ESAME DI STATO 2005, SECONDA PROVA SCRITTA PER I LICEI SCIENTIFICI A INDIRIZZO SPERIMENTALE (PNI E SCIENTIFICO-TECNOLOGICO "BROCCA")

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1 Achimede 00 ESAME DI STATO 00, SECONDA PROVA SCRITTA PER I LICEI SCIENTIFICI A INDIRIZZO SPERIMENTALE (PNI E SCIENTIFICO-TECNOLOGICO "BROCCA") Il cadidato isolva uo dei due poblemi e dei 0 quesiti i cui si aticola il questioaio. PROBLEMA Nel piao Oy soo date le cuve λ e d equazioi: λ : = ( y) e : y = Si povi che λ e o hao puti comui.. Si tovi il puto P λ che ha distaza miima da.. Si detemii l aea della egioe fiita di piao acchiusa da λ e dalla etta s, simmetica di ispetto all asse.. Si detemii il valoe di c pe il quale la etta y = c divide a metà l aea della egioe S del I quadate compesa ta λ e l asse.. Si detemii il volume del solido di base S le cui sezioi otteute co piai otogoali all asse soo quadati. PROBLEMA Si cosidei la fuzioe f defiita sull itevallo [0; + [ da: f () 0 = f( ) = log se > 0 ( )+ e sia C la sua cuva appesetativa el ifeimeto Oy, otogoale e moometico.. Si stabilisca se f è cotiua e deivabile i 0.. Si dimosti che l equazioe f() = 0 ha, sull itevallo [0; + [, u uica adice eale e se e calcoli u valoe appossimato co due cife decimali esatte.. Si disegi C e si detemii l equazioe della etta tagete a C el puto di ascissa =. 86

2 00 Achimede. Sia u iteo atuale o ullo. Si espima, i fuzioe di, l aea A del domiio piao delimitato dalla cuva C, dalla etta tagete e dalle due ette: = e =.. Si calcoli il limite pe + di A e si itepeti il isultato otteuto. ARTICOLO QUESTIONARIO. Si dimosti che il lato del decagoo egolae iscitto i u cechio è sezioe auea del aggio e si utilizzi il isultato pe calcolae se 8, se 6.. Si dia ua defiizioe di etta tagete ad ua cuva. Successivamete, si dimosti che la cuva y = se è tagete alla etta y = quado se = ed è tagete alla etta y = quado se =.. Si detemiio le equazioi di due simmetie assiali σ e ϕ la cui composizioe σ ϕ dia luogo alla taslazioe di equazioe: = + y = y Si detemiio poi le equazioi della tasfomazioe che si ottiee compoedo le due simmetie i odie iveso ϕ σ.. Ua bevada viee veduta i lattie, ovveo coteitoi a foma di cilido cicolae etto, ealizzati co fogli di latta. Se ua lattia ha la capacità di 0, liti, quali devoo essee le sue dimesioi i cetimeti, affiché sia miima la quatità di latta ecessaia pe ealizzala? (Si tascui lo spessoe della latta.). Come si defiisce e quale è l impotaza del umeo e di Nepeo [ome latiizzato dello scozzese Joh Napie (0-67)]? Si illusti ua pocedua che coseta di calcolalo co la pecisioe voluta. 6. Le ette e s di equazioi ispettive y = + e y = si coispodoo i ua omotetia σ di ceto l oigie O. Si detemii σ. 7. Come si defiisce!( fattoiale) e quale e è il sigificato el calcolo combiatoio? Quale è il suo legame co i coefficieti biomiali? Peché? 8. Si tovi l equazioe della etta tagete alla cuva di equazioi paametiche = e t + e y = e -t + el suo puto di coodiate (, ). 9. Quale è la pobabilità di otteee 0 laciado due dadi? Se i laci vegoo ipetuti quale è la pobabilità di avee due 0 i sei laci? E quale è la pobabilità di avee almeo due 0 i sei laci? 0. Il 0% della popolazioe di u Paese ha 60 ai o più. Può l età media della popolazioe di quel Paese essee uguale a 0 ai? Si illusti il agioameto seguito pe dae la isposta. Duata massima della pova: 6 oe. È cosetito soltato l uso di calcolatici o pogammabili. 87

3 Achimede 00 RISOLUZIONE DEL PROBLEMA Le cuve λ, e s soo appesetate ella figua. y V l A - - s B Figua. I gafici di λ e evideziao l asseza di itesezioi eali. Dal puto di vista algebico, l equazioe isolvete del sistema costituito dalle equazioi delle due cuve, cioè + 6 = 0, avedo discimiate egativo, cofema l asseza di puti eali comui. Iolte, + 6 > 0 pe ogi R. t. Detto Pt ; +t co t R, il geeico puto di λ, la sua distaza da isulta dt ()= t t+ 6 t t+ 6 = 7 7 (vedi puto ). Si coclude ossevado che l ascissa del puto di miima distaza è quella del vetice della paabola di equazioe y = t t + 6, cioè oppue studiado d (t). Si ottiee P =. t = ;, 6 Alteativamete, cosideiamo le ette paallele ad che itesecao λ: esse hao equazioe + k, co k 9 Fa queste, la etta di miima distaza 6. 9 da è la tagete alla paabola, cioè la etta di equazioe y = + 6. Il puto P cecato è il puto di tageza; si itova facilmete che la sua ascissa è =.. La etta s simmetica di ispetto all asse, ha equazioe y = e iteseca λ i A ; e B(6; ). L aea ichiesta è peciò 88

4 data da 6 + d =. 00 Achimede Alteativamete, si poteva detemiae il puto H di λ i cui la tagete è paallela ad AB: impoedo che la deivata della fuzioe y = + sia, si tova e, di cosegueza, y = = Pe il oto teoema di Achimede, l aea del 6. segmeto paabolico è uguale ai dell aea del tiagolo ABH.. La etta y = c iteseca λ come idicato el testo miisteiale pe 0 < c <. Le sue ARTICOLO itesezioi co λ hao ascisse, = ± c. Pe detemiae il valoe di c, popoiamo te soluzioi. 8 Pima soluzioe. Aea( S)= + d =. Risolvedo co calcoli u po 0 laboiosi l equazioe + c d=, c si icava c =. y V l O - - y = c Figua Secoda soluzioe. L aco di paabola OV (vedi figua ), pesado come fuzioe di y, ha equazioe = y, co 0 y. Sottaedo dall aea del ettagolo di lati c e quella del tapezoide elativo all aco 89

5 Achimede 00 OV co 0 y c e sfuttado la simmetia della paabola, si peviee all equazioe c c y dy 0 ( ) = apidamete. ell icogita c. Il pecedete valoe di c si ottiee Teza soluzioe. Gazie al teoema di Achimede pima ichiamato si ha Aea( S)= = e si tatta quidi di tovae il valoe di i c che soddisfa 8 l equazioe ( ) ( c)=, ove i valoi di e soo quelli calcolati pecedetemete. Facilmete si iottiee c =.. Il volume poposto (figua ) si calcola attaveso l itegale delle aee delle sezioi paallele del solido otteute co piai otogoali all asse, ossia: V = + d =. 0 Tale metodo delle sezioi paallele talvolta viee icodato icoedo a paagoi schezosi, come pe esempio: «è il metodo pe calcolae il volume di u salame cooscedo l aea di tutte le fette otteute affettadolo» (G. Baozzi, Coso di aalisi matematica, Zaichelli). Esso, ache se o sempe citato ei libi di testo, si pesta pe il suo caattee ituitivo ad essee pesetato agli studeti come impotate esemplificazioe del sigificato di itegale defiito. Iolte, potebbe essee posto alla base dell applicazioe del calcolo itegale alla geometia solida pe dedue il picipio di Cavaliei e la fomula elativa al volume di u solido di otazioe. y z Figua 90

6 00 Achimede RISOLUZIONE DEL PROBLEMA ARTICOLO Si ivia alla isoluzioe della pova pe il Liceo Scietifico di odiameto. RISPOSTE AL QUESTIONARIO.Dalla similitudie dei tiagoli isosceli ABO e CAB (figue e ), segue facilmete la popozioe : l 0 = l 0 : ( l 0 ), che foisce l espessioe l0 =, ove è il aggio della cicofeeza cicoscitta al decagoo egolae: l 0 è petato la sezioe auea di. AB = l 0 OA = O 8 7 H B AÔB = 6 AÔH = B l 0 A 6 7 O C -l 0 A Figua Figua I base alla defiizioe di seo di u agolo, si ha: se8 = e quidi + cos 8 =. Usado la fomula di duplicazioe del seo oppue 8 applicado il teoema del coseo al tiagolo AOB si ottiee se 6 =. 8. È pesabile che ci si ifeisca alla cuva gafico di ua fuzioe deivabile f(). Alloa la tagete al gafico el puto di ascissa 0 è la etta t di equazioe y f( 0 ) = f ( 0 )( 0 ). L aticolo «ua» lascia apeta la possibilità di defiizioi quali: la etta t è tagete ad ua cuva i u suo puto P, se i P possiede almeo due itesezioi coicideti co la cuva, oppue se occupa la posizioe limite delle secati PP quado P tede a P lugo la cuva (a igoe, tuttavia, i queste ultime defiizioi si dovebbe pecisae che cosa si itede pe «itesezioi coicideti» e pe «posizioe limite»). 9

7 Achimede 00 Idicate co g ed le cuve di equazioe y = se ed y =, sia 0 u valoe tale che se 0 =. Alloa sia g che passao pe il puto ( 0 ; 0 ). Essedo Dse ( ) =, la etta tagete a g i ( 0 ; 0 ) ha pedeza e quidi coicide = 0 co. Aalogamete pe la secoda pate del quesito.. La isoluzioe si basa su u oto teoema di geometia delle tasfomazioi geealmete affotato el bieio. Cosideate ad esempio le due ette a e b, di equazioi y = ed y = (figua 6), le equazioi delle simmetie ichieste = y isultao ϕ: = y+ e σ: ; la loo composizioe σ ϕ dà luogo alla y = y = taslazioe di vettoe v = ( ; ). I geeale, si possoo scegliee due v qualuque ette paallele alla etta a e co ua distaza fa loo pai a La tasfomazioe ϕ σ coicide co la taslazioe di vettoe v,. e quidi basta scambiae fa loo i segi «+» e elle equazioi date el testo. La isoluzioe del quesito si semplifica scegliedo come uovo sistema di ifeimeto la tea {O, X, Y } equioietata co quella iiziale, ove l asse X è cocode co v e l asse Y è pepedicolae a X i O. y a b O v - Figua 6. Idicati co V, ed h il volume, il aggio e l altezza del cilido, da V = π h si icava il valoe di h, otteedo poi STOT = S ()= V + π. Pe miimizzae la fuzioe o si segue il metodo stadad (sego di S () e studio del compotameto di S() agli estemi del domiio), oppue si può pocedee pe via elemetae. 9

8 00 Achimede Ifatti, posto = π V ed =, il podotto è costate. Quidi, + è miimo se e solo se V = cioè se e solo se =, Di cosegueza h = : π. si tatta di u cilido equilateo. Sostituedo i dati umeici, si tova:.99cm ed h 7.98cm.. Usualmete il umeo e si defiisce come il limite della successioe +, co, cescete e limitata ta e. Esso ha u valoe appossimato di,7888 Se si affotao le seie, si può povae che e isulta somma della + seie Tale umeo è o solo iazioale (Euleo, 77), ma ache tascedete (Hemite, 87). L uso della lettea e pe idicae tale limite (poposto da k 0 k!. = Jacob Beoulli) fu di Euleo, il quale e costuì lo sviluppo come fazioe cotiua. Napie elle sue opee usa pe la pima volta il temie logaitmo ed espoe i picipi della sua «egola meavigliosa» i temii geometici, essedogli estaeo qualuque sistema di logaitmi. Gli si icoosce comuque di ave itodotto pe pimo i logaitmi i base e. L impotaza di e sta i vai fatti: è la base dei logaitmi atuali, che godoo delle ote popietà i Aalisi matematica (come D(l ) = ); si peseta i poblemi i cui ua gadezza aumeta o dimiuisce co velocità popozioale alla gadezza ad ogi istate; lo si itova i due impotati vaiabili aleatoie, quelle di Poisso e di Gauss. Pe calcolae il valoe di e co u eoe ifeioe ad E, idichiamo te possibilità: + a) da e = si ha e < k k= 0!! ; k k= 0!, b) usado la fomula di Maclaui co esto di Lagage si ottiee ξ e e e = + ξ co 0 < ξ <, ove! <!!!,! ; ( ) + ARTICOLO + c) si osseva che le due successioi e b = + a = + covegoo etambe ad e, la pima cescedo e la secoda decescedo, e che si ha b a. È sufficiete alloa isolvee la disequazioe < i a) e le aaloghe i b)! E e i c). 9

9 Achimede 00 ' = k 6. Applicado l omotetia ω O,k di equazioi ad ua delle due ette ed y' = ky impoedo che l immagie sia l alta etta, si ottiee k = (ovveo k = ). Oppue, ua volta ossevato che le due ette soo paallele (altimeti il poblema o ammetteebbe soluzioe), basta impoe che l immagie di u sigolo puto di ua delle due ette appatega all alta. 7. Defiiamo! = ( ), co, e 0!=; oppue, iduttivamete, 0!= ed (+)! =! (+). Esso appeseta il umeo delle pemutazioi di oggetti. Ck, =, co 0 k, idichi il umeo delle combiazioi semplici di classe k k di oggetti; due di queste soo distite se e solo se diffeiscoo pe almeo u Dk k oggetto. Peciò, appoto ta il umeo k = = ( ) ( + ), K k! k! delle disposizioi semplici di classe k di oggetti e il umeo delle pemutazioi di k oggetti. Ifie, moltiplicado umeatoe e deomiatoe pe ( k)!, si ha k! = k! ( k)!. 8. Ricavato e t dalla pima equazioe e sostituito ella secoda, si ottiee y = co >, equazioe catesiaa della cuva, e poi y = + 7, equazioe catesiaa della sua etta tagete el puto (; ). Oppue, si osseva che il + valoe del paameto cui coispode il puto (; ) è t 0 = 0; siccome il vettoe tagete alla cuva è u t ; y t, pe t 0 = 0 si ha u = ; e quidi, la etta t tagete ha equazioi paametiche yt 9. La pima pobabilità che si deve valutae è p = (ci soo casi favoevoli su 6). Alle alte ichieste si ispode costuedo la vaiabile aleatoia beoulliaa ( ) Bp, = 6, p= /, q= p. Si ha: PB p = ( ( ) ( )) ( 6, = ) = ()= + ()= Si devoo valutae P(B 6, p = ) e P(B 6, p ). 7.% t t ( ) ( ) = = e PB ( 6 p ) = PB6 p PB ( 6 p 0) PB ( 6 p = ) 8,,,,.%. 9

10 00 Achimede 0.Siao ed y le medie della popolazioe ispettivamete co 60 ai o più e co meo di 60 ai. Se 0 è la media podeata di (co peso 0.) e di y (co peso 0.6), si ha y = 0, cioè y = + 0 co i vicoli 60 e y 0. Le soluzioi accettabili soo {(; y) : 60 7; 0 y 0}, cioè i puti del segmeto AB i figua 7. Ua soluzioe è ad esempio la coppia = 60, y = 0. I geeale, il 0% della popolazioe deve avee u età media compesa ta i 60 e i 7 ai, mete il 60% ta 0 e 0 ai, situazioe possibile, ache se molto aa ella ealtà. y 0 ARTICOLO A B Figua 7 CONSIDERAZIONI E COMMENTI Le ichieste del poblema o isultao complesse é di difficile itepetazioe da pate di studeti agioevolmete pepaati, tae fose quella elativa al puto. Iolte, è positivamete cofemata la suddivisioe del poblema i puti ta loo idipedeti e di difficoltà via via cescete. Tuttavia, iguado alle competeze ichieste, il poblema appae sbilaciato sull applicazioe del calcolo itegale (te puti su cique); comuque, ei puti e si offe allo studete capace la possibilità di scegliee, ta divesi pocedimeti isolutivi, uo meo ovvio ma più coveiete dal puto di vista del calcolo; ifie, el puto, si mette i evideza lo studete che ha be acquisito il cocetto di itegale defiito. È la teza volta i pochi ai che vegoo poposte questioi legate al calcolo del volume di u solido attaveso l itegale delle aee delle sue sezioi paallele. Nell affotale gli studeti si tovao sempe i difficoltà: o soo toppo legati al caso del solido di otazioe, o o iescoo a visualizzae la figua, o o hao pieamete compeso tale metodo di calcolo. Ifie, el puto del testo saebbe stato a igoe oppotuo specificae puti eali, i quato le due cuve si itesecao i due puti a coodiate complesse. Dei dieci quesiti poposti, cique soo comui co quelli del Liceo di odiameto, salvo lievi vaiazioi el secodo e el quito. Questo fatto semba cofemae la 9

11 Achimede 00 tedeza da pate del Miisteo a popoe u tema di matematica simile ei due cosi liceali: fose ciò espime l oietameto ad uificae i cuicola di matematica. Gli agometi poposti soo abbastaza vai, o paticolamete impegativi e tali da pemettee u adeguata veifica o solo delle coosceze degli studeti, ma ache della loo capacità di applicale secodo modalità più o meo oigiali. A diffeeza degli ai scosi, pesetao livelli simili di difficoltà, tae i umei 7 e. Tuttavia, si isiste toppo sulla detemiazioe della etta tagete (ache el secodo poblema) a scapito della geometia, dell algeba vettoiale e delle matici, dell aalisi umeica. Ifatti, la geometia è pesete solo el pimo quesito e ella dimostazioe di u teoema elativo al pogamma del bieio; l algeba vettoiale e delle matici è assete; l aalisi umeica compae i maiea magiale ella ichiesta fiale del quesito. Abbiamo qualche dubbio sul secodo quesito: si chiede ifatti di dae «ua defiizioe di etta tagete ad ua cuva». È impobabile che le coosceze degli studeti compedao la ozioe di etta tagete ad ua geeica cuva piaa. Saebbe stato iteessate ua ichiesta esplicita delle «diffeeze» ta le defiizioi di tagete al gafico di ua fuzioe deivabile e di tagete ad ua coica. La ichiesta di aalisi umeica el quito quesito, meo scotata delle usuali domade i poposito, ci semba di maggioe difficoltà: ifatti, le seie e gli sviluppi di Taylo co esto di Lagage o sempe vegoo svolti el coso dell ultimo ao. Il quato quesito ipopoe, co lievi vaiazioi sulle uità di misua, i pimi due puti del poblema della sessioe suppletiva 000/0 pe i cosi speimetali. Alcui commetatoi, co i quali cocodiamo, hao giudicato positivamete questo uso della matematica i poblemi quotidiai e auspicato u «itoo alla ealtà», pe veificae la capacità di applicazioe degli stumeti matematici i cotesti divesi. Il quesito, a diffeeza del quesito, è iteessate ache peché cosete ad u allievo ituitivo o iflessivo di ispodee pu o icodado il teoema elativo alla ichiesta. Semplice ma o del tutto baale il quesito 7 simile a quello poposto ella sessioe staodiaia 00/0: ifatti, o ci si limita a ichiedee defiizioi e fomule, ma si ivita a esplicitae il sigificato e i collegameti. Di ilievo l ultimo quesito, che cosete allo studete di fae cosideazioi sui limiti delle isposte che spesso i modelli matematici foiscoo. Pe quato iguada le poblematiche elative alla valutazioe dei quesiti, si imada alle ossevazioi discusse i «Achimede». del 00, pagg. 09 e 0, e i «Achimede». del 00, pagg. 96 e 97. Ifie, otiamo i vai quesiti u iteesse pe la Stoia della matematica che iteiamo positivo. Ifatti, pesetae alcui agometi del pogamma el loo sviluppo stoico è didatticamete valido e può favoie u appoccio meo timooso da pate degli studeti veso la disciplia. D alta pate, come disse Poicaé, «il veo metodo pe pevedee l avveie delle matematiche è studiae la stoia e lo stato attuale». Fedeico Pilla Tibeio Luigi Giacomo Bottaci Istituto Magistale Statale «D.G. Fogazzao» Viceza / 96

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