2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:
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- Gilda Silvana Visconti
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1 Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo cso è ugule ed è il ritmo in bse di. L bse DEVE essere un numero POSITIVO. Pertnto un modo di clcolre il ritmo di un numero è di vederlo come operzione invers (NON è frtto ) quell di elevre esponente. Definizione. Si b un numero rele positivo (detto nche rgomento), un numero rele positivo diverso d ; si chim ritmo nell bse del numero b, l esponente d dre d per ottenere b e si scrive: b Esercizi trtti dl libro Approccio ll mtemtic, VOL. E, Minerv Itlic Es. pg.. Bsndoti sull definizione di ritmo, clcol: A) 7 vuol dire: cerc l esponente tle che 7 ) Riscrivendo come potenze di si h: ( ) ) l bse è l stess quindi confrontndo gli esponenti si h = d cui = / B) vuol dire: cerc l esponente tle che 7 7 ) Riscrivendo come potenze di si h: ( ) quindi = - d cui = -/ C) 7 7 vuol dire: cerc l esponente tle che. 8 8 ) Riscrivimo come potenze di / e /: ) Poiché si h: D) vuol dire: cerc l esponente tle che, quindi ) Poiché si h Es. pg.. Bsndoti sull definizione di ritmo, clcol: A) vuol dire: cerc l esponente tle che ) Riscrivendo come potenze di si h: B) 7 vuol dire: cerc l esponente tle che 7 ) Riscrivendo come potenze di si h: C) D) 7 quindi = - d cui = -/ (perchè = ) quindi = - d cui = -/ quindi quindi d cui = / d cui = / vuol dire: cerc l esponente tle che quindi d cui = -/ vuol dire: cerc l esponente tle che 7 7 quindi 7 7 Es. pg.. Determin l rgomento del ritmo, dto il vlore del ritmo e l bse. A) 0. Dll definizione di ritmo: 0. 0 d cui = / /
2 B). 0 Si h: C) Si h: 7 Es. pg.. Determin l rgomento del ritmo, dto il vlore del ritmo e l bse. A) B) Si h: Si h: Si h: C) Es. pg.. Determin l bse dei seguenti ritmi. 7 A) 8 7 Si h: 8 m 7 8 quindi = B) Si h: m e quindi = / C) Si h: m quindi = - = / Oppure: si elev tutto -/: ) ) ) / Es. pg.. Determin l bse dei seguenti ritmi. A) Si h: B) Si h: ) quindi 7 quindi Es. 7 pg.. Applicndo le proprietà inverse dei ritmi, trsform le seguenti espressioni in un unico ritmo, qulunque si l bse. A) y ( y) ) Si h: y y ) y y y y : Es. 77 pg.. A) b ) Si h: b 8 ) b 8b Es. 7 pg.. y y y ) Si h: y y y A) ) y y y y y Es. 80 pg.. A) ( b) c ) Si h: b c /
3 ) b c ) b ) possimo riscrivere c c c e quindi b b b c c c Es. 88 pg. 7. Ricv il vlore dell dlle seguenti uguglinze. A) b Si cerc di scrivere l espressione destr dell ugule con un unico ritmo, nell stess bse di quello dell espressione sinistr dell ugule. Poi si possono confrontre i due rgomenti. ) b ) c Quindi b b Per gli esercizi d 0 8 pg. 7: un tecnic per risolverli è utilizzre le proprietà dei ritmi. Un lterntiv è quell di riscrivere l'rgomento (del ritmo) in modo che compino solo potenze dell stess bse rispetto cui è clcolto il ritmo. Es. 0 pg. 7. Clcol il vlore delle espressioni ) Si h: A) 8 b 8 ) B) 7 Si h: Es. pg.. Clcol il vlore delle espressioni A) A ) Altro modo ) Si h: B) ) Si h: Es. pg.. Clcol il vlore delle espressioni A) ) Si h: ) A') Un ltro modo: I) /
4 B) ) Si h: Es. pg.. Clcol il vlore delle espressioni A) 8 ) Si h: B) 7 ) Si h: ) ) = 7 7 Visto che l bse è 7 e che 7 = llor Un ltro modo: ) Si h: spendo che b si h che 7 e utilizzndo questo risultto si h: b 7 ) 7 8 Es. pg.. Clcol il vlore delle espressioni 8 A) ) Si h: 8 B) 7 ) Si h: ) Es. pg.. Clcol il vlore delle espressioni A) ) Si h: B) ) Si h: Es. pg.. Clcol il vlore delle espressioni A) ) Si h: Es. 7 pg.. Clcol il vlore delle espressioni A) 8 ) Si h: 8 8 Es. 8 pg.. Clcol il vlore delle espressioni 8 A) ) Si h: / 8
5 Per gli esercizi d 00 pg. 8: L rgomento di un ritmo deve essere un numero positivo. L esercizio 00 verrà svolto fornendo nche richimi sull teori. Es.00 pg. 8. Stbilisci per quli vlori delle vribili h significto l espressione del membro di sinistr delle seguenti uguglinze e per quli vlori sono vere dette uguglinze. 0 0 ) L rgomento del ritmo, nell espressione sinistr dell ugule deve essere mggiore di zero: 0 Si trtt di vlutre il segno del rpporto e 0 0 M vlutre il segno di un rpporto è l stess cos di vlutre il segno di un prodotto. Ad esempio il segno del prodotto di tre espressioni è positivo se: tutte e tre le espressioni sono positive oppure se due su tre sono positive m nche il segno di un rpporto tr tre espressioni è positivo se: tutte e tre le espressioni sono positive oppure se due su tre sono positive Quindi: vlutre il segno di un rpporto di espressioni è l stess cos di vlutre il segno di un prodotto di espressioni. Inoltre si s vlutre il segno del prodotto: si us un tbell. Tornndo ll esercizio: - 0 ) 0 0 se sempre 0 ) Quindi i vlori dell vribile per cui h significto l espressione sinistr dell ugule sono dti dll insieme S : S : 0. ) Or occorre stbilire per quli vlori di è ver l uguglinz (dt dl testo): 0 0 Quindi per l espressione sinistr dell ugule, i vlori sono stti trovti l punto ). Per quelli destr dell ugule: ogni rgomento di ogni ritmo deve essere un numero positivo. Quindi deve vere rg omento positivo : 0 ver e deve vere rg omento positivo : 0 e 0 deve vere rg omento positivo : 0 0 Quindi deve essere ver l prim disequzione (>0) e l second (+>0) e l terz (-0>0): l e signific contempornemente e quindi si deve considerre un sistem di disequzioni Quindi le soluzioni sono dte d S : S : ) I vlori per cui è definit l equzione sono quindi quelli che rendono definite si l espressione sinistr dell ugule che quell destr e quindi sono i vlori comuni (->sistem) S e S. /
6 - 0 Quindi i vlori comuni si hnno per >0. S : S : Es.0 pg. 8. Stbilisci per quli vlori delle vribili h significto l espressione b b ) è definito se l rgomento è positivo: b 0 0 se 0 e b 0 b b che si esprime nche dicendo che, b devono essere concordi. oppure se 0 e b 0 Quindi l insieme S dei vlori per cui 0 b 0 0 b 0 è definito, è dto d: b S. b : ) Si considerno or gli rgomenti dei ritmi dell espressione destr dell ugule: è sempre definito (>0) è definito se >0 b è definito se b>0 Quindi l insieme S dei vlori per cui l espressione destr dell ugule è definit, è dto d: S. b : 0 b 0. b : 0 b 0 ) Quindi confrontndo S con S si ricv che l uguglinz è definit se Es.0 pg. 8. ) è definito se 0. M un espressione rele elevt d un esponente intero pri è sempre non negtiv. Quindi bst che si - 0 ovvero. Quindi è definit per S : ) Si considerno or gli rgomenti dei ritmi dell espressione destr dell ugule: è sempre definito (>0) ( ) è definito se ->0 quindi > Quindi l espressione destr dell ugule è definit per S : ) I vlori di che rendono definite le due espressioni sinistr e destr dell ugule, sono dti S S S : dll intersezione tr S e S (vlori comuni). Quindi: Es.0 pg. 8. ) è definito se 0. Occorre vlutre il segno del rpporto. /
7 0 0 poichè è sempre se z è sempre non negtiv. Quindi 0 Quindi è definito per tle che: S :, con Not. Il libro fornisce come risultto: e che formlmente non è corretto (non è corrett l e ) perché non può essere contempornemente minore di e mggiore di ; si indic con o ed è l stess cos di dire >/ con diverso d cioè S. ) Si considerno or gli rgomenti dei ritmi dell espressione destr dell ugule: ( ) è definito se 0 ( ) è definito se 0 e le due condizioni trovte devono essere entrmbe vere quindi: / Quindi S : ) Quindi l equzione è definit per i vlori di che pprtengono si d S (quelli per cui è definit l espressione sinistr dell ugule) che d S (quelli per cui è definit l espressione destr dell ugule): S S S, Es.0 pg ) 7 è definito se 0 7. Occorre vlutre il segno del rpporto. A ) 0 B) è sempre positivo C ) sempre ver perchè 7 è 0 7 Quindi 7 è definito per S : 7 ) Si considerno or gli rgomenti dei ritmi dell espressione destr dell ugule: è definito se 0 è sempre ver perchè è sempre 0 e sommimo 7/
8 ( 7) è definito se S Quindi l espressione destr dell ugule è definit per : 7 ) Quindi l equzione S S S 7 è definit per i vlori di pprtenenti : Es. pg. 8. ) Considerimo i termini sinistr dell ugule. è definito se 0. A) 0 Le rdici di sono dte d:, Quindi 0 S A per B) è definito se 0 Le rdici di sono dte d. S B Quindi per C) Quindi l espressione sinistr dell ugule è definit per i vlori di comuni S A e S B : S S S A B : - Quindi S ) Considerimo i termini destr dell ugule. A) è definito se 0. Quindi S A B) è definito se 0. Quindi S B C) Quindi l espressione destr dell ugule è definit per i vlori di comuni S A e S B : S S S A B ) Quindi l equzione pprtenenti : S S S - è definit per i vlori di Quindi non ci sono vlori comuni per cui S = 8/
9 Per gli esercizi d 8 pg. : L spiegzione f riferimento ll clcoltrice di Windows. Es. pg. 8. Clcol i ritmi decimli dei seguenti numeri Aprimo: StrtTutti i progrmmiaccessoriclcoltrice e impostimo VisulizzScientific. A) Per clcolre 0 : sull clcoltrice è presente il tsto che indic il ritmo nturle (ovvero in bse e) e il tsto che in questo cso indic il ritmo in bse 0 (più spesso è indicto con Log). Quindi ) Si digit l rgomento di cui clcolre il Log: ) Poi si clicc su e si ottiene: Per verific: provimo clcolre 0 elevto l numero che bbimo ottenuto. A tl fine si deve selezionre Inv e poi click su (lscindo il numero ottenuto sul disply: si riottene ). Not: controllre che l clcoltrice usi il sistem in bse 0: Esercizio (ppliczione delle proprietà dei e dell clcoltrice) Clcolre il vlore pprossimto dell esponente cui elevre per ottenere 00. ) Si trtt di clcolre: 00. Tuttvi su un clcoltrice è possibile clcolre ln oppure Log. ) Si utilizz l proprietà del cmbio di bse, che si riport di seguito: N b b N dove = l bse e o 0 cioè quell che si trov sull clcoltrice b invece è in questo cso ugule N in questo cso è 00 ) Quindi d cui (si deve esprimere 00 in funzione di 0 ), usndo l clcoltrice di Windows: , , /
10 Chirmente non è necessrio scrivere il vlore pprossimto con tutti quei decimli (es..8)..8 Verific: si clcol. ) Si scrive ) Click sul tsto ) Si scrive.8 7) Click su 8) Si ottiene Es. pg. Clcol il vlore pprossimto A) Si digit 7; poi click su. Poi si scrive e dopo click su (si st elevndo 7 ll / cioè l rdice cubic) e dopo su Click su tsto di moltipliczione e si digit 8 e poi Click su, si scrive e dopo click su e click su Click su e poi si digit (è lo stesso scrivere. ) e poi 7. Click su poi si digit e poi. Si ottiene: Es.8 pg. Problem Considerimo cellul e cos succede d ogni scissione, per stbilire cos succede ll ventesim scissione. scissione cellul divent cellule scissione cellule diventno cellule scissione cellule diventno cellule scissione 8 cellule diventno 8 cellule Cioè = - dove è il numero dell scissione corrente scissione cellule diventno cellule Quindi ci sono 0 0 cellule Es. pg. Problem Si può considerre cos succede con un ninfe qudrt (solo per comodità) per cpire cos vuol dire che le dimensioni rddoppino ogni giorno: giorno L re dell ninfe l giorno è A L L L, dove A indic l re rggiunt nel giorno 0/
11 giorno L re dell ninfe l giorno è A LL L, dove A indic l re rggiunt nel giorno Si può esprimere A in funzione di A : A L A A A L L L (L perché il lto rddoppi rispetto L) Si può esprimere A in funzione di A : giorno L re dell ninfe l giorno è A L A A A A 8L 8L L (8L perché il lto rddoppi rispetto L) Si può esprimere A in funzione di A : giorno L re dell ninfe l giorno è A L L A A A A A giorno k In bse i rgionmenti precedenti, si può esprimere A k in funzione di A : A k A k Quindi si deve intervenire l limite il giorno precedente quello in cui si h A A NINFEA LAGO Se k = llor l re ricopert dll ninfe è pri quell del lgo: A A LAGO Tenendo conto che l re dell ninfe divent volte più grnde del giorno precedente llor si deve intervenire il giorno in cui si h ANINFEA ALAGO / D cui: k k A A k /
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