Trasformate di Laplace e risoluzione di sistemi lineari di Equazioni Differenziali Ordinarie

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1 Trasformat di Laplac risoluzion di sistmi linari di Equazioni Diffrnziali Ordinari Flaviano Battlli 1 Trasformat di Laplac di funzioni a valori in R Una funzion f : R R si dic un original o anch L-trasformabil, s valgono l sgunti proprità: i f(t = pr ogni t <, ii comunqu si sclgano a, b R, a < b sistono gli intgrali (vntualmnt impropri b a f(tdt, b a f(t dt iii sistono t, c > γ R (non ncssariamnt > tali ch, pr ogni t t si ha f(t c γt La condizion ii si nuncia anch dicndo ch f(t è localmnt assolutamnt intgrabil Si ossrvi ch, s f(t è intgrabil alla Rimann in [a, b] allora anch f(t lo è (intgrabilità dl valor assoluto, ma s gli intgrali sono impropri allora il risultato è falso D altrond la funzion (di Dirichlt 1 s t Q t 1 f(t = 1 s t / Q t 1 s t > 1 oppur t < non è intgrabil in [, 1] ma f(t lo è È pr qusto ch si richid l intgrabilità in [a, b] sia di f(t ch di f(t Dipartimnto di Scinz Matmatich, Univrsità di Ancona, Via Brcc Bianch 1, 6131 Ancona - Italy 1

2 Talvolta accad ch f(x non sia dfinita in qualch punto x In qusto caso possiamo porr, in tali punti, f(x = vrificar ch l condizioni i iii siano soddisfatt dalla funzion così stsa È anch chiaro ch la vrifica dll i iii non dipnd da com si stnd f ni punti in cui non è dfinita La condizion iii implica ch pr ogni numro ral s > γ, la funzion f(t st è intgrabil in snso improprio in R Infatti, prsi a < < t < b si ha, grazi all ipotsi i: b a f(t st dt = t f(t st dt + b t f(t st dt Il primo intgral a dstra sist finito grazi al punto ii al fatto ch st è limitata intgrabil su [a, b] qualunqu sia s R (si roicordi ch il prodotto di una funzioni intgrabil in snso improprio con una limitata intgrabil è intgrabil in snso improprio in [a, b] Pr quanto riguarda il scondo intgral si ha, grazi a iii b t f(t st dt c b t (s γt dt = c [ (s γ t (s γb c (s γ t ] s γ s γ quando b + Ossrviamo anch ch, s γ R soddisfa la condizion iii pr qualch c > t >, γ > γ allora anch γ soddisfa la stssa condizion Ciò sgu da γt γ t pr ogni t t Prciò l insim I f := {γ R γ soddisfa la condizion iii pr qualch c > t > } è una smirtta S f : R \ S R è un original si dfinisc ascissa di convrgnza di f il numro ral σ f := inf{γ R γ soddisfa la condizion iii pr qualch c > t > } Quindi s s > σ f sist γ I f tal ch σ f < γ < s Prtanto, pr quanto visto in prcdnza, la funzion f(t st è (assolutamnt intgrabil in [, Pr qusto motivo σ f si dic ascissa di convrgnza di f Proviamo alcun proprità dll ascissa di convrgnza S f(t g(t sono du originali, allora f(t+g(t è un original, inoltr s f(tg(t è localmnt assolutamnt intgrabil anch f(tg(t è un original si ha a σ f+g max{σ f, σ g }; b σ fg σ f + σ g ; 2

3 c s sist k > tal ch f(t g(t pr ogni t k, allora σ f σ g d σ tf(t = σ f Infatti, s γ > max{σ f, σ g }, sistono t f >, t g >, c f >, c g > tali ch f(t γt c f pr ogni t t f g(t γt c g pr ogni t t g Allora pr ogni t max{ t f, t g } si ha f(t + g(t γt f(t γt + g(t γt c f + c g da cui f(t + g(t (c f + c g γt Di consgunza γ σ f+g Ossia: s γ > max{σ f, σ g } allora γ σ f+g Quindi non può avrsi σ f+g > max{σ f, σ g } da cui sgu a La dimostrazion di b è simil Con l notazioni prcdnti sia γ > σ f + σ g scgliamo γ f > σ f, γ g > σ g in modo tal ch γ f + γ g < γ Allora, s t max{ t f, t g } si ha f(tg(t γt f(t γ f t g(t γgt c f c g da cui sgu γ σ fg quindi b si ottin facilmnt La proprità c è ovvia (lasciamo la facil dimostrazion al lttor Infin proviamo d Dato ch pr t 1 si ha f(t tf(t dal punto c si ricava subito σ f(t σ tf(t D altrond, dal punto b si ha σ tf(t σ t + σ f Ma pr ogni α > t si ha t αt quindi α I α t pr ogni α > D altrond / I t quindi σ t = Prtanto si ha anch σ tf(t σ f(t, da cui d sgu subito Si dfinisc Trasformata di Laplac (in brv TdL di f la funzion, dfinita pr s > σ f, L[f](s = F (s = f(t st dt La TdL è bn dfinita prché l intgrabilità di f(t st in [, implica qulla di f(t st nlla stssa smirtta d ha l sgunti importanti proprità: 1 La TdL è linar ossia s f(t g(t sono du originali α, β sono du numri rali si ha L[αf + βg](s = αl[f](s + βl[g](s 2 L[f](s è drivabil si ha L[tf(t](s = d L[f](s ds { s t < α 3 Posto f + (t α = f(t α s t α allora L[f +(t α](s = sα L[f](s 3

4 4 s f(t è un original con ascissa di convrgnza σ f α R, allora f(t αt ha ascissa di convrgnza ugual a σ f + α val l uguaglianza: L[f(t αt ](s = L[f](s + α 5 S f(t g(t sono du originali, si dfinisc convoluzion di f g la funzion ch val s t mntr pr t > val f g(t = f(t τg(τdτ Allora f g è un original, σ f g max{σ f, σ g } si ha: 6 s f (t è un original allora dov f( + = lim t + f(t L[f g](s = L[f](sL[g](s L[f (t](s = sl[f](s f( + 2 Elmnti di Algbra linar TdL di funzioni a valori in R n S A = [a ij ] i=1n m vttor M n m è una matric a cofficinti rali x R m è il x = x 1 x m si dfinisc Ax il vttor di R n (attnzion all dimnsioni! dato da m a 1jx j Ax = m a njx j ossia la i-sima componnt di Ax, (Ax i è (Ax i = m a ij x j 4

5 Qusto tipo di prodotto tra una matric un vttor si chiama righ pr colonn prchè si ottin moltiplicando scalarmnt la i-sima riga dlla matric A pr la (unica colonna x Più in gnral s A M n m è una matric n m B M m q è una matric m q si dfinisc prodotto di A pr B la matric n q dfinita da AB = [Ab 1 Ab 2 Ab q ] dov b 1,, b q sono l q colonn di B Ab j R n indica il prodotto dlla matric n m pr il vttor b j R m Il prodotto fra matrici, quando è dfinito, è associativo (ossia (ABC = A(BC, occhio all dimnsioni!, ma non è commutativo Pr smpio s ( 1 1 A = 1 si ha B = AB = BA = ( Si ossrvi ch AB M 2 2 BA M 3 3 Comunqu può risultar AB BA anch fra matrici quadrat dllo stsso ordin com si vd dal sgunt smpio: ( 1 1 A = 1 1 Si ha B = AB = BA = ( ( (

6 S A è una matric quadrata (n n si dic ch A è invrtibil s sist una matric B M n n tal ch AB = BA = I dov I è la matric idntità dfinita da I = [c ij ] con { s i j c ij = 1 s i = j (Nota: è facil vrificar, tramit la dfinizion di prodotto righ pr colonn, ch pr ogni matric quadrata si ha AI = IA = A È facil vrificar ch data una matric quadrata (cioè n n sist al più una matric B ch ralizza l idntità AB = BA = I Infatti, s B 1 B 2 fossro du tali matrici si avrbb: B 1 = B 1 I = B 1 (AB 2 = (B 1 AB 2 = IB 2 = B 2 S A è una matric invrtibil l unica matric ch ralizza AB = BA = I si dic matric invrsa si indica con A 1 Si noti ch A 1 M n n ch AA 1 = A 1 A = I Si ha il sgunt risultato: Condizion ncssaria sufficint affinché A M n n sia invrtibil è ch dta Qui, con dta si indica il dtrminant dlla matric A Qusto si calcola nl modo sgunt S A = [a] M 1 1 si pon dta = dt[a] = a S ( a11 a A = 12 M 2 2 a 21 a 22 si pon dta = a 11 a 22 a 12 a 21 Pr induzion, s A M n n si pon n dta = ( 1 i+j a ij dta ij i=1 dov A ij è la matric ch si ottin da A cancllandon tutti gli lmnti ch appartngono alla i-sima riga o alla j-sima colonna Lo sviluppo sopra indicato dl dtrminant si dic sviluppato scondo la j sima colonna in quanto nlla somma si considrano solo i trmini a ij ch appartngono alla colonna j sima Si può dimostrar ch il risultato non dipnd dalla colonna considrata pr lo sviluppo ch val anch n dta = ( 1 i+j a ij dta ij (sviluppo risptto alla i sima riga ch il risultato non dipnd dalla riga sclta Pr smpio s a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 M 3 3 a 31 a 32 a 33 6

7 si ha, sviluppando risptto alla prima colonna: ( ( dta = ( a22 a a 11 dt 23 + ( a12 a a a 32 a 21 dt a 32 a 33 ( + ( a12 a a 31 dt 13 = a a 22 a 11 [a 22 a 33 a 23 a 32 ] 23 a 21 [a 12 a 33 a 13 a 32 ] + a 31 [a 12 a 23 a 13 a 22 ] = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 [a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 + a 13 a 22 a 31 ] Il lttor è invitato a vrificar ch allo stsso risultato si prvin sviluppando risptto ad un altra colonna o anch ad una riga qualsiasi La formula prcdnt è nota com rgola di Sarrus si nuncia nl modo sgunt Si riptono l prim du colonn a dstra dlla matric: A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22, a 31 a 32 si sommano i prodotti dll diagonali discndnti (a 11 a 22 a 33, a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 si sottraggono qulli dll diagonali ascndnti (a 12 a 21 a 33, a 11 a 23 a 32, a 13 a 22 a 31 Il dtrminant di una matric quadrata soddisfa la sgunt important proprità (formula di Bint: s A, B M n n si ha dt(ab = dta dtb Di consgunza si ottin dt(ab = dt(ba, anch s, in gnral, AB BA Si può dimostrar ch la matric invrsa di una matric invrtibil A può calcolarsi com sgu Poniamo à = [α ij] dov α ij = ( 1 i+j dta ji (si noti l invrsion dgli indici Allora A 1 = 1 dtaã La matric trasposta (ossia qulla ch si ottin scambiando l righ con l colonn di à = [α ij ] si dic matric aggiunta di A Sia x : R R n una funzion a valori vttoriali Si dic ch x è L- trasformabil s ogni componnt di x, com funzion a valori in R, è L- trasformabil si pon: L[x](s = L x 1 x n (s = 7 L[x 1 ](s L[x n ](s

8 S t x(t R m è una funzion L-trasformabil a valori in R m A M n m è una matric a cofficinti rali si ha, grazi alla linarità dlla trasformata di Laplac: m a 1jx j (t m a 1jL[x j ](s L[Ax(t](s = L = = AL[x](s m a njx j (t m a njl[x j ](s (1 ossia l matrici a cofficinti costanti si portano fuori dalla TdL S, invc, A = A(t M n m è una matric a cofficinti variabili, si dfinisc prodotto di convoluzion di A(t pr x(t la funzion a valori in R n ch val pr t, mntr pr t > è data da: [A x](t := m m a 1j (t τx j (τdτ a nj (t τx j (τdτ = Dato ch l intgral è linar possiamo anch scrivr [A x](t = A(t τx(τdτ = m L[a nj x j ](s m [a 1j x j ](t m [a nj x j ](t A(ux(t udu dov si intnd ch l intgral di una funzion a valori vttoriali si calcola componnt pr componnt la sconda uguaglianza si ottin dalla sostituzion t τ = u Considriamo allora L[A x](s, dov A M n m è una matric di funzioni (A = [a ij (t] L-trasformabili x = x(t è una funzion L-trasformabil a valori in R m Dalla dfinizion di [A x](t sgu ch [A x](t è L-trasformabil si ha: m L[a 1j x j ](s m L[a 1j](sL[x j ](s L[A x](s = = quindi possiamo scrivr m L[a nj]l[x j ](s L[A x](s = L[A](sL[x](s (2 dov si è scritto L[A](s pr la matric M n m dfinita da: L[A](s = [L[a ij ](s] i=1n m il prodotto a dstra si sgu righ pr colonn In altr parol, s convniamo ch anch pr l matrici (oltrché pr i vttori la TdL si sgu lmnto pr lmnto, allora val la (2 8

9 3 Trasformat di Laplac sistmi di Equazioni Diffrnziali Ordinari Un sistma di quazioni diffrnziali ordinari linar a cofficinti costanti è un sprssion dl tipo ẋ = Ax + f(t (3 dov x, ẋ R n A M n n, f(t è una funzion continua a valori in R n Una funzion t x(t R n è una soluzion di (3 s l componnti sono di class C 1 in un intrvallo I R pr ogni t I val l uguaglianza ẋ(t = Ax(t + f(t (4 (Ovviamnt si può dar una dfinizion bn più gnral di quazion diffrnzial ordinaria, ma qui ci occupiamo solo di quazioni diffrnziali ordinari dl tipo dscritto sopra Il problma ch ci proponiamo di risolvr è qullo di trovar tutt l soluzioni dll quazion diffrnzial (3 Supponiamo ch f(t sia dfinita in [, ch sia L-trasformabil Allora si può dimostrar ch ogni soluzion di (3 è dfinita in [, d è L-trasformabil Supponiamo allora ch x(t sia una soluzion di (3 applichiamo la trasformazion di Laplac ad ntrambi i mmbri dll uguaglianza Posto x = x( (il valor dlla soluzion in t = si ha sx(s x = AX(s + F (s dov X(s = L[x](s F (s = L[f](s Quindi: (si AX(s = [x + F (s] (si ricordi ch I è la matric idntità Allora X(s = (si A 1 x + (si A 1 F (s (5 Indicando con L 1 l antitrasformata di Laplac (ossia L 1 [X](t = x(t s solo s L[x](s = X(s si ha: x(t = L 1 [(si A 1 x ](t + L 1 [(si A 1 F (s](t Scrivndo X(s in luogo di L[x](s nll (1 (2 d applicando la trasformazion invrsa alla (1 si ottin x(t = {L 1 [(si A 1 ](t} x + {L 1 [(si A 1 ] L 1 [F ]}(t = W (tx + [W f](t 9

10 dov W (t := L 1 [(si A 1 ](t si dic matric fondamntal dl sistma linar [W f](t = W (t τf(τdτ Si noti ch W (tx è la soluzion di (3 con f(t = ossia è la soluzion dl sistma omogno tal ch x( = x Ciò significa ch, pr ogni x R n si ha W (x = x qusto può avrsi s solo s W ( = I Inoltr, s x = j (il vttor di R n ch ha tutt l componnti = trann la j-sima ch è = 1, il prodotto W (t j è la j-sima colonna di W (t In altr parol: La j-sima colonna w j (t di W (t è la soluzion dl sistma linar omogno ẋ = Ax con la condizion inizial x = j Scriviamo x = x 1 x n W (t = (w 1 (t w 2 (t w n (t Allora W (tx = n x jw j (t (6 Abbiamo così ottnuto il sgunt principio di sovrapposizion: Il problma ẋ = Ax con condizion inizial x( = x (problma di Cauchy ha un unica soluzion ch si ottin sovrapponndo (ossia combinando linarmnt l soluzioni di ẋ = Ax con condizion inizial x( = j così com indicato dalla (6 La funzion x p (t := W (t τf(τdτ, (7 invc, soddisfa l quazion diffrnzial non omogna ẋ = Ax + f(t con condizion inizial omogna x p ( = Essa si ottin convolvndo la matric fondamntal W (t con il trmin non omogno f(t Si noti ch non è ncssario calcolar la trasformata di Laplac di f(t La formula (7 si chiama formula di variazion dll costanti arbitrari 1

11 4 Esmpio Risolvr il sistma { ẋ = x y + 1 cos t ẏ = 4x + y Troviamo la soluzion fondamntal Si ha ( 1 1 A = 4 1 quindi [si A] 1 = si A = ( s s 1 1 ( s 1 1 (s s 1 Pr calcolar L 1 [(si A 1 ](t si dbbono calcolar [ ] [ L 1 s 1 (t, L 1 (s Ricordiamo ch ω L[sin(ωt](s = s 2 + ω 2 s L[cos(ωt](s = s 2 + ω 2 Dall formul di traslazion si ottin quindi: quindi: Di consgunza: L[ t sin(2t] = L[sin 2t](s 1 = L[ t cos(2t] = L[cos 2t](s 1 = [ L 1 s 1 (s [ L 1 1 (s (s ] (t 2 (s s 1 (s ] (t = t cos(2t ] (t = 1 2 t sin(2t ( W (t = t cos 2t 1 2 t sin 2t 2 t sin 2t t cos 2t 11

12 Si ossrvi ch W ( = I Calcoliamo ora l intgral particolar x p (t Si ha x p (t = W (τf(t τdτ = 1 ( τ cos 2τ cos(t τ 2 τ sin 2τ cos(t τ Intgrando si ottin (i calcoli sono lasciati al lttor: ( 3 cos t sin t + 3 x p (t = t cos 2t + 4 t sin 2t 8 cos t 4 sin t 8 t cos 2t + 6 t sin 2t dτ Da cui si ottin l intgral gnral ( ( ( t cos 2t 1 2 t sin(2t c1 3 cos t sin t t sin(2t t + t cos 2t + 4 t sin 2t cos 2t 8 cos t 4 sin t 8 t cos 2t + 6 t sin 2t c 2 ossia: ( x(t y(t = ( t [k 1 cos 2t + k 2 sin 2t] 3 cos t sin t 2 t [k 1 sin 2t k 2 sin 2t] + 8 cos t 4 sin t dov k 1 = c 1 + 3, k 2 = 4 c

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