Componenti per l aritmetica binaria. Motivazioni. Sommario. Sommario. M. Favalli

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1 Sommrio Componenti per l ritmetic inri M. Fvlli Engineering Deprtment in Ferrr Introduzione 2 3 Appliczioni di n-it dder 4 Sommtore CLA Sommrio (ENDIF) Reti logiche / 27 Introduzione Motivzioni (ENDIF) Reti logiche 2 / 27 Introduzione Introduzione 2 3 Appliczioni di n-it dder 4 Sommtore CLA I itemi di clcolo neceitno di componenti che relizzino operzioni di tipo ritmetico (omme, prodotti...) u numeri interi e in floting point Dl punto di vit teorico, le conocenze che imo ci conentono di relizzre qulii funzione e quindi nche quelle volte d moltiplictori e ommtori Nel co di interee, queto pproccio non d peró riultti oddifcenti Ad eempio l intei ottim di reti due livelli d luogo funzioni ecceivmente cotoe e non modulri (ENDIF) Reti logiche 3 / 27 (ENDIF) Reti logiche 4 / 27

2 Sommrio Eempio di funzione ritmetic: 3-it dder Introduzione 2 3 Appliczioni di n-it dder 4 Sommtore CLA Si vuole relizzre un ommtore 2 operndi per numeri interi poitivi rppreentti u 3 it. Sino A = { 2,, } e B = { 2,, } tli prole Il riultto é rppreentile u 4 it: S = { 3, 2,, } Si uppong di intetizzre le funzioni i come epreioni SP ucit ingol 3-it dder (ENDIF) Reti logiche 5 / 27 3-it dder (ENDIF) Reti logiche 6 / 27 Le funzioni hnno un coto che prtire dl it di minor peo ( ) ument molto rpidmente 22= 22= 32 22= 22= = + = (ENDIF) Reti logiche 7 / 27 (ENDIF) Reti logiche 8 / 27

3 3-it dder Prolemi nell relizzzione di ommtori inri Le funzioni hnno un coto che prtire dl it di minor peo ( ) ument molto rpidmente 22= 22= 3= Con l umentre dell dimenione delle prole (n), il coto di ommtori inri relizzti come reti 2 livelli ument molto rpidmente L utilizzo dei metodi di intei multilivello d luogo migliormenti reltivi Le oluzioni che i ottengono non riultno modulri Come lterntiv i vedrá un metodo che é to ull relizzzione hrdwre dell lgoritmo di omm per colonne 22= 22= 32 (ENDIF) Reti logiche 9 / 27 Ripple-crry dder (ENDIF) Reti logiche / 27 Ripple-crry dder Algoritmo di omm per colonne di due prole di n it to ull propgzione del riporto (crry) c4 c 3 c 2 c = ( + ) mod2, c = ( + )/2 i = ( i + i + c i ) mod2, c i+ = ( i + i + c i )/2 co = c n = co 3 2 ove + é l omm ritmetic e / é l diviione inter L decrizione funzionle i trduce in queto chem: 3 3 c c 2 FA FA FA c co 3 2 Dove i locchi che geticono i i di indice i > ono detti full-dder (FA) e quello che getice il co i = é detto hlf-dder () (ENDIF) Reti logiche / 27 (ENDIF) Reti logiche 2 / 27

4 Hlf-dder Full-dder É un componente mpimente utilizzto nell ritmetic inri. Ingrei = e =, ucite = e = c = = + Il ommtore completo é nch eo un componente fondmentle per l ritmetic inri. Ingrei =, =, e c in = c i, ucite = e = c c in = + c in + c in = c in + c in + c in + c in (ENDIF) Reti logiche 3 / 27 Relizzzione di un (ENDIF) Reti logiche 4 / 27 Relizzzione di un FA = = + = = + c in + c in = + c in ( + ) + c in ( + ) = + c in + c in + c in + c in = + c in + c in + c in ( + ) = + c in ( ) Il gte EXOR che relizz l omm modulo 2 é un componente che puó eere relizzto in tecnologi CMOS l livello witch (in mnier píu comple di NAND e NOR) = c in + c in + c in + c in = c in ( + ) + c in( + ) = c in ( + ) + c in( + ) = c in ( + ) = c in ( ) (ENDIF) Reti logiche 5 / 27 (ENDIF) Reti logiche 6 / 27

5 Relizzzione di un FA Struttur di un n-it dder (n=4) cin L relizzzione delle equzioni vite in precedenz conente di riconocere l preenz di due c c in Struttur l livello gte di un n-it dder. Si noti che l hlf-dder che omm e é tto otituito d un full-dder in modo d poter utilizzre un crry-in di ingreo. 2 2 c2 2 c cout (ENDIF) Reti logiche 7 / 27 Vntggi e vntggi Sommrio (ENDIF) Reti logiche 8 / 27 Appliczioni di n-it dder cin c Introduzione Vntggi: modulritá e ridotto coto c2 2 Svntggi: ritrdo Appliczioni di n-it dder c3 4 Sommtore CLA cout (ENDIF) Reti logiche 9 / 27 (ENDIF) Reti logiche 2 / 27

6 Appliczioni di n-it dder n-it dder: ppliczioni Sommrio Sommtore CLA Introduzione Sommtore kn-it Sommtori piú operndi Vlutzione di emplici epreioni ritmetiche Conttore di uni 2 3 Appliczioni di n-it dder 4 Sommtore CLA (ENDIF) Reti logiche 2 / 27 Sommtore CLA Sommtore crry-look hed (ENDIF) Reti logiche 22 / 27 Sommtore CLA Sommtore crry-look hed Per uperre i prolemi dovuti lle pretzioni del ommtore ripple-crry ono tti propoti diveri ommtori Uno dei primi d eere tto propoto é il ommtore crry look hed (CLA) Il ommtore CLA utilizz un rete 3 livelli che i occup di clcolre i crry di un n-it dder enz iogno di propgre il riporto In ucit ll i-mo FA i h riporto (c i+ = ) e i e i hnno vlori tli d produrre un riporto in ucit indipendentemente d c i o e il loro vlore é tle d grntire l propgzione di c i = Generzione del riporto per il it di peo i (crry generte): g i = i i Propgzione del riporto per il it di peo i (crry propgte): p i = i i c i+ = g i + p i c i L ppliczione iterttiv di quet formul port ll logic di generzione dei riporti di un CLA I it dell omm ono clcolti come: i = i i c i (ENDIF) Reti logiche 23 / 27 (ENDIF) Reti logiche 24 / 27

7 Sommtore CLA Sommtore crry look hed (n=4) Sommtore CLA Sommtore crry look hed (n=4) c = g + p c in c 2 = g + p c c 3 = g 2 + p 2 c 2 = g 3 + p 3 c 3 Sotituendo iterttivmente c = g + p c in c 2 = g + p (g + p c in ) c 3 = g 2 + p 2 (g + p (g + p c in )) = g 3 + p 3 (g 2 + p 2 (g + p (g + p c in ))) Applicndo l proprietá ditriutiv c = g + p c in c 2 = g + p g + p p c in c 3 = g 2 + p 2 g + p 2 p g + p 2 p p c in = g 3 + p 3 g 2 + p 3 p 2 g + p 3 p 2 p g + p 3 p 2 p p c in Come i oerv cicun it di crry viene epreo come un epreione SP due livelli in funzione di dei it di crry generte e propgte e del crry-in eterno (ENDIF) Reti logiche 25 / 27 Sommtore CLA Struttur di un ommtore CLA per n=4 (ENDIF) Reti logiche 26 / 27 cin p p g p rete SP c c 2 p 2 2 g p 2 c 3 p g 2 cout p 3 3 p 3 3 g 3 (ENDIF) Reti logiche 27 / 27

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