Si dice multiplo di un numero a diverso da zero, ogni numero naturale che si ottiene moltiplicando a per ciascun elemento di N.

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1 MULTIPLI E DIVISORI Si dice multiplo di un numero a diverso da zero, ogni numero naturale che si ottiene moltiplicando a per ciascun elemento di N. Poiché N = 0,1,2, , Zero è multiplo di tutti i numeri quindi non lo si considera, inoltre poiché l insieme N è infinito anche i multipli di un numero sono infiniti. L insieme dei multipli di un numero si indica Es : M 4 = 0,4,8,12,16,20,...44,...100, Solo lo zero ha un solo multiplo : 0 Altri esempi : M 8 = M 7 = 0,7,14,21,35,...49,...105, ,8,16,24,32,...40,...104,

2 DIVISORI Se una divisione è esatta o propria cioè non ha resto, Es : a:b = c il divisore dato b sarà detto anche divisore di a o sottomultiplo di a a = multiplo di b b = sottomultiplo di a a= divisibile per b b = divisore di a Se la divisione a : b = c + resto non è esatta si dirà che: a non è divisibile per b b non è divisore di a. I sottomultipli di un numero diverso da zero si dicono fattori di quel numero, l insieme dei divisori si indica: D 8 = 1,2,4,8 D 10 = 1,2,5,10 D 13 = 1,1313 OSSERVAZIONI L insieme Linsieme dei divisori di un numero è finito. 1 è divisore di tutti i numeri. Ogni numero è divisibile per se stesso. Se un numero a è divisibile per il numero b saranno divisibile per b anche i sui multipli Es : 21 è divisibile per 3 e per 7, anche 42, 63, 210 saranno divisibili per 3 e per 7

3 CRITERI DI DIVISIBILITA PER 2 : Un numero è divisibile per 2 se l ultima sua cifra a destra è pari o zero ( ). Es: Sono divisibili per 2 : 34; 876; 900; 654; Non sono divisibili per 2 : 65; 87; 549; 8761,. PER 5 : Un numero è divisibile per 5 se l ultima sua cifra a destra è 5 o zero (0 5). Es: Sono divisibili per 5 : 35; 875; 900; 170; Non sono divisibili per 5 : 643; 887; 2549; 80761,. PER : Un numero è divisibile per se l ultima sua cifra a destra è uno zero, due zeri, tre zeri. ( ). Es: Sono divisibili per 10 : 30; 870; 950; 170; Non sono divisibili i ibili per 10 : 643; 887; 2549; 80761,. Sono divisibili per 100: 400, 5300, 7400, , ) Non sono divisibili per 100: 340, 5320, 2189, )

4 PER 3 e per 9 : Un numero è divisibile per 3 se sommando tutte le sue cifre si ottiene un multiplo di 3. Es: Sono divisibili per 3 : 36 perché 3+6 =9; 876 perché = 21; 900 perché =9 ; 654 perché = 15 Non sono divisibili i ibili per 3 : 65 perché 6+5 = 11; 82 perché 8+2 =10; 841 perché 8+4+1=13; Un numero è divisibile per 9 se sommando tutte le sue cifre si ottiene un multiplo di 9. Es: Sono divisibili per 9 : 405 perché = perché = 18 Non sono divisibili per 9: 329 perché = perchè =14

5 PER 4: Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure multipli di 4 ( ) Es : Sono divisibili per 4 : 340, 520, 7656 Non sono divisibili per 4 : 342, 574, 4321 PER 25: Un numero è divisibile per 25 se le ultime due cifre sono 00 oppure multipli di 25 ( ) Es : Sono divisibili per 25 : 350, 2500, 7675 Non sono divisibili per 25 : 340, 5472, 43205

6 PER 11: Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle sue cifre di posto dispari e quella delle sue cifre di posto pari (o viceversa) è zero, 11 o multiplo di 11. Sono divisibili per 11 : 363 perché (3+3) 6 =0, 3509 perché (5+9) (3 + 0) =14-3=11, 7656 perché (7+5) (6+6) = =0 Non sono divisibili per 11 : 342, 574, 4321 perché..

7 NUMERI PRIMI Un numero si dice primo se ammette solo due divisori : 1 e il numero stesso. Es: D 7 = ;7 D 23 = 1 ;23 D 53 = 1;53 1 Tutti gli altri numeri si idicono composti. I numeri pari eccetto il 2 sono composti. Es : D 14 = ;2;7;14 D 27 = 1;3;9;27 1 L unico numero pari primo è il 2 perché ha solo due divisori: 1 e 2 Esiste un metodo per individuare i numeri primi, si chiama CRIVELLO DI ERATOSTENE consiste nello scrivere i primi 100 o più numeri, nell eliminare eliminare tutti quei numeri pari e quelli che rispondono ai criteri di divisibilità studiati; i numeri rimanenti saranno numeri primi. I numeri primi compresi tra 1 e 1000 si trovano anche nelle prime pagine delle tavole numeriche.

8 CRIVELLO DI ERATOSTENE

9 SCOMPOSIZIONE DI UN NUMERO IN FATTORI PRIMI I numeri composti si possono scomporre nel prodotto di due o più fattori primi. Es: Oppure : = 2 x 3 x = 2 x3 x 3 x = 2 x

10 Divisibilità di un numero per un altro Un numero è divisibile per un altro se, scomposti entrambi in fattori primi, il primo numero contiene tutti i fattori del secondo numero con esponente uguale o maggiore Es : 1116; e 93 Scomposti in fattori primi: 1116 = 2 2 x 3 2 x = 3 x 31 Poiché 1116 scomposto in fattori primi contiene sia il 3 che il 31 si dirà divisibile i ibil per 93. Il quoto della divisione sarà : 1116 : 93 = 2 2 x x =2 2 X 3=4x3=12 3 =12

11 Massimo Comune Divisore (M.C.D.) Il Massimo Comune Divisore tra due o più numeri è il divisore maggiore tra tutti i divisori in comune. Es : M. C. D. (15; 36) D 15 = 1;3;5;15 36 D 36 = 1;2;3,4;6;9;12;18;36 ; ; ; ; ; ; D 15 D 36 = 1 ;3 Il divisore maggiore in comune è 3

12 Ricerca del Massimo Comune Divisore con il metodo della scomposizione in fattori primi Il M.C.D. di due o più numeri si ottiene scomponendo i numeri dati in fattori primi e moltiplicando i fattori comuni, presi una sola volta, con l esponente minore. Es : M.C.D ( 400; 160) x x = 2 4 x = 25 x 5 M.C.D (400;160) = 2 4 x 5 = 80

13 Minimo comune multiplo (m.c.m.) m Il minimo comune multiplo tra due o più numeri è il multiplo minore tra tra i multipli in comune. Es : m. c. m. (16; 36) M 16 = M 36 = 16;32;48;64 : 80;96;112;128;144 36;72;108;144 m.c.m (16,36) = 144 Se uno dei due numeri è multiplo del secondo sarà pure il m.c.m. Es : m.c.m.( 4 ; 12) = 12 Se i due numeri sono primi tra loro il m.c.m. sarà il loro prodotto: Es : m.c.m.( 4 ; 15) = 4 x 15 =60

14 Ricerca del minimo comune multiplo con il metodo della scomposizione in fattori primi Il m.c.m. di due o più numeri si ottiene scomponendo i numeri dati in fattori primi e moltiplicando i fattori comuni, presi una sola volta, con l esponente maggiore e i fattori non comuni. Es : m.c.m ( 45; 120) x = 3 2 x = 2 3 x 3 x 5 m.c.m ( 45; 120) = 3 2 x 2 3 x 5 = 9 x 8 x5 = 360

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