Atomo: Meccanica Quantistica

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1 Atomo: Meccanica Quantistica

2 Capitolo 8 La struttura dell atomo 1. La doppia natura della luce 2. La «luce» degli atomi 3. L atomo di Bohr 4. La doppia natura dell elettrone 5. L elettrone e la meccanica quantistica 6. L equazione d onda 7. Numeri quantici e orbitali 8. Dall orbitale alla forma dell atomo 9. L atomo di idrogeno secondo la meccanica quantistica 10. La configurazione degli atomi polielettronici Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

3 "There is nothing new to be discovered in physics now. All that remains is more and more precise measurement." frase attribuita a Lord Kelvin, ma in modo indeterminato... dovrebbe essere stata formulata nel 1900, probabilmente

4 Conseils Solvay 1927 electrons et photons

5 1. La doppia natura della luce La luce è un particolare tipo di onda elettromagnetica che si crea per rapidissima oscillazione di cariche elettriche. L insieme delle onde elettromagnetiche costituisce lo spettro elettromagnetico. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

6 I parametri 1. La doppia che natura caratterizzano della luce le onde elettromagnetiche sono la velocità (circa km/s), la lunghezza d onda ( ) e la frequenza ( ). La lunghezza d onda si esprime in metri. La frequenza si misura in Hertz (Hz). Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

7 1. La doppia natura della luce La lunghezza d onda e la frequenza sono in relazione tra loro. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

8 diffrazione

9 1. La doppia natura della luce La diffrazione della luce è la caratteristica principale della sua natura ondulatoria. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

10 Teoria elettromagnetica Proposta da James Clerk Maxwell alla fine del XIX secolo, sostiene che le onde luminose sono elettromagnetiche e non necessitano di un mezzo per la trasmissione, mostra che la luce visibile è una parte dello spettro elettromagnetico. Con la formulazione delle equazioni di Maxwell vennero completamente unificati i fenomeni elettrici, magneti ed ottici. Per la grandissima maggioranza delle applicazioni questa teoria è ancora utilizzata al giorno d'oggi.

11 Max Planck ( ) e la teoria dei quanti Nel 1900 Planck rese nota la sua ipotesi nella quale sosteneva che gli scambi di energia nei fenomeni relativi alle radiazioni elettromagnetiche non avvengono in forma continua (come sosteneva la teoria elettromagnetica classica), ma discontinua, per quanti di energia. I quanti sono quantità di energia finite e discrete, multipli interi di un unità fondamentale di energia. La sua teoria gli valse il premio Nobel per la fisica del I quanti di energia sono le particelle oggi conosciute come fotoni.

12 Natura non facit saltus

13 Catastrofe ultravioletta

14 Catastrofe ultravioletta In accordo con i canoni della fisica classica, ci si aspettava che riscaldando un corpo nero (un oggetto ideale capace di assorbire le radiazioni elettromagnetiche che riceve emettendone altrettante, ad esempio un metallo) a temperature sempre più elevate, esso emettesse radiazioni ad intensità sempre maggiori, fino a raggiungere la catastrofe ultravioletta (un emissione di quantità enormi di energia nelle frequenze più elevate dello spettro). Tuttavia, non si verificava alcuna catastrofe: le osservazioni del corpo nero riscaldato mostravano che le radiazioni da esso emesse raggiungevano un massimo di intensità ad una data frequenza, e che, invece di provocare la catastrofe, tendeva a zero a frequenze ancora più elevate.

15 Sempre secondo le teorie ritenute valide fino ai primi anni del XX secolo, un corpo caldo dovrebbe emettere onde elettromagnetiche ugualmente distribuite su tutte le frequenze. Il corpo irradierebbe la stessa quantità di energia in ogni colore dello spettro della luce visibile, dell infrarosso e dell ultravioletto. Questa somma dell energia emessa è una somma interminabile, quindi l energia complessivamente irradiata da qualsiasi corpo, a qualunque temperatura, dovrebbe essere infinita. Ovviamente non accade.

16 1. La doppia natura della luce Effetto fotoelettrico Secondo la teoria corpuscolare i fotoni possono provocare l espulsione degli elettroni atomici oppure possono venire assorbiti cedendo l energia che trasportano. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

17 1. La doppia natura della luce Effetto fotoelettrico Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

18 1. La doppia natura della luce L interazione della luce con la materia è la prova che la luce ha anche natura corpuscolare. La propagazione del fascio luminoso è dovuto allo spostamento di un gruppo di pacchetti di energia, detti quanti di energia o fotoni. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

19 dualismo onda/particella

20 1. La doppia natura della luce La relazione di Planck-Einstein riassume questo comportamento: E=h dove E = energia di un fotone di luce h = 6, J s (costante di Planck) = frequenza della radiazione elettromagnetica Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

21 E=mc 2 1. La doppia natura della luce E = mc 2 E= h = c/ Questa formula evidenzia i due aspetti della natura della luce, ondulatoria e corpuscolare: Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

22 2. La «luce» degli atomi spettri a righe Lo spettro continuo è una serie di colori che si susseguono senza discontinuità, tipico dei solidi e dei liquidi portati all incandescenza. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

23 2. La «luce» degli atomi Lo spettro a righe, tipico dei gas rarefatti (ad esempio l Elio) sottoposti a scarica elettrica, è formato da righe colorate discontinue (righe di emissione). Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

24 2. La «luce» degli atomi La luce emessa dagli atomi non è continua e presenta soltanto alcune frequenze, caratteristiche per ciascun tipo di atomo. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

25 2. La «luce» degli atomi Le radiazioni elettromagnetiche assorbite da ciascun tipo di atomo hanno la stessa frequenza di quelle emesse dall atomo eccitato. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

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27 Spettro emissione Idrogeno

28 Spettro di Balmer 1/ = RH x (1/4 1/n²) Gli atomi assorbono o emettono radiazione solo a certe frequenze, e queste frequenze sono in relazioni matematiche tra di loro. Perché?

29 Niels Bohr ( ) Bohr perfezionò il modello di Rutherford e riuscì a spiegare la stabilità degli atomi e l emissione degli spettri a righe.

30 mevr= n(h/2π) Attraverso i suoi studi Bohr spiegò perché soltanto certe radiazioni possono interagire con gli atomi e quale relazione intercorre tra radiazione luminosa e struttura atomica.

31 mevr= n(h/2π) 3. L atomo di Bohr Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

32 Atomo di Bohr 3. L atomo di Bohr 1. L elettrone percorre solo determinate orbite circolari (orbite stazionarie), senza emettere e cedere energia e quindi senza cadere nel nucleo. 2. All elettrone sono permesse solo determinate orbite (determinate da n, numero quantico principale) a cui corrispondono determinati valori di energia (l energia e le orbite correlate sono quantizzate). Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

33 3. L atomo di Bohr 3. Per passare da un orbita a un altra a livello energetico superiore, l elettrone assorbe una appropriata quantità di energia. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

34 4. Per passare da un orbita a un altra inferiore a 3. L atomo di Bohr contenuto energetico minore, l elettrone emette un fotone di appropriata frequenza (se appartiene al visibile dello spettro elettromagnetico, appare come riga colorata). 5. L energia del fotone emesso o assorbito corrisponde alla differenza di energia delle due orbite. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

35 3. L atomo di Bohr Il numero quantico principale n indica il livello energetico associato a ogni orbita, n assume valori interi compresi tra 1 e 7. Il livello più basso di energia è detto stato fondamentale. I livelli a energia superiore dello stato fondamentale si chiamano stati eccitati. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

36 Maggiore il valore di n, maggiore il raggio e l energia dell orbita.

37 3. L atomo di Bohr Ad ogni salto di orbita la transizione energetica ha un valore dato da E=h Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

38 Il modello di Bohr spiega il perché l atomo di idrogeno ha uno spettro di emissione (o di assorbimento) con determinate righe.

39 3. L atomo di Bohr Ogni transizione dell elettrone da uno stato eccitato a un livello energetico inferiore è caratterizzata da una riga nello spettro di emissione. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

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41 3. L atomo di Bohr Il modello atomico di Bohr presentò presto tutti i suoi limiti: non era applicabile ad atomi con molti elettroni e non spiegava gli spettri atomici in presenza di un campo magnetico. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

42 Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie Negli anni venti de Broglie ipotizzò che la doppia natura ondulatoria e corpuscolare fosse una proprietà universale della materia. Associò a ogni particella in movimento un onda. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

43 Il legame 4. La doppia tra caratteristiche natura dell elettrone corpuscolari e ondulatorie della radiazione elettromagnetica si manifesta nella relazione: Secondo De Broglie qualunque corpo in movimento ha anche una natura ondulatoria secondo la relazione:

44 4. La doppia natura dell elettrone Le onde associate a qualsiasi corpo in movimento, ad esempio un elettrone, si chiamano onde di de Broglie. A ogni corpo in movimento è associata quindi una lunghezza d onda. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

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46 Elettrone Palla da baseball Calcolo della lunghezza d onda associata ad un elettrone (sinistra) ed a una palla da baseball (destra).

47 diffrazione elettroni Nel 1927 Davisson e Germer dimostrarono che non solo la radiazione elettromagnetica presenta il fenomeno della diffrazione, ma anche particelle come gli elettroni. Dimostrarono così che gli elettroni posseggono una doppia natura, corpuscolare ed ondulatoria.

48 diffrazione elettroni

49 Werner Karl Heisenberg ( ) "Und wir müssen uns daran erinnern, daß das, was wir beobachten, nicht die Natur selbst ist, sondern Natur, die unserer Art der Fragestellung ausgesetzt ist."

50 «sono formulate dalla teoria quantistica, le leggi naturali non conducono quindi ad una completa determinazione di ciò che accade rimesso al gioco del caso» Über quantenmechanische Kinematik und, Mathematische Annalen, 1926

51 Principio di indeterminazione di 5. L elettrone e la meccanica quantistica Heisemberg Il principio di indeterminazione di Heisenberg afferma che non è possibile conoscere a ogni istante, contemporaneamente, la posizione e la velocità (più precisamente la quantità di moto mv) di un elettrone. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

52 Principio di indeterminazione di Heisemberg Maggiore la precisione con cui si conosce uno dei due fattori, maggiore l incertezza relativa al secondo fattore.

53 matrici non commutative

54 meccanica quantistica 5. L elettrone e la meccanica

55 5. L elettrone e la meccanica quantistica meccanica quantistica La meccanica quantistica è la parte della chimica-fisica che descrive il comportamento di elettroni, fotoni e altre particelle microscopiche, basandosi su leggi statistiche. Le leggi della meccanica quantistica determinano la probabilità con cui può verificarsi un evento che coinvolge particelle microscopiche, o fornire indicazioni statistiche sulla posizione o la velocità delle particelle. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

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57 Microscopio immaginario a raggi γ di Heisenberg In accordo con le leggi dell ottica, la posizione dell elettrone può essere risolta con un accuratezza data da: Per osservare l elettrone, bisogna colpirlo con un raggio gamma, che (dato che è anche una particella, un fotone ad alta energia) da un calcio all elettrone, perturbandole la quantità di moto secondo l equazione: λ Minore è la lunghezza d onda del fotone, maggiore è la precisione con cui si può calcolare la posizione, ma minore la precisione con cui si può calcolare la quantità di moto.

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60 immaginario di Heisenberg va considerato come una semplificazione, non del tutto precisa, di teorie matematiche ben più complesse. Le moderne teorie quantistiche non concordano con che, prima di essere disturbato da un fotone, possieda una precisa posizione determinabile. Un elettrone, così come qualunque particella, ha probabilità di trovarsi in qualunque posizione. La distribuzione delle probabilità informa che in alcuni punti dello spazio questa probabilità è molto alta, in altri punti la probabilità è molto bassa.

61 Il funzionamento dei memorie flash ROM che si trovano nei dischi SSD è dovuto al tunnel quantistico. effetto tunnel quantistico In meccanica quantistica l effetto tunnel consiste nel superamento di una barriera anche se non si possiede abbastanza potenziale per superarla. Per farla semplice è come se lanciando una palla contro il muro questa passasse dalla parte opposta senza distruggere il muro.

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63 il gatto di Schrödinger

64 «Si possono anche costruire casi del tutto burleschi. Si rinchiuda un gatto in una scatola d acciaio insieme alla seguente macchina infernale (che occorre proteggere dalla possibilità d essere afferrata direttamente dal gatto): in un contatore Geiger si trova una minuscola porzione di sostanza radioattiva, così poca che nel corso di un ora forse uno dei suoi atomi si disintegra, ma anche in modo parimenti verosimile nessuno; se ciò succede, allora il contatore lo segnala e aziona un martelletto che rompe una fiala con del cianuro. Dopo avere lasciato indisturbato questo intero sistema per un ora, si direbbe che il gatto è ancora vivo se nel frattempo nessun atomo si fosse disintegrato. La prima disintegrazione atomica lo avrebbe avvelenato. La funzione Ψ dell intero sistema porta ad affermare che in essa il gatto vivo e il gatto morto non sono stati puri, ma miscelati con uguale peso.» Erwin Schrödinger

65 Il Gatto di Schrodinger L'esperimento ipotizzato da Schrodinger è un estremizzazione su larga scala di quello che realmente avviene in natura su piccola scala: Cosa vi aspettate di trovare? Secondo la logica classica (terzium non datur) sono possibili solo 2 combinazioni: atomo integro - Gatto vivo atomo disintegrato - Gatto morto Sembrerà scontato a tutti che prima che vi accingiate ad aprire la scatola le sorti dell'animaletto siano già segnate... La meccanica quantistica, invece, vi dice che il gatto si trova in una condizione stranissima: nè vivo, nè morto, in una SOVRAPPOSIZIONE di diverse combinazione dei due stati.

66 Il Gatto di Schrodinger Nell'istante in cui voi aprirete la scatola (misurazione) la natura deciderà (collasso della funzione d onda) una delle combinazioni, quella che voi vedrete (in questo universo, in un altro parallelo vedreste l altra). Siete VOI in un certo senso a decidere riguardo alla sorte del gatto, che restano in bilico per tutto il tempo precedente. Perchè le leggi della Meccanica Quantistica non devono valere anche per voi che aprite la scatola, ma solo per quello che c'è dentro?

67 Il Gatto di Schrodinger Visto che fino al momento dell'osservazione l'atomo esiste nei due stati sovrapposti, decaduto e non decaduto, anche il gatto resta sia vivo sia morto fino a quando non si apre la scatola, ossia non si compie un'osservazione.

68 esperimento doppia fenditura

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70 Distribuzione di probabilità In Fisica moderna, in virtù del Principio di Heisenberg, non ha senso chiedersi qual è la traiettoria di una particella (ossia cercare di individuare con la medesima precisione posizione e velocità) perché ciò è vietato dalla stessa interazione con lo strumento di misura. In Fisica moderna, quello che si può definire, in conformità con il Principio di indeterminazione, è al più una probabilità (distribuzione di probabilità) che la particella ad un certo istante sia in una data posizione dello spazio e con una data quantità di moto.

71 Particelle delocalizzate a meno che (ed ogni osservazione modifica il sistema ) Le particelle subatomiche sono "delocalizzate" nello spazio e nel moto, per cui, fra un'osservazione e l'altra, si comportano come se stessero in più luoghi contemporaneamente. Solo quando una particella delocalizzata viene osservata con un esperimento che, inevitabilmente, ne modifica il livello energetico, la quantità di moto e la posizione, essa verrà individuata con determinati valori delle proprie variabili tra i vari possibili.

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73 interpretazione di Copenaghen Schrodinger) da cui si ricavano funzioni d'onda di probabilità. L'estensione del pacchetto d'onda dipende dal numero di frequenze (velocità) che lo compongono; al limite, per una sola frequenza, il pacchetto si sparpaglia in tutto lo spazio e la particella può essere ovunque; oppure, localizzando la posizione, il pacchetto si restringe e il numero di possibili velocità tende ad infinito.

74 La fine della visione scientifica deterministica. Secondo la fisica classica ogni oggetto è sottoposto a relazioni causali deterministiche in cui, come affermò secondo una visione della natura strettamente meccanicistica Laplace: "lo stato presente dell'universo è l'effetto del suo stato anteriore e la causa di quello che

75 Il determinismo scientifico del secolo XIX "Noi dobbiamo riguardare il presente stato dell'universo come l'effetto del suo stato precedente e come la causa di quello che seguirà. Ammesso per un istante che una mente possa tener conto di tutte le forze che animano la natura, assieme alla rispettiva situazione degli esseri che la compongono, se tale mente fosse sufficientemente vasta da poter sottoporre questi dati ad analisi, essa abbraccerebbe nella stessa formula i moti dei corpi più grandi dell'universo assieme a quelli degli atomi più leggeri. Per essa niente sarebbe incerto ed il futuro, così come il passato, sarebbe presente ai suoi occhi." Pierre Simon de Laplace "Essai philosophique sur les probabilites", 1812

76 Osservatore e realtà. L'interpretazione di Copenaghen della funzione d'onda è ricca di contenuto filosofico. Al contrario della visione deterministica classica in cui la realtà assume un significato oggettivo, indipendente dal processo di misurazione (la Luna sappiamo che c'è anche se non alziamo gli occhi al cielo), nella Fisica moderna non possiamo più predire con esattezza quello che accade tra due misurazioni successive.

77 Osservatore e realtà La realtà acquista caratteristiche definite solo attraverso il processo di misurazione in cui l'osservatore diventa parte integrante della realtà medesima. In altre parole, dice Heisenberg, "Dobbiamo ricordare che ciò che osserviamo non è la natura in sé, ma la natura esposta al nostro

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79 5. L elettrone e la meccanica quantistica Elettrone e quantistica. Poiché le informazioni sul moto dell elettrone possono essere solo di tipo probabilistico, con la meccanica quantistica il concetto di orbita di un elettrone è superato e inadeguato. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

80 7. Numeri quantici e orbitali Le onde che si propagano con l elettrone in moto nell atomo possono essere descritte da una funzione matematica proposta da Schrödinger nel 1926: è l equazione di Schrödinger. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

81 onde stazionarie

82 onde stazionarie

83 6. L equazione d onda L equazione d onda di Schrödinger fornisce informazioni sulla probabilità di trovare l elettrone in un punto particolare dello spazio intorno al nucleo. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

84 orbitali

85 7. Numeri quantici e orbitali La funzione d onda contiene tre numeri interi, detti numeri quantici (n, l e m) che definiscono lo stato quantico dell elettrone e ne specificano il valore di una proprietà. L orbitale è una funzione d onda elettronica caratterizzata da una particolare terna di valori di n, l e m. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

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87 7. Numeri quantici e orbitali Il numero quantico principale n (n = 1, 2, 3,7) definisce il livello energetico dell elettrone che è proporzionale alla distanza dal nucleo. Il numero quantico secondario l (l = 0, 1,, n-1) determina le caratteristiche geometriche dell orbitale (sottolivello energetico). valori di l lettera s p d f Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

88 7. Numeri quantici e orbitali Il numero quantico magnetico m (m = -l, 0, +l) definisce quanti orbitali della stessa forma, ma con orientazione diversa, possono coesistere in un sottolivello. Il numero quantico di spin m s (m s = ± ½) indica il valore di spin che può essere assunto dall elettrone. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

89 7. Numeri quantici e orbitali Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

90 7. Numeri quantici e orbitali La scoperta del quarto numero quantico, portò Pauli a enunciare il principio di esclusione, secondo il quale in un orbitale possono essere presenti al massimo due elettroni con spin opposto o antiparallelo. +½ -½ Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

91 8. Dall orbitale alla forma dell atomo Lo spazio intorno al nucelo entro il quale si ha una certa probabilità di trovare l elettrone, si chiama superficie di contorno. La forma delle superfici di contorno e i volumi da esse racchiusi variano da un orbitale all altro: la forma è determinata dal numero quantico secondario l; il volume dipende dal numero quantico principale n. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

92 8. Dall orbitale alla forma dell atomo La superficie di contorno degli orbitali s è una sfera il cui volume aumenta all aumentare del numero quantico principale n. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

93 8. Dall orbitale alla forma dell atomo La superficie di contorno degli orbitali p è un doppio lobo che si espande lungo gli assi x, y e z Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

94 8. Dall orbitale alla forma dell atomo La superficie di contorno degli orbitali d è a quattro lobi. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

95 8. Dall orbitale alla forma dell atomo Di grande complessità è la superficie di contorno degli orbitali f. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

96 f orbital (Shape 1) f orbital (Shape 2) f orbital (Shape 3) g orbital (Shape 1) g orbital (Shape 2) g orbital (Shape 3) g orbital (Shape 4)

97 9. L atomo di idrogeno secondo la meccanica quantistica Quando l atomo di idrogeno è nel suo stato fondamentale, l elettrone è più vicino al nucleo e l orbitale 1s è caratterizzato dalla terna di numeri quantici: n = 1, l = 0, m s = +½ o ½ Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

98 10.La configurazione degli atomi polielettronici La rappresentazione completa degli orbitali occupati da tutti gli elettroni in un atomo o in uno ione in ordine crescente di energia si chiama configurazione elettronica. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

99 10.La configurazione degli atomi polielettronici Per scrivere la configurazione elettronica di un atomo si applica il principio di Aufbau. Il numero atomico Z dell elemento indica il numero di elettroni da sistemare. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

100 10.La configurazione degli atomi polielettronici La successione degli orbitali in cui sistemare gli elettroni in ordine di energia crescente è: Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

101 10.La configurazione degli atomi polielettronici La somma degli esponenti che compaiono nella configurazione elettronica deve corrispondere al numero Z. Gli elettroni occupano prima gli orbitali a energia più bassa, poi quelli a energia più elevata. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

102 10.La configurazione degli atomi polielettronici Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

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105 10.La configurazione degli atomi polielettronici Secondo la regola di Hund, se ci sono orbitali allo stesso livello energetico, prima si colloca un elettrone su ciascun orbitale vuoto, poi si completano gli orbitali semipieni. Nella configurazione elettronica più stabile di un atomo, gli elettroni appartenenti a un medesimo sottolivello tendono ad assumere lo stesso spin. Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

106 10.La configurazione degli atomi polielettronici Copyright 2009 Zanichelli editore Le idee della chimica

107 Modelli atomici

108 Dio non gioca a dadi è il modo con cui viene in genere riportato il pensiero di Einstein (sul principio di indeterminazione), che in realtà disse: «Sembra difficile dare una sbirciata alle carte di Dio. Ma che Egli giochi a dadi e usi metodi "telepatici" [...] è qualcosa a cui non posso credere nemmeno per un attimo». Niels Bohr, alle cui teorie si riferiva Einstein con questa frase, rispose "Non dire a Dio come deve giocare". Più tardi, in una discussione dove John Wheeler proponeva la sua (e di Richard Feynman) interpretazione sui positroni, Einstein ripropose la famosa frase "Non riesco ancora a credere che Dio giochi a dadi", aggiungendo anche "Ma forse mi sono guadagnato il diritto di commettere degli errori".