Somme e sottrazioni in Immagini e Suoni

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1 Somme e sottrazioni in Immagini e Suoni Slide 1 ANDREA MENNUCCI Scuola Normale Superiore, Pisa Spazio vettoriale Slide Uno spazio vettoriale V è un insieme di vettori; due vettori v, w V possono essere sommati o sottratti; oppure, preso un numero reale s lr, sipuò eseguire il prodotto s v (che ha la stessa direzione di v ma è riscalato di un fattore s ; ses>0 allora s v ha lo stesso verso di v altrimenti ha verso opposto). Preso n intero positivo, l esempio principe di spazio vettoriale con n dimensioni è lr n, l insieme di tutte le n-ple di reali; due vettori di lr n possono essere, ad esempio, X =(x 1,...,x n ), Y =(y 1,...,y n ) La somma e il prodotto si eseguono componente per componente: X + Y =(x 1 + y 1,...,x n + y n ), s Y =(s y 1,...,s y n ) Y X lr è associato al piano, mentre lr 3 è associato allo spazio fisico, usando coordinate cartesiane. 1

2 Cosa è un immagine Slide 3 Prendiamo una immagine: CANALETTO, CAMPO DI RIALTO Slide 4 Ingrandiamo molto un dettaglio: notiamo dei quadratini, che sono detti pixel. Ogni pixel P è identificato da un ascissa i e un ordinata j nel piano dello schermo, e dovrebbe essere più correttamente indicato come P i,j.

3 Ogni pixel ha un colore, che è dato da una combinazione addittiva di rosso, verde e blu: questo modello del colore è indicato dalla sigla RGB (dall inglese Red Green Blue). La intensità di ognuno di questi 3 colori è indicata da un numero, che assume convenzionalmente un valore compreso fra 0 e 55. Il valore di un pixel è così rapresentato da un numero a 3 coordinate, come ad es. P =(R, G, B) = (1, 100, 76) Slide 5 Tutti i colori che si possono visualizzare sono dunque contenuti in un cubo di lato 56. Il vertice (0, 0, 0) rappresenta il nero, il (55, 55, 55) il bianco. Se consideriamo una immagine alta 400 pixel e larga 500 pixel, essa sarà specificata da = numeri compresi fra 0 e 55. Possiamo pensare che ogni possibile immagine sia un punto X =(R 1,1,G 1,1,B 1,1,R 1,,...,B 1,500,R,1,...,B 400,500) in uno spazio vettoriale lr con 600mila dimensioni. Combinazione convessa Slide 6 Consideriamo due punti X e Y in uno spazio di vettori. La differenza V = Y X è il vettore (tratteggiato nella figura) che parte dal punto X e arriva ad Y ; dunque Y = X + V. Sia ora s [0, 1] un numero reale compreso fra 0 e 1. Se moltiplichiamo s V otteniamo un vettore più corto di V, ma sempre orientato nella stessa direzione e verso; il punto Z che si ottiene come X V Z Y Z = X + s V = X + s (Y X) =X + s Y s X =(1 s) X + s Y è detto combinazione convessa dei due punti X e Y. Abbiamo visto nella formula come Z si può direttamente esprimere usando s, X, Y. Ad esempio se scegliamo s =1/, allora Z = X+Y è il loro punto medio. La famiglia di tutti i punti Z che si ottengono al variare di s [0, 1] copre tutto il segmento fra X e Y. 3

4 Combinazione convessa di immagini Abbiamo detto che una immagine può essere vista come un vettore con 600mila coordinate; se effettuiamo la combinazione convessa di due immagini, otteniamo una dissolvenza (in inglese blend). Slide 7 X=,Y=,Z= $ blend.py Cosa è un suono Slide 8 L aria che ci circonda è un fluido comprimibile, approssimativamente sottoposto alla pressione di 1 atmosfera 101kPa; una perturbazione di questa pressione si propaga nello spazio (con legge matematica simile a quella che regola la propagazione delle onde del mare, e delle onde elettromagnetiche). Il nostro orecchio percepisce queste variazioni di pressione e le trasforma in impulsi nervosi. Un microfono le trasforma in variazioni di un segnale elettrico; una cassa acustica trasforma viceversa il segnale elettrico in suono Possiamo così interporre un computer fra il microfono e la cassa acustica, ed elaborare il segnale a nostro piacimento. 4

5 La variazione di pressione rispetto alla pressione media diventa dunque una funzione f(t) del tempo; questa viene registrata come un segnale elettrico, che rappresentiamo nel grafico a sinistra. (In ordinata abbiamo il segnale, in ascissa il tempo) f(t) f(t) Slide Il segnale originale è tempo-continuo: associa ad ogni possibile tempo t un valore f(t); per registrare questo segnale in un computer (o in un CD), ci servirebbero infiniti numeri reali, e questo non è possibile. Ricorriamo al campionamento: registriamo un certo numero n di valori di corrente in ogni secondo. Il risultato si vede nel grafico a destra. Vediamo anche in questo semplice esempio che il campionamento comporta una perdità di qualità del segnale. Slide 10 Nel caso dei CD Audio, si registrano valori per ogni secondo, per ognuno dei due canali audio stereo. Per un teorema dovuto a Nyquist, un segnale campionato a Hz non può rappresentare frequenze superiori a.050hz ; queste frequenze vengono cancellate dai segnali; queste frequenze sono però ai limiti di quelle che l orecchio può sentire. 5

6 Somma e differenza Slide 11 Presi due numeri reali L e R, calcoliamo la loro media M e la loro semidifferenza S M = L + R, S = R L Conoscendo M e S, possiamo facilmente ricavare L e R come L = M S, R = M + S Applichiamo questa semplice trasformazione al canale sinistro L e destro R di un audio: in questo caso prende il nome di metodo MID-SIDE (dall inglese); questo metodo ha due importanti applicazioni. Prima applicazione del MID-SIDE: stereo surround Introduciamo un parametro s 0 reale in modo da definire due nuovi canali L = M s S, R = M + s S Ascoltiamo il suono di L, R. [$ audio.py -1] Slide 1 s =0si avrà L = R = M; verrà riprodotto la versione mono dell audio s (0, 1) si avrà un effetto mono s =1si ha il segnale stereo originale L = L, R = R s>1 si avrà un effetto stereo surround s=1,5 ~ L L M S R ~ R s=0.5 L ~ L M ~ R R PROBLEMA: COSA SUCCEDE PER s<0? [vedremo la seconda applicazione nella slide 1] 6

7 MID-SIDE come cambio di coordinate Consideriamo un istante di tempo t, e i valori dei segnali destro e sinistro R t,l t all istante t: questi valori giacciono in un quadrato nel piano; in questo piano, i corrispondenti valori M t,s t corrispondono a un sistema di coordinate ortogonali che sono ruotate rispetto alle originali. Slide 13 R S M M = L+R, S = R L L = M S, R = M + S L Abbiamo detto che i tre colori R, G, B di un pixel P giacciono in un cubo; anche in questo caso può essere utile effettuare un cambio di coordinate. cambio di coordinate di colori Slide 14 Siano R, G, B tre valori reali; definiamo Y,C r,c b come Y = R+G+B 3 C r = R G+B C b = B G Questo si inverte con R = Y + 3 C r verde Cb G B azzurro blu grigio giallo bianco Y magenta G = Y 1 3 C r 1 C b B = Y 1 3 C r + 1 C b nero Cr R rosso I tre nuovi assi Y,C r,c b sono ortogonali (ma non ortonormali). Questa è una versione semplificata della definizione ufficiale; si veda in 7

8 Per chi conosce le matrici, la trasformazione si scrive anche come Slide Y R C r = M G con M = B C b R Y G = M 1 C r con M 1 = B C b Per capire l utilità di questa trasformazione, introduciamo 3 parametri reali y,c r,c b. Prendiamo una immagine X. Possiamo costruire una nuova immagine X in questo modo: prima trasformiamo il colore di ogni pixel di X come visto sopra Y R C r C A = M GC A B poi moltiplichiamo C b Slide 16 indi ricreiamo i colori Ỹ = y Y, Cr = c r C r, Cb = c b C b R Ỹ G C A = M 1 C r C A B C b e li inseriamo nel pixel dell immagine X. [$ rgb.py -1]... Confrontiamo questa trasformazione con una più semplice, in cui, scelti tre parametri reali r, g, b, si pone R = r R, G = g G, B = b B 8

9 Slide 17 La trasformazione Y,C r,c b viene usata nei televisori a colori PAL. Un televisore in bianco e nero visualizza solo il segnale Y, cioè, solo la versione in bianco e nero del video. Quando fu deciso di passare dalla televisione in bianco e nero alla televisione a colori, furono aggiunti i segnali C r,c b. Il bottone colore del telecomando permette di aumentare i valori c r = c b (contemporaneamente). Il bottone contrasto del telecomando permette di cambiare il valore y. Slide 18 La precedente trasformazione contrae le immagini verso il nero (che è un vertice del cubo); per questo, non è facile vedere cosa essa faccia; notiamo infatti che gli assi C r,c b, se posizionati al vertice nero del cubo, escono dal cubo; per questo motivo, quando y =0, le immagini sono molto scure. Per evitare questo problema, proponiamo anche una trasformazione alternativa, in cui spostiamo gli assi dei colori al centro del cubo (il punto grigio), come in figura a lato. verde nero azzurro blu Cb G Y B giallo grigio rosso bianco magenta Cr R Questo equivale a usare le trasformazioni Ỹ = y (Y 18) + 18, Cr = c r C r, Cb = c b C b R = r (R 18) + 18, G = g (G 18) + 18, B = b (B 18)

10 Decibel I decibel sono un sistema logaritmico usato per esprimere il rapporto fra due valori x e ˆx; la formula è ( ) 10 log 10. xˆx Slide 19 I decibel sono dunque una misura relativa; se esprimiamo il valore di x in decibel, convenzionalmente dobbiamo sapere rispetto a quale ˆx esso è misurato. In acustica viene misurato il livello di pressione sonora I; in questo caso, il valore convenzionale è Î =0µP a = Pa. In fisica, la legge di Ohm P = i R lega corrente i, resistenza R e potenza P ;seî è una corrente di riferimento, e ˆP = î R allora il valore delle potenze e delle correnti espresse in decibel è legato da 10 log 10 ( PˆP ) =10log 10 ( i R î R ) ( ) i =0log 10 î Per saperne di più: Vantaggi: Molti apparecchi (filtri, amplificatori, etc.) trasformano il segnale di input in quello di output moltiplicandolo per una certa costante, detta guadagno: se esprimiamo il guadagno in decibel, allora i guadagni di strumenti in serie si sommano. Slide 0 l intensità sonora come percepita dal nostro orecchio si adatta bene a una scala logaritmica (per questo, gli strumenti che mostrano l intensità sonora sono sempre logaritmici, e similmente i regolatori di volume degli amplificatori)... Un altro uso molto comune dei decibel è nell esprimere il rapporto fra il segnale e il rumore (in inglese SNR): se ho un segnale originale S che ha una certa potenza P S e a questo si somma un rumore con una potenza P R, il rapporto segnale/rumore si esprime in decibel come SNR =10log 10 ( PS P R ) 10

11 Quantizzazione Slide 1 L unità elementare di informazione nel computer èilbit, che è una cifra binaria; 8 bit sono raggruppati in un byte: un byte può dunque rappresentare un numero intero positivo fra 0 e 8 1 = 55. Per indicare ogni colore di un pixel viene usato un byte: il colore non può dunque assumere una tonalità a piacere fra 0 e 55, ma solo una tonalità intera: diremo che il colore è quantizzato usando 8 bit. Allo stesso modo, per rappresentare un campione di un suono vengono usati byte, cioè 16 bit; uno di questi bit rappresenta il segno, gli altri 15 il valore: il campione sonoro assume valori interi fra ( 15 1) = 3767 e 15 = L audio è quantizzato usando 16 bit. Nei ragionamenti fatti fino ad ora, per semplificare, abbiamo ignorato questo fatto, e supposto che i numeri che usati per rappresentare suoni e immagini fossero numeri reali. Per risparmiare spazio, possiamo decidere di usare meno bit per rappresentare i numeri; ecco un esempio, partendo da valori espressi con 8bit 8bit 6bit 4bit bit 45 = = = = = = = = = = = = Slide In questo caso abbiamo sostituito i bit non disponibili con degli zeri: questo equivale a un arrotondamento verso il basso; un risultato migliore si ottiene con un miglior arrotondamento 8bit 6bit 4bit bit 45 = = = = = = = = = = = = infatti in questo caso l errore di arrotondamento a 4bit è ±8 mentre nel primo caso poteva essere anche di

12 Un simile sistema si può applicare anche a numeri con segno; il seguente grafico mostra come arrotondare numeri a 8bit con segno (che hanno valori fra -17 e 18) per usare solo 4 bit (cioè 16 valori): 00 quantizer r16:19 x Slide in verde il valore originale, in rosso il valore quantizzato Per esempio, riprendiamo il suono campionato visto in pagina 8, e lo quantizziamo a 4 bit (con cioè 16 possibili valori in ordinata) f(t) f(t) 4bit Slide abbiamo un ulteriore perdita di dettagli. 1

13 La perdita di dettagli è ancora maggiore se il segnale ha un volume più basso f(t) f(t) Slide per evitare questo problema, si può ricorrere allo stratagemma dello scalefactoring: alzare il volume del segnale (moltiplicando per una costante) prima di quantizzare; dopo aver elaborato il segnale, al momento di riprodurlo, il volume verrà riabbassato per tornare al volume originale. Quantizzazione come rumore Slide 6 Come possiamo capire cosa effettua la quantizzazione? Sottraendo il segnale quantizzato da quello originale! la differenza sarà tanto più piccola quanto più bit usiamo nel quantizzare; se usiamo k bit, allora il rapporto fra il più grande segnale che possiamo rappresentare e l arrotondamento sarà k che espresso in decibel di potenza sarà 0 log 10 ( k )=k 0 log 10 () 6 k Così ogni bit in più permette di avere circa 6db di miglioramento nel rapporto SNR fra segnale e rumore di quantizzazione; ad esempio, l audio dei CD ha circa 90db di rapporto SNR (che è molto di più di quello che i riproduttori CD possono rendere!). Lo scalefactoring serve dunque a ridurre il rapporto fra il segnale e il rumore di quantizzazione, per portarlo quanto più vicino possibile al valore teorico visto sopra. 13

14 Seconda applicazione del MID-SIDE: MP3 Ricordiamo la trasformazione mid-side vista nella slide 11: M = L + R, S = R L ; L = M S, R = M + S Slide 7 Nei file audio musicali, il canale S contiene meno energia ed informazione del canale M: per questo motivo i file MP3 codificano l audio non come L, R ma come M,S, e dedicano meno bit al canale S. In certi casi è possibile codificare il canale S con solo 6bit, e il canale M con 10bit, e avere un suono soddisfacente. In questo modo il file audio avrebbe una dimensione del (10 + 6)/3 = 50% dell originale (Il sistema di codifica MP3 è molto più efficace di questo: un file compresso a 18kbit è solo il 9% del file originale) [$ audio.py -] PROBLEMA: Abbiamo detto che nei computer l audio è quantizzato; negli algoritmi i valori in M,S sono arrotondati a un intero, Slide 8 allora, come possiamo avere M = int( L + R ), S = int R L L? = M S, R? = M + S 14

15 Seconda applicazione del Y,C r,c b : immagini e video Slide 9 Il nostro occhio è molto meno sensibile alle variazione di colore che alle variazione di luminosità: per questo motivo le immagini e i video non sono codificati come R, G, B ma come Y,C r,c b, e vengono dedicati più bit al canale Y e meno bit ai canali C r,c b. Questo avviene nei file JPEG, nei file DIVX, nei DVD, e (in un certo senso) anche nella comune televisione a colori. [$ rgb.py -] Codici di compressione di dati Slide 30 Quando scriviamo una informazione nel computer, dobbiamo usare dei bit; se per esempio abbiamo una stringa di 80 caratteri scelti fra a,b,c,d babaccbabaaddacbaababbacddbaaadaadabaabcaaaaacbbcababacaacdaaaabaaaabccaaaabaaaa possiamo usare bit per rappresentare un carattere, e usare 160 bit per scrivere la stringa. Se però esaminiamo più attentamente, notiamo che vi sono molte a, seguite da poche b, e meno c, d: riscriviamo la stringa usando un codice decodificabile Il risultato è x= a b c d c(x) che consta di soli 134 bit, cioè circa 1,6 bit per ogni carattere. Il trucco consiste nel usare una rappresentazione corta per le lettere più probabili, e lunga per le meno probabili. Questa idea è alla base della teoria dei codici, e si collega a idee molto interessanti come la informazione,laentropia,elaprobabilità. 15

16 Trasformate wavelet Slide 31 Abbiamo applicato l idea MID-SIDE confrontando due segnali audio L e R coordinata per coordinata ; applichiamo la stessa idea a un immagine X, ma usando di volta in volta pixel contigui. Siano dunque P e Q due pixel contigui (ognuno caratterizzato dai suoi 3 colori); definiamo M = Q P, D = Q + P Se l immagine originale è 400x500, otterremo due immagini H e L rispettivamente composta dei risultati M e D; sia H che L avranno dimensioni 00x500. P X= P P Q Q Q P P P Q Q Q P Q P Q P Q M MM L= M M M MMM H= In questa figura sono evidenziate con colori diversi due diverse operazioni mid-side. D DD D D D D D D Slide 3 X= LH= Questi a destra sono i risultati che si ottengono lavorando su pixel contigui in senso orizzantale. Notate che nelle immagini di tipo H i valori oscillano fra -18 e +18: nella loro rappresentazione si associa -18 al nero, 0 al grigio, e 18 al bianco. 16

17 Slide 33 Questi sono i risultati che si ottengono lavorando su pixel contigui in senso verticale Possiamo inoltre eseguire due operazioni midside, una orizzontale e una verticale: LL HL Slide 34 LH HH Otteniamo una scomposizione dell immagine precedente in 4 immagini dette LL HL LH e HH; queste sono poi rappresentate contigue in un quadrato. Questa si chiama trasformata wavelet di Haar dell immagine originale. La trasformata è invertibile. 17

18 Successivamente ripetiamo la cosa ma sull immagine LL: otteniamo 7 immagini, incapsulate in un quadrato secondo lo schema a destra Slide 35 LL HL LH HH HL LH HH e successivamente Slide 36 3LL 3HL 3LH 3HH HL LH HH HL LH HH 18

19 dato che l immagine originale è 56 x 56,possiamo scendere di 8 livelli 3HL 3LH 3HH HL LH HH HL Slide 37 LH HH Notiamo una cosa molto interessante: in questa immagine i punti sono quasi tutti grigi, cioèi valori sono quasi tutti zero. Esistono molte altre wavelet, in cui i metodi per calcolare la media e la differenza sono più sofisticati; ma l idea di base rimane la stessa. Negli esempi successivi useremo la wavelet CRF.... Trasformiamo il CAMPO DI RIALTO (fino a profondità5) Slide 38 Un istogramma mostra che i valori assunti dai pixel sono in genere molto piccoli: 19

20 5000 Level 1 Subband 1 [-14:135] 8000 Level 0 Subband 0 [-18:17] Slide a sinistra abbiamo l istogramma dei valori assunti dai pixel dell immagine trasformata, a destra dell immagine Campo di Rialto originale. Moderna compressione di immagini Slide 40 Mettiamo insieme tutte le idee viste oggi: la rappresentazione Y,C r,c b del colore,la trasformata wavelet,laquantizzazione,larappresentazione usando un codice dove i simboli pi ù probabili usano meno bit: queste sono alla base di una tecnica per comprimere le immagini che si chiama JPEG000. 0

21 Slide 41 A sinistra una versione ottenuta usando JPEG, e a destra una versione con JPEG000; entrambe usano circa 0,7 bit per pixel (contro gli originali 4bit per pixel). Bibliografia La compressione dei dati (testi e immagini) è trattata nel saggio: Carlini, Paolo,La compressione dei dati : dalla teoria alla pratica, Milano : Hoepli, c1998. Slide 4 La percezione visiva dell uomo è stata studiata nel testo (fondamentale): David H. Hubel, Eye, brain, and vision. American scientific library, 1988 La codifica audio MP3 è descritta (molto tecnicamente) in: K. Brandenburg, capitolo in Applications of digital signal processing, Kluwer academic publisher, 1998 Queste slide si trovano in 1

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