Aritmetica binaria sui numeri relativi (somme e sottrazioni) e Unità aritmetiche

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1 Aritmetica binaria sui numeri relativi (somme e sottrazioni) e Unità aritmetiche Esercizi da laboratorio ed esercizi per l esame 30 ottobre 20 Reti Logiche

2 Numeri relativi: rappresentazione in complemento a 2 con n bit N = -2 n-. b n- + b n-2.2 n b n bit Se il bit più significativo è, N <0 Se il bit più significativo è 0, N 0 b n- b n-2 b b 0 N [-2 n-, +(2 n- - )] b3 b2 b b0 N b3 b2 b b0 N Rappresentazioni in bit: N 0 : segno-valore assoluto N < 0: 2 n - N con (-N) espresso in segno-valore assoluto 2

3 Calcolo del complemento a 2 di un numero naturale N formato da n- bit (intero senza segno) 2 N = 2 n - N Calcolo di 2 N senza la sottrazione 2 N = 2 n - N = (2 n - ) - N + = not (N) + Calcolo di A - B con A B A - B = A + (2 n - B) - 2 n = (A + 2 B) - 2 n calcola A + 2 B elimina il bit più pesante NB: se A<B il risultato non è un numero naturale! B A CI 4 BIT a 0 ADDER a a 2 a 3 s 0 s s 2 s 3 b 0 b b 2 b 3 CO A - B 3

4 Proprietà della rappresentazione in complemento a 2 Siano A e B due numeri nella rappresentazione in complemento a 2: eseguendo 2 A si ottiene -A A: (+) A: (-) eseguendo A+B si ottiene la somma algebrica fra A e B: A = A = A = B = = B = = B = = eseguendo A + 2 (B) si ottiene A - B 0 0 (-7) (+7) per sommare o sottrarre due numeri relativi espressi in complemento a 2 è sufficiente un sommatore! 4

5 Esercizi Utilizzando la rappresentazione in complemento a 2 con n=5 si eseguano le seguenti operazioni: (-2) + (+4) (-2) + (-) (-2) - (-2) (-2) + (+2) (-2) + (-4) (+0) - (+5) (+0) - (+) (+2) +(+5) (-4) + (-4) Qual è il valore dei seguenti numeri relativi espressi nella rappresentazione in complemento a 2:,, 0, 0, 0,

6 Ipotesi: usiamo n bit con n = 8 Note sulla Somma Se eseguiamo la somma di quantità senza segno (i numeri rappresentabili vanno da 0 e 255) possiamo utilizzare 8 full adder e l ultimo carry segnala con il valore l errore nel risultato che è troppo grande per essere rappresentato Se consideriamo la somma di numeri con segno e usiamo la notazione in complemento a 2, allora i numeri rappresentabili vanno da -28 a 27. In questo caso l errore di risultato non rappresentabile non è indicato dal valore del carry out dell ultimo full adder. Occorre invece realizzare una rete logica che legga almeno i segni degli operandi, il segno dell uscita ed il bit di carry out dell ultimo full adder. In alternativa si ottiene la stessa informazione dallo XOR del carry in e del carry out dell ultimo full adder. Questo XOR dà quindi l indicazione della situazione di overflow. Questa soluzione, non dipendente dal segno degli operandi è descritta in una successiva slide. ATTENZIONE: l ultimo bit di carry out verrà d ora in poi chiamato carry out il termine overflow verrà utilizzato solo per indicare lo stato di errore dovuto a risultato non visualizzabile 6

7 Esercizio: si progetti una funzione che rappresenti il bit di errore nelle operazioni aritmetiche di somma e sottrazione tra numeri relativi di n bit sgn_a sgn_b sgn_ s c_out err s = a + b (in complemento a 2) n = 8 (numeri fra -28 e 27) sgn_a, sgn_b, sgn_s = segno di a,b,s (= negativo) = a 7, b 7, s 7 c_out= carry out del l adder più significativo err=: risultato è un numero non rappresentabile (overflow) err=0: risultato corretto err= - situazione che non può verificarsi ( ingresso proibito ) a 7, a 6, a 0 + b 7, b 6, b 0 err, s 7, s 6, s 0 7

8 Sottrazione fra numeri naturali metodo alternativo non molto utilizzato in quanto, come abbiamo visto, per fare la sottrazione è sufficiente un sommatore Sottrazione fra due numeri da un bit 0-0 = 0 ; - 0 = ; - = 0 ; 0 - : quantità non rappresentabile. Sottrazione colonna per colonna fra due numeri da n bit D = A - B (A B) p n- p i p 0 a n- a i a a 0 - b n- b i b b 0 d n- d i d d 0 p a b P D L ordine delle righe è diverso da quello che è stato mostrato a lezione Solo sottrazione fra quantità positive e con risultati positivi 8

9 Per il laboratorio e per l esame Istruzioni per il laboratorio sommatore da 4 bit e relativi esercizi unità aritmetica programmabile e relativi esercizi 9

10 Istruzioni per il Laboratorio Per aprire un progetto esistente, si apra il progetto:.qpf, non lo schematico! Per creare un nuovo progetto:. File -> new project wizard 2. Creare una nuova cartella selezionando e decidere il nome progetto 3. Premere Finish lasciando il valore di default alle altre opzioni Per passare a modalità visualizzazione quartus_ii: Tools-> customize-> General e selezionare Quartus II in sezione look and feel Prima di creare I nuovi file accertarsi di aver selezionato l icona del progetto nel riquadro in alto a sinistra(presente solo in modalità look and feel= quartus II) e verificare che I nuovi file creati siano inclusi nel progetto, andando a verificare nella sezione file-> add/remove files to projects dello stesso riquadro in alto a sinistra 0

11 Terminato lo schematico si eseguano I seguenti comandi: ) Assignements-> Settings-> Simulator settings-> Simulation mode: selezionare inizialmente Functional e non Timing! 2) Processing->Start-> Analysis and elaboration (nei progetti che includono files creati da voi ATTENZIONE a dove vi chiede di salvare il.bdf) 3) Processing -> Generate functional simulation netlist 4) Creare il file.vwf (file -> new vector waveform file) 5) Mentre si editano le forme d onda: Edit-> mettere valori adeguati in grid size e end time (es: 20ns, us) 6) Editare il file in modo SENSATO (ATTENZIONE ANCHE ALLA SCELTA DEI PIN) 7) Processing -> start simulation Per eseguire la Timing simulation: ) Assignements-> Settings-> Simulator settings-> Simulation mode, imporre Timing 2) Processing-> Start Compilation and simulation 3) Per ripassare a Functional occorre rigenerare la netlist!!! Per usare un componente realizzato: ) File-> Create/Update -> Create Symbol Files For Current File (verrà creato un.bsf) 2) Nel nuovo progetto importare il.bdf ed utilizzare nello schematico il.bsf

12 a b XOR AND sum cout Progettazione di un adder da 4 bit (prima parte) cin_i a_i b_i cout_i a HA C S b OR a HA C S b S 2

13 Progettazione di un adder a 4 bit (seconda parte) a3 b3 a2 b2 a b a0 b0 a3 b3 a2 b2 a b a0 b0 4bit_Adder a b a b a b Cin Cin Cin a b Cin FA FA FA FA Cout Cout Cout Cout S S S S XOR ov ov s3 s2 s s3 s2 s s0 s0 3

14 Esercizio: verificare la correttezza dell espressione di ov Se il bit di overflow vale abbiamo sempre un errore di rappresentazione del risultato? E se il bit di overflow vale 0 il risultato è sempre corretto? Si considerino i 4 casi di operandi con lo stesso segno e con segno diverso Inizio della risposta: si disegni una mappa di Karnaugh di 4 variabili (I segni degli operandi e c_in e c_out del full adder più significativo, quindi si riempi la mappa. 8 celle si possono riempire immediatamente osservando che, se il segno degli operandi è discorde,il risultato è sempre rappresentabile e inoltre (lo si verifichi) c_in c_out quindi ci sono 4 condizioni di indifferenza Si completi poi la mappa. 4

15 Esercizi Assumendo t p come ritardo di propagazione di un gate, si determini quale è il ritardo massimo di un 4 bit Full-Adder realizzato connettendo in cascata 4 moduli FA. E possibile realizzare a due livelli un addizionatore a 4 bit? Quali sono i vantaggi e gli svantaggi di questa soluzione rispetto all addizionatore realizzato connettendo in cascata 4 moduli FA? 5

16 Domande Quanto impiega il carryout a propagarsi? Perchè è meglio connettere il Cout di un full adder con l ingesso Cin e non con a o b del full adder a monte? Nel sommatore a 4 bit visto in lab c è un componente che potrebbe essere rimosso? è un half adder? Se sì quale? Perchè? 6

17 Ricordando la tecnica di determinazione del complemento a 2 di un numero si descriva a parole il comportamento del seguente adder/subtractor programmabile e quindi se ne ricavino le CI forma d onda che verifichino quanto affermato C 0 CI 0 0 x y x + y x + y + 0 C 0 M U X CI a 0 a a 2 a 3 b 0 b b 2 b 3 4 BIT ADDER s 0 s s 2 s 3 CO u x - y - x -y

18 x y.. stesso esercizio, con due ingressi di programmazione in più (C e C2) 0000 C 0 M U X 0000 C 2 0 M U X C 0 0 M U X CI CI a 0 a a 2 a 3 b 0 b b 2 b 3 4 BIT ADDER s 0 s s 2 s 3 CO u CI C 2 C C x + y x + y x - y - x -y x x + x - x y y + -(y +) - y , - 0

19 Sintesi della rete di pre-elaborazione... a k = c 2 x k +c 2 0 = c 2 x k b k = c 0 (c. ) y k. + c 0 (c. y k ). ) = c 0 (c y k. C C 0 C 2 CI x 0 x CI a 0 a 4 BIT ADDER 4 BIT ADDER x 2 x 3 a 2 a 3 s 0 s s 0 s u y 0 b 0 s 2 s 2 y b s 3 s 3 y 2 b 2 y 3 b 3 CO