Algebra di Boole. Le operazioni, nell algebra booleana sono basate su questi tre operatori: AND ( ), OR ( + ),NOT ( )

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1 Algebra di Boole L algebra di Boole prende il nome da George Boole, matematico inglese ( ), che pubblicò un libro nel 1854, nel quale vennero formulati i principi dell'algebra oggi conosciuta sotto il nome del suo inventore: algebra booleana. E un modello di algebra nel quale esistono solo due numeri: 1 e 0 e le operazioni NOT, AND e OR in ordine di priorità: il NOT ha precedenza sull AND che a sua volta ha precedenza la precedenza sull OR. A volte, al posto di 1 e 0 vengono utilizzati T, True = vero in inglese e F, False = falso in inglese. L'algebra di Boole è fondata su un insieme di teoremi e regole che governano le operazioni logiche e che ne consentono una rappresentazione matematica. Sull'algebra di Boole si basa l'elettronica digitale e il suo sviluppo. Gli operatori logici dell algebra booleana FIGURA 15 - Operatori logici. Le operazioni, nell algebra booleana sono basate su questi tre operatori: AND ( ), OR ( + ),NOT ( ) I tre operatori possono essere definiti mediante le tre tavole della verità delle porte AND, OR e NOT relative al capitolo delle porte logiche. Una variabile logica è una grandezza che può assumere solo due valori: 1 e 0. Il prodotto logico svolge il prodotto tra variabili logiche e viene chiamato AND. Il simbolo di prodotto può anche essere sottinteso ( omesso ). La somma logica svolge la somma tra variabili logiche e viene chiamato OR. La somma logica non ha le stesse regole della somma binaria. La negazione di una variabile viene indicata con un trattino continuo sul simbolo della variabile. 29

2 La Somma logica e il Prodotto logico Le regole che governano le operazioni di somma e prodotto sono mostrate di seguito. FIGURA 16 - Regole per l operatore somma e per l operatore prodotto. La Negazione L'operatore NOT è un operatore unario in quanto prende un unico operando, a differenza degli operatori AND e OR che usano sempre due operandi. FIGURA 17 - Regole per l operatore somma e per l operatore prodotto. 30

3 Teoremi dell'algebra di BOOLE La seguente tabella mostra alcune regole fondamentali su cui si basa l'algebra booleana: FIGURA 18 - Regole principali dell algebra di Boole. Le regole 10), 11), 12) devono essere dimostrate. I metodi utilizzati sono essenzialmente due: a) assegnare alle variabili i valori 0 e 1 e verificare che i due membri sono uguali; b) usare alcuni artifici algebrici e sfruttare le regole da 1) a 9). Si tenga sempre presente che le regole algebriche, quali il raccoglimento di termini a fattor comune, la proprietà distributiva dell operatore AND rispetto all operatore OR, la proprietà associativa, la proprietà commutativa sono sempre valide. La dimostrazione con il metodo del punto 1) viene lasciato come esercizio allo studente. La verifica delle tre regole viene effettuata con il metodo b). 31

4 FIGURA 19 - Dimostrazione delle regole 10) e 11). FIGURA 20 - Dimostrazione della regola 12). 32

5 Le proprietà a) Commutativa Rispetto alla somma A+B = B+A Rispetto al prodoto A B = B A b) Associativa (A+B)+C = A+(B+C) (A B) C = A (B C) c) distributiva (A B) + (A C) = A (B + C) (A + B) (A + C) = A + (B C) I Teoremi di DE MORGAN Augustus De Morgan matematicoe logico inglese, amico di Boole, enunciò due teoremi di fondamentale importanza per l'algebra booleana: 1) Il complemento di un prodotto è uguale alla somma dei complementi 2) Il complemento di una somma è uguale al prodotto dei complementi Per verificare i teoremi di De Morgan è sufficiente costruire le tavole della verità di entrambi i membri di ciascuna delle due espressioni che li esprimono. 33

6 L algebra di Boole offre il vantaggio di semplificare le funzioni logiche e di conseguenza anche la complessità delle reti logiche che le implementano, cioè che le realizzano fisicamente. Ad esempio, semplificare le seguenti funzioni logicche, applicando i teoremi dell algebra di Boole e i teoremi di De Morgan: 34

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