D. MR (*) 2. Il modulo dell accelerazione angolare α della carrucola vale rad A s rad B s rad C s rad D. 55.

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1 acoltà di Ingegneria a prova intracoro di iica I Copito A (*) Eercizio n. Una carrucola, aiilabile ad un dico di aa 3.7 kg e raggio 70 c, è libera di ruotare intorno ad un ae orizzontale paante per il uo centro O. Un filo inetenibile e di aa tracurabile collega la carrucola ad un blocchetto di aa 00g che può civolare lungo un piano inclinato di angolo θ53 (vedi figura). Il filo i volge intorno alla carrucola facendola ruotare intorno all ae fio in O. La forza di attrito tra il blocchetto ed il piano inclinato vale f0.50n. Il blocco viene quindi laciato civolare (da fero). Calcolare: Il oento d inerzia della carrucola ripetto all ae di rotazione paante per O θ53 Il odulo dell accelerazione angolare α della carrucola Il odulo dell accelerazione del blocco Il odulo della tenione T del filo Il odulo della velocità del blocco dopo che eo è civolato di 00 c lungo il piano inclinato, eendo partito da fero ipondere quindi alle eguenti doande:. Il oento d inerzia della carrucola ripetto ad un ae paante per il uo centro vale A. 3 3 (*). Il odulo dell accelerazione angolare α della carrucola vale A (*) Il odulo dell accelerazione a del blocco vale A (*) Il odulo della tenione T del filo vale A. 0.3 N 47. N.8 N 0.6 N (*) 5. Il odulo della velocità del blocco, dopo che, partendo da fero, è ceo di d00 c, riulta O A (*)

2 (*) Eercizio n. Un dico oogeneo di aa e raggio è libero di ruotare intorno ad un ae orizzontale paante per il uo centro Un piccolo oggetto, olto deno ed anch eo di aa, attaccato al bordo del dico, viene innalzato al punto più alto (punto A). L intabile itea (dico+oggetto) viene quindi rilaciato. Calcolare il odulo della velocità angolare del itea nell itante in cui il piccolo oggetto paa per la poizione più in bao (punto B). Nello teo itante (quando l oggetto è in B), un pitone P viene pinto contro il dico con una forza cotante norale alla uperficie del dico, agendo da freno fino a quando il dico i fera. Sia µ il coefficiente di attrito tra il pitone e il dico. P C A A partire dall itante in cui il freno viene eo in azione (piccolo oggetto in B), calcolare il tepo ipiegato dal dico per ferari (i tracuri per queta parte del oto il oento della forza peo del itea ripetto a C). Detto inoltre θ l angolo di cui il dico è girato in queto tepo, calcolare il lavoro copiuto dalla forza frenante ed il valore dell angolo θ. 6. Durante la rotazione da A a B del dico e del piccolo oggetto ad eo attaccato, i conerva A. L energia eccanica (*) Il oento angolare ripetto al centro C La quantità di oto Neuna quantità 7. Il odulo della velocità angolare del itea dico+oggetto nell itante in cui l oggetto paa per la poizione più baa (punto B) vale A. g 8g 3 5g 7 6g (*) 8. Il oento eccanico della forza d attrito eercitata dal pitone (ripetto al centro C) ha odulo A. µ µ µ µ (*) 9. Il tepo ipiegato dal dico per ferari è B A. 6 g µ g µ 3 g µ (*)

3 g µ 0. Il lavoro copiuto dalla forza frenante, quando il dico gira di un angolo θ, è A. θ θ µθ (*) µθ. L angolo θ vale g A. (*) µ ( 6 ) 3 ( ) g µ g g Eercizio n.3 Una particella di aa e velocità v urta elaticaente l etreo di una barra ottile di aa e lunghezza L, pota u un piano orizzontale privo di attrito. In eguito all urto, la particella v i fera. Calcolare il odulo della velocità del centro di aa (C) della barra dopo l urto il odulo della velocità angolare di rotazione della barra intorno al C dopo l urto la aa della barra. la variazione di energia cinetica della aa ipondere quindi alle eguenti doande. Nell urto i conerva A. L energia cinetica, la quantità di oto ed il oento angolare (ripetto ad un punto fero nel piano orizzontale) del itea particella + barra (*) L energia cinetica, la quantità di oto ed il oento angolare (ripetto ad un punto olidale con l etreo urtato della barra) del itea particella + barra L energia cinetica, la quantità di oto ed il oento angolare (ripetto ad un punto fero nel piano orizzontale) della ola particella L energia cinetica, la quantità di oto ed il oento angolare (ripetto ad un punto fero nel piano orizzontale) della ola barra 3. La velocità del C della barra ha odulo A. v (*) v + + v 0 4. La velocità angolare della barra intorno al C ha odulo A. v L 6 v + L ( ) 6 v (*) L 0 5. Il valore della aa della barra è A. 4 (*)

4 3 6. La variazione di energia cinetica della aa ha odulo A. 0 v 5 v 3 v (*) Altre doande: 7. Le forze apparenti non derivano dalle interazioni fondaentali ed eitono olo nei itei di riferiento non inerziali (*) alo 8. Il oento d inerzia di un corpo rigido dipende oltanto dalla fora e dalla aa di eo e quindi può eere coniderato, proprio coe la aa, una proprietà intrineca del corpo rigido. alo (*) 9. Per un itea di forze a riultante nulla ( 0) il oento non dipende dal polo ( ) o o, (*) alo 0. L accelerazione di gravità g di un corpo vicino alla uperficie terretre, iurata in un itea di riferiento inerziale, è uguale a quella iurata in un itea olidale alla Terra alo (*). Siano S ed S due itei di riferiento aventi origine coune ed in oto relativo rotatorio unifore (S ruota ripetto ad S con velocità angolare cotante ω ). Un punto fero e quindi con accelerazione nulla in S, ha accelerazione nulla anche in S alo (*). Il oto del centro di aa di un itea di particelle è deterinato dalla oa vettoriale delle forze interne e delle forze eterne alo (*) 3. Se la riultante delle forze eterne u un itea di particelle è nulla ( 0), la quantità di oto totale ed il oento angolare totale ripetto ad un punto fio in un itea inerziale i conervano (*) alo 4. Il lavoro delle forze interne di un itea di particelle è epre nullo a caua del principio di azione e reazione. alo (*) 5. Nel oto di puro rotolaento la forza di attrito tra la ruota ed il piano copie un lavoro uguale alla variazione di energia cinetica della ruota alo (*) 6. In un urto di una particella con un corpo rigido vincolato, la quantità di oto totale del itea i conerva epre alo (*) 7. Una pattinatrice ta eeguendo una piroetta; ad un certo punto, allarga le braccia e in coneguenza di ciò la ua velocità angolare diinuice. (*) alo 8. Il teorea di Huygen-Steiner dice che il oento di inerzia di un corpo di aa ripetto ad un ae che i trova a ditanza d dal centro di aa del corpo è dato da I I C d dove I C è il oento di inerzia del corpo ripetto ad un ae parallelo al prio paante per il centro di aa

5 alo (*) 9. La derivata teporale del oento angolare di una particella ripetto ad un polo obile O, con velocità v o, è dl data da vo p dove è il oento della riultante delle forze agenti ulla particella, calcolato dt ripetto al polo O, e p è la quantità di oto della particella (*) alo 30. Un itea di riferiento che ruota con velocità angolare ω cotante ripetto ad un itea inerziale è anch eo inerziale. alo (*) Soluzioni Eercizio n. Il oento d inerzia della carrucola ripetto all ae di rotazione paante per O vale I 3.7 (0.7) kg 0.80kg Coniderando poitivo il oto vero il bao, i ha Iα T a g co θ T f a α da cui g coθ f T I 0.6N + I g coθ f a I g coθ f α I La velocità del blocco dopo che queto è civolato di d00 c lungo il piano inclinato vale: v vo a( x xo ) v ad Eercizio n. Prendendo la poizione di B coe livello di riferiento dell energia potenziale, l energia eccanica iniziale (oggetto in A) del itea è E E + E 0 + g + g 3 ( ) g,i k,i p, i Quando l oggetto paa per la poizione B, l energia eccanica vale 3 E,f E k,f + E p,f v + Iωf + g ωf + g 4 eendo la velocità dell oggetto v ωf e I. 8g Le forze che copiono lavoro (la forza peo) ono conervative e quindi E,i E, f da cui i ricava ω f 3 La preione del pitone genera, in virtù dell attrito, una forza tangenziale che i oppone al oto del dico pari a µ e di oento dω µ. Dall equazione Iα I dt t ( è un oento frenante), i ha dω µ µ ω ω 0 dt 0 t 0 t 0 t dt I ω ω ω () I I ω f Il tepo ipiegato dal dico per ferari i ricava iponendo ω 0 : τ 6g eendo ω 0 ω f µ µ Integrando ancora la () i ottiene

6 τ µ µ g θ ω dt ω f τ τ ω f τ τ ω f τ τ I 3 µ 0 + θ e quindi il nuero di giri fatto dal dico è n π Il lavoro della forza frenante è θ W dϑ µ θ 0 eendo cotante. Eercizio n.3 Siano v C la velocità del centro di aa della barra ed ω il odulo della velocità angolare intorno al centro di aa della barra. La conervazione della quantità di oto (la riultante delle forze eterne è nulla) e dell energia cinetica del itea (l urto è elatico) fornice v v v C v C + Iω () con I L dove L è la lunghezza della barra. La conervazione del oento angolare ripetto ad un punto coincidente con la poizione del C della barra pria dell urto dà Lv Iω () v v C v v C 4 6 3v Le equazioni () e () fornicono ω v o equivalenteente ω L L 4 4

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