OSCILLAZIONI SMORZATE E FORZATE

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1 OSCILLAZIONI SMORZATE E FORZATE Questo esperimento permette di studiare le oscillazioni armoniche di un pendolo e le oscillazioni smorzate e smorzate-forzate. Studiando il variare dell ampiezza dell oscillazione in funzione della frequenza della forzante si evidenzia il fenomeno della risonanza. DESCRIZIONE DELL APPARATO Un disco di alluminio è imperniato su una puleggia sulla quale scorre un filo. Le due estremità del filo sono legate a due molle. Una di esse è fissata alla base del pendolo. L altra è fissata al braccio di un oscillatore elettromeccanico. Il disco può ruotare liberamente, oppure sotto l azione forzante dell oscillatore. La frequenza dell oscillatore elettromeccanico può essere variata, cresce all aumentare della tensione con cui viene alimentato ( -1 V). In prossimità del disco è posto un piccolo magnete che può essere avvicinato al disco fino quasi a toccarlo, il suo effetto è di frenare il moto del disco con una forza di attrito, dovuta all insorgere di correnti di Foucault, proporzionale alla velocità angolare del disco stesso. L effetto frenante aumenta quanto più si avvicina il magnete al disco. La puleggia e il disco sono imperniati su un sensore di moto rotatorio, che misura la posizione angolare del disco in funzione del tempo, e trasferisce i dati al PC. In questo modo è possibile misurare l oscillazione del disco in funzione del tempo (periodo e ampiezza del moto). Il periodo di rotazione del braccio dell oscillatore meccanico è misurato da un secondo sensore: una fotocella, anch essa acquisita dal PC. Il software a disposizione permette di visualizzare i dati raccolti, interpolarli tramite funzioni definite dall utente ecc. INTRODUZIONE ALLE OSCILLAZIONI SMORZATE E FORZATE In assenza di attriti, se ruotiamo il disco di una angolo θ rispetto l asse centrale, il sistema sviluppa un momento elastico Μ el = C θ, dove C è la costante elastica del sistema, dovuta alle due molle. Lasciato libero il disco si mette allora ad oscillare secondo l equazione: Ι α = Μ el cioè: Ι d θ/ dt = C θ d θ/ dt + ω θ = Esperimentazioni di Fisica 9 1

2 dove I è il momento di inerzia del sistema rispetto l asse di rotazione e ω = C / I. Il sistema descrive una oscillazione armonica con posizione angolare: con pulsazione ω e periodo T =π/ω. θ(t) = A sin( ω t ) Se, oltre alla forza elastica, agisce anche una forza di attrito di tipo viscoso, proporzionale alla velocità di rotazione F a = bv, il modulo del suo momento rispetto l asse di rotazione del disco vale Μ s = r F a = r b v, con r raggio della puleggia. La legge del moto si scrive ora: Ι α = Μ el + Μ s Ι d θ/ dt = Cθ r b dθ/ dt Chiamiamo coefficiente di smorzamento γ =rb/ι, l equazione del moto diventa: d θ/ dt + γ dθ/ dt + ω θ = Questa è l equazione differenziale dell oscillatore armonico smorzato, è una equazione differenziale lineare del secondo ordine, a coefficienti costanti, omogenea. La soluzione, nel caso di smorzamento debole ( γ < ω ), come nel nostro apparato, è del tipo: θ(t)=a(t) sin(ωt+φ) =A e γ t sin(ωt+φ) con A e φ determinate in base alle condizioni iniziali. Il disco, in caso di smorzamento debole, compie oscillazioni di pulsazione ω = ω γ < ω e pseudo-periodo T = π / ω > T. L ampiezza delle oscillazioni non è più una costante, ma A(t) diminuisce esponenzialmente. Si ha θ(t+t)/θ(t)=e γt cioè in un pseudo-periodo l ampiezza si riduce esponenzialmente di un fattore e γt. Se vogliamo rendere l oscillazione persistente, realizzando un sistema che oscilli con frequenza definita e ampiezza costante nel tempo, anche in presenza di attrito viscoso, dobbiamo applicare al sistema una forza esterna sinusoidale: F(t) = F sin(ω f t) La pulsazione ω f della forzante è in generale diversa dalla pulsazione propria del pendolo ω. La forza agisce sul disco con un momento rispetto l asse di rotazione Esperimentazioni di Fisica 9

3 di modulo: M f (t) = r F(t)= r F sin(ω f t), pertanto l equazione del moto diventa ora: Ι α = Μ el + Μ s + M f Ι d θ/ dt = Cθ r b dθ/ dt + F r sin(ω f t) d θ/ dt + γ dθ/ dt + ω θ = M sin(ω f t) con M =F r / I. L equazione dell oscillatore smorzato e forzato non è omogenea. La soluzione generale è somma di una parte transitoria, che si smorza in un tempo che dipende dal coefficiente γ, e di una parte di oscillazione permanente di pulsazione uguale a quella della forza esterna ω = ω f : θ(t)=a(ω) sin(ωt + ϕ ) L ampiezza dell oscillazione è ora costante nel tempo, ma il suo valore dipende da quello della pulsazione della forza esterna, è data da: A ( ω) = ( ω ω ) M + 4γ ω γω La fase è data da: tg ϕ = ω ω Osserviamo che: ad una sollecitazione sinusoidale l oscillatore risponde con uno spostamento angolare sinusoidale: la pulsazione non è quella propria bensì è uguale a quella impressa dall esterno. La risposta dell oscillatore non è la stessa per qualunque valore della pulsazione della forzante: ampiezza e fase dipendono da ω. L ampiezza è massima per ω = ω M = ω γ < ω e vale: M A( ω M ) = γ ω γ La presenza di un picco molto pronunciato dell ampiezza nelle vicinanze di ω indica la condizione di risonanza. Il massimo esiste solo se ω > γ, altrimenti A(ω) ha un andamento monotono decrescente. Esperimentazioni di Fisica 9 3

4 La funzione non è simmetrica rispetto il massimo: per ω l ampiezza tende al valore M /ω mentre per ω l ampiezze tende a zero. Per γ : ω M ω e Α M : questa è propriamente la condizione di risonanza. Figura 1. A(ω) perω=4, M =5 e diversi valori di γ. SVOLGIMENTO DELL ESPERIENZA 1. Oscillazioni libere Si pone il disco in oscillazione, mantenendo il magnete lontano dal disco, e l oscillatore elettromeccanico spento. Dal grafico della posizione angolare in funzione del tempo si misura il periodo delle oscillazioni libere. In realtà il sistema ha comunque un poco di attrito, le oscillazioni risultano pertanto leggermente smorzate, la pulsazione misurata non fornisce il valore di ω ma sarà leggermente minore.. Oscillazioni smorzate Si avvicina il magnete al disco e, come riferimento, si misura col calibro la distanza tra essi. Si pone il disco in oscillazione e dal grafico della posizione angolare in funzione del tempo si misura il periodo delle oscillazioni smorzate. Si interpolano i dati con una funzione del tipo: θ(t)=a e γ t sin(ωt+φ) + θ dove A, γ, ω, φ, θ sono i 5 parametri liberi da determinare. Si ricava pertanto il valore del parametro di smorzamento γ corrispondente alla posizione del magnete scelta. Dalla relazione: ω = ω γ si ricava il valore della pulsazione ω per le oscillazioni libere. Esperimentazioni di Fisica 9 4

5 3. Oscillazioni smorzate e forzate Mantenendo il magnete smorzante nella stessa posizione del punto ), si aziona l oscillatore elettromeccanico, si legge dalla tabella di acquisizione della fotocella il periodo corrispondente. Variando la differenza di potenziale applicata all oscillatore elettromeccanico si può variare il periodo della forzante. Ogni volta che si cambia il periodo della forzante si deve attendere che il sistema si sia stabilizzato, e l ampiezza delle oscillazioni sia divenuta costante, prima di raccogliere i dati. Dal grafico della posizione angolare in funzione del tempo si misura il periodo delle oscillazioni e la loro ampiezza. Si raccolgano almeno una decina di misure di periodo e ampiezza, variando la pulsazione dell oscillatore nella regione compresa tra circa ω /4 e ω. Si costruisca una tabella con i valori di periodo, pulsazione e ampiezza e si costruisca un grafico di A in funzione di ω. Si interpolano i dati con una funzione del tipo: M A ( ω) = ( ω ω ) + 4γ ω dove M, γ, ω sono i 3 parametri liberi da determinare. Si confronti il valore ottenuto per la pulsazione ω delle oscillazioni libere con quello misurato al punto 1) e con quello ricavato al punto ). Si confronti il valore del parametro di smorzamento γ ricavato qui, dalla curva di risonanza, con quello ottenuto al punto ). Successivamente si sposti il magnete in modo da variare significativamente lo smorzamento e si ripetano tutte le misure dei punti e 3. Si confrontino le curve di risonanza ottenute per diversi valori dello smorzamento. Esperimentazioni di Fisica 9 5

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