Sommario. Teoremi Maxterm Forme Canoniche Mappe di Karnaugh Fine lezione

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1 Algebra di Boole e Funzioni Binarie Lezione Prima

2 Sommario Variabili Binarie Negazione Somma Logica Prodotto Logico Relazioni- proprietà Funzioni Minterm Teoremi Maxterm Forme Canoniche Mappe di Karnaugh Fine lezione Prof. Abramo Carmelo 2

3 Variabili Binarie Variabile binaria: grandezza matematica che può assumere due soli valori: 0 o 1. Sulle variabili binarie definiamo tre operatori: negazione, somma e prodotto. La negazione di una variabile binaria x si indica con x ( non x o x negato ) Prof. Abramo Carmelo 3

4 Negazione Possiamo rappresentare il valore di x tramite tabella di verità: x x Prof. Abramo Carmelo 4

5 Somma logica La somma di n variabili binarie x1, x2, x3, --- xn vale 0 solo se tutte le xi (1 i n) valgono contemporaneamente 0, vale 1 in ogni altro caso. x 1 x 2 x 1 + x esempio di somma logica di due variabili x1 e x2 mediante tabella di verità Prof. Abramo Carmelo 5

6 Prodotto logico Il prodotto di n variabili binarie x1, x2, x3, --- xn vale 1 solo se tutte le xi (1 i n) sono contemporaneamente 1, vale 0 in ogni altro caso x 1 x 2 x 1. x esempio di prodotto logico di due variabili x1 e x2 mediante tabella di verità Prof. Abramo Carmelo 6

7 Relazioni e proprietà Le relazioni e proprietà degli operatori somma e prodotto logico sono riportate nella tabella Somma Prodotto x + 1 = 1 x 0 = 0 x + 0 = x x 1 = x x 1 + x 2 = x 2 + x 1 x 1 x 2 = x 2 x 1 x 1 + x 2 + x3 = (x 1 + x 2 ) + x3 x 1 x 2 + x 1 x 3 = x 1 (x 2 + x3) x 1 x 2 x3= (x 1 x 2 ) x3 (x 1 + x 2 ) (x 1 + x3) = x 1 + x2 x3 Prof. Abramo Carmelo 7

8 Relazioni e proprietà Per la negazione valgono le seguenti relazioni e proprietà: Negazione 0 = 0 1 = 1 x = x x + x = 1 x x = 0 x x due volte negato Prof. Abramo Carmelo 8

9 Funzioni Con n variabili binarie (x1, x2, xn) si possono formare 2 n configurazioni diverse. Se prendiamo, ad esempio, 2 variabili: x1, x2 dato che ognuna di loro può valere 0 od 1, si possono creano le seguenti quattro (2 2 ) configurazioni diverse: 00, 01, 10, 11. Così con 3 variabili binarie si potranno formare al massimo 2 3 =8 configurazioni diverse che sono: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Prof. Abramo Carmelo 9

10 Funzioni Diremo che una variabile y è funzione di n variabili indipendenti x1, x2, xn e si scrive: y = F (x1, x2, xn) quando esiste un criterio che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2 n configurazioni di x un determinato valore y (ovviamente 0 o 1). Prof. Abramo Carmelo 10

11 Funzioni Tutte le diverse funzioni di n variabili (x1,x2, xn) che si possono costruire sono pari a (2 2 ) n Ad esempio tutte le diverse funzioni che si possono formare con 3 variabili sono pari a (2 2 ) 3 = 2 8 = 256 Prof. Abramo Carmelo 11

12 Funzioni Una funzione può essere rappresentata sotto forma di tabella di verità, scrivendo accanto ad ognuna delle 2n diverse configurazioni di x1, x2, xn il valore assunto dalla y. Ad esempio la seguente tabella rappresenta la tabella di verità di una delle 256 funzioni possibili di tre variabili binarie Cliccare sull immagine Prof. Abramo Carmelo 12

13 Minterm Se consideriamo 3 variabili, la scrittura x 1 x 2 x 3 = 011 indica tra le 2 3 =8 configurazioni possibili, quella in cui x 1 vale 0, x 2 vale 1 e x 3 vale 1. Questa configurazione si scrive semplicemente con il prodotto x 1 x 2 x 3 Se in una configurazione una variabile compare con 1 si assume il valore diretto se invece compare con uno 0 si assume il valore negato. Consideriamo la funzione di 3 variabili rappresentata sotto forma di tabella di verità in fig.1 e le 3 configurazioni in cui la stessa vale 1 Avremo che la funzione vale 1 per le seguenti configurazioni: x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 Ciascuno di questi prodotti si chiama minterm Prof. Abramo Carmelo 13

14 Minterm La funzione conoscendo la sua tabella di verità, potrà essere espressa sotto forma di somme di prodotti dei termini minimi. Nel caso della funzione in esempio scriveremo y = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 Se una funzione è direttamente espressa sotto forma di somme di minterm sarà possibile costruire la sua tabella di verità, mettendo 1 nelle configurazioni relative ai minterm, e 0 negli altri casi. Prof. Abramo Carmelo 14

15 Minterm Ad esempio data la funzione di 3 variabili F(x,y,z) = xy z + xyz + x yz la sua tabella di verità sarà: x y z F(x,y,z) x yz xy z xyz Prof. Abramo Carmelo 15

16 Teoremi TEOREMI Diretto Duale Idempotenza x + x + x x = x x x x --- x = x x + xy = x x (x +y) = x Assorbimento x + x y = x + y x (x + y) = x y xy +yz + x z = xy + x z (x +y) (y+z) (x +z) = (x+y) (x +z) De Morgan (x+y) = x y (x y) = x + y Prof. Abramo Carmelo 16

17 Maxtem Il teorema di De Morgan applicato alla funzione della fig.1 ci consente di scrivere la funzione in questo modo: y = (x1+x2+x3) (x1+x2+x 3) (x1+x 2+x 3).(x 1+x 2+x3) (x 1+x 2+x 3) ossia sotto forma di prodotto di somme. Ciascuna delle somme chiama maxterm (termine massimo). Prof. Abramo Carmelo 17

18 Maxtem L espressione della y come prodotto di maxterm si può ottenere dalla tabella di verità della funzione; ci sono tanti maxterm quanto sono i valori 0 della funzione; ogni maxterm è la somma di tutte le variabili dirette o negate a seconda che la configurazione contenga 1 o 0. Prof. Abramo Carmelo 18

19 Forma Canonica Entrambe le espressioni della funzione sotto forma di: somme di prodotti (minterm) prodotti di somme (maxterm) si chiamano forme canoniche di una funzione binaria. Prof. Abramo Carmelo 19

20 Mappe di KARNAUGH Le mappe di Karnaugh sono delle tabelle che permettono in modo immediato la rappresentazione e la semplificazione di funzioni booleane fino 6 variabili. Mappa di K. per funzione ad 1 variabile x 0 1 x x Mappa di K. per funzione a 2 variabili x,y con all interno rappresentati i relativi minterm x y x y xy 1 x y xy Prof. Abramo Carmelo 20

21 Mappe di KARNAUGH La mappa di K. per una funzione a 3 variabili x,y,z è un rettangolo diviso in 8 celle come nell esempio. Al solito dentro le celle sono stati scritti i relativi minterm. xy z x y z x yz xyz xy z 1 x y z x yz xyz xy z Le coordinate della tabella vanno sistemate in modo che nel passaggio da una cella all altra ci sia un sola variazione. Infatti le coordinate per la xy saranno Prof. Abramo Carmelo 21

22 Mappe di KARNAUGH Una mappa di K. per 4 variabili x,y,v,z è un rettangolo diviso in 16 celle. All interno indichiamo al solito i relativi minterm. xy vz x y v z x yv z xyv z xy v z 01 x y v z x yv z xyv z xy v z 11 x y vz x yvz xyvz xy vz 10 x y vz x yvz xyvz xy vz Si omette di parlare delle mappe di K. a 5 e 6 variabili Prof. Abramo Carmelo 22

23 Mappe di KARNAUGH Le Mappe di K. costituiscono un altro metodo per rappresentare una funzione booleana; basta scrivere 1 in quelle caselle che hanno le coordinate della tabella di verità in cui la funzione vale 1. x y z F(x,y, z) z xy Rappresentazione con Mappa di K. della funzione a lato Prof. Abramo Carmelo 23

24 Prossima Lezione: Semplificazioni di funzioni binarie Arrivederci!