Appunti di algebra III

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Appunti di algebra III"

Transcript

1 Appunti di algebra III Massimo Bertolini 25 gennaio Campi di numeri Definizione 1.1. Un campo di numeri (detto anche campo di numeri algebrici) è un sottocampo K di C tale che [K : Q] sia finito. Osservazione ) Se K è un campo di numeri, allora K Q. 2) Inoltre, Q è uguale al composto L di tutti i campi di numeri, cioè il più piccolo sottocampo di C contenente tutti i campi di numeri. L inclusione L Q è chiara. Viceversa, se α è un elemento di Q, allora Q[α] è un campo di numeri e quindi L Q. Esempio ) Sia d Z {0, 1} un intero privo di fattori quadratici. Il campo quadratico Q[ d] è un campo di numeri. 2) Sia ζ m = e 2πi/m. L m-esimo campo ciclotomico Q[ζ m ] è un campo di numeri. 3) Dato a Z e m N, i campi Q[a 1/m ] e Q[a 1/m, ζ m ] sono campi di numeri. Teorema 1.4 (Teorema dell elemento primitivo). Sia K/F un estensione finita di sottocampi di C. Esiste α K tale che K = F [α]. Dim. Vedi [Mi], cap. 5. Corollario 1.5. Se K è un campo di numeri, esiste α K tale che K = Q[α]. Esercizio ) Sia K = Q[2 1/2, 3 1/2 ]. Trovare α K tale che K = Q[α]. 2) Sia K = Q[2 1/2, 3 1/3 ] R. Trovare α K tale che K = Q[α]. 3) Sia K = Q[3 1/2, 5 1/2, ( 7) 1/2 ]. Trovare α K tale che K = Q[α]. 1

2 Teorema 1.7 (Grado dei campi ciclotomici). Sia K = Q[ζ m ] l m-esimo campo ciclotomico e sia f m (x) il polinomio minimo di ζ m. Allora f m (x) = (x ζm). k k (Z/mZ) In particolare, [K : Q] = ϕ(m), dove ϕ(m) = #(Z/mZ) indica la funzione di Eulero. Dim. Vedi [Mi], cap. 5. Corollario 1.8. Vi è un isomorfismo canonico Gal(K/Q) = (Z/mZ). Dim. Un elemento σ in Gal(K/Q) è determinato dal suo valore σ(ζ m ). Poiché σ(ζ m ) è una radice primitiva m-esima di 1 (cioè ha ordine m), si ha σ(ζ m ) = ζ k σ m, dove k σ (Z/mZ) è un unità modulo m. Ne viene che σ k σ è un omomorfismo iniettivo (canonico) di gruppi aventi, grazie al Teorema 1.7, lo stesso ordine. Dunque è un isomorfismo. Esercizio ) Se m = k i=1 pa i i, dove p i è primo e a i N, dimostrare che ϕ(m) = k ϕ(p a i ) = i=1 k (p i 1)p ai 1. i=1 [Suggerimento: applicare il Teorema Cinese del Resto a Z/mZ.] 2) Calcolare f m (detto m-esimo polinomio ciclotomico) per m 21. [Suggerimento: notare la formula induttiva f m (x) = x m 1 d m,d m f d(x), dove il prodotto è effettuato sui divisori positivi d di m, con 1 d < m.] 3) Descrivere la struttura di Gal(Q[ζ m ]/Q) per m Interi algebrici Definizione 2.1. Un numero complesso α è detto intero algebrico se soddisfa un polinomio monico a coefficienti in Z. 2

3 Indichiamo con Z = {α C : α è un intero algebrico} l insieme degli interi algebrici. Si noti l inclusione Z Q. Dato un campo di numeri K, indichiamo con O K = K Z l insieme degli interi algebrici contenuti in K. Vedremo tra breve che O K è un sottoanello di C, detto anello degli interi (algebrici) di K. Lemma 2.2. Il polinomio minimo p(x) in Q[x] di un intero algebrico α ha coefficienti in Z. Dim. Sia q(x) in Z[x] il polinomio monico a coefficienti in Z di grado minimo soddisfatto da α. Basta dimostrare che q(x) è irriducibile. In caso contrario, vi è una fattorizzazione q(x) = q 1 (x)q 2 (x), con q i (x) Q[x] monico di grado 1. Per il lemma di Gauss, q i (x) appartiene a Z[x]. Inoltre, α è radice di q 1 (x) o q 2 (x), contravvenendo la minimalità di q(x). Corollario 2.3. O Q = Z. Dim. Dato α in O Q, il suo polinomio minimo x α ha coefficienti in Z grazie al Lemma 2.2. (L inclusione opposta Z O K è ovvia.) Proposizione 2.4. Sia α in C. Le seguenti condizioni sono equivalenti. 1. L elemento α appartiene a Z. 2. Il gruppo additivo dell anello Z[α] (delle espressioni polinomiali in α a coefficienti in Z) è un gruppo abeliano finitamente generato. 3. L elemento α appartiene ad un sottoanello A di C il cui gruppo additivo è finitamente generato. 4. Esiste un sottogruppo non nullo finitamente generato di C tale che αa A. Dim. Vediamo che 1 2. Sappiamo che vale la relazione α n + a n 1 α n a 1 α + a 0 = 0, a i Z. Segue che α n appartiene al gruppo generato da 1, α,..., α n 1. Induttivamente, si vede che α k appartiene allo stesso gruppo per ogni k n. In conclusione Le implicazioni sono ovvie. Z[α] = Z Zα Zα n 1. 3

4 Dimostriamo infine che 4 1. Supponiamo che A sia generato dai numeri complessi (α 1,..., α n ). La condizione αa A implica che αα i = n j=1 a ijα j, per i = 1,..., n, con a ij Z. In altre parole, vale la relazione matriciale α α 1. α n = M α 1. α n, (1) dove M = [a ij ] è una matrice n n a coefficienti in Z. Si noti che il vettore (α i ) C n è diverso da zero, poiché il gruppo A è non nullo per ipotesi. L equazione (1) implica che α è un autovalore associato all autovettore (α i ). Segue che α soddisfa il polinomio caratteristico det(xi M), che è monico (di grado n) a coefficienti in Z. Corollario 2.5. Z e O K sono sottoanelli di C (e di Q). Dim. L affermazione su O K segue da quella per Z. Dati α e β in Z, grazie alla condizione 2 della Proposizione 2.4, abbiamo Z[α] = Zα Zα m, Z[β] = Zβ Zβ n. Segue che Z[α, β] è generato da α i β j, i = 1,..., m, j = 1,..., n. Poiché α ± β e αβ appartengono a Z[α, β], il Corollario 2.5 è conseguenza della condizione 3 della Proposizione 2.4. Esercizio ) Osservato che il numero complesso α = ( 5) 1/ /2 è un intero algebrico, calcolare un polinomio monico con coefficienti in Z di cui α è radice. 2) Osservato che il numero reale α = 3 1/ /3 è un intero algebrico, calcolare un polinomio monico con coefficienti in Z di cui α è radice. 3) Calcolare il polinomio minimo di 3 1/2 5 1/3. 4) Calcolare il polinomio minimo di 3 1/2 + ( 5) 1/ /2. Esempio ) Se K = Q[ d], con d Z {0, 1} privo di fattori quadratici, allora Z[ d] è contenuto in O K. Infatti, d appartiene a O K poiché soddisfa x 2 d; inoltre, poiché O K è un sottoanello unitario di C, deve contenere l anello Z[ d] generato da d. La Proposizione 2.8 descrive O K. 2) Se K = Q[ζ], con ζ = e 2πi/m, è l m-esimo campo ciclotomico, si ha che Z[ζ] è contenuto in O K. Infatti, ζ appartiene a O K poiché soddisfa x m 1; inoltre, poiché O K è un sottoanello unitario di C, deve contenere l anello generato da ζ. Vedremo più avanti che O K è sempre uguale a Z[ζ]. 4

5 Proposizione 2.8. Sia K = Q[ d] un campo quadratico, dove d Z {0, 1} è un intero privo di fattori quadratici. Allora Z[ d] = {a + b d : a, b Z} se d 2, 3 (mod 4) O K = Z[ 1+ d] = { a+b d : a, b Z, a b 2 2 (mod 2)} se d 1 (mod 4) Dim. Dato α K, scriviamo α = a + b d, con a, b in Q. Se b = 0, allora α appartiene a O K se e solo se α appartiene a O K Q = Z. Se b 0, il polinomio minimo di α è uguale a x 2 2ax + (a 2 db 2 ). Grazie al Lemma 2.2, otteniamo che α O K 2a Z e a 2 db 2 Z. (2) Supponiamo che α è un elemento di O K. Si noti che se a appartiene a Z, necessariamente b appartiene a Z, poiché d è privo di fattori quadratici. Se invece a 1Z Z, allora si ha che 2a 1 (mod 2) e quindi 2 4a2 1 (mod 4). Poiché 4a 2 4db 2 0 (mod 4), otteniamo che 4db 2 1 (mod 4) e quindi b 1Z Z. 2 Segue come sopra che 4b 2 1 (mod 4) da cui 4db 2 d (mod 4) e quindi d 1 (mod 4). In conclusione, si ha che O K Z[ d] a meno che d 1 (mod 4). Poiché Z[ d] O K grazie all Esempio 2.7, otteniamo l uguaglianza quando d 2, 3 (mod 4). Se d 1 (mod 4), i calcoli precedenti mostrano che O K Z[ 1+ d]. L inclusione opposta si verifica immediatamente usando le 2 condizioni (2). 3 Traccia, norma e discriminante Introduciamo alcuni strumenti teorici utili, in particolare, per calcolare l anello O K degli interi algebrici di un campo di numeri. Sia K/F un estensione di campi di numeri (non necessariamente di Galois). Sappiamo che vi sono n = [K : F ] F -omomorfismi distinti σ 1,..., σ n : K C. Infatti, sappiamo che K = F [α] per il Teorema 1.4; detto f(x) F [x] il polinomio minimo di α su F, i σ i sono in corrispondenza biiettiva con le radici di f(x) in C. Definizione ) La traccia di un elemento α di K è definita da T K/F (α) = σ 1 (α) + + σ n (α). 2) La norma di un elemento α di K è definita da N K/F (α) = σ 1 (α) σ n (α). 5

6 La dimostrazione del lemma seguente è immediata. Lemma T K/F (α + β) = T K/F (α) + T K/F (β) e N K/F (αβ) = N K/F (α)n K/F (β) per ogni α e β in K. 2. T K/F (αβ) = αt K/F (β) e N K/F (αβ) = α n N K/F (β) per ogni α in F e β in K. Proposizione Per ogni α in K, T K/F (α) e N K/F (α) appartengono a F. 2. Per ogni α in O K, T K/F (α) e N K/F (α) appartengono a O F. Dim. Consideriamo il diagramma di estensioni K F [α] F (3) Indicato con d il grado di K su F [α], abbiamo che T K/F (α) = d T F [α]/f (α), N K/F (α) = N F [α]/f (α) d. (4) L equazione (4) segue dal fatto che ogni F -omomorfismo di F [α] in C si estende a d F -omomorfismi distinti di K in C. Osserviamo ora che T F [α]/f (α) = α α n/d, N F [α]/f (α) = α 1 α n/d, (5) dove α = α 1,..., α n/d sono le radici del polinomio minimo f(x) di α su F. Segue da (5) che T F [α]/f (α) = (coefficiente di x n/d 1 in f(x)) e N F [α]/f (α) = ( 1) n/d (termine costante di f(x)). (6) La prima parte della Proposizione 3.3 segue dall equazione (6). Per la seconda parte, si noti che se α appartiene ad O K, gli α i che compaiono in equazione (5) sono interi algebrici in Z (essendo radici di f(x), che divide il polinomio minimo f Q di α su Q). Concludiamo che T F [α]/f (α) e N F [α]/f (α) appartengono a F Z = O F. L equazione (4) implica che lo stesso vale per T K/F (α) e N K/F (α). Introduciamo ora il concetto di discriminante, con riferimento all estensione K/Q. Indichiamo con σ 1,..., σ n : K C gli omomorfismi (necessariamente, Q-omomorfismi) di K in C. Definizione 3.4. Il discriminante di una n-pla (α 1,..., α n ) di elementi di K è definito da disc(α 1,..., α n ) = (det[σ i (α j )] 1 i,j n ) 2. 6

7 Osservazione 3.5. Dalle proprietà del determinante segue che disc(α 1,..., α n ) non dipende dall ordine dei σ i e degli α j. Esercizio ) Dimostrare che gli elementi α 1,..., α n sono Q-linearmente dipendenti se e solo se disc(α 1,..., α n ) = 0. 2) Dimostrare che disc(α 1,..., α n ) appartiene a Q. [Suggerimento: notare dapprima che il numero complesso disc(α 1,..., α n ) appartiene alla chiusura normale L di K/Q in C; mostrare poi che per ogni σ in Gal(L/Q).] σ(disc(α 1,..., α n )) = disc(α 1,..., α n ) Grazie al Teorema 1.4, che permette di scrivere K nella forma Q[α], l Esercizio 3.6 è pure conseguenza del risultato seguente, utile per il calcolo esplicito del discriminante. Proposizione 3.7. Sia K = Q[α] e sia (1, α,..., α n 1 ) la Q-base di K associata ad α. Indichiamo con f(x) Q[x] il polinomio minimo di α su Q e con f (x) la sua derivata. Allora disc(1, α,..., α n 1 ) = ɛ N K/Q (f (α)), dove ɛ = 1 se n 0, 1 (mod 4) e ɛ = 1 altrimenti. Dim. Sia A = [σ i (α j 1 )] la matrice n n che interviene nella definizione di disc(1, α,..., α n 1 ). Posto α i = σ i (α), si noti che A = [α j 1 i ] è una matrice di Vandermonde. Di conseguenza, notando che ɛ = ( 1) n(n 1)/2, si ha Basta ora dimostrare che Abbiamo disc(1, α,..., α n 1 ) = det(a) 2 = (α s α r ) 2 N K/Q (f (α)) = N K/Q (f (α)) = = ɛ 1 r<s n 1 r s n = 7 1 r s n (α r α s ). n σ r (f (α)) r=1 n f (α r ). r=1 (α r α s ).

8 Infine, la formula f(x) = n s=1 (x α s) implica che f (α r ) = n s=1,r s (α r α s ). Applichiamo la Proposizione 3.7 ai campi ciclotomici. Corollario 3.8. Sia p un primo dispari e sia K = Q[ζ], con ζ = e 2πi/p, il p-esimo campo ciclotomico. Allora disc(1, ζ,..., ζ p 2 ) = ɛ p p 2, dove ɛ = 1 se p 1 (mod 4) e ɛ = 1 se p 3 (mod 4). Dim. Per il Teorema 1.7, [K : Q] = p 1 e quindi (1, ζ,..., ζ p 2 ) è una Q-base per K. Il polinomio minimo di ζ è dato da φ(x) = xp 1 x 1 = xp 1 + x p x + 1. La relazione x p 1 = (x 1)φ(x) implica che px p 1 = φ(x)+(x 1)φ (x) e quindi φ (ζ) = pζp 1 ζ 1 = p ζ(ζ 1). Posto N = N K/Q, la moltiplicatività della norma (Lemma 3.2) implica che Infine, N(φ (ζ)) = N(p) N(ζ)N(ζ 1). N(p) = p p 1, N(ζ) = ( 1) p 1 (termine costante di φ(x)) = 1, N(ζ 1) = N( (1 ζ)) = ( 1) p 1 N(1 ζ) = φ(1) = p. Applichiamo ora il Corollario 3.8 ad un problema già affrontato con mezzi diversi. Corollario 3.9. Sia K = Q[ζ] il p-esimo campo ciclotomico, con p 3 primo. Allora K contiene un unico sottocampo quadratico, uguale a Q[ p] se p 1 (mod 4) e a Q[ p] se p 3 (mod 4). 8

9 Dim. Il gruppo di Galois Gal(K/Q) è isomorfo a F p e quindi è ciclico di ordine p 1. Segue che Gal(K/Q) contiene un unico sottogruppo di indice 2, che fissa l unico sottocampo quadratico di K. Inoltre, disc(1, ζ,..., ζ p 2 ) = δ 2, dove δ = det[σ i (ζ j 1 )] è il determinante di una matrice a coefficienti in K. Segue che δ appartiene a K. Poiché δ 2 = ɛp p 1 per il Corollario 3.8, otteniamo che ɛp appartiene a K. Esercizio Dato d Z {0, 1} privo di fattori quadratici, si definisca D = d se d 1 (mod 4) e D = 4d se d 2, 3 (mod 4). Si dimostri che Q[ d] è contenuto nel D-esimo campo ciclotomico Q[e 2πi/D ]. [Suggerimento: si fattorizzi d (a meno del segno) come prodotto di primi; si osservi poi che Q[ p] è contenuto in Q[e 2πi/4p ] se p è un primo 3 (mod 4)...] 4 Struttura additiva di O K Sia K un campo di numeri. Intendiamo descrivere la struttura di O K come gruppo additivo. Definizione 4.1. Un gruppo abeliano A si dice libero di rango n 0 se A è isomorfo al gruppo additivo Z n = Z... Z. Esercizio 4.2. Due gruppi abeliani liberi sono isomorfi se e solo se hanno lo stesso rango. [Suggerimento: (Z/2Z) n non è isomorfo a (Z/2Z) m se n m.] Lemma 4.3. Sia A un gruppo abeliano libero di rango n e sia B un sottogruppo di A. Allora B è libero di rango n. Dim. Per induzione su n, essendo il caso n = 0 ovvio. Possiamo supporre che A = Z n. Sia π : A Z, (a 1,..., a n ) a 1 la proiezione canonica sulla prima componente. Segue che ker(π) = {(a 1,..., a n ) Z n : a 1 = 0} Z n 1 è libero di rango n 1. Per l ipotesi induttiva B = B ker(π) è un gruppo libero di rango m n 1. Se B ker(π) e quindi B = B abbiamo finito. Altrimenti, si ha che π(b) = kz, con k 1. Sia b 1 B tale che π(b 1 ) = k. Dato b B, π(b) = λk per λ Z e dunque b λb 1 appartiene a B. Segue che B = Zb 1 B Z m+1, con m + 1 n. 9

10 Corollario 4.4. Siano A 1 e A 2 due gruppi abeliani liberi di rango n e sia A un gruppo abeliano tale che A 1 A A 2. Allora A è libero di rango n. Dim. L inclusione A A 2 implica, grazie al Lemma 4.3, che A è libero di rango n. L inclusione A 1 A implica, ancora per il Lemma 4.3, che il rango di A è n. Lemma 4.5. Esiste una Q-base {α 1,..., α n } di K i cui elementi appartengono a O K. Dim. Se α K è un numero algebrico, allora α soddisfa un polinomio a coefficienti in Z (non necessariamente monico!) a m x m + a m 1 x m a 1 x + a 0, con a m 0. Segue (moltiplicando per a m 1 m ) che a m α soddisfa il polinomio monico a coefficienti in Z x m + a m 1 x m a m 2 m a 1 x + a m 1 m a 0 e dunque a m α appartiene ad O K. Di conseguenza, per ottenere la Q-base richiesta è sufficiente moltiplicare gli elementi di una Q-base arbitraria per un opportuno elemento non nullo di Z. Proposizione 4.6. Sia {α 1,..., α n } una Q-base per K costituita da interi algebrici e sia d = disc(α 1,..., α n ) il suo discriminante. Allora 1. d appartiene a Z {0}, 2. ogni intero algebrico α in O K si scrive nella forma α = m 1α m n α n, d dove m j appartiene a Z e m 2 j è divisibile per d, per j = 1,..., n. Dim. Siano σ i, i = 1,..., n gli omomorfismi di K in C. Poiché (α i ) è una Q-base di K, la matrice A = [σ i (α j )] è invertibile. Posto δ = det(a), si ha d = δ 2. Sappiamo che d è un numero razionale non nullo. Inoltre, le componenti di A sono interi algebrici e dunque δ è un intero algebrico. Segue che d appartiene a (Q {0}) Z = Z {0}. Dato α O K, scriviamo α = α 1 x α n x n, con x i Q. Otteniamo il sistema lineare di n equazioni in n incognite σ i (α 1 )x σ i (α n )x n = σ i (α), i = 1,..., n. Per la regola di Kramer x j = δ j /δ, 10

11 dove δ j è il determinante della matrice ottenuta da A sostituendo la sua j-esima colonna con la colonna (σ i (α)) dei termini noti. Sappiamo che δ 2 = d, e δ, δ j Z. Segue che m j = dx j = δ j δ appartiene a Z Q = Z. Infine, il numero razionale m 2 j/d è uguale a (dx j ) 2 /d = dx 2 j = dδj 2 /δ 2 = δj 2. Di nuovo otteniamo che m 2 j/d appartiene a Z Q = Z. Teorema 4.7. Sia n = [K : Q]. Allora O K è un gruppo abeliano libero di rango n. Dim. Grazie al Lemma 4.5 possiamo fissare una Q-base {α 1,..., α n } di K contenuta in O K. Allora Zα 1 Zα n è un sottogruppo abeliano libero di O K di rango n. Per la Proposizione 4.6, Z(α 1 /d) Z(α n /d) è un gruppo abeliano libero di rango n contenente O K. Il Teorema 4.7 segue dal Corollario 4.4. Definizione 4.8. Una base intera per O K è un insieme di elementi {α 1,..., α n } tale che O K = Zα 1 Zα n. Esempio 4.9. Sia dato d Z {0, 1} privo di fattori quadratici e sia K = Q[ d] il campo quadratico corrispondente. Allora {1, d} se d 2, 3 (mod 4) è una base intera per O K. {1, 1+ d 2 } se d 1 (mod 4) Lemma Due basi intere per O K hanno lo stesso discriminante. Dim. Indicate le basi con A = (α i ) e B = (β i ), abbiamo che β 1. β n = M dove M è una matrice n n a coefficienti in Z. Scambiando il ruolo delle basi, otteniamo che M è invertibile e dunque det(m) = ±1. Inoltre, posto A = [σ j (α i )] e B = [σ j (β i )], vale la relazione B = MA. Segue che det(b) = ± det(a). Poiché disc(a) = det(a) 2 e disc(b) = det(b) 2, otteniamo l uguaglianza dei discriminanti. 11 α 1. α n,

12 Definizione Chiamiamo discriminante di O K, indicato con disc(o K ), il discriminante di una qualunque base intera di O K. (Si ricordi che disc(o K ) appartiene a Z, grazie alla Proposizione 4.6.) Esercizio L insieme (α 1,..., α n ) O K è una base intera per O K se e solo se disc(α 1,..., α n ) = disc(o K ). Esercizio Con notazioni come in Esempio 4.9, dimostrare che 4d se d 2, 3 (mod 4) disc(o K ) = d se d 1 (mod 4) (Di conseguenza, disc(o K ) è uguale alla quantità D definita in Esercizio 3.10.) Il prossimo risultato è utile per il calcolo dell anello degli interi algebrici di certi campi di numeri. Teorema Siano K ed L campi di numeri aventi grado su Q uguale a m ed n, rispettivamente. Sia M il campo composto KL. Supponiamo che Allora vale l inclusione [M : Q] = mn. O M (1/d)O K O L, dove d = (disc(o K ), disc(o L )) è il massimo comun divisore di disc(o K ) e disc(o L ) e O K O L è il sottoanello di KL generato da O K e O L (cioè l anello i cui elementi sono somme finite del tipo αβ, con α in O K e β in O L ). Dim. Fissiamo basi intere (α 1,..., α m ) e (β 1,..., β n ) per O K e O L, rispettivamente. Otteniamo che gli mn elementi (α i β j ) di O K O L formano 1. un sistema di generatori per O K O L, 2. una Q-base per KL. La prima affermazione segue dalla definizione di O K O L, mentre la seconda dipende dal fatto che (α i β j ) è un sistema di generatori per il campo di numeri KL, il cui grado è mn per ipotesi. (Quanto detto implica che il gruppo additivo del sottoanello O K O L di O M è libero di rango mn e che (α i β j ) è una Z-base.) Dato α O M, lo scriviamo come α = i,j m i,j r α i β j, (7) dove m i,j ed r appartengono a Z e (r, m i,j ) 1 i m,1 j n = 1. Dobbiamo mostrare che r disc(o K ) e r disc(o L ). 12

13 Considerato il ruolo simmetrico di O K e O L, ci basta controllare che r divide disc(o K ). Siano σ k : K C, k = 1,..., m gli omomorfismi di K in C. Poiché [KL : K] = n per l ipotesi [KL : Q] = mn, ogni σ k si estende a n omomorfismi distinti di KL in C. Per restrizione ad L, si ottengono n omomorfismi distinti di L in C, cioè tutti gli omomorfismi distinti di L in C. (Se due restrizioni ad L coincidono, devono coincidere su KL, poiché provengono dallo stesso omomorfismo di K in C.) Indichiamo con σ k l unica estensione di σ k a KL la cui restrizione a L è l inclusione L C, cioè è un L-omomorfismo. Applicando σ k a (7), otteniamo σ k (α) = i,j m i,j r σ k (α i )β j. (8) Posto x i = j m i,j r β j, otteniamo il sistema di m equazioni in m incognite σ k (α i )x i = σ k (α), k = 1,..., m. (9) i Grazie alla regola di Kramer, x i = δ i /δ, dove δ = det[σ k (α i )] 0 e δ i è il determinante della matrice ottenuta sostituendo alla i-esima colonna di [σ k (α i )] la colonna dei termini noti ( σ k (α)). Si noti che δ e δ i appartengono a Z e che δ 2 = disc(o K ). Segue che disc(o K )x i = δδ i Z, da cui disc(o K )x i = disc(o K )m i,j β j L r Z = O L. j Poiché (β j ) è una base intera per O L, segue che (disc(o K )m i,j )/r appartiene a Z, cioè r divide disc(o K )m i,j per ogni (i, j). Poiché per ipotesi (m i,j, r) i,j = 1, concludiamo che r disc(o K ). Il seguente corollario è immediato. Corollario Se (disc(o K ), disc(o L )) = 1, allora O M = O K O L. Esercizio Sia K il campo biquadratico Q[ 3, 11]. Calcolare O K. Teorema Sia K = Q[ζ], con ζ = e 2πi/m, l m-esimo campo ciclotomico. Allora O K = Z[ζ]. Dim. Passo 1: Sia m = m 1 m 2, con (m 1, m 2 ) = 1, e sia K i = Q[ζ i ], i = 1, 2, l m i -esimo campo ciclotomico. Se O Ki = Z[ζ i ] per i = 1, 2, allora O K = Z[ζ]. Questa affermazione segue dal Corollario 4.15, osservando quanto segue: 1. K = K 1 K 2, poiché ζ 1 ζ 2 è una radice primitiva m-esima di 1, e vale l uguaglianza [K : Q] = [K 1 : Q][K 2 : Q] (esercizio); 13

14 2. (disc(o K1 ), disc(o K2 )) = 1: questa affermazione segue dal lemma seguente. Lemma Se K = Q[ζ] è l m-esimo campo ciclotomico, allora disc(o K ) divide m ϕ(m). Dim. Grazie all Esempio 2.7, Z[ζ] O K. Abbiamo che (1, ζ,..., ζ ϕ(m) 1 ) è una base intera di Z[ζ]. Indichiamo per brevità il suo discriminante con disc(ζ). Allora disc(o K ) divide disc(ζ) (esercizio: vedi la dimostrazione del Lemma 4.10). Posto x m 1 = f(x)g(x), dove f(x) = f m (x) è l m-esimo polinomio ciclotomico (cioè il polinomio minimo di ζ), differenziando e sostituendo x con ζ, si ottiene m = ζf (ζ)g(ζ). Calcolando N K/Q su questa uguaglianza, otteniamo grazie alla Proposizione 3.7 m ϕ(m) = ±disc(ζ)n K/Q (ζg(ζ)). Poiché ζg(ζ) è un intero in O K, segue che N K/Q (ζg(ζ)) appartiene a Z grazie alla Proposizione 3.3. Otteniamo che disc(ζ) divide m ϕ(m). Passo 2: Grazie al Passo 1, basta ora dimostrare il Teorema 4.17 nel caso in cui m = p h sia uguale alla potenza di un primo e quindi ζ = e 2πi/ph. Premettiamo un lemma. Lemma Abbiamo Z[ζ] = Z[1 ζ] e disc(ζ) = disc(1 ζ). 2. k (Z/p h Z) (1 ζ k ) = p. Dim. Poiché ζ = 1 (1 ζ), Z[ζ] è uguale a Z[1 ζ]. Da questa uguaglianza segue l uguaglianza dei discriminanti (esercizio). (Si noti che queste affermazioni non dipendono dal fatto che m è una potenza di p.) Il prodotto nella seconda parte è uguale a f p h(1), dove f p h(x) = xph 1 x ph 1 1 = 1 + xph 1 + x 2(ph 1) + + x (p 1)ph 1 è il p h -esimo polinomio ciclotomico. Posto n = ϕ(p h ) = (p 1)p h 1 e d = disc(ζ) = disc(1 ζ), la Proposizione 4.6 implica che ogni α in O K si scrive nella forma α = m 1 + m 2 (1 ζ) + + m n (1 ζ) n 1 d. (10) 14

15 Dobbiamo dimostrare che O K = Z[ζ] = Z[1 ζ]. Se O K Z[1 ζ], esiste α come sopra tale che non tutti gli m i sono divisibili per d. In questo caso, poichè d è una potenza di p grazie al Lemma 4.18, O K contiene un elemento β della forma β = m i(1 ζ) i m n (1 ζ) n 1 p, (11) dove m i non è divisibile per p. Il Lemma 4.19 implica che p/(1 ζ) n appartiene a Z[ζ], notando che 1 ζ k è divisibile in Z[ζ] per 1 ζ. Segue che p/(1 ζ) i appartiene a Z[ζ] e quindi βp/(1 ζ) i appartiene a O K. Usando l espressione (11) per β, otteniamo che m i /(1 ζ) appartiene a O K. Questo è impossibile perchè N K/Q (m i ) = m n i non è divisibile per p, mentre N K/Q (1 ζ) = p grazie al Lemma 4.19, da cui segue che N K/Q (m i /(1 ζ)) non appartiene a Z, contro la Proposizione Domini di Dedekind Questo capitolo si occupa della struttura di anello di O K. L osservazione preliminare è che in generale O K non è un UFD. Esempio 5.1. Sia K = Q[ 5] e sia N = N K/Q. Poiché 5 3 (mod 4), si ha O K = Z[ 5]. Si consideri la fattorizzazione 2 3 = (1 + 5) (1 5). (12) Abbiamo N(2) = 4, N(3) = 9 e N(1 ± 5) = 6. Se u è un unità in O K, allora N(u) = 1. Infatti, se u 1 appartiene a O K, N(u) e N(u 1 ) appartengono a Z; inoltre, 1 = N(1) = N(uu 1 ). Segue che N(u) = ±1. Infine, si ha N(a + b 5) = a 2 + 5b 2 (13) è 0 per ogni a, b in Z. Sulla base di questa osservazione e tenuto conto della moltiplicatività della norma, per dimostrare che O K non è un UFD basta osservare che O K non contiene elementi di norma 2 e 3. Considerata (13), questa affermazione è conseguenza immediata del fatto evidente che le equazioni a 2 + 5b 2 = 2, a 2 + 5b 2 = 3 non hanno soluzioni in Z. Segue allora che 2, 3 e 1 ± 5 sono irriducibili e quindi (12) contraddice il principio di fattorizzazione unica. Esercizio

16 1) Dato un campo quadratico K = Q[ d], con d Z {0, 1} privo di fattori quadratici, dimostrare che u è un unità di O K se e solo se u O K e N K/Q (u) = ±1. 2) Se d < 0 (in questo caso diciamo che K è una campo quadratico immaginario o complesso), dimostrare che O K = {±1} a meno che non sia d = 1 o d = 3. Se d = 1, dimostrare che O K = {ζ C : ζ4 = 1}. Se d = 3, dimostrare che O K = {ζ C : ζ6 = 1}. 3) Mostrare con un esempio che se d > 0 (in questo caso diciamo che K è un campo quadratico reale)il gruppo O K può non essere di torsione. (E un fatto non banale che O K non è mai di torsione se K è un campo quadratico reale.) 4) Dimostrare che nell affermazione del punto 1 K può essere sostituito da un qualunque campo di numeri. L esempio precedente suggerisce di cercare un sostituto per la proprietà di fattorizzazione unica degli elementi valida per Z = O Q. Si noti che ogni ideale non nullo nz di Z può essere fattorizzato in modo unico come prodotto di ideali massimali: nz = p 1 Z p k Z. Vedremo come l analogo di questa proprietà si generalizzi a qualunque anello di numeri O K, come conseguenza del fatto che O K è un dominio di Dedekind. Definizione 5.3. Un dominio di integrità R è detto dominio di Dedekind se valgono le condizioni seguenti: 1. R è noetheriano, 2. ogni ideale primo non nullo di R è massimale, 3. R è integralmente chiuso nel suo campo delle frazioni. La condizione 3 significa che ogni elemento del campo delle frazioni di R che soddisfa un polinomio monico a coefficienti in R appartiene ad R. Teorema 5.4. Ogni anello O K è un dominio di Dedekind. Dim. Se I è un ideale di O K, si ha che il gruppo additivo di I è un sottogruppo del gruppo additivo di O K. Per il Teorema 4.7, O K è un gruppo abeliano libero di rango n = [K : Q]. Segue, grazie al Lemma 4.3, che I è un gruppo abeliano libero di rango n. In particolare, I è uno Z-modulo finitamente generato e dunque a maggior ragione un ideale finitamente generato. Questo mostra che O K soddisfa la condizione 1 della Definizione 5.3. Riguardo alla condizione 2, sia P un ideale primo non nullo di O K. Occorre mostrare che P è massimale, cioè che O K /P è un campo. Sappiamo che O K /P è un dominio di integrità. Se O K /P è finito, allora O K /P è necessariamente un campo. (Infatti, fissato α O K /P {0}, l applicazione O K /P O K /P, β αβ 16

17 è iniettiva e dunque anche suriettiva, per cui esiste β tale che αβ = 1.) Resta da vedere la finitezza di O K /P. A questo proposito, si noti che se α è un qualunque elemento non nullo di P, si ha che: 1. N K/Q (α) Z per la Proposizione 3.3, 2. N K/Q (α) P, poichè N K/Q (α) è della forma αβ, con β in Z, da cui segue che β appartiene a K Z = O K e quindi αβ appartiene a P. La finitezza di O K /P segue dall esistenza di un omomorfismo suriettivo di anelli O K /mo K O K /P, con m = N K/Q (α) Z {0}, considerato che O K /mo K (Z/mZ) n è finito. Infine verifichiamo la condizione 3. Si noti che K è il campo delle frazioni di O K (vedere la dimostrazione del Lemma 4.5). Sia α = a/b con a, b in O K un elemento di K. Supponiamo che α soddisfi il polinomio monico x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 a coefficienti a i in O K. Segue che il gruppo additivo dell anello O K [α] è finitamente generato su O K. Poiché O K è finitamente generato su Z per il Teorema 4.7, segue che O K [α] è finitamente generato su Z. La condizione 3 della Proposizione 2.4 garantisce che α appartiene a Z. Poichè α appartiene a K, segue che α appartiene a O K. Esercizio 5.5. Sia I un ideale non nullo di O K. Dimostrare che l anello quoziente O K /I è finito. Esercizio 5.6. Sia R un anello commutativo con unità. Si dimostri che le seguenti condizioni sono equivalenti: 1) R è noetheriano (cioè ogni suo ideale è finitamente generato). 2) Ogni successione crescente I 1 I 2 I n di ideali di R è definitivamente costante. 3) Ogni insieme non vuoto S di ideali di R ha un elemento massimale (cioè esiste M S non necessariamente unico tale che M I S implica M = I). (Suggerimento: per 1) 2), considerare l ideale n I n ; per 2) 3), costruire un opportuna successione crescente di ideali; per 3) 1), dato un ideale I, considerare l insieme degli ideali finitamente generati contenuto in I.) 17

18 L obiettivo che ci poniamo ora è dimostrare che in un dominio di Dedekind ogni ideale non nullo è prodotto di ideali primi non nulli (cioè massimali). Terminologia e notazioni: Nella parte rimanente di questo capitolo, R indicherà sempre un dominio di Dedekind. Inoltre, per ideale intenderemo sempre un ideale proprio non nullo; per primo indenderemo sempre un ideale proprio, primo e non nullo. Lemma 5.7. Ogni ideale di R contiene un prodotto di primi. Dim. Sia S l insieme degli ideali di R che non contengono un prodotto di primi. Se S è non vuoto, allora S contiene un elemento massimale M. L ideale M non è primo, poiché appartiene a S. Segue che esistono elementi a, b R M tali che ab M. Gli ideali M + ar e M + br contengono propriamente M e dunque non appartengono a S. Segue che contengono prodotti di primi. Ma allora questo vale per (M + ar)(m + br) M, assurdo. Lemma 5.8. Sia K il campo delle frazioni di R, e sia I R un ideale proprio. Allora esiste x K R tale che xi R. Dim. Sia a I {0}. Grazie al Lemma 5.7, esistono primi P 1,..., P r tali che P 1 P r ar. (14) Supponiamo che r sia minimo rispetto alla proprietà (14). Fissiamo un primo P tale che I P. (Sappiamo che l ideale massimale P esiste grazie al Lemma di Zorn.) Segue che P contiene P 1 P r, e quindi P P i per qualche i. (Altrimenti, trovo per ogni i un elemento a i P i P ; ma a 1 a r P, impossibile.) Posso supporre che P P 1. Essendo P e P 1 massimali, ho che Per la minimalità di r, posso scegliere P = P 1. b P 2 P r ar. Infine, pongo x = b/a K. Noto che x R, altrimenti avrei che b appartiene ad ar. Infine, affermiamo che xi R. Ciò è equivalente ad affermare che bi ar. Questo segue dalla catena di inclusioni bi bp 1 P 1 P r ar, dove la seconda inclusione segue dal fatto che b appartiene a P 2 P r. 18

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo.

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo. Anello. Un anello (A, +, ) è un insieme A con due operazioni + e, dette somma e prodotto, tali che (A, +) è un gruppo abeliano, (A, ) è un monoide, e valgono le proprietà di distributività (a destra e

Dettagli

Cenni di teoria dei campi finiti

Cenni di teoria dei campi finiti Cenni di teoria dei campi finiti Luca Giuzzi 31 ottobre 2011 In queste note vengono richiamati alcuni risultati di algebra relativi la teoria dei campi finiti. 1 Anelli Definizione 1. Un anello (R, +,

Dettagli

DOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA

DOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA DOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA CORSO DI ALGEBRA, A.A. 2012-2013 Nel seguito D indicherà sempre un dominio d integrità cioè un anello commutativo con unità privo di divisori dello zero. Indicheremo con

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Nel seguito, senza ulteriormente specificarlo, A indicherà un anello commutativo con identità.

Nel seguito, senza ulteriormente specificarlo, A indicherà un anello commutativo con identità. 1 ANELLI Definizione 1.1. Sia A un insieme su cui sono definite due operazioni +,. (A, +, ) si dice Anello se (A, +) è un gruppo abeliano è associativa valgono le leggi distributive, cioè se a, b, c A

Dettagli

STRUTTURE ALGEBRICHE

STRUTTURE ALGEBRICHE STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna. Per definizione

Dettagli

ALGEBRA I: ARITMETICA MODULARE E QUOZIENTI DI ANELLI

ALGEBRA I: ARITMETICA MODULARE E QUOZIENTI DI ANELLI ALGEBRA I: ARITMETICA MODULARE E QUOZIENTI DI ANELLI 1. CLASSI DI RESTO E DIVISIBILITÀ In questa parte sarò asciuttissimo, e scriverò solo le cose essenziali. I commenti avete potuto ascoltarli a lezione.

Dettagli

Parte 6. Applicazioni lineari

Parte 6. Applicazioni lineari Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R

Dettagli

L anello dei polinomi

L anello dei polinomi L anello dei polinomi Sia R un anello commutativo con identità. È possibile costruire un anello commutativo unitario, che si denota con R[x], che contiene R (come sottoanello) e un elemento x non appartenente

Dettagli

DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2012/13 DOCENTE: ANDREA CARANTI

DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2012/13 DOCENTE: ANDREA CARANTI DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2012/13 DOCENTE: ANDREA CARANTI Lezione 1. lunedí 17 settembre 2011 (1 ora) Presentazione del corso. Esercizio: cosa succede a moltiplicare per 2, 3, 4,... il numero 052631578947368421,

Dettagli

ALGEBRA 2 CAMPI E TEORIA DI GALOIS

ALGEBRA 2 CAMPI E TEORIA DI GALOIS ALGEBRA 2 CAMPI E TEORIA DI GALOIS ALESSANDRO D ANDREA INDICE 1. Richiami sugli anelli 1 1.1. Anelli, sottoanelli, ideali 1 1.2. Omomorfismi di anelli ed anelli quoziente 2 1.3. Ideali primi e massimali.

Dettagli

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA 1. RICHIAMI SULLE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI Ho mostrato in un altra dispensa come ricavare a partire dagli assiomi di

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai

Dettagli

DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2013/14 DOCENTE: ANDREA CARANTI

DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2013/14 DOCENTE: ANDREA CARANTI DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2013/14 DOCENTE: ANDREA CARANTI Lezione 1. lunedí 16 settembre 2013 (2 ore) Presentazione del corso. Esercizio: cosa succede a moltiplicare per 2, 3, 4,... il numero 142857,

Dettagli

ALGEBRA I: MODULI. Abbiamo indicato con 0 A, 1 A lo zero e l unità nell anello A e con 0 M l elemento neutro del gruppo abeliano (M, +).

ALGEBRA I: MODULI. Abbiamo indicato con 0 A, 1 A lo zero e l unità nell anello A e con 0 M l elemento neutro del gruppo abeliano (M, +). ALGEBRA I: MODULI 1 GENERALITÀ SUGLI A-MODULI Il concetto di A-modulo generalizza quello di spazio vettoriale su un campo K Definizione 11 Sia A un anello commutativo con unità Un A-modulo è un insieme

Dettagli

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito

Dettagli

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1 LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,

Dettagli

Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI

Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI In matematica, per semplificare la stesura di un testo, si fa ricorso ad un linguaggio specifico. In questo capitolo vengono fornite in maniera sintetica le nozioni

Dettagli

Algebra Lineare e Geometria

Algebra Lineare e Geometria Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da

Dettagli

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0 LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi

Dettagli

Anelli. dispense provvisorie del corso di Algebra 1 2010-2011 Alessio Del Vigna - Giovanni Gaiffi

Anelli. dispense provvisorie del corso di Algebra 1 2010-2011 Alessio Del Vigna - Giovanni Gaiffi Anelli dispense provvisorie del corso di Algebra 1 2010-2011 Alessio Del Vigna - Giovanni Gaiffi 16 febbraio 2011 1 Prime definizioni Abbiamo già dato in precedenza la definizione di anello associativo,

Dettagli

APPUNTI DI ALGEBRA B

APPUNTI DI ALGEBRA B APPUNTI DI ALGEBRA B Prof. Gloria Rinaldi dal testo Algebra autori P.Quattrocchi, G.Rinaldi, ed. Zanichelli Dipartimento di Scienze e Metodi dell Ingegneria Università di Modena e Reggio Emilia, Via Amendola

Dettagli

Appunti di. Algebra Superiore. Rosario Strano

Appunti di. Algebra Superiore. Rosario Strano Appunti di Algebra Superiore Rosario Strano A cura di Giuseppe Bilotta. Dattiloscritti con AMS-L A TEX. Indice Parte I. Teoria di Galois 5 Capitolo I. Estensioni di campi 7 1. Richiami 7 2. Estensioni

Dettagli

STRUTTURE ALGEBRICHE

STRUTTURE ALGEBRICHE STRUTTURE ALGEBRICHE 1. Operazioni algebriche binarie Dato un insieme M, chiamiamo operazione algebrica binaria definita su M una qualunque applicazione f che associa ad ogni coppia ordinata (a, b) di

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

ALGEBRA I FATTORIZZAZIONE

ALGEBRA I FATTORIZZAZIONE ALGEBRA I FATTORIZZAZIONE 1. DIVISIBILITÀ IN DOMINI A IDEALI PRINCIPALI 1.1. Ideali e divisibilità. Il nostro obiettivo è quello di preparare il terreno prima di affrontare la dimostrazione del Teorema

Dettagli

Insiemi con un operazione

Insiemi con un operazione Capitolo 3 Insiemi con un operazione 3.1 Gruppoidi, semigruppi, monoidi Definizione 309 Un operazione binaria su un insieme G è una funzione: f : G G G Quindi, un operazione binaria f su un insieme G è

Dettagli

5. La teoria astratta della misura.

5. La teoria astratta della misura. 5. La teoria astratta della misura. 5.1. σ-algebre. 5.1.1. σ-algebre e loro proprietà. Sia Ω un insieme non vuoto. Indichiamo con P(Ω la famiglia di tutti i sottoinsiemi di Ω. Inoltre, per ogni insieme

Dettagli

LEZIONE 16. Proposizione 16.1.2. Siano V e W spazi vettoriali su k = R, C. Se f: V W

LEZIONE 16. Proposizione 16.1.2. Siano V e W spazi vettoriali su k = R, C. Se f: V W LEZIONE 16 16.1. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Ricordo le seguenti due definizioni valide per applicazioni di qualsiasi tipo ϕ: X Y fra due insiemi. L applicazione ϕ si dice iniettiva se

Dettagli

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza

Dettagli

Prodotto elemento per elemento, NON righe per colonne Unione: M R S

Prodotto elemento per elemento, NON righe per colonne Unione: M R S Relazioni binarie Una relazione binaria può essere rappresentata con un grafo o con una matrice di incidenza. Date due relazioni R, S A 1 A 2, la matrice di incidenza a seguito di varie operazioni si può

Dettagli

Appunti di Teoria dei Numeri (algebra III)

Appunti di Teoria dei Numeri (algebra III) Appunti di Teoria dei Numeri (algebra III) Fabrizio Andreatta & Massimo Bertolini 18 dicembre 2014 1 Campi di numeri Definizione 1.1. Un campo di numeri (detto anche campo di numeri algebrici) è un sottocampo

Dettagli

3 Applicazioni lineari e matrici

3 Applicazioni lineari e matrici 3 Applicazioni lineari e matrici 3.1 Applicazioni lineari Definizione 3.1 Siano V e W dei K spazi vettoriali. Una funzione f : V W è detta applicazione lineare se: i u, v V, si ha f(u + v = f(u + f(v;

Dettagli

DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2015/16 DOCENTE: ANDREA CARANTI

DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2015/16 DOCENTE: ANDREA CARANTI DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2015/16 DOCENTE: ANDREA CARANTI Nota. L eventuale descrizione di lezioni non ancora svolte si deve intendere come una previsione/pianificazione. Lezione 1. martedí 15 settembre

Dettagli

Dispense di Algebra 1 - Gruppi

Dispense di Algebra 1 - Gruppi Dispense di Algebra 1 - Gruppi Dikran Dikranjan e Maria Silvia Lucido Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Udine via delle Scienze 200, I-33100 Udine gennaio 2005 L algébre est généreuse,

Dettagli

UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE. Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali ALGEBRA II UNITÀ. M. Chiara Tamburini

UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE. Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali ALGEBRA II UNITÀ. M. Chiara Tamburini UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali ALGEBRA II UNITÀ M Chiara Tamburini Anno Accademico 2009/2010 Indice I Omomorfismi fra anelli 1 1 Ideali 1 2 Anelli

Dettagli

LEZIONE 17. B : kn k m.

LEZIONE 17. B : kn k m. LEZIONE 17 17.1. Isomorfismi tra spazi vettoriali finitamente generati. Applichiamo quanto visto nella lezione precedente ad isomorfismi fra spazi vettoriali di dimensione finita. Proposizione 17.1.1.

Dettagli

MODULI INIETTIVI. Definizione: Un inclusione di A-moduli ι : M N si dice estensione essenziale di M se per ogni sottomodulo non nullo P N, P ι(m) 0.

MODULI INIETTIVI. Definizione: Un inclusione di A-moduli ι : M N si dice estensione essenziale di M se per ogni sottomodulo non nullo P N, P ι(m) 0. MODULI INIETTIVI Definizione: Un inclusione di A-moduli ι : M N si dice estensione essenziale di M se per ogni sottomodulo non nullo P N, P ι(m) 0. Esempio: Supponiamo che A sia un dominio e chiamiamo

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI. B si definisce surriettiva. 9 quando ogni elemento di. B risulta IMMAGINE di. almeno un elemento di A.

APPLICAZIONI LINEARI. B si definisce surriettiva. 9 quando ogni elemento di. B risulta IMMAGINE di. almeno un elemento di A. APPLICAZIONI LINEARI Siano V e W due spazi vettoriali, di dimensione m ed n sullo stesso campo di scalari R. Una APPLICAZIONE ƒ : V W viene definita APPLICAZIONE LINEARE od OMOMORFISMO se risulta, per

Dettagli

19. Inclusioni tra spazi L p.

19. Inclusioni tra spazi L p. 19. Inclusioni tra spazi L p. Nel n. 15.1 abbiamo provato (Teorema 15.1.1) che, se la misura µ è finita, allora tra i corispondenti spazi L p (µ) si hanno le seguenti inclusioni: ( ) p, r ]0, + [ : p

Dettagli

Anelli a fattorizzazione unica. Domini ad ideali principali. Anelli Euclidei

Anelli a fattorizzazione unica. Domini ad ideali principali. Anelli Euclidei Capitolo 5: Anelli speciali: Introduzione: Gli anelli speciali sono anelli dotati di ulteriori proprietà molto forti che ne rendono agevole lo studio. Anelli euclidei Domini ad ideali principali Anelli

Dettagli

NULLSTELLENSATZ PER TUTTI

NULLSTELLENSATZ PER TUTTI NULLSTELLENSATZ PER TUTTI MARCO MANETTI Dedicato alla memoria di Franco Conti Il Nullstellensatz, detto anche teorema degli zeri di Hilbert, è la generalizzazione in più dimensioni del teorema fondamentale

Dettagli

Lezione 6. Divisibilità e divisori. Teorema di divisione euclidea. Algoritmo delle divisioni successive.

Lezione 6. Divisibilità e divisori. Teorema di divisione euclidea. Algoritmo delle divisioni successive. Lezione 6 Prerequisiti: L'insieme dei numeri interi. Lezione 5. Divisibilità e divisori. Teorema di divisione euclidea. Algoritmo delle divisioni successive. Questa è la prima lezione dedicata all'anello

Dettagli

Lezioni del corso di Geometria e Algebra. prof. Michele Mulazzani dott. Alessia Cattabriga

Lezioni del corso di Geometria e Algebra. prof. Michele Mulazzani dott. Alessia Cattabriga Lezioni del corso di Geometria e Algebra prof Michele Mulazzani dott Alessia Cattabriga AA 20001/2002 Indice 1 Equazioni e sistemi lineari 4 11 Alcune strutture algebriche 4 12 Operazioni standard su K

Dettagli

Algebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2)

Algebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Algebra e Geometria Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Traccia delle lezioni che saranno svolte nell anno accademico 2012/13 I seguenti appunti

Dettagli

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Versione ottobre novembre 2008 Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Contenuto 1. Applicazioni lineari 2. L insieme delle

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0. Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini

Dettagli

MATRICI E DETERMINANTI

MATRICI E DETERMINANTI MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali.

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. CAPITOLO 7 Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. Esercizio 7.1. Determinare il rango delle seguenti matrici al variare del parametro t R. 1 4 2 1 4 2 A 1 = 0 t+1 1 A 2 = 0 t+1 1

Dettagli

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. 10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi

Dettagli

Applicazioni lineari

Applicazioni lineari Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av

Dettagli

L Ultimo Teorema di Fermat per n = 3 e n = 4

L Ultimo Teorema di Fermat per n = 3 e n = 4 Università degli Studi di Cagliari Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Matematica L Ultimo Teorema di Fermat per n = 3 e n = 4 Relatore Prof. Andrea Loi Tesi di Laurea

Dettagli

Il problema della fattorizzazione nei domini di Dedekind

Il problema della fattorizzazione nei domini di Dedekind Il problema della fattorizzazione nei domini di Dedekind Stefania Gabelli Dipartimento di Matematica, Università degli Studi Roma Tre Note per i corsi di Algebra Commutativa a.a. 2010/2011 1 Indice 1 Preliminari

Dettagli

Lezione 9: Cambio di base

Lezione 9: Cambio di base Lezione 9: Cambio di base In questa lezione vogliamo affrontare uno degli argomenti piu ostici per lo studente e cioè il cambio di base all interno di uno spazio vettoriale, inoltre cercheremo di capire

Dettagli

Appunti del corso: Teoria algebrica dei numeri Prof. Ilaria Del Corso

Appunti del corso: Teoria algebrica dei numeri Prof. Ilaria Del Corso Appunti del corso: Teoria algebrica dei numeri Prof. Ilaria Del Corso Stefano Maggiolo http://poisson.phc.unipi.it/~maggiolo/ maggiolo@mail.dm.unipi.it 2006 2007 Indice 1 Introduzione e prerequisiti 3

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica. Dispense del corso di ALGEBRA II

Corso di Laurea in Matematica. Dispense del corso di ALGEBRA II Corso di Laurea in Matematica Dispense del corso di ALGEBRA II a.a. 2012 2013 2 Indice I GRUPPI 5 1 Operazioni 7 1.1 Operazioni associative............................ 7 1.2 Matrici.....................................

Dettagli

Appunti di LOGICA MATEMATICA (a.a.2009-2010; A.Ursini) Algebre di Boole. 1. Definizione e proprietá

Appunti di LOGICA MATEMATICA (a.a.2009-2010; A.Ursini) Algebre di Boole. 1. Definizione e proprietá Appunti di LOGICA MATEMATICA (a.a.2009-2010; A.Ursini) [# Aii [10 pagine]] Algebre di Boole Un algebra di Boole è una struttura 1. Definizione e proprietá B =< B,,, ν, 0, 1 > in cui B è un insieme non

Dettagli

5 Radici primitive dell unità e congruenze del tipo

5 Radici primitive dell unità e congruenze del tipo 5 Radici primitive dell unità e congruenze del tipo X m a (mod n ) Oggetto di questo paragrafo è lo studio della risolubilità di congruenze del tipo: X m a (mod n) con m, n, a Z ed m, n > 0. Per l effettiva

Dettagli

4. Operazioni elementari per righe e colonne

4. Operazioni elementari per righe e colonne 4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:

Dettagli

Serie numeriche. 1 Definizioni e proprietà elementari

Serie numeriche. 1 Definizioni e proprietà elementari Serie numeriche Definizioni e proprietà elementari Sia { } una successione, definita per ogni numero naturale n n. Per ogni n n, consideriamo la somma s n degli elementi della successione di posto d s

Dettagli

Geometria Superiore. A.A. 2014/2015 CdL in Matematica Università degli Studi di Salerno. March 2, 2015

Geometria Superiore. A.A. 2014/2015 CdL in Matematica Università degli Studi di Salerno. March 2, 2015 Geometria Superiore A.A. 2014/2015 CdL in Matematica Università degli Studi di Salerno Luca Vitagliano March 2, 2015 Programma Prerequisiti. Spazi affini. Anelli commutativi con unità. Ideali. Anelli quoziente.

Dettagli

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE Sia f:a B una funzione tra due insiemi. Se y appartiene all immagine di f si chiama fibra di f sopra y l insieme f -1 y) ossia l insieme di tutte le controimmagini

Dettagli

UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE. Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE. Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali APPROFONDIMENTI DI ALGEBRA M. Chiara Tamburini Anno Accademico 2013/2014 Indice Prefazione iii I Moduli su un anello

Dettagli

Siano V e W due spazi vettoriali. La definizione seguente é è tra quelle basilari per il corso di Matematica B. L : V W

Siano V e W due spazi vettoriali. La definizione seguente é è tra quelle basilari per il corso di Matematica B. L : V W Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Siano V e W due spazi vettoriali. La definizione seguente é è tra quelle basilari per il corso di Matematica B. Definizione 1. La funzione L : V W si dice una applicazione

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

Dispense del corso di ALGEBRA 1 a.a. 2008 2009

Dispense del corso di ALGEBRA 1 a.a. 2008 2009 Dispense del corso di ALGEBRA 1 a.a. 2008 2009 2 Indice I INSIEMI E NUMERI 5 1 Insiemi e applicazioni 7 1.1 Insiemi..................................... 7 1.2 Operazioni tra insiemi.............................

Dettagli

Geometria nel piano complesso

Geometria nel piano complesso Geometria nel piano complesso Giorgio Ottaviani Contents Un introduzione formale del piano complesso 2 Il teorema di Napoleone 5 L inversione circolare 6 4 Le trasformazioni di Möbius 7 5 Il birapporto

Dettagli

L espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0.

L espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Le uguaglianze fra espressioni numeriche si chiamano equazioni. Cercare le soluzioni dell equazione vuol dire cercare quelle combinazioni delle lettere che vi compaiono che la

Dettagli

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag. SOMMARIO CAPITOLO : I RADICALI. I radicali pag.. I radicali aritmetici pag.. Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.. Potenza di un radicale aritmetico pag.. Trasporto di un fattore esterno

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

RICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come

RICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come RICHIAMI SULLE MATRICI Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a m1 a m2... a mn dove m ed n sono le dimensioni di A. La matrice A può

Dettagli

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento:

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento: Capitolo 3 Serie 3. Definizione Sia { } una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare significato, quando possibile, alla somma a + a 2 +... + +... di tutti i termini della successione. Questa

Dettagli

Metodi iterativi per sistemi lineari

Metodi iterativi per sistemi lineari Metodi iterativi per sistemi lineari Dario A. Bini, Università di Pisa 30 ottobre 2013 Sommario Questo modulo didattico contiene risultati relativi ai metodi iterativi per risolvere sistemi di equazioni

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli

Prodotto libero di gruppi

Prodotto libero di gruppi Prodotto libero di gruppi 24 aprile 2014 Siano (A 1, +) e (A 2, +) gruppi abeliani. Sul prodotto cartesiano A 1 A 2 definiamo l operazione (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) := (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ). Provvisto

Dettagli

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Definizione 1. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, in forma normale, è del tipo a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + +

Dettagli

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una

Dettagli

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione

Dettagli

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24

Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24 Contenuto Endomorfismi auto-aggiunti. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale Gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali. (Dimostrazione fatta usando i numeri complessi). Dimostrazione

Dettagli

Capitolo II. FATTORIZZAZIONI IN IRRIDUCIBILI

Capitolo II. FATTORIZZAZIONI IN IRRIDUCIBILI Capitolo II. FATTORIZZAZIONI IN IRRIDUCIBILI Premessa lessicale Anche se il suono è simile, la parola inglese factoring non significa calcolare la fattorizzazione (vedi sotto), bensì passare al quoziente,

Dettagli

Lo Spettro primo di un anello. Carmelo Antonio Finocchiaro

Lo Spettro primo di un anello. Carmelo Antonio Finocchiaro Lo Spettro primo di un anello Carmelo Antonio Finocchiaro 2 Indice 1 Lo spettro primo di un anello: introduzione 5 1.1 Le regole del gioco................................ 5 1.2 Prime definizioni e risultati

Dettagli

Corso PAS Anno 2014. ESEMPIO. Per n = 3, Z 3 contiene 3 elementi:

Corso PAS Anno 2014. ESEMPIO. Per n = 3, Z 3 contiene 3 elementi: Corso PAS Anno 2014 Matematica e didattica 3 Correzione esercizi 1. Definizione. Sia n un fissato intero maggiore di 1. Dati due interi a, b si dice che a è congruo a b modulo n, e si scrive a b (mod n),

Dettagli

G. Pareschi RELAZIONI. RELAZIONI DI EQUIVALENZA. 1. Definizione e terminologia

G. Pareschi RELAZIONI. RELAZIONI DI EQUIVALENZA. 1. Definizione e terminologia G. Pareschi RELAZIONI. RELAZIONI DI EQUIVALENZA. 1. Definizione e terminologia Definizione 1.1 Relazione. Dati due insiemi A e B un sottoisieme R A B è detto una relazione binaria tra A e B. Se A = B allora

Dettagli

Tutorato di GE110. Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica

Tutorato di GE110. Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di GE110 A.A. 2014-2015 - Docente: Prof. Angelo Felice Lopez Tutori: Federico Campanini e Giulia Salustri Soluzioni Tutorato 13

Dettagli

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali 1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!

Dettagli

Lezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio

Lezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio Lezioni di Geometria e Algebra Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio CAPITOLO 0 Preliminari.. Insiemistica e logica Il presente Capitolo introduttivo ha lo scopo di ripassare alcuni argomenti

Dettagli

Le equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.

Le equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Le equazioni Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l uguaglianza tra due espressioni algebriche,

Dettagli

Moduli finitamente generati su domini a ideali principali

Moduli finitamente generati su domini a ideali principali Moduli finitamente generati su domini a ideali principali Versione del 2 dicembre 2014 1 Moduli noetheriani Una delle proprietà fondamentali degli spazi vettoriali a coefficienti in un campo consiste nel

Dettagli

Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione. 1 Definizione di Nucleo e Immagine

Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione. 1 Definizione di Nucleo e Immagine Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione In questa lezione entriamo nel vivo della teoria delle applicazioni lineari. Per una applicazione lineare L : V W definiamo e impariamo a calcolare

Dettagli

Geometria I A. Algebra lineare

Geometria I A. Algebra lineare UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Geometria I A. Algebra lineare Prof.ssa Silvia Pianta Anno Accademico 22/23 Indice Spazi vettoriali 7 Definizione

Dettagli

Corso di Analisi Numerica

Corso di Analisi Numerica Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Corso di Analisi Numerica 8 - METODI ITERATIVI PER I SISTEMI LINEARI Lucio Demeio Dipartimento di Scienze Matematiche 1 Norme e distanze 2 3 4 Norme e distanze

Dettagli

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Funzioni Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

ALGEBRA COMPUTAZIONALE

ALGEBRA COMPUTAZIONALE ALGEBRA COMPUTAZIONALE Capitolo I. TERMINOLOGIA Lo scopo di queste pagine è di richiamare le nozioni algebriche che verranno usate nel corso, illustrandole con qualche esempio di riferimento. Le dimostrazioni,

Dettagli

APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE

APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE pag. 131 Appendice: Nozioni base e varie G. Gerla APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE 1. Funzioni e relazioni di equivalenza Questi appunti sono rivolti a persone che abbiano già una conoscenza elementare della

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli