Sommario. Addizione naturale

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1 Sommario Introduzione Rappresentazione dei numeri interi positivi Rappresentazione dei numeri interi Operazioni aritmetiche Modulo e segno Addizione e sottrazione urale Addizione e sottrazione in complemento a 2 Moltiplicazioni 59 Addizione urale La somma di numeri positivi si esegue sommando coppie di bit parallele, partendo da destra. Si ha riporto quando si deve eseguire la somma 1+1. Le tabelle seguenti mostrano le regole per la somma che sono identiche a quelle dell usuale addizione Riporto in uscita Utilizzando queste regole in modo diretto è possibile realizzare sommatori modulari composti da blocchi di circuiti elementari identici. 60

2 Regole per l addizione urale A B Somma Riporto A B C Somma Riporto Semiaddizione con 2 operandi: A+B Addizione completa con 3 operandi: A+B+C (utile da utilizzare anche quando nella somma di 2 addendi va calcolato il riporto) 61 Addizione urale: esempi Pesi Riporto Addendo Addendo Somma Pesi Riporto 1 1 Addendo Addendo Addendo Somma

3 Overflow (traboccamento) Si ha overflow quando il valore della somma non è più rappresentabile mediante il numero di bit a disposizione E semplice rilevare l overflow: quando il riporto eccede il bit più significativo dell insieme di bit utilizzati per rappresentare la somma. Pesi Riporto Addendo Addendo Somma overflow 63 Sottrazione urale A B Differenza Prestito Semisottrazione con 2 operandi: A-B A B C Differenza Prestito Sottrazione completa con 3 operandi: A-B-C (utile da utilizzare anche quando nella somma di 2 addendi va calcolato il prestito) 64

4 Sottrazione urale: esempi Pesi Prestito Minuendo Sottraendo Differenza Pesi Prestito Minuendo Sottraendo Sottraendo Differenza Overflow negativo Si ha overflow negativo quando il valore della differenza non è più rappresentabile mediante il numero n di bit usati per rappresentare il minuendo e il sottraendo Rilevare l overflow negativo: quando il prestito eccede il bit più significativo dell insieme di bit utilizzati per rappresentare la differenza. Pesi Prestito Minuendo Sottraendo Differenza overflow negativo Il range dei valori rappresentabili è dato dall intervallo [0, 255] 66

5 Addizione numeri in Modulo e Segno La rappresentazione in Modulo e Segno è semplice ed intuitiva, ma richiede circuiti complessi per l esecuzione di somme algebriche. Infatti, prima di eseguire un operazione algebrica tra due operandi A e B è necessario determinare quale dei due è maggiore in valore assoluto. P.es., nelle sottrazioni: Se A è maggiore di B si esegue la differenza A-B e si assegna al risultato il segno di A. Se A è minore di B si esegue la differenza B-A e si assegna al risultato il segno di B 67 Esempi (23+16) 10 Stesso segno, si esegue la somma escludendo il bit più significativo. Entrambi gli operandi hanno lo stesso segno (bit 7 0), quindi il segno viene mantenuto (bit 7 0) Risultato : (22-17) 10 Il primo operando ha modulo maggiore del secondo ( 22 > 17 ), quindi si esegue la differenza tra 22 e 17. In questo caso, il segno del risultato (5) è positivo e il bit 7 deve essere posto a Risultato :

6 Esempi (cont.) (8-16) 10 Il secondo operando ha modulo maggiore ( 16 > 8 ) del primo. Si esegue la differenza tra 16 e 8. Il segno è quello dell operando di valore assoluto maggiore. In questo caso il segno di 16 è negativo e il bit 7 deve essere posto a Risultato ( ) 10 Entrambi gli operandi di segno negativo, quindi si sommano i valori assoluti Overflow. Sono necessari 8 bit per rappresentare 151! Usando la rappresentazione in Modulo e Segno sono disponibili per il modulo solo 7 bit --> (Overflow). 69 Addizione in complemento a 2 Algoritmo identico a quello dell addizione urale Va solo ricordato che i bit di segno degli addendi hanno peso negativo, e dunque va interpretato correttamente l eventuale riporto eccedente il bit più significativo (segno) della somma 70

7 Addizione in complemento a 2: esempi Pesi Riporto Addendo Addendo Somma Infatti, il valore -8 è rappresentabile su 8 bit Pesi Riporto Addendo Addendo Somma (1) Il risultato è corretto a patto Infatti, il valore -2 è rappresentabile su 8 bit di ignorare il riporto! 71 Overflow Nel caso di complemento a 2 si può verificare overflow solo se i segni degli operandi sono uguali Se i due operandi hanno lo stesso segno e il risultato ha segno diverso c è un problema di rappresentazione (overflow pos. o neg.) Risultati corretti MSB degli operandi concordi MSB degli operandi discordi MSB del risultato concorde Risultati scorretti MSB degli operandi concordi MSB risultato non concorde --> OVERFLOW Infatti 140 è fuori dal range [-128,+127] 72

8 Overflow: esempi Esempi Con n3 bit possono essere rappresentati i numeri tra [-4, +3] in complemento a (overflow) (overflow) Uniformare addizione e sottrazione La rappresentazione in complemento a 2 (e anche quella in complemento a 1) permette di utilizzare sempre l operazione di addizione anche per effettuare sottrazioni 74

9 Uniformare addizione e sottrazione I numeri negativi, in complemento a due, iniziano con un 1 ed il loro valore, su n bit, e : c omplemento a 2 n n v (2 1) v v In questo modo la somma in complemento a 2 è esprimibile come: ( a b )mod 2 n (a (a c + (2 + b n b )mod2 ))mod 2 Il risultato c e espresso in complemento a 2. n n v 75 Esempio Si calcoli la somma 13-6, utilizzando la rappresentazione in complemento a 2 su 4 bit. In base 10 si ha: (13 6 )mod 2 4 (13 ( ( mod )mod 2 7 ))mod In rappresentazione binaria con troncamento a 4 bit si ha: troncament o

10 Operazioni in complemento a 2 Per sommare due numeri generici si hanno dunque le tre regole seguenti: Per calcolare x+y, bisogna fornire in ingresso ad un sommatore le loro rappresentazioni binarie, ignorando il bit di riporto in uscita. Il risultato sarà il valore corretto della somma, rappresentato in complemento a due. Per calcolare x-y, bisogna ricavare la rappresentazione di y in complemento a due, quindi sommare i valori così ottenuti come nella regola precedente. Il risultato sarà il valore corretto della somma, rappresentato in complemento a 2. I risultati sono corretti se e solo se, disponendo di n bit, il risultato è compreso nell intervallo: 2 n 1 x ± y + 2 n 1 1 In caso contrario si dice che si verifica overflow aritmetico. 77 Moltiplicazione La moltiplicazione di numeri senza segno si esegue con lo stesso metodo usato per la moltiplicazione di numeri decimali. Quindi, la moltiplicazione si effettua sommando diversi termini, opportunamente allineati. Ogni termine è il prodotto tra il moltiplicando M ed un bit q i del moltiplicatore Q. I prodotti parziali sono calcolabili in modo immediato, in quanto o sono nulli o sono uguali al moltiplicando 78

11 Moltiplicazione (cont.) Il prodotto di due numeri binari di n e k bit e un numero binario di n+k bit. Esempio Moltiplicando M 13 Moltiplicatore Q 11 Prodotto P Moltiplicazione con segno Per effettuare la moltiplicazione con segno si utilizza un metodo basato su quello usato per i numeri positivi. Si consideri il caso di un moltiplicando M negativo ed un moltiplicatore Q positivo. I prodotti parziali sono costruiti sommando numeri con segno. Per effettuare tale somma è necessario estendere il segno fino alle dimensioni del risultato finale, cioè: PP i M q i (m Km 0 n ) q i k (m 0 Km0m0m1 Kmn ) qi 1 (0 0 K0n+ k ) qi 0 80

12 Moltiplicazione con segno Nel caso in cui sia il moltiplicatore Q ad essere negativo: Si calcola il complemento a due di M e di Q Si utilizza il metodo descritto Si procede allo stesso modo anche nel caso in cui sia il moltiplicatore, sia il moltiplicando siano negativi. La tabella seguente riassume i quattro casi possibili: Moltiplicatore Moltiplicando Prodotto Metodo Q > 0 Q > 0 Q < 0 Q < 0 M > 0 M < 0 M > 0 M < 0 P Q M P Q M P Q P Q M M Senza estensione Con estensione Con estensione Senza estensione 81 Esempio Si calcoli il prodotto -13 x 11 Essendo il moltiplicando negativo, si usa la regola dell estensione del segno Moltiplicando M -13 Moltiplicatore Q +11 Prodotto P

13 F I N E 83

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