Esercizi di Informatica Teorica

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1 Esercizi di Informtic Teoric M.S.Pini, C.Pizzi Diprtimento di Ingegneri dell Informzione Università degli Studi di Pdov Esercizio Costruire un PDA che riconosc il linguggio L = {0 n 1 n, n 1} per stto finle. Ide: prto d q 0 e ci rimngo fino qundo non leggo un 1. Mn mno che leggo uno 0 dll input, fccio il push di un X nello stck. Qundo inizio leggere 1, cmbio stto e in corrispondenz di ogni 1 che leggo fccio il pop di un X dllo stck. Se svuoto lo stck vuol dire che ho letto lo stesso numero di 0 e 1. A questo punto, se ccetto per stto finle mi porto in un nuovo stto dove non prevedo ulteriori trnsizioni (se l input non è esurito, tle percorso muore ). P = ({q 0, q 1, q 2 }, {0, 1}, {X, Z 0 }, δ, q 0, Z 0, {q 2 }) Leggo 0, ggiungo X llo stck δ(q 0, 0, Z 0 ) = {(q 0, XZ 0 )} δ(q 0, 0, X) = {(q 0, XX)} Cncello dllo stck X in corrispondenz di un 1 in ingresso δ(q 0, 1, X) = {(q 1, ɛ)} δ(q 1, 1, X) = {(q 1, ɛ)} Entro nello stto finle (per ccettre non devono esserci ulteriori simboli d leggere, quindi q 2 non h trnsizioni definite) δ(q 1, ɛ, Z 0 ) = {(q 2, ɛ)} 2. Descrivere l successione di ID dell utom ll lettur dell string 0011 (q 0, 0011, Z 0 ) (q 0, 011, XZ 0 ) (q 0, 11, XXZ 0 ) (q 1, 1, XZ 0 ) (q 1, ɛ, Z 0 ) (q 2, ɛ, ɛ) w = 0011 viene ccettt. 1

2 3. Descrivere l successione di ID dell utom ll lettur dell string 0110 (q 0, 0110, Z 0 ) (q 0, 110, XZ 0 ) (q 1, 10, Z 0 ) (q 2, 10, ɛ) Non esisteno trnsizioni prtire d q 2. Sono in uno stto di ccettzione m non ho esurito l input, non ccetto. Si noti che se nche vessi vuto un trnsizione uscente d q 2 il ftto di ver svuotto lo stck mi impedirebbe di continure il percorso (ho bisogno dell triplett stto-inputstck), pertnto l string non verrebbe ccettt nenche in questo cso. Esercizio 15 (Es. 3 dell ppello del 16/07/2012) Si T = {, b} e si L il linguggio dei plindromi con un numero di b multiplo di Si propong un grmmtic liber dl contesto G che generi L, motivndone brevemente l correttezz. 2. Si disegni un lbero di derivzione dell string w = bbbb nell grmmtic d voi propost. 3. Si descriv, medinte il digrmm di trnsizione di stto, un utom pil che ccetti L per stto finle. 1. L vribile S deve generre stringhe in cui il numero di b è ugule zero oppure è multiplo di 4. Può invece generre un numero rbitrrio di, purché si rispetti l plindromicità dell string. Si può prtire dll grmmtic che gener i plindromi (P = {S S bs b ɛ b}) e modificrl opportunmente. Nell grmmtic richiest posso chiudere l string solo con un ɛ (lunghezz pri) oppure con un (lunghezz dispri). Non posso chiudere con un b ltrimenti vrei sempre un numero dispri di b. Quindi sicurmente l nuov grmmtic vrà produzioni: S S ɛ. Vedimo or come gestire l inserimento dei simboli b. Nell grmmtic richiest devo grntire che se vengono ggiunte due b, sicurmente prim di chiudere l string ne devo ggiungere ltre due. Per fre questo introducimo un nuov vribile T che viene derivt d S con l produzione S bt b. L vribile T potrà produrre solo coppie di, oppure, se ggiunge due b dovrà richimre il simbolo S. In questo modo posso ripetere il procedimento di inserimento di multipli di 4 del simbolo b un numero rbitrrio di volte. L grmmtic risultnte srà pertnto: G = ({S, T }, {, b}, P, S) dove P = {S S bt b ɛ ; T bsb T } 2

3 2. Un lbero di derivzione dell string w = bbbb è: S S b T b T b S b S Figure 1: Prse tree per w = bbbb 3. Il PDA che ccett per stto finle può essere ottenuto in due pssi: prim costruisco il PDA che ccett per stck vuoto l grmmtic del punto 1; poi trsformo tle PDA in un PDA che ccett per stck finle. Psso 1. Definisco P V = ({q}, T, V T, δ, q, S), in cui per ogni produzione del tipo A β dell grmmtic, definisco δ(q, ɛ, A) = {(q, β)} e per ogni terminle dell grmmtic, definisco δ(q,, ) = {(q, ɛ)} Il PDA costruito in questo modo h δ: δ(q, ɛ, S) = {(q, S), (q, bt b), (q, ɛ), (q, )}; δ(q, ɛ, T ) = {(q, bsb), (q, T )}; δ(q,, ) = {(q, ɛ)}; δ(q, b, b) = {(q, ɛ)}; q e, S / S e, S / btb e, S / e e, S / e, T / bsb e, T / T, / e b, b / e Figure 2: PDA che ccett per stck vuoto 3

4 Or per pssre ll ccettzione per stto finle introduco due nuovi stti q 0 e q f e delle ɛ-trnsizioni che inseriscno un opportuno simbolo di stck ll inizio, e che svuotino lo stck ll fine, rispettivmente. Il PDA definitivo è: P F = ({q, q 0, q f }, {, b}, {, b, S, T, X 0 }, δ F, q 0, X 0, {q f }), dove δ F (q 0, ɛ, X 0 ) = {(q, SX 0 )}; δ F (q, ɛ, S) = {(q, S), (q, bt b), (q, ɛ), (q, )}; δ F (q, ɛ, T ) = {(q, bsb), (q, T )}; δ F (q,, ) = {(q, ɛ)}; δ F (q, b, b) = {(q, ɛ)}; δ F (q, ɛ, X 0 ) = {(p f, ɛ)}. q 0 e,x 0 / S X0 q e, S / S e, S / btb e, S / e e, S / e, T / bsb e, T / T, / e b, b / e q f e,x 0 / e Figure 3: PDA che ccett per stto finle Esercizio 16 Si descriv un grmmtic che generi il linguggio L = {0 n 1 m, m > n}. L grmmtic procederà generndo inizilmente uno stesso numero di 0 e 1 che ndrnno porsi i lti del simbolo inizile. Per chiudere l string dovrò pssre ttrverso un ulteriore vribile A che permetterà di generre solo degli 1: G = ({A, S}, {0, 1}, P, S), dove P : Esercizio 17 S 0S1 1A A 1A ɛ Si descriv un grmmtic che generi il linguggio L = { i b j c k, i j}. Ide: fccio generre stringhe del tipo b c in cui n > n b e n c qulsisi e stringhe in cui n < n b e n c qulsisi: S AC BC, dove A gener stringhe con n > n b, B gener stringhe con n b > n e C gener stringhe con un numero qulsisi di c. 4

5 Esercizio 18 A Ab A B Bb Bb b C cc ɛ 1. Si costruisc un grmmtic per il linguggio L = w {, b} : w w R dei non-plindromi. Descrivere brevemente il processo di generzione delle stringhe di L. Ide: perché si w w R è sufficiente che ci si un simbolo diverso in posizione corrispondente destr e sinistr di metà string. Quindi è possibile prtire generndo dei plindromi (quest porzione dell string è fcolttiv), per vvicinrsi ll chiusur dell string devo pssre ttrverso un vribile A che impong crtteri diversi i suoi lti (quindi ll stess distnz dll inizio e dll fine dell string). L vribile A poi potrà generre un string qulsisi per chiudere l string. S S bsb Ab ba A A ba b ɛ 2. Stbilire se L è nche regolre. In cso ffermtivo costruire un DFA A e dimostrre formlmente che L(A) = L. Altrimenti dimostrre formlmente che L non è regolre. Il linguggio L non è regolre. Si può dimostrre in due modi diversi: con le proprietà di chiusur e con il pumping lemm. Supponimo per ssurdo che L si regolre. Allor per le proprietà di chiusur dei linguggi regolri nche L, linguggio dei plindromi deve esserlo. M è dimostrbile fcilmente con il pumping lemm che quest ultimo non è regolre. Ad esempio: P 2 ) fiss n P 1 ) sceglie w = n b n P 2 ) scompone w in xyz, con xy n e y ɛ Per come P 1 ) h fissto w, l string y dovrà necessrimente essere compost d e pprtenere l prefisso di lunghezz n di w. P 1 ) prende k = 0: xz = n y b n che non è plindrom. Quindi non può esserlo nemmeno L. Dimostrzione dirett di non regolrità di L con il pumping lemm: P 2 ) fiss n 5

6 P 1 ) sceglie w = n b n+n! P 2 ) scompone w in xyz, con xy n e y ɛ Per come P 1 ) h fissto w, l string y dovrà necessrimente essere compost d e pprtenere l prefisso di lunghezz n di w. P 1 ) cerc un k per cui risulti l string pompt si plindrom, cioé tle per cui il numero di ll sinistr dib si ugule n + n! in xy k z. Dovrà verificrsi: n y + k y = n + n! (k 1) y = n! k = 1 + n! y Poiché 1 y n secondo membro ho un numero intero, quindi esiste un k per cui l string divent plindrom, qulsisi si l prtizione scelt d P 2. Esercizio 19 Si Σ = { 1, 0, 1} un lfbeto di tre simboli (-1 v considerto come un unico simbolo). Si specifichi l funzione di trnsizione δ di un PDA P = ({q 0, Σ, {Z 0, X, Y }, δ, q 0, Z 0 ) che ccetti (per pil vuot) tutte e sole le stringhe di Σ per le quli l somm dei simboli è null. Spiegre brevemente il ruolo svolto di simboli di pil. Ide: lo stck tiene conto dell somm complessiv clcolt fino quel punto. Utilizzo due simboli X e Y per indicre un eccesso di 1 o 1, rispettivmente. Z 0 indic che finor ho visto uno stesso numero di 1 e 1 (quindi l somm è zero). Prto dll configurzione inizile e gestisco i vri csi inserendo X se il primo simbolo è -1, oppure Y se il primo simbolo è 1, oppure lscindo invrito lo stck se il primo simbolo è 0. δ(q 0, 1, Z 0 ) = {(q 0, XZ 0 )} δ(q 0, 0, Z 0 ) = {(q 0, Z 0 )} δ(q 0, 1, Z 0 ) = {(q 0, Y Z 0 )} Se leggo -1 e in cim llo stck ho X (che rppresent -1) ggiungo un X llo stck. Se invece leggo -1 m in cim llo stck ho un Y (che rppresent 1) l cncello perchè l somm di questi due simboli è zero. δ(q 0, 1, X) = {(q 0, XX)} δ(q 0, 1, Y ) = {(q 0, ɛ)} 6

7 Se leggo 1 e in cim llo stck ho Y (che rppresent 1) ggiungo un Y llo stck. Se invece leggo 1 m in cim llo stck ho un X (che rppresent -1) l cncello perchè l somm di questi due simboli è zero. Se leggo 0 lscio invrito lo stck. δ(q 0, 1, Y ) = {(q 0, Y Y )} δ(q 0, 1, X) = {(q 0, ɛ)} δ(q 0, 0, X) = {(q 0, X)} δ(q 0, 0, Y ) = {(q 0, Y )} Se ho in cim llo stck vedo Z 0 signific che l somm di qunto ho letto finor è null. Con un ɛ-trnsizione svuoto lo stck. A questo punto se non ho ulteriori simboli d leggere posso ccettre. Esercizio 20 δ(q 0, ɛ, Z 0 ) = {(q 0, ɛ)} Dimostrre che il linguggio L = {0 i 1 j, j = i 2 } non è CFL utilizzndo il pumping lemm. Utilizzimo il gioco tr due vversri : P 2 fiss n P 1 prende un string in L di lunghezz lmeno n: z = 0 n 1 n2 P 2 scompone l string in z = uvwxy, dove vwx n e vx ɛ Per ogni possibile scomposizione P 1 deve trovre un k per cui uv k wx k y / L 1. vwx si trov nell prim prte dell string compost d soli 0. Per k = 0, il numero di 0 diminuisce (vx ɛ) d un vlore minore di n mentre il numero di 1 rimne invrito. Quindi uwy / L. 2. vwx si trov nell second prte dell string compost d soli 1. Si dimostr per k = 0 in modo similre. 3. Se v o x hnno si 0 che 1, llor per k = 2 l struttur dell string non è più del tipo 0 1, quindi uv 2 wx 2 y / L 4. L ultimo cso prende in considerzione l possibilità che v consist di soli 0, e x di soli 1 (e sino entrmbe diverse dll string vuot). Per un generico k si h che il numero di 0 è n+(k 1) v e il numero di 1 è n 2 + (k 1) x. Per vere un string che si in L deve vlere: (n+(k 1) v ) 2 = n 2 +(k 1) x 2n(k 1) v +(k 1) 2 v 2 = (k 1) x M sinistr bbimo un termine che cresce in modo qudrtico in k, mentre destr cresce in modo linere, per cui l uguglinz non è mi possibile. Avendo individuto un k per cui uv k wx k y / L in corrispondenz di ogni possibile prtizione dell string z il gioctore P 1 dimostr che L non è libero dl contesto. 7

8 Esercizio 21 Progettre un mcchin di Turing che riconosc il linguggio L delle stringhe con un numero ugule di 0 e 1. Si indichi l successione di ID su input L mcchin di Turing utilizz 6 stti. Lo stto q 5 è stto finle, ed è privo di trnsizioni così d grntire l fermt dell mcchin. Lo stto inizile è q 0. D qui leggendo il simbolo Blnk ci si spost direttmente nello stto finle, in qunto ɛ L. Lo stto q 0 inftti è lo stto che identific l condizione di equilibrio tr numero di 0 e numero di 1 visti finor. All lettur di un simbolo questo viene mrcto con un X, indipendentemente dl ftto che si 0 o 1. Il simbolo X più sinistr nel nstro indic l ultimo simbolo già considerto prtire dll inizio dell string di input. Per questo motivo se trovimo un Y l sostituimo con un X. Se il simbolo letto in q 0 è 0, ci si spost nello stto q 1. Qui si rimne, spostndosi verso destr, e senz modificre il nstro, fino qundo non si trov un 1. In questo cso ci si spost in q 2 e si sostituisce l 1 con un Y. Se si incontr un Blnk in q 1 l mcchin si ferm in uno stto non ccettnte e rifiut l input (di ftto ho più 0 che 1). Lo stto q 2 viene utilizzto per tornre indietro nel nstro fino ll ultimo simbolo considerto, lscindo invrito il contenuto delle ltre celle. Qundo trovimo un X tornimo in q 0 e iterimo il procedimento. Gli stti q 3 e q 4 svolgono un ruolo nlogo quello di q 1 e q 2 nel cso in cui il simbolo che sbilnci l equilibrio si un 1 e non uno X Y B q 0 (q 1, X, R) (q 3, X, R) (q 0, X, R) (q 5, B, R) q 1 (q 1, 0, R) (q 2, Y, L) (q 1, Y, R) q 2 (q 2, 0, L) (q 2, 1, L) (q 0, X, R) (q 2, Y, L) q 3 (q 4, Y, L) (q 3, 1, R) (q 3, Y, R) q 4 (q 4, 0, L) (q 4, 1, L) (q 0, X, R) (q 4, Y, L) q 5 Tble 1: Tbell di trnsizione per un TM che riconosce il linguggio delle stringhe binrie con un egule numero di 0 e 1. Se l input è l string w = 0110, l sequenz di ID risult essere: q Xq q 2 XY 10 Xq 0 Y 10 XXq 0 10 XXXq 3 0 XXq 4 XY XXXq 0 Y XXXXq 0 B XXXXBq 5 Esercizio 22 (Esercizio del libro, cur di N. Zgo) Progettre un mcchin di Turing per ognuno dei seguenti linguggi. 8

9 1. Punto L = {w {0, 1} : #0 = #1} Un prim strtegi per risolvere questo esercizio è stt propost nell soluzione dell esercizio precedente. Un ltr possibile strtegi prevede di leggere l string nel punto in cui ttulmente si trov l testin, mrcre il simbolo corrente (che srà 0 o 1) e cercre il simbolo complementre successivo (1 se ll inizio ho letto zero e vicevers), proseguendo finchè non ci sono più simboli d mrcre nell string. Se ne rimngono l TM non deve ccettre. Un possibile soluzione è l TM M = ({q 0, q 1, q 2, q 3, q f }, {0, 1}, {0, 1, X, B}, δ, q 0, B, {q f }) con δ definit nel digrmm delle trnsizioni in Figur 4. 0/0 q 1 0/X 1/X strt q 0 B/B q 2 X/X 0/0 1/1 1/X 0/X q 3 q f 1/1 Figure 4: Digrmm delle trnsizioni dell TM del punto. Il ciclo q 0 q 1 q 2 q 0 qundo trov 0 lo mrc e cerc il corrispondente 1, tornndo poi inizio string. Allo stesso modo il ciclo q 0 q 3 q 2 q 0, qundo trov un 1, cncell uno 0 e torn ll inizio. L trnsizione permette di scorrere gli X inizili, e se riesce d rrivre un B signific 9

10 che d ogni 0 è corrisposto un 1 e vicevers, ccettndo quindi l string in input. 2. Punto b L = { n b n c n : n 1}. Dt un string, l strtegi propost in quest soluzione prevede di () cncellre l prim (q 0 q ) (b) sltre le rimnenti (q ) e cncellre l prim b (q q b ) (c) sltre le rimnenti b (q b ) e cncellre l prim c (q b q c ) (d) sltre le rimnenti c (q c ) (e) rivvolgere l string (q r ) tornndo ll inizio (q r q 0 ) e ripetere il ciclo. Ognuno degli stti q 0, q, q b, q r deve essere in grdo di scorrere il simbolo di nstro X, non presente tr i simboli di input ed usto per cncellre gli input letti. Si consideri un string di L, d esempio bbbccc. Gli stti finor specificti modificno l string bbbccc in XXbbXcc, XXXXbXXc, fino XXXXXXXXX, con l mcchin che si trov in q 0 e l testin inizio string. Nel cso in cui ci sino, b o c fuori posto l mcchin muore senz ccettre, dto che le trnsizioni gestiscono solo le stringhe dove tutte le precedono tutte le b, che loro volt precedono tutte le c. / b/b c/c /X b/x c/x strt q 0 q q b q c q 1 B/B X/X q f q r X/X / b/b c/c Figure 5: Digrmm delle trnsizioni per l TM del punto b. In q 0 c è bisogno di un trnsizione che scorr le in test ll string già cncellte. Quest permette nche, qundo tutte le sono 10

11 stte cncellte, di portre l testin nel Blnk che si trov fine string. Ciò vviene solo nel cso in cui tutt l string si costituit d X, situzione che vviene solo se le lettere in input sono presenti in egul numero, portndo l mcchin in q 1. Non simo ncor nell condizione di ccettre, in qunto potremmo ver ricevuto in input l string vuot. Se l ultimo crttere dell string er un X signific che l string non er vuot, l TM v in q f e ccett, ltrimenti l string er vuot e muore senz ccettre. Un TM che riconosce L utilizzndo l strtegi precedente, fermndosi in ogni cso, è quindi M = ({q 0, q, q b, q c, q r, q 1, q f }, {, b, c}, {, b, c, X, B}, δ, q 0, B, {q f }) dove δ è specifict dl digrmm delle trnsizioni in Figur 5. Si noti che semplificndo l TM, togliendo q r e rivvolgendo l string subito in q c (Figur 6) non si ottiene l TM desidert, in qunto non si effettu mi il controllo che non ci il Blnk dopo le c e ottenendo così un TM che ccett stringhe del linguggio L + (d esempio bbccbc viene trsformt in XXXXXXbc, q 0 slt poi le X inizili e infine cncell nche l prte finle ccettndo l string). / b/b X/X / b/b c/c /X b/x c/x strt q 0 q q b q c B/B q 1 X/X q f Figure 6: Soluzione sbglit 3. Punto c L = {ww R : w {0, 1} }. Un possibile strtegi per un TM che riconosce L è l seguente: () leggo e cncello il crttere in test ll string (b) vdo in cod ll string (se il primo crttere dopo quello ppen cncellto è un B signific che l string h lunghezz dispri e quindi non è nell form volut) 11

12 (c) cncello il crttere corrispondente quello letto in test (l TM muore se è diverso) e torno inizio string 0/0 1/1 q 1 q 2 0/B 0/B strt q 0 B/B q 3 0/0 1/1 1/B 1/B q 4 q 5 q f 0/0 1/1 Figure 7: Digrmm delle trnsizioni dell TM del punto c. Nel digrmm in Figur 7, il ciclo q 0 q 1 q 2 q 3 q 0 per ogni 0 in test ll string cncell uno 0 in cod, mentre q 0 q 4 q 5 q 3 q 0 per ogni 1 in test cncell un 1 in cod. Qundo in test c è un B, l input è stto esurito correttmente e quindi l TM ccett l string. 12