t) (0.025, 0.05) (valore esatto: ), dove F Tn è la funzione di ripartizione di una T di Student con n gradi di libertà. 3. Le ipotesi sono H 0 : µ X = µ Y vs. H : µ X µ Y. Dato che sotto H 0 abbiamo X n Ȳn N(0, σ 2 /n + σ 2 /n), la statistica test è uguale a z = ( x 0 ȳ 0 )/ σ 2 /0 + σ 2 /0. Dato che z = > z α/2 = z = 2.576,rifiutiamo H 0 per α = 0.0. Esercizio 2. Una grossa industria vuole confrontare le caratteristiche di due materiali plastici utilizzati per costruire tubi; il materiale è più economico

2 del materiale 2, ma si sospetta che il materiale 2 abbia un tasso di allungamento medio superiore. Le misure su un campione casuale di ampiezza 20 del materiale hanno restituito un tasso di allungamento di media 2. e deviazione standard campionaria 0.5, mentre le misure su un campione casuale di ampiezza 30 del materiale 2 hanno dato un tasso di allungamento di media 2.5 e deviazione standard campionaria Si assuma che i due tassi di estensione abbiano la stessa varianza σ 2.. Si fornisca una stima comune della varianza dei due materiali. 2. I dati a disposizione permettono di concludere a un livello dell % che il tasso di allungamento medio del materiale 2 è maggiore di quello del materiale? 3. Si fornisca un intervallo di confidenza al 98% per la differenza tra i tassi di allungamento medi dei due materiali considerati. Dato che la varianza si assume uguale nei due campioni, calcoliamo la varianza campionaria pooleds 2 p = (n )s2 +(n2 )s2 2 n +n 2 2 = Vogliamo testare H 0 : µ 2 µ vs H : µ 2 > µ. La regione di rifiuto è X 2 R = X 0 > t α,n+n 2 2 s p n + n 2 dove 0 = 0. La statistica test è pari a x2 x 0 s p n + = n ( ) = , while t 0.0,248 = Per questa ragione i dati permettono di rifiutare H L intervallo di confidenza per la differenza delle media µ 2 µ è [ IC = X 2 X ± s p + ] t α/2,n+n n n Per un livello di confidenza del 98% otteniamo µ 2 µ [0.4 ± 0.6] Esercizio 3. Per stabilire chi, tra due produttori di biscotti, sia il migliore (che corrisponde alla compagnia che usa una maggior percentuale di burro nei biscotti) vengono selezionate 0 scatole di biscotti della società AA e 7 della società BB. Le percentuali misurate sono le seguenti: AA BB Si supponga che queste percentuali rappresentino due campioni da una popolazione Gaussiana con la stessa varianza σ 2 = 9.. Si scrivano esplicitamente le ipotesi H 0 e H per un test in cui l errore di I tipo è quello commesso affermando che AA usa una percentuale di burro minore, mentre in realtà usa una percentuale maggiore rispetto a BB. 2

3 2. Si esegua un test di livello 2.5% per confrontare le ipotesi H 0 e H al punto precedente. Quali sono le conclusioni? 3. Si calcoli la probabilità di commettere un errore del II tipo quando la percentuale media di burro per BB è più elevata rispetto a quella di AA di 4 punti percentuali.. Le ipotesi sono H 0 : µ AA µ BB, vs. H : µ AA < µ BB, where (X,..., X 0 ) N(µ AA, σ 2 ), (Y,..., Y 7 ) N(µ BB, σ 2 ), e X i, Y j rappresentano le percentuali di burro nei biscotti prodotti da AA e BB rispettivamente. Inoltre, x = 7.24, ȳ = La statistica test è X Z = Ȳ H0 N(0, ) σ 2 ( ) e rifiutiamo se H 0 if z < z In questo caso z = 0.93 and z =.960, quindi non possiamo rifiutare H La probabilità di commettere un errore del II tipo è ( P H (don t reject H 0 ) = P µaa µ BB = 4 X Ȳ > σ z = P µaa µ BB X Ȳ + 4 = 4 > 4 z σ σ = P Z > 4 σ z = Φ(0.745) dato che Z = X Ȳ ( 4) σ2 ( n + m ) N(0, ) se µ X µ y = 4. Esercizio 4. Per stabilire se le scarpe da corsa prodotte dalla compagnia A siano migliori di quelle prodotte dalla compagnia B, a 0 maratoneti viene chiesto di correre per 0 km a distanza di 2 settimane. I corridori indossano le scarpe di tipo A durante una gara e le scarpe di tipo B durante l altra gara. Ogni corridore sceglie in quale gara indossare le scarpe A o B. Vengono registrati i tempi di tutti i corridori e ad ognuno viene richiesto di correre il più velocemente possibile durante entrambe le gare. I risultati (i tempi in minuti per ogni atleta nelle due gare) sono mostrati nella tabella: ) = Corridore: Marca A Marca B Si assume che i dati siano indipendenti e identicamente distribuiti da una popolazione normale. 3

4 . Si verifichi l ipotesi che in media il tempo ottenuto indossando le scarpe A sia inferiore a quello ottenuto indossando le scarpe B, con un test statistico di livello α = Si calcoli il p-value del test. 3. Si calcoli un intervallo di confidenza al 95% per la media delle differenze tra i tempi.. I dati che stiamo considerando sono accoppiati. Sia D la differenza tra i tempi ottenuti con le scarpe A e quelli ottenuti con le scarpe B, ovvero D = X A X B. Le differenze ottenute sono: -0.79, 0.35, -0.3, -0.47, 0.3, -0.0, -0.5, -0.05, -0.2, 0.7. Dato che abbiamo assunto che i due campioni siano indipendenti e identicamente distribuiti secondo una legge normale, possiamo anche assumere che le loro differenze siano i.i.d. da una legge normale. Vogliamo testare H 0 : µ D = 0 vs H : µ D < 0. La regione di rifiuto associata è { } D 0 R = s D / 0 < t α,9 dove D n = 0.07, s D = e T 0 = D n 0 s D / 0 t 0.05,9 =.833, non possiamo rifiutare H 0. =.038. Dato che 2. Il p-value del test è il valore α tale per cui t α,9 = D n 0 s D / =.038, che 0 significa α (0., 0.25) (valore esatto α = 0.6). 3. L intervallo di confidenza di livello 95% per la differenza delle medie è [ ] IC = D n ± sd t α/2,n. n Dato che t 0.975,9 = 2.26, otteniamo IC 0.95 = [ 0.07 ± 0.233]. Esercizio 5. Si considerino due campioni di variabili casuali di medesima ampiezza n: X,..., X n variabili i.i.d. di legge normale a media µ ed Y,..., Y n variabili i.i.d. di legge normale a media ν. Si intende sottoporre a test l ipotesi nulla H 0 : ν = µ contro l ipotesi alternativa H : µ > ν. Nel caso di campioni indipendenti tali per cui X i N(µ, 3), Y i N(ν, 3) per i =,... n,. si indichi la regione critica per un test di livello 5%; 2. in funzione di n si trovi la probabilità di accettare erroneamente H 0 nel caso µ = ν + ; 3. si ricavi la minima ampiezza n 0 per cui la probabilità calcolata al punto 2 non supera il 50%. Nel caso di dati accoppiati con Y i X i di legge N(ν µ, 3) per ogni i =,..., n, 4. si indichi la regione critica per un test di livello 5%; 4

5 5. in funzione di n si trovi la probabilità di accettare erroneamente H 0 nel caso µ = ν + ; 6. si ricavi la minima ampiezza n 0 per cui la probabilità calcolata al punto 5 non supera il 50%. In quale caso è minore n 0? Siano x n e ȳ n le medie campionarie dei due campioni casuali. { x. R = (x,..., x n, y,..., y n ) : n ȳ n > z 0.05 }. 3/n+3/n 2. Equivale a trovare la probabilità di errore di II tipo nel caso in cui µ ν =, ovvero ( ) ( ) Xn P Ȳn µ ν= < z 0.05 = P Z < z /n + 3/n 3/n + 3/n = φ(z 0.05 n/6). 3. Si ottiene imponendo φ(z 0.05 n/6) 0.5, ovvero z 0.05 n/6 0, da cui si ottiene che il minimo intero che soddisfa la disuguaglianza è n 0 = 7. { 4. R = (x,..., x n, y,..., y n ) : xn ȳn > z 0.05 }. 3/n 5. Analogamente al punto 2, questa volta abbiamo P µ ν= ( Xn Ȳn 3/n < z 0.05 ) = φ(z 0.05 n/3). 6. Imponendo φ(z 0.05 n/3) 0.5 si ottiene n 0 = 9. n 0 è minore nel secondo caso. Esercizio 6. Un rapporto dell Associazione consumatori riporta lo studio effettuato sulla durata due tipi di batterie: Duracell AA e Energizer AA. Supponiamo che le deviazioni standard delle durate siano rispettivamente: per le Duracell σ D =.8 ore e per le Energizer σ E = 2 ore. La durata media di 00 Duracell è risultata essere di 4. ore e la durata media di 20 Energizer è risultata di 4.5 ore.. E possibile affermare che le batterie Energizer sono migliori di quelle Duracell, ad un livello di significatività del 5%? 2. Calcolare il p-value. 3. Calcolare un intervallo di confidenza di livello 99% per la differenza delle medie. Indichiamo con µ E e µ D rispettivamente la media della durata delle batterie Energizer e Duracell. Non viene fatta alcuna assunzione sulle distribuzioni dei campioni, ma le ampiezze sono abbastanza elevate da poter ritenere valida un approssimazione normale per la media campionaria. 5

6 . Dobbiamo effettuare un test con ipotesi H 0 : µ E = µ D contro H : µ E > µ D. Rifiutiamo H 0 se x E x D > z α σ 2 D n D + σ2 E n E = = Poichè la differenza tra le due medie campionarie è pari a 0.4 < 0.42, l ipotesi nulla non può essere rifiutata ad un livello di significatività del 5%. ( 2. Il p-value è pari a φ ( x E x D )/ ) σd 2 /n D + σe 2 /n E = φ (.56053) = L intervallo di confidenza è dato da x E x D ± z α/2 σ 2 D /n D + σ 2 E /n E = ( 0.26,.06). Esercizio 7. Vengono sottoposti a confronto i consumi delle autovetture VW Polo.0 e Citroen Saxo. SPI alla velocità costante di 20 Km/h. Si ritiene che i consumi dei due tipi di autovetture possano essere descritti da variabili aleatorie con distribuzione normale con la stessa varianza. La Polo in 20 prove consuma mediamente x = 6.5 l/00km, la Saxo in 22 prove consuma mediamente x 2 = 6.6 l/00km. Le relative varianze campionarie sono rispettivamente di s 2 = 0.30 e s 2 2 = Possiamo ritenere che le due autovetture abbiano lo stesso consumo medio al livello di significatività del 5%? 2. Si calcoli un intervallo di confidenza di livello 95% per la differenza dei consumi medi.. Consideriamo i consumi della Polo provenienti da una legge N(µ, σ) 2 e quelli della Saxo da una N(µ 2, σ2). 2 Assumendo che σ 2 = σ 2 = σ2, 2 la stima di σ 2 si ottiene da s 2 p = (n )s 2 + (n 2 )s 2 2 n + n 2 2 = (20 )(0.3) + (22 )(0.28) = Si vuole testare le ipotesi H 0 : µ = µ 2 vs µ µ 2 ; siccome X X 2 S p /n + /n 2 t n+n 2 2, rifiuteremo H 0 se x x 2 > t α/2,n+n 2 2s p /n + /n 2. Con i dati del problema (t 0.025,40 = 2.02, s p /n + /n 2 = 0.66 e t α/2,n+n 2 2s p /n + /n 2 = 0.336) non si può rifiutare H L intervallo di confidenza è dato da x x 2 ±t α/2,n+n 2 2s p /n + /n 2 = ( 0.436, 0.236). 6

7 Esercizio 8. Una grossa industria vuole confrontare le caratteristiche di due resine plastiche per costruire tubature. La resina è meno costosa della resina 2, ma si sospetta che la resina 2 abbia un maggior allungamento medio percentuale (capacità del materiale di allungarsi senza superare la rottura). Le misurazioni su un campione casuale di dimensione 20 della resina hanno fornito allungamenti percentuali di media 2. e deviazione standard campionaria 0.5, mentre le misurazioni su un campione di dimensione 30 della resina 2 hanno fornito allungamenti percentuali di media 2.5 e deviazione standard campionaria Si assuma che gli allungamenti percentuali delle due resine abbiano la stessa varianza σ 2.. Si fornisca una stima della varianza σ 2 delle due resine. 2. I dati a disposizione permettono di concludere, a livello %, che l allungamento medio della resina 2 è maggiore di quello della resina? 3. Si costruisca un intervallo di confidenza di livello 98% per la differenza tra gli allungamenti medi percentuali delle due resine considerate.. Poichè possiamo assumere che le due varianze siano uguali, utilizziamo lo stimatore pooled per σ 2. Indicando con n e n 2 le numerosità dei campioni di resina e 2, rispettivamente, e con S 2 e S 2 2 le loro rispettive varianza campionarie, lo stimatore ha la forma Sp 2 = (n )S 2 + (n 2 )S2 2. n + n 2 2 Applicando lo stimatore ai dati in nostro possesso otteniamo s 2 p = ( )/248 = Denotando con µ e µ 2 i valori attesi degli allungamenti delle due resine e con X e X 2 le rispettive medie campionarie, il test per dati non accoppiati che dobbiamo impostare ha ipotesi H 0 : µ µ 2 vs. H : µ < µ 2. La statistica test è la seguente: T = X X 2 (µ µ 2 ). S p n + n 2 Poichè sotto H 0 abbiamo µ = µ 2, con i dati a nostra disposizione la statistica test assume valore t = = Poichè la regione di rifiuto per tale test è R = {T < t α,n+n 2 2} e t α/2,n+n 2 2 = , a livello % cè evidenza statistica per affermare che l allungamento della resina 2 è maggiore di quello della resina (rifiuto H 0 ). 7

8 3. L intervallo di confidenza di livello α per la differenza delle medie ha la forma IC 0.98 = X X 2 ± t α/2,n+n 2 2S p n + n 2, che con i dati a disposizione fornisce IC 0.98 = 0.4 ± Esercizio 9. Una questione di interesse medico è stabilire se l attività sportiva porta ad una diminuzione della frequenza cardiaca a riposo. Per verificare questa ipotesi, 8 volontari che non hanno mai fatto esercizio fisico hanno accettato di iniziare un programma di un mese di jogging. Alla fine del programma si è stati in grado di confrontare la frequenza cardiaca a riposo prima e dopo il mese di pratica: Freq. cardiaca prima Freq. cardiaca dopo Si assuma che la differenza tra le frequenze cardiache prima e dopo il mese di jogging segua una distribuzione gaussiana.. In base ai dati ottenuti, costruire un intervallo di confidenza di livello 99% per la media della differenza tra la frequenza cardiaca dopo e prima il mese di jogging. 2. Stabilire se, ad un livello di significatività del 0%, l attività fisica riduce la frequenza cardiaca media a riposo. Dopo aver tratto la conclusione, fornire una stima del p-value del test. 3. Allo stesso livello di significatività è possibile concludere che la frequenza cardiaca media sia cambiata?. Detta D i = X i Y i la differenza tra la frequenza cardiaca dell i-esimo paziente prima e dopo il mese di jogging, siano d = 3.75 la media campionaria e s 2 = la varianza campionaria di tali differenze. Dato che t 0.005,8 s/ 8 = 7.62, si ottiene IC 0.99 = d±t 0.005,8 s/ 8 = [ 3.87,.37]. 2. Sì, l attività fisica riduce la frequenza cardiaca media a riposo, infatti il p-value del test H 0 : µ d <= 0 vs H : µ d > 0 appartiene all intervallo d (0.05, 0.). Il valore esatto del p-value è il valore tale che s/ = t 8 α,7, che corrisponde a Non si può rifiutare l ipotesi nulla H 0 : µ d = 0 ad un livello di significatività pari a perchè il p-value del test bilatero è pari a Esercizio 0. Un gruppo di 6 pazienti si è sottoposto ad una certa cura dimagrante. All inizio della cura pesavano (in Kg): 77, 87, 04, 98, 9, 78. Dopo tre mesi pesano (in Kg): 75, 88, 97, 99, 83, 70, rispettivamente.. Supponendo che i soggetti siano tra loro indipendenti e che i loro pesi provengano da una distribuzione Gaussiana, si può affermare, ad un livello α = 0.05, che la cura è stata efficace (cioè che, mediamente, c è stato un calo di peso)? 8

9 2. Se la cura prometteva un calo di almeno 5 Kg, si può dire che è stata efficace?. Sia D i = X i Y i, dove X i e Y i sono i pesi del soggetto i-esimo rispettivamente prima e dopo la cura dimagrante, e sia la media di ciascuna variabile D i. Dobbiamo effettuare un test per dati accoppiati, con ipotesi H 0 : 0 = 0 vs. H : > 0. La statistica test è D n 0, (s 2 n ) n dove D n e s 2 n sono rispettivamente media e varianza campionaria del campione D,..., D n. In questo caso abbiamo n = 6, D6 = e s 2 6 = , quindi la statistica test assume il valore t = ( )/(4.355/ 6) = Poichè t > t 0.05,5 = 2.050, a livello α = 0.05 possiamo rifiutare l ipotesi nulla che non vi sia stato un calo di peso. 2. Dobbiamo calcolare la statistica test del punto precedente, dove però questa volta 0 = 5. In questo caso otteniamo t = ( )/(4.355/ 6) = , dalla quale si ottiene un p-value contenuto nell intervallo (0.6, 0.75) (valore esatto ). Per cui, per livelli di significatività ragionevoli, non possiamo rifiutare l ipotesi nulla che non ci sia stato un calo di peso di almeno 5 Kg. Esercizio. Si sta effettuando un referendum in cui si teme che non venga raggiunto il quorum (percentuale dei votanti superiore al 50%). A tale scopo, si intervistano n persone scelte a caso nella popolazione chiedendo loro se si recheranno alle urne.. Si supponga che in Lombardia su 000 persone intervistate ve ne siano solo 480 che dichiarano che si presenteranno alle urne. I dati a disposizione consentono di affermare che il quorum non verrà raggiunto a livello di significativitá del 5%? 2. Supponiamo inoltre che in Emilia Romagna su 000 persone intervistate solo 470 si dichiarino intenzionate a votare. Possiamo concludere, tenendo conto dei dati al punto 2, che in Lombardia andrà a votare un maggior numero di persone rispetto all Emilia Romagna? 3. Calcolare un intervallo di confidenza di levello 95% per la differenza di proporzione tra i votanti in Lombardia ed Emilia Romagna.. Vogliamo effettuare il test H 0 : p = p 0 = 0.50 contro H : p < La statistica test è z 0 = ˆp p 0 p0 ( p 0 )/n = =.27 > z α = ( 0.50)/000 dato che la regione di rifiuto è R = {Z 0 < z α } non possiamo rifiutare l ipotesi nulla. 9

10 2. Si vuole effettuare il test H 0 : p = p2 contro H : p > p2. La statistica test è ˆp ˆp 2 0 z 0 = ( ) ˆp ( ˆp) n + n 2 con ˆp = x+x2 n +n 2 = La statistica test è uguale a z 0 = = ( 0.475) e la regione di rifuto è R = {Z 0 > z α }. Per questo motivo il p-value del test è pari a α = Φ(z 0 ) dato che il p-value è superiore a 0. non c è evidenza contro l ipotesi nulla. 3. L intervallo di confidenza di livello 95% per la differenza tra due proporzioni è ˆp ( ˆp ) IC = ˆp ˆp 2 ± z α/2 + ˆp 2 ( ˆp 2 ) = n n 2 ( ) 0.48 ( 0.48) 0.47 ( 0.47) = ±.96 + = = (0. ± ) = (0.0562, 0.438) Si può notare che il valore 0 non cade all interno dell IC. Esercizio 2. Un insegnante del Politecnico di Milano riceve gli studenti al suo studio ogni settimana in un giorno fissato. Il numero di studenti ricevuti settimanalmente nelle ultime 96 settimane è il seguente: Nr. di studenti 0 o 2 3 o 4 5 o 6 7 o 8 almeno 9 Nr. di sett quindi per 3 settimane nelle ultime 96 nessuno studente è venuto, per settimane il docente ha ricevuto o 2 studenti, e così via. Basandosi sulle informazioni precedenti, l insegnante sospetta che la media del numero di studenti che si presentano ogni settimana sia pari a 5.. Si valuti la bontà dell adattamento a una distribuzione di Poisson con media 5 per i dati disponibili, ad un livello di significatività del 2.5%, attraverso un opportuno test d ipotesi. 2. Si fornisca un intervallo in cui cade il p-value. Cosa si può concludere?. Il test è H 0 : F P (5) vs. H 0 : F P (5). Prima di tutto, si noti che n = 96 > 50; le probabilità teoriche p 0i e le frequenze assolute teoriche np 0i sotto H 0, per le classi C = {0},..., C 6 = {9, 0,...}, sono Nr. studenti {0} {, 2} {3, 4} {5, 6} {7, 8} at least 9 n i p 0i np 0i

11 dove p 0i = P(N C i ) e N P (5). Dato che np 0 5, uniamo le prime due classi, ottenendo le seguenti k = 5 classi Nr. studenti {0,, 2} {3, 4} {5, 6} {7, 8} at least 9 n i p 0i np 0i La statistica test è data da Q n = k i= (n i np 0i ) 2 np 0i H 0 χ 2 k = χ 2 4 Con i nostri dati abbiamo q 96 = 7.50 <.4 = χ ,4, quindi non possiamo rifiutare H 0 poiché la regione di rifiuto è R = {Q n > χ 2 α,k }. 2. Il p-value è pari a F χ 2 4 (7.50) = 0.2 (0., 0.5), quindi non abbiamo evidenza contro H 0. Esercizio misure ripetute di una certa quantità sono state raccolte, ma solo le seguenti informazioni sono state registrate: esattamente 7 misure sono minori o uguali alla mediana di una variabile aleatoria gaussiana di media 20 e varianza 6, e, tra queste, 32 sono minori o uguali al primo quartile di una variabile aleatoria N(20, 6). 3 misure sono maggiori del terzo quartile (quantile di livello 0.25), e 34 hanno un valore che cade tra la mediana e il terzo quartile di una variabile N(20, 6).. Si esprima la funzione di ripartizione di una variabile N(20, 6) in termini della funzione di ripartizione di una N(0, ); si esprima il quantile di ordine a di una variabile aleatoria N(20, 6), indicato con q a, in termini del quantile di ordine a della normale standard N(0, ). 2. Si può affermare che le misure provengono da una popolazione Gaussiana con media 20 e varianza 6? Si costruisca un opportuno test con α = 5% per rispondere alla domanda. 3. Si calcoli il p-value approssimato, o si fornisca un intervallo in cui cade.. Sia X N(µ, σ 2 ) e Z N(0, ). Allora è facile verificare, per standardizzazione, che F X (x) = P (X x) = P (Z (x µ)/σ) = Φ((x µ)/σ). Questo implica che F X (q a ) = Φ((q a µ)/σ), quindi per ogni a (0, ) il quantile di ordine a di una N(µ, σ 2 ) è dato da q a = µ + σz a. 2. N(20, 6) è simmetrica rispetto alla sua media, quindi la mediana coincide con la media, ed è quindi uguale a 20. Utilizzando la relazione ottenuta al punto precedente abbiamo che q 0.75 = z 0.75 = e q 0.25 = z 0.25 = Raccogliendo i dati in una tabella abbiamo:

12 Classe (, 7.302] (7.302, 20] (20, ] (22.698, + ) n i = p 0i np 0i La statistica test è uguale a 4 i= (n i np 0i ) 2 /(np 0i ) =.76, mentre χ 2 3, , quindi non rifiutiamo l ipotesi nulla che le osservazioni provengano da una legge N(20, 6). 3. Il p-value appartiene all intervallo (0.75, 0.8) e in particolare è uguale a

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato.

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato. Esercizio 1 Sia X 1,..., X un campione casuale estratto da una variabile aleatoria normale con media pari a µ e varianza pari a 1. Supponiamo che la media campionaria sia x = 2. 1a) Calcolare gli estremi

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Test d ipotesi sul valor medio e test χ 2 di adattamento Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si supponga che il diametro degli anelli metallici prodotti

Dettagli

Esercitazione #5 di Statistica. Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione)

Esercitazione #5 di Statistica. Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione) Esercitazione #5 di Statistica Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione) Dicembre 00 1 Esercizi 1.1 Test su media (con varianza nota) Esercizio n. 1 Il calore (in calorie per grammo) emesso

Dettagli

VERIFICA DELLE IPOTESI

VERIFICA DELLE IPOTESI VERIFICA DELLE IPOTESI Introduzione Livelli di significatività Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale Verifica di ipotesi sulla varianza di una popolazione normale Verifica di ipotesi

Dettagli

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Università degli Studi di Perugia Facoltà di Economia, Assisi, a.a. 2013/14 Esercitazione n. 3 A. Sia una variabile casuale che si distribuisce secondo

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario:

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: Esempi di domande risposta multipla (Modulo II) 1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: 1) ha un numero di elementi pari a 5; 2) ha un numero di elementi

Dettagli

Tema A. 1.2. Se due eventi A e B sono indipendenti e tali che P (A) = 1/2 e P (B) = 2/3, si può certamente concludere che

Tema A. 1.2. Se due eventi A e B sono indipendenti e tali che P (A) = 1/2 e P (B) = 2/3, si può certamente concludere che Statistica Cognome: Laurea Triennale in Biologia Nome: 26 luglio 2012 Matricola: Tema A 1. Parte A 1.1. Sia x 1, x 2,..., x n un campione di n dati con media campionaria x e varianza campionaria s 2 x

Dettagli

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals II Parte Verifica delle ipotesi (a) Agostino Accardo (accardo@units.it) Master in Ingegneria Clinica LM in Neuroscienze 2013-2014 e segg.

Dettagli

Statistica. Esercitazione 15. Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it. Università degli studi di Cassino. Statistica. A. Iodice

Statistica. Esercitazione 15. Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it. Università degli studi di Cassino. Statistica. A. Iodice Esercitazione 15 Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Università degli studi di Cassino () 1 / 18 L importanza del gruppo di controllo In tutti i casi in cui si voglia studiare l effetto di un certo

Dettagli

3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati

3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati BIOSTATISTICA 3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health m.blangiardo@imperial.ac.uk MARTA BLANGIARDO

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 6

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 6 CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 6 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Stima puntuale per la proporzione Da un lotto di arance se ne estraggono 400, e di queste 180

Dettagli

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Università degli Studi di Perugia Facoltà di Economia, Assisi, a.a. 2013/14 Esercitazione n. 4 A. Si supponga che la durata in giorni delle lampadine prodotte

Dettagli

Esercitazioni-aula-parte-III

Esercitazioni-aula-parte-III Esercitazioni-aula-parte-III Esempio par.7.2) Ross Sia (X 1,..., X n ) un campione aleatorio estratto da una popolazione esponenziale di parametro θ incognito. Determinare l espressione dello stimatore

Dettagli

Esame di Statistica del 17 luglio 2006 (Corso di Laurea Triennale in Biotecnologie, Università degli Studi di Padova).

Esame di Statistica del 17 luglio 2006 (Corso di Laurea Triennale in Biotecnologie, Università degli Studi di Padova). Esame di Statistica del 17 luglio 2006 (Corso di Laurea Triennale in Biotecnologie, Università degli Studi di Padova). Cognome Nome Matricola Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Somma Voto finale Attenzione: si consegnano

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2013-2014 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

Appunti: Teoria Dei Test

Appunti: Teoria Dei Test Appunti: Teoria Dei Test Fulvio De Santis, Luca Tardella e Isabella Verdinelli Corsi di Laurea A + E + D + G + R 1. Introduzione. Il test d ipotesi è un area dell inferenza statistica in cui si valuta

Dettagli

Università del Piemonte Orientale. Corso di laurea in biotecnologia. Corso di Statistica Medica. Analisi dei dati quantitativi :

Università del Piemonte Orientale. Corso di laurea in biotecnologia. Corso di Statistica Medica. Analisi dei dati quantitativi : Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Analisi dei dati quantitativi : Confronto tra due medie Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in

Dettagli

Matlab per applicazioni statistiche

Matlab per applicazioni statistiche Matlab per applicazioni statistiche Marco J. Lombardi 19 aprile 2005 1 Introduzione Il sistema Matlab è ormai uno standard per quanto riguarda le applicazioni ingegneristiche e scientifiche, ma non ha

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2014-2015 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

Politecnico di Milano Temi d esame di STATISTICA dell AA 2004/2005 per allievi ING INF [2L]. Proff. A. Barchielli, I. Epifani

Politecnico di Milano Temi d esame di STATISTICA dell AA 2004/2005 per allievi ING INF [2L]. Proff. A. Barchielli, I. Epifani Politecnico di Milano Temi d esame di STATISTICA dell AA 004/005 per allievi ING INF [L]. Proff. A. Barchielli, I. Epifani 1 1 STATISTICA per ING INF [L] Proff. A. Barchielli, I. Epifani 0.06.05 I diritti

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 17/06/2015 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Un sistema

Dettagli

Temi di Esame a.a. 2012-2013. Statistica - CLEF

Temi di Esame a.a. 2012-2013. Statistica - CLEF Temi di Esame a.a. 2012-2013 Statistica - CLEF I Prova Parziale di Statistica (CLEF) 11 aprile 2013 Esercizio 1 Un computer è collegato a due stampanti, A e B. La stampante A è difettosa ed il 25% dei

Dettagli

Analisi di dati di frequenza

Analisi di dati di frequenza Analisi di dati di frequenza Fase di raccolta dei dati Fase di memorizzazione dei dati in un foglio elettronico 0 1 1 1 Frequenze attese uguali Si assuma che dalle risposte al questionario sullo stato

Dettagli

Statistiche campionarie

Statistiche campionarie Statistiche campionarie Sul campione si possono calcolare le statistiche campionarie (come media campionaria, mediana campionaria, varianza campionaria,.) Le statistiche campionarie sono stimatori delle

Dettagli

VERIFICA DELLE IPOTESI

VERIFICA DELLE IPOTESI VERIFICA DELLE IPOTESI Nella verifica delle ipotesi è necessario fissare alcune fasi prima di iniziare ad analizzare i dati. a) Si deve stabilire quale deve essere l'ipotesi nulla (H0) e quale l'ipotesi

Dettagli

Inferenza statistica

Inferenza statistica Inferenza statistica L inferenza statistica è un insieme di metodi con cui si cerca di trarre una conclusione sulla popolazione in base ad informazioni ricavate da un campione. Inferenza statistica: indurre

Dettagli

STATISTICA INFERENZIALE

STATISTICA INFERENZIALE STATISTICA INFERENZIALE Premessa importante: si ipotizza che il comportamento della popolazione rispetto ad una variabile casuale X viene descritto attraverso una funzione parametrica di probabilità p

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 7

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 7 CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 7 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Test delle ipotesi per la media (varianza nota), p-value del test Il manager di un fast-food

Dettagli

Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B

Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B Laurea in Ingegneria Meccatronica A.A. 2010 2011 n-dimensionali Riepilogo. Gli esiti di un esperimento aleatorio

Dettagli

Esercizio 1. Verifica di ipotesi sulla media (varianza nota), p-value del test

Esercizio 1. Verifica di ipotesi sulla media (varianza nota), p-value del test STATISTICA (2) ESERCITAZIONE 6 05.03.2014 Dott.ssa Antonella Costanzo Esercizio 1. Verifica di ipotesi sulla media (varianza nota), p-value del test Il preside della scuola elementare XYZ sospetta che

Dettagli

Analisi statistica degli errori

Analisi statistica degli errori Analisi statistica degli errori I valori numerici di misure ripetute risultano ogni volta diversi l operazione di misura può essere considerata un evento casuale a cui è associata una variabile casuale

Dettagli

TEST DI AUTOVALUTAZIONE INTERVALLI DI CONFIDENZA E TEST

TEST DI AUTOVALUTAZIONE INTERVALLI DI CONFIDENZA E TEST TEST DI AUTOVALUTAZIONE INTERVALLI DI CONFIDENZA E TEST I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Statistica 1 Parte A 1.1 La formula µ = x ± s n

Dettagli

E naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n

E naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n Supponiamo che un fabbricante stia introducendo un nuovo tipo di batteria per un automobile elettrica. La durata osservata x i delle i-esima batteria è la realizzazione (valore assunto) di una variabile

Dettagli

Statistica. Lezione 6

Statistica. Lezione 6 Università degli Studi del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Infermieristica Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari Statistica Lezione 6 a.a 011-01 Dott.ssa Daniela Ferrante

Dettagli

La regressione lineare multipla

La regressione lineare multipla 13 La regressione lineare multipla Introduzione 2 13.1 Il modello di regressione multipla 2 13.2 L analisi dei residui nel modello di regressione multipla 9 13.3 Il test per la verifica della significatività

Dettagli

Soluzioni degli Esercizi del Parziale del 30/06/201 (Ippoliti-Fontanella-Valentini)

Soluzioni degli Esercizi del Parziale del 30/06/201 (Ippoliti-Fontanella-Valentini) Soluzioni degli Esercizi del Parziale del 30/06/201 (Ippoliti-Fontanella-Valentini) Esercizio 1 In uno studio sugli affitti mensili, condotto su un campione casuale di 14 monolocali nella città nella città

Dettagli

Università del Piemonte Orientale. Corso di dottorato in medicina molecolare. a.a. 2002 2003. Corso di Statistica Medica. Inferenza sulle medie

Università del Piemonte Orientale. Corso di dottorato in medicina molecolare. a.a. 2002 2003. Corso di Statistica Medica. Inferenza sulle medie Università del Piemonte Orientale Corso di dottorato in medicina molecolare aa 2002 2003 Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie Statistica U Test z Test t campioni indipendenti con uguale varianza

Dettagli

Inferenza statistica I Alcuni esercizi. Stefano Tonellato

Inferenza statistica I Alcuni esercizi. Stefano Tonellato Inferenza statistica I Alcuni esercizi Stefano Tonellato Anno Accademico 2006-2007 Avvertenza Una parte del materiale è stato tratto da Grigoletto M. e Ventura L. (1998). Statistica per le scienze economiche,

Dettagli

Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 9. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo

Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 9. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 9 Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo 1 TEST D IPOTESI Partiamo da un esempio presente sul libro di testo.

Dettagli

Facoltà di Psicologia Università di Padova Anno Accademico 2010-2011

Facoltà di Psicologia Università di Padova Anno Accademico 2010-2011 Facoltà di Psicologia Università di Padova Anno Accademico 010-011 Corso di Psicometria - Modulo B Dott. Marco Vicentini marco.vicentini@unipd.it Rev. 10/01/011 La distribuzione F di Fisher - Snedecor

Dettagli

Esercizi del Corso di Statistica. Parte I - Variabili Aleatorie Continue

Esercizi del Corso di Statistica. Parte I - Variabili Aleatorie Continue Esercizi del Corso di Statistica Parte I - Variabili Aleatorie Continue 1. Costruire la variabile uniforme U sull intervallo [a, b], con a IR e b IR. 2. Sia X una variabile aleatoria tale che: 0 x < 1

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2014/2015 Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2014/2015 Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2014/2015 Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Nome N. Matricola Ancona, 14 luglio 2015 1. Tre macchine producono gli stessi pezzi

Dettagli

ESAME DI STATISTICA Nome: Cognome: Matricola:

ESAME DI STATISTICA Nome: Cognome: Matricola: ESAME DI STATISTICA Nome: Cognome: Matricola: ISTRUZIONI: Per la prova è consentito esclusivamente l uso di una calcolatrice tascabile, delle tavole della normale e della t di Student. I risultati degli

Dettagli

La logica statistica della verifica (test) delle ipotesi

La logica statistica della verifica (test) delle ipotesi La logica statistica della verifica (test) delle ipotesi Come posso confrontare diverse ipotesi? Nella statistica inferenziale classica vengono sempre confrontate due ipotesi: l ipotesi nulla e l ipotesi

Dettagli

Università di Firenze - Corso di laurea in Statistica Seconda prova intermedia di Statistica. 18 dicembre 2008

Università di Firenze - Corso di laurea in Statistica Seconda prova intermedia di Statistica. 18 dicembre 2008 Università di Firenze - Corso di laurea in Statistica Seconda prova intermedia di Statistica 18 dicembre 008 Esame sull intero programma: esercizi da A a D Esame sulla seconda parte del programma: esercizi

Dettagli

Stefano Invernizzi Anno accademico 2010-2011

Stefano Invernizzi Anno accademico 2010-2011 POLITECNICO DI MILANO Statistica Appunti Stefano Invernizzi Anno accademico 2010-2011 Corso della prof. Ilenia Epifani Sommario Introduzione al corso... 5 La statistica... 5 Schema tipico di raccolta

Dettagli

Inferenza statistica. Inferenza statistica

Inferenza statistica. Inferenza statistica Spesso l informazione a disposizione deriva da un osservazione parziale del fenomeno studiato. In questo caso lo studio di un fenomeno mira solitamente a trarre, sulla base di ciò che si è osservato, considerazioni

Dettagli

Test statistici di verifica di ipotesi

Test statistici di verifica di ipotesi Test e verifica di ipotesi Test e verifica di ipotesi Il test delle ipotesi consente di verificare se, e quanto, una determinata ipotesi (di carattere biologico, medico, economico,...) è supportata dall

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 8

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 8 CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 8 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Test delle ipotesi sulla varianza In un azienda che produce componenti meccaniche, è stato

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA Stefania Naddeo (anno accademico 4/5) INDICE PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE. VALORI CARATTERISTICI

Dettagli

iovanella@disp.uniroma2.it http://www.disp.uniroma2.it/users/iovanella Verifica di ipotesi

iovanella@disp.uniroma2.it http://www.disp.uniroma2.it/users/iovanella Verifica di ipotesi iovanella@disp.uniroma2.it http://www.disp.uniroma2.it/users/iovanella Verifica di ipotesi Idea di base Supponiamo di avere un idea del valore (incognito) di una media di un campione, magari attraverso

Dettagli

ESERCITAZIONE 13 : STATISTICA DESCRITTIVA E ANALISI DI REGRESSIONE

ESERCITAZIONE 13 : STATISTICA DESCRITTIVA E ANALISI DI REGRESSIONE ESERCITAZIONE 13 : STATISTICA DESCRITTIVA E ANALISI DI REGRESSIONE e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Ricevimento: su appuntamento Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 114

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE E VALORE ATTESO

VARIABILI ALEATORIE E VALORE ATTESO VARIABILI ALEATORIE E VALORE ATTESO Variabili aleatorie Variabili discrete e continue Coppie e vettori di variabili aleatorie Valore atteso Proprietà del valore atteso Varianza Covarianza e varianza della

Dettagli

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili:

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili: Incertezze di misura Argomenti: classificazione delle incertezze; definizione di incertezza tipo e schemi di calcolo; schemi per il calcolo dell incertezza di grandezze combinate; confronto di misure affette

Dettagli

Esercitazione n.2 Inferenza su medie

Esercitazione n.2 Inferenza su medie Esercitazione n.2 Esercizio L ufficio del personale di una grande società intende stimare le spese mediche familiari dei suoi impiegati per valutare la possibilità di attuare un programma di assicurazione

Dettagli

obbligatorio - n. iscrizione sulla lista se non ve lo ricordate siete fritti; o no?

obbligatorio - n. iscrizione sulla lista se non ve lo ricordate siete fritti; o no? 08.07.2014 - appello ENE - docente: E. Piazza obbligatorio - n. iscrizione sulla lista se non ve lo ricordate siete fritti; o no? il presente elaborato si compone di x (ics) pagine Cognome Nome matr.n.

Dettagli

Microeconometria (Silvia Tiezzi) 01 aprile2011 Esercitazione

Microeconometria (Silvia Tiezzi) 01 aprile2011 Esercitazione Microeconometria (Silvia Tiezzi) 01 aprile2011 Esercitazione Esercizio 1 Si consideri il seguente modello ad effetti fissi con variabili binarie: + 1 2 a) supponete che N=3. Si mostri che i regressori

Dettagli

l insieme delle misure effettuate costituisce il campione statistico

l insieme delle misure effettuate costituisce il campione statistico Statistica negli esperimenti reali si effettuano sempre un numero finito di misure, ( spesso molto limitato ) l insieme delle misure effettuate costituisce il campione statistico Statistica descrittiva

Dettagli

Regressione Lineare con un Singolo Regressore

Regressione Lineare con un Singolo Regressore Regressione Lineare con un Singolo Regressore Quali sono gli effetti dell introduzione di pene severe per gli automobilisti ubriachi? Quali sono gli effetti della riduzione della dimensione delle classi

Dettagli

La variabile casuale Binomiale

La variabile casuale Binomiale La variabile casuale Binomiale Si costruisce a partire dalla nozione di esperimento casuale Bernoulliano che consiste in un insieme di prove ripetute con le seguenti caratteristiche: i) ad ogni singola

Dettagli

! Si suppone che il peso della popolazione maschile di tesserati di una certa Federazione

! Si suppone che il peso della popolazione maschile di tesserati di una certa Federazione ! Un paziente non-fumatore (e che non ha mai fumato) si presenta dal medico in quanto lamenta una forma di tosse cronica. Il paziente viene sottoposto a una biopsia al polmone. La biopsia fornisce tre

Dettagli

Inferenza statistica. Statistica medica 1

Inferenza statistica. Statistica medica 1 Inferenza statistica L inferenza statistica è un insieme di metodi con cui si cerca di trarre una conclusione sulla popolazione sulla base di alcune informazioni ricavate da un campione estratto da quella

Dettagli

Problema pratico: Test statistico = regola di decisione

Problema pratico: Test statistico = regola di decisione La verifica delle ipotesi statistiche Problema pratico: Quale, tra diverse situazioni possibili, riferite alla popolazione, è quella meglio sostenuta dalle evidenze empiriche? Coerenza del risultato campionario

Dettagli

Esercizi riassuntivi di probabilità

Esercizi riassuntivi di probabilità Esercizi riassuntivi di probabilità Esercizio 1 Una ditta produttrice di fotocopiatrici sa che la durata di una macchina (in migliaia di copie) si distribuisce come una normale con µ = 1600 e 2 = 3600.

Dettagli

ELEMENTI DI STATISTICA

ELEMENTI DI STATISTICA Dipartimento di Ingegneria Meccanica Chimica e dei Materiali PROGETTAZIONE E GESTIONE DEGLI IMPIANTI INDUSTRIALI Esercitazione 6 ORE ELEMENTI DI STATISTICA Prof. Ing. Maria Teresa Pilloni Anno Accademico

Dettagli

2. Un carattere misurato in un campione: elementi di statistica descrittiva e inferenziale

2. Un carattere misurato in un campione: elementi di statistica descrittiva e inferenziale BIOSTATISTICA 2. Un carattere misurato in un campione: elementi di statistica descrittiva e inferenziale Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health m.blangiardo@imperial.ac.uk

Dettagli

STATISTICA ESERCITAZIONE 11 Dott. Giuseppe Pandolfo 3 febbraio 2015. Modelli continui di probabilità: la v.c. uniforme continua

STATISTICA ESERCITAZIONE 11 Dott. Giuseppe Pandolfo 3 febbraio 2015. Modelli continui di probabilità: la v.c. uniforme continua STATISTICA ESERCITAZIONE 11 Dott. Giuseppe Pandolfo febbraio 2015 Modelli continui di probabilità: la v.c. uniforme continua Esercizio 1 Anna ha una gift card da 50 euro. Non si sa se sia mai stata utilizzata

Dettagli

Continua sul retro 42.1 39.7 38.0 38.7 41.4 37.5 38.6 40.5 39.8 38.0 36.9 40.3 42.0 41.3 40.4 39.1 38.4 42.0

Continua sul retro 42.1 39.7 38.0 38.7 41.4 37.5 38.6 40.5 39.8 38.0 36.9 40.3 42.0 41.3 40.4 39.1 38.4 42.0 Statistica per l azienda Esame del 19.06.12 COGNOME NOME Matr. Firma Modulo: singolo con Informatica con StatII & PDRM con Mat. & PDRM altro (specificare) Attenzione: Il presente foglio deve essere compilato

Dettagli

LEZIONI DI STATISTCA APPLICATA. Parte 2. Statistica inferenziale. Variabili continue per categoriali. Alessandro Valbonesi

LEZIONI DI STATISTCA APPLICATA. Parte 2. Statistica inferenziale. Variabili continue per categoriali. Alessandro Valbonesi LEZIONI DI STATISTCA APPLICATA Parte 2 Statistica inferenziale Variabili continue per categoriali Alessandro Valbonesi SARRF di Scienze ambientali Anno accademico 2010-11 CAPITOLO 4 - TEST STATISTICI CHE

Dettagli

i=1 Y i, dove Y i, i = 1,, n sono indipendenti e somiglianti e con la stessa distribuzione di Y.

i=1 Y i, dove Y i, i = 1,, n sono indipendenti e somiglianti e con la stessa distribuzione di Y. Lezione n. 5 5.1 Grafici e distribuzioni Esempio 5.1 Legame tra Weibull ed esponenziale; TLC per v.a. esponenziali Supponiamo che X Weibull(α, β). (i) Si consideri la distribuzione di Y = X β. (ii) Fissato

Dettagli

Popolazione. Campione. I risultati di un esperimento sono variabili aleatorie. I valori stimati sono variabili aleatorie. Teorema del limite centrale

Popolazione. Campione. I risultati di un esperimento sono variabili aleatorie. I valori stimati sono variabili aleatorie. Teorema del limite centrale I risultati di un esperimento sono variabili aleatorie. Un esperimento non consente di esaminare ogni elemento di una popolazione o di effettuare tutte le misure possibili. campione , sx Stime Popolazion

Dettagli

Il confronto fra proporzioni

Il confronto fra proporzioni L. Boni Il rapporto Un rapporto (ratio), attribuendo un ampio significato al termine, è il risultato della divisione di una certa quantità a per un altra quantità b Il rapporto Spesso, in maniera più specifica,

Dettagli

Test non parametrici. Test non parametrici. Test non parametrici. Test non parametrici

Test non parametrici. Test non parametrici. Test non parametrici. Test non parametrici Test non parametrici Test non parametrici Il test T di Student per uno o per due campioni, il test F di Fisher per l'analisi della varianza, la correlazione, la regressione, insieme ad altri test di statistica

Dettagli

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 10-Il test t per un campione e la stima intervallare (vers. 1.1, 25 ottobre 2015) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia,

Dettagli

Facciamo qualche precisazione

Facciamo qualche precisazione Abbiamo introdotto alcuni indici statistici (di posizione, di variabilità e di forma) ottenibili da Excel con la funzione Riepilogo Statistiche Facciamo qualche precisazione Al fine della partecipazione

Dettagli

Il controllo delle prestazioni del provider. IL CONTROLLO DELLE PRESTAZIONI DEL PROVIDER (riferimenti)

Il controllo delle prestazioni del provider. IL CONTROLLO DELLE PRESTAZIONI DEL PROVIDER (riferimenti) del provider IL CONTROLLO DELLE PRESTAZIONI DEL PROVIDER (riferimenti) 1 del provider - premessa (1) in merito alla fase di gestione ordinaria dell outsourcing sono state richiamate le prassi di miglioramento

Dettagli

Esercitazione n.4 Inferenza su varianza

Esercitazione n.4 Inferenza su varianza Esercizio 1 Un industria che produce lamiere metalliche ha ricevuto un ordine di acquisto di un grosso quantitativo di lamiere di un dato spessore. Per assicurare la qualità della propria fornitura, l

Dettagli

Esercitazioni del corso di Statistica Prof. Mortera a.a. 2010/2011. Esercizi di stima puntuale, intervalli di confidenza e test T 2 = 1 2 X

Esercitazioni del corso di Statistica Prof. Mortera a.a. 2010/2011. Esercizi di stima puntuale, intervalli di confidenza e test T 2 = 1 2 X Esercitazioni del corso di Statistica Prof. Mortera a.a. 2010/2011 Esercizi di stima puntuale, intervalli di confidenza e test 1. Si consideri il campione (X 1, X 2, X 3, X 4 ) composto da variabili i.i.d.

Dettagli

Facoltà di Psicologia Università di Padova Anno Accademico 2010-2011

Facoltà di Psicologia Università di Padova Anno Accademico 2010-2011 Facoltà di Psicologia Università di Padova Anno Accademico 2010-2011 L4, Corso Integrato di Psicometria - Modulo B Dr. Marco Vicentini marco.vicentini@unipd.it Rev. 18/04/2011 Inferenza statistica Formulazione

Dettagli

Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale. I Prova in Itinere di Statistica per Ingegneria Energetica 9 maggio 2013

Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale. I Prova in Itinere di Statistica per Ingegneria Energetica 9 maggio 2013 Politecnico di Milano - Scuola di Ineneria Industriale I Prova in Itinere di Statistica per Ineneria Eneretica 9 maio 013 c I diritti d autore sono riservati. Oni sfruttamento commerciale non autorizzato

Dettagli

1. Distribuzioni campionarie

1. Distribuzioni campionarie Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 28/05/2015 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Nel gico del

Dettagli

è decidere sulla verità o falsità

è decidere sulla verità o falsità I test di ipotesi I test di ipotesi Il test delle ipotesi consente di verificare se, e in quale misura, una determinata ipotesi (di carattere sociale, biologico, medico, economico, ecc.) è supportata dall

Dettagli

La distribuzione Gaussiana

La distribuzione Gaussiana Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Biotecnologie Corso di Statistica Medica La distribuzione Normale (o di Gauss) Corso di laurea in biotecnologie - Corso di Statistica Medica La distribuzione

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Modelli di Variabili Aleatorie Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Sulla base della passata esperienza il responsabile della produzione di un azienda

Dettagli

TECNICHE DI SIMULAZIONE

TECNICHE DI SIMULAZIONE TECNICHE DI SIMULAZIONE MODELLI STATISTICI NELLA SIMULAZIONE Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari a.a. 2004/2005 TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 1 Modelli statistici nella simulazione

Dettagli

STATISTICA GIUSEPPE DE NICOLAO. Dipartimento di Informatica e Sistemistica Università di Pavia

STATISTICA GIUSEPPE DE NICOLAO. Dipartimento di Informatica e Sistemistica Università di Pavia STATISTICA GIUSEPPE DE NICOLAO Dipartimento di Informatica e Sistemistica Università di Pavia SOMMARIO V.C. vettoriali Media e varianza campionarie Proprietà degli stimatori Intervalli di confidenza Statistica

Dettagli

Controllo Statistico della Qualità. Qualità come primo obiettivo dell azienda produttrice di beni

Controllo Statistico della Qualità. Qualità come primo obiettivo dell azienda produttrice di beni Controllo Statistico della Qualità Qualità come primo obiettivo dell azienda produttrice di beni Qualità come costante aderenza del prodotto alle specifiche tecniche Qualità come controllo e riduzione

Dettagli

L Analisi della Varianza ANOVA (ANalysis Of VAriance)

L Analisi della Varianza ANOVA (ANalysis Of VAriance) L Analisi della Varianza ANOVA (ANalysis Of VAriance) 1 CONCETTI GENERALI Finora abbiamo descritto test di ipotesi finalizzati alla verifica di ipotesi sulla differenza tra parametri di due popolazioni

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA. Le misure di tendenza centrale

STATISTICA DESCRITTIVA. Le misure di tendenza centrale STATISTICA DESCRITTIVA Le misure di tendenza centrale 1 OBIETTIVO Individuare un indice che rappresenti significativamente un insieme di dati statistici. 2 Esempio Nella tabella seguente sono riportati

Dettagli

Esercizi test ipotesi. Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010

Esercizi test ipotesi. Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010 Esercizi test ipotesi Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010 Verifica delle ipotesi - Esempio quelli di Striscia la Notizia" effettuano controlli casuali per vedere se le pompe

Dettagli

Statistica corso base Canale N Z prof. Francesco Maria Sanna. Prove scritte di esame a.a. 2012-13

Statistica corso base Canale N Z prof. Francesco Maria Sanna. Prove scritte di esame a.a. 2012-13 Statistica corso base Canale N Z prof. Francesco Maria Sanna Prova scritta del 8/1/2013 Prove scritte di esame a.a. 2012-13 Esercizio 1 (5 punti). Nella seguente tabella è riportata la distribuzione delle

Dettagli

L analisi statistica

L analisi statistica Statistica medica per IMS / 1 L analisi statistica Statistica medica per IMS / 2 Esempio (de Gans et al. NEJM 2002, 347: 1549-56) Esito Desametazone Trattamento Placebo Totale Sfavorevole Favorevole Totale

Dettagli

Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità

Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità David Barbato Questa raccolta comprende sia gli esercizi dell esercitazione del 14 febbraio sia gli esercizi di ricapitolazione sulle

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

Teoria della Stima. Stima della Media e di una Porzione di Popolazione. Introduzione. Corso di Laurea in Scienze Motorie AA2002/03 - Analisi dei Dati

Teoria della Stima. Stima della Media e di una Porzione di Popolazione. Introduzione. Corso di Laurea in Scienze Motorie AA2002/03 - Analisi dei Dati Teoria della Stima. Stima della Media e di una Porzione di Popolazione Introduzione La proceduta in base alla quale ad uno o più parametri di popolazione si assegna il valore numerico calcolato dalle informazioni

Dettagli

Sistemi di Servizio e Simulazione

Sistemi di Servizio e Simulazione Sistemi di Servizio e Simulazione Soluzioni degli esercizi di esame proposti negli appelli dell a.a.2004-05 Sono stati distribuiti sul sito web i testi di tre appelli di esame dell anno accademico 2004-05:

Dettagli

STATISTICA (I MODULO INFERENZA STATISTICA) Esercitazione I 27/4/2007

STATISTICA (I MODULO INFERENZA STATISTICA) Esercitazione I 27/4/2007 Esercitazione I 7/4/007 In una scatola contenente 0 pezzi di un articolo elettronico risultano essere difettosi. Si estraggono a caso due pezzi, uno alla volta senza reimmissione. Quale è la probabilità

Dettagli