( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) LE DERIVATE ( ) ( ) (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0 1. GENERALITÀ

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1 LE DERIVATE. GENERALITÀ Defiizioe A) Ituitiva. La derivata, a livello ituitivo, è u operatore tale che: a) ad ua fuzioe f associa u altra fuzioe; b) obbedisce alle segueti regole di derivazioe: () D a a a D 6 D 0 D derivata di u moomio () D ( a ) a 0 0 D , D ( ) 0 0, D derivata di u moomio co () D ( ) derivata di u moomio co a 0 () D ( c ) 0 D ( ) 0, D ( 0) 0, () D ( ) D 0 Più i geerale risulta: α α D α ( α reale qualsiasi ) (.) derivata di ua costate derivata di u moomio co a 0 Ricordado le regole delle poteze: a) a a b) a a c) a a seguoo varie proprietà applicate ei segueti D ( ) D, D, D 8 8, D ( ),

2 Se α allora si ha: D che si può scrivere, i modo più semplice, come segue: D (6) D ( ), D, D derivata della radice -esima Più i geerale si ottiee: f ' (7) D [ f ] f ( ) D 6 D D ( ) (8) [ ] derivata della radice -esima di ua fuzioe ( ) ( ) ( 6 ) ( ) ( 6 ) ( 6 ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] D a f ± b g a D f ± b D g derivata della somma ( o differeza ) e liearità D 7 6 D D 7D 6D ( 7 ) ( ) 7 7 D 6 6 6D D D 6D 8 D D D [ ] [ ]' ' ' D f g f g f g f g derivata del prodotto (9) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D 0 [( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D [( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) D

3 (0) D f g D D D f g ', g f ' g f g [ ] g 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] derivata del quoziete D f g f '... g'... f ' g g' derivata di fuzioi composte ( ) ( ) ( ) D 8 [ ] D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 7 ) D [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( 6 ) D 7 ( ) 7 f () D [ e ] f e f ' derivata di fuzioi espoeziali ( ) ( ) ( 7 ) ( 9 7) D e e e D e e e ( ) ( ) e ( ) ( ) D e e e 6

4 ( ) ( ) ( ) 6 D e e e e 0 [ ] () D l f ( ) f ' f D [ l( ) ] ( ) 6 D [ ( l ) ] ( ) D l 0 derivata di fuzioi logaritmiche 0 ( ) ( ) Osservazioe: riteiamo opportuo richiamare l attezioe dello studete su alcue proprietà dei logaritmi che si rivelerao particolarmete utili soprattutto per lo studio di fuzioi: log b c log b log c co a, b > 0 e a a a a b loga loga b loga c c co a, b, c > 0 e a loga loga( b ) b log b co a, b > 0 e a e itero positivo a loga b co a, b > 0 e a e itero positivo log a a co a > 0 e a log a 0 co a > 0 e a log a 0 co a > 0 e a loga N logb N formula del cambio di base co N itero positivo loga b Ioltre, sfruttado la defiizioe classica di logaritmo, è facile verificare l equivaleza delle segueti espressioi: z z log a b ; a b ; a log a b b ; I geerale si è soliti idicare co l o ache co log il logaritmo aturale o Neperiao, cioè i base e. B) Tecica. Per poter forire la defiizioe rigorosa del cocetto di derivata occorroo alcue defiizioi prelimiari. Defiizioe di rapporto icremetale. Sia data ua fuzioe ella sua forma geerica f(). Per la defiizioe di fuzioe sappiamo che, scegliedo u valore, la fuzioe geererà u corrispodete valore di, cioè f( ). Se ora foriamo ad u icremeto h, positivo o egativo, otteiamo u corrispodete valore della, pari ad f( h). Ne segue che la differeza tra f( h) ed f( ), cioè: f( h) f( )

5 rappreseta la variazioe assoluta del valore della fuzioe, ovvero l icremeto che la fuzioe subisce quado dal valore si passa al valore h: tale differeza può essere positiva, ulla o egativa. Se cosideriamo ora il rapporto: f ( h) f ( ) h tra l icremeto della fuzioe e quello corrispodete della variabile idipedete, h, riusciamo ad idetificare u tasso di variazioe media della fuzioe, ovvero u umero che idica la variazioe media della per ogi variazioe uitaria della ell itervallo cosiderato. Tale rapporto prede il ome di rapporto icremetale della fuzioe f() relativo al puto e all icremeto h. Esempio Calcolare il rapporto icremetale della fuzioe f() all icremeto h. Sfruttado la defiizioe si ha: f f f f f h f h Essedo poi: f 9 9 f risulta: 9 8, relativo al puto e Esempio Calcolare il rapporto icremetale della fuzioe f, relativo al puto e ad u geerico icremeto. Sfruttado la defiizioe si ha: f h f f h f h h Essedo poi: f h h h h f 0 risulta: h 0 h h h

6 Defiizioe. Sia data la fuzioe f(). Costruiamo il suo rapporto icremetale el puto ; facciamo tedere a zero l icremeto h, sia per valori positivi che per valori egativi, e cosideriamo il limite del rapporto icremetale per h che tede a zero, cioè: f ( h) f lim h 0 h Allora, se tale limite esiste ed è fiito, prede il ome di derivata della fuzioe per. I particolare la derivata si idica co uo dei segueti simboli: f '( ) ' d d D D f Esempio Sia data la fuzioe. Sfruttado la defiizioe B), calcolare la sua derivata. I primo luogo dobbiamo calcolare il rapporto icremetale relativamete al puto e ad u geerico icremeto h, cioè: ( ) ( ) ( ) f h f f h f h h h h h h h h h h h h da cui, passado al limiti, si ha: f ( h) f h 6h h h( h 6h ) ' lim lim lim lim( h 6h ) h 0 h h 0 h h 0 h h 0 A questo puto risulta particolarmete iteressate visualizzare graficamete il cocetto sia di rapporto icremetale che di derivata prima. Rapporto icremetale Suppoiamo di cooscere, i u piao cartesiao, il grafico della fuzioe f(). Idichiamo co P e Q i puti di tale grafico di ascisse rispettivamete ed h. f( h) f( ) P f() Q O ϕ h È facile verificare, almeo graficamete, che il rapporto icremetale della fuzioe f() relativo al puto e all icremeto h è uguale al coefficiete agolare della retta secate il grafico ei puti P e Q. Derivata prima Suppoiamo di cooscere, i u piao cartesiao, il grafico della fuzioe f() e che tale fuzioe sia derivabile el puto, ovvero che esista la sua derivata prima i. Se facciamo tedere h a zero, ossia 6

7 se attribuiamo ad h valori via via sempre più piccoli, il puto Q si avvicierà sempre più al puto P e la retta secate si avvicierà sempre più alla retta tagete al grafico di f() el puto P. t Q f() P O ϕ h È facile verificare, almeo graficamete, che la derivata prima della fuzioe f() el puto è il coefficiete agolare della retta tagete il grafico el suo puto P, di ascissa proprio. Quidi, i base al valore assuto dalla retta tagete el puto prescelto, è possibile assumere iformazioi sulla fuzioe; i particolare: f ' > 0 la fuzioe è crescete i ( ) ( ) f ' < 0 la fuzioe è decrescete i f ' 0 la fuzioe è stazioaria i Osserviamo che, dal puto di vista ecoomico, il cocetto di derivata prima viee utilizzato, ad esempio, qualora si fa riferimeto alle fuzioi di costo e di ricavo!!! 7

8 . TABELLA DELLE DERIVATE PIÙ COMUNI Riportiamo qui di seguito ua tabella riassutiva delle derivate di alcue fuzioi elemetari, scrivedo a siistra la fuzioe e, ella stessa liea, a destra, la sua derivata: c ' 0 ', ℵ ' α, α R e > 0 ' α α ' m m, > m ' m si ' cos cos ' si tg ' tg cos ctg ' cotg e ' e si a, a > 0 ' a loga l, > 0 ' ' ( l) log a, > 0, a > 0, a ' log a e arcsi, π < < π ' arccos, 0 < < π ' arctg ' arcctg ' 8

9 Riportiamo adesso u eleco di derivate di fuzioi elemetari otteuto dalla tabella precedete sostituedo alla variabile idipedete ua certa fuzioe f ( ) di cui si coosca la derivata ed applicado poi la regola di derivazioe delle fuzioi composte: [ f ] ' f ' f ' f [ ] ' f f [ f ] ' [ f ] m si f ' cos f f ' cos f ' si f f ' tg f ctg f arcsi f arccos f arctg f e f arcctg f a f l f log a f ' ' ' ' ' ' m f f ' cos si f f ' [ f ] [ f ] [ f ] f ' f ' [ f ] ' ' f ' e f ' f a l a f f f ' ' f [ f ] g f ' f ' logae f ' g [ ] ( ) g ' f g' log f f f ' 9

10 ESERCIZI PROPOSTI Calcolare le derivate delle segueti fuzioi poliomiali: [6] 7 [] [] 6 [6 6] [ ] [8] [ ] [ ] [] [8] [8] [ 8] [ ] 7 [ ] 8 7 [0 7 ] 9 [ ] ( )( ) [6 8 7] ( )( ) [ ] ( ) [0( ) ] ( ) [ ( )( ) ] ( )( ) [6 0 ] ( ) ( 7) [( )( 7) ( 98 7)] ( )( ) [6 8 7] ( )( ) [ 8 ] ( )( ) [( 0 6 6)] ( )( ) [(0 6 8)] (8 ) 0 [80(8 ) 9 ] ( ) ( ) [( )( )] ( )( ) [( )( )] ( ) ( ) [( )( ) ] ( ) ( ) [( )( 6 6 )] ( ) ( ) [( )( ) ( )] ( ) ( ) [( ) ( ) (0 )] ( 6 )( ) 8 [6( ) 7 (7 6 )] ( ) ( ) 7 [( 7 0 )( ) ( ) 6 ] ( ) ( ) [( )( 8 )] ( ) ( )] [( ) (7 ) ( )] 0

11 Calcolare le derivate delle segueti fuzioi razioali fratte:

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13 ( 6 ) ( ) ( 8 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( 9) 6 ( ) Calcolare le derivate delle segueti fuzioi irrazioali: 7 7 ( 7) ( ) ( )

14 ( ) ( ) 6 ( 6 ) ( ) ( ) ( ) 8 8 ( ) ( ) ( )

15 ( ) ( 8) ( ) ( 7 ) ( ) ( )

16 ( 9 6) ( ) Calcolare le derivate delle segueti fuzioi espoeziali e logaritmiche: l( ) l( ) e [e ] e [()e ] e e e e l [l ] l [l ] e e e e l l ( l ) e e [e ( )] e ( e ) [e ( e )] e ( 7) [e ( 6)] l l 6l 6 [l ] (l) [(l) (l )] l 6 l [ 8 l 0 l l 0l] l (l ) [(l )(l )] l [(l )] l [(l )] 6

17 l [l (l )] l l l l( ) l l l l 7l l ( l l l 6) l ( l ) l( ) l( 7 7 8) 78 l ( ) l ( ) l e ( ) e e l l e ( ) l ( 8) l l l 8 8 ( ) 7

18 ( ) l l l ( ) l e l e l l e ( ) l( ) l ( ) 6 l e ( e e ) e l e e e e ( ) ( ) e l l ( l ) l( l) l e l( e ) e ( ) l e l( ) 8