Funzioni Pari e Dispari

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Funzioni Pari e Dispari"

Transcript

1 Una funzione f : R R si dice Funzioni Pari e Dispari PARI: se f( ) = f() R In questo caso il grafico della funzione è simmetrico rispetto all asse DISPARI: se f( ) = f() R In questo caso il grafico della funzione è simmetrico rispetto all origine ESEMPI: f() = 2, f() = 2n, f() = funzioni pari f() =, f() = 2n+1, f() = 1 funzioni dispari = f() f() = f() f() - - f() -

2 Potenze con Esponente Intero Positivo = f() = 2 = g() = 3 f : R R + funzione pari g : R R funzione dispari Il grafico di n è qualitativamente simile a quello di 2 se n è pari o a quello di 3 se n è dispari.

3 Radici Consideriamo il problema dell invertibilità della funzione potenza f() = n con n N {0}. Se n = 1, la funzione f() = è l identità, con inversa uguale a se stessa. Se n = 2, f : R R, f() = 2 non è invertibile, ma lo è da [0,+ ) in [0,+ ). Chiamiamo radice quadrata la sua inversa: f 1 : [0,+ ) [0,+ ), f 1 () =. = In generale, se n è pari, la funzione f() = n è invertibile da [0,+ ) in [0,+ ). Chiamiamo l inversa radice n-sima n definita da [0,+ ) in [0,+ ).

4 Radici Se n = 3, f : R R, f() = 3 è invertibile. Chiamiamo radice cubica la sua inversa: f 1 : R R, f 1 () = 3. = 3 In generale, se n è dispari, la funzione f() = n è invertibile da R in R. Chiamiamo radice n-sima n definita da R in R.

5 Funzioni Potenza Potenze ad esponente intero: se n N, f() = n è definita per ogni R; se l esponente è un intero negativo, f() = n = 1 n definita per ogni 0. Potenze ad esponente razionale: per m Z e n N {0} f() = m n = n m definita per ogni > 0. Potenze ad esponente reale: per estensione si può definire la potenza ad esponente reale: b R f() = b definita per ogni > 0 (resta indefinito 0 0!!!)

6 Grafico di f() = b con b R b>1 1 0< b < 1 1 = f() = b per b > 0 f : (0,+ ) (0,+ ) = f() = b per b < 0 f : (0,+ ) (0,+ )

7 Ancora sulle Potenze Polinomi: con operazioni di somma e prodotto si costruiscono i polinomi, cioè le funzioni del tipo: P n () = a 0 +a 1 +a a n 1 n 1 +a n n. P n è detto polinomio di grado n. Funzioni Razionali: facendo il quoziente di due polinomi P e Q si ottengono le funzioni razionali, del tipo: R() = P() Q() definita su { R : Q() 0}. Come caso particolare ritroviamo le funzioni potenza con esponente intero: f() = n = 1 n definita su R {0}.

8 Campo di Esistenza Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui ha significato la legge f. Esercizio 1. Determinare il campo di esistenza della funzione f() = 9+2. Soluzione: R Esercizio 2. Determinare il campo di esistenza della funzione f() = 2+. Soluzione: affinché le due radici abbiano significato, i radicandi devono essere entrambi non negativi: 2 0 e 0, cioè 2 e 0. Segue che la funzione non è definita per alcun valore di.

9 Campo di Esistenza Esercizio 3. Determinare il campo di esistenza della funzione f() = Soluzione: il denominatore deve essere diverso da zero, cioè 2 e 2. L argomento della radice quadrata deve essere non negativo, cioè e quindi 3 3. Dunque il campo di esistenza è [ 3, 2) ( 2,2) (2,3]. Esercizio 4. Determinare il campo di esistenza della funzione f() = Soluzione: l unica condizione da imporre è che il denominatore sia diverso da 0. Quindi il campo di esistenza è R { 3}.

10 Funzione Esponenziale 1 1 f : R (0,+ ), f() = a con a > 1 a 0 = 1, a 1 = a a > 0 R strettamente crescente: 1 < 2 a 1 < a 2 se tende a +, a tende a + se tende a, a tende a 0 f : R (0,+ ), f() = a con 0 < a < 1 a 0 = 1, a 1 = a a > 0 R strettamente decrescente: 1 < 2 a 1 > a 2 se tende a +, a tende a 0 se tende a, a tende a + PRPRIETÀ DELL ESPNENZIALE: a a = a + (prodotto), (a ) = a (composizione), a = 1 a (reciproco).

11 Funzione Logaritmo La funzione esponenziale f : R (0,+ ), f() = a è strettamente monotona e suriettiva, quindi invertibile. f 1 : (0,+ ) R, f 1 () = log a log a = a = logaritmo in base a di 1 1 = log a con a > 1 = log a con 0 < a < 1

12 Proprietà del Logaritmo Il logaritmo log a è l esponente a cui bisogna elevare la base a per ottenere. a log a = per ogni > 0 log a 1 = 0, log a a = 1 log a ( 1 2 ) = log a 1 +log a 2 per ogni 1, 2 > 0 log a ( 1 2 ) log a ( b ) = b log a = log a 1 log a 2 per ogni 1, 2 > 0 cambio di base: log b = log a log a b per ogni > 0 e b R per ogni > 0 e a,b > 0

13 Il ph Acidi e sali in soluzioni acquose formano ioni di idrogeno. La concentrazione di questi ioni permette di quantificare il grado di acidità o alcalinità della soluzione. Il punto di riferimento è l acqua pura a 25 gradic, in cui si hanno 10 7 moli/l di ioni. Si parla di: soluzioni acide, se la concentrazione di ioni è maggiore di 10 7 soluzioni basiche o alcaline, se la concentrazione di ioni è minore di 10 7 soluzioni neutre, se la concentrazione di ioni è pari a 10 7 Si definisce ph ph = log 10 H + dove H + è la concentrazione di ioni idrogeno.

14 Il ph Esercizio sostanza ph acqua pura 7 sangue 7.4 pioggia 6.5 Il ph della pioggia e quello del sangue differiscono di poco; tuttavia, da cui H + pioggia = , H + sangue = , H + pioggia H + sangue = , cioè la concentrazione di ioni nella pioggia è circa 8 volte quella del sangue. Esercizio. Verificare che la concentrazione di ioni idrogeno nel sangue è circa il 40% di quella nell acqua.

15 Esercizi 1. Sapendo che log ,30103 e che log 10 e 0,43429, calcolare i valori di log 10 4, log , ln2. Soluzione: basta notare che log 10 4 = log = 2log 10 2, log = log = log 10 2 log = log , ln2 = log 102 log 10 e. 2. Determinare le costanti α e β in modo che il grafico della funzione f() = αe β passi per i punti (0,5) e (4,15). Soluzione: poiché f(0) = α, si ha immediatamente che α = 5. Si ottiene quindi che f(4) = 5e 4β = 15, da cui e 4β = 3, cioè β = 1 4 ln3.

16 Esercizi 3. Determinare l insieme dei valori di per cui risulta log 10 (2+3) < 1. Soluzione: l argomento del logaritmo deve essere positivo, cioè 2+3 > 0. Inoltre, per la stretta monotonia dell esponenziale la condizione log 10 (2+3) < 1 è equivalente a 2+3 < 10. Pertanto, l insieme cercato è ( 3 2, 7 2 ). 4. Determinare il campo di esistenza della funzione f() = log 10 ( 2 5+6). Soluzione: l argomento del logaritmo deve essere positivo, cioè > 0, quindi il campo di esistenza è (,2) (3,+ ).

17 Esercizi 5. Determinare il campo di esistenza della funzione f() = log 10 ( 2 5+7). Soluzione: l argomento del logaritmo deve essere positivo, cioè > 0. L argomento della radice quadrata deve essere non negativo, cioè log 10 ( 2 5+7) 0, quindi La seconda condizione contiene anche la prima. Quindi, il campo di esistenza è (,2] [3,+ ). 6. Determinare il campo di esistenza della funzione f() = e 1. Soluzione: l argomento della radice quadrata deve essere non negativo, cioè e 1 0 e quindi 0. Il campo di esistenza è [0,+ ).

18 Esercizi 1. Date le funzioni f() = e e g() = ln( 2), (a) dire quanto vale f g e qual è il suo insieme di definizione; (b) dire quanto vale g f e qual è il suo insieme di definizione. Soluzione: (f g)() = e ln( 2) = 2 definita per > 2. (g f)() = ln(e 2) definita per > ln2. 2. Date le funzioni f() = 3 e g() = ln, (a) dire quanto vale f g e qual è il suo insieme di definizione; (b) dire quanto vale g f e qual è il suo insieme di definizione. Soluzione: (f g)() = (ln ) 3 definita per > 0. (g f)() = ln( 3 ) definita per < 0.

19 Esercizi 3. Determinare il campo di esistenza delle seguenti funzioni 4. Date le funzioni f() = ; f() = 4e1. f() = ln( 1), g() = 1+, scrivere le espressioni di f g e g f, precisandone il dominio di definizione. 5. Date le funzioni f() = ln( 1), g() = 2, scrivere le espressioni di f g e g f, precisandone il dominio di definizione.

20 Traslazioni c > 0 f () + c f () f (+k) f () f (+k) f () + c c < 0 k > 0 k < 0 Traslazioni verticali: = f()+c traslazione verticale verso l alto se c > 0, verso il basso se c < 0 Traslazioni orizzontali: = f(+k) traslazione orizzontale verso sinistra se k > 0, verso destra se k < 0 Esercizio: disegnare il grafico delle funzioni = 1+ln, = 3, = e +1, = 2 1, = ln( 1), = +2, = e +3

21 = f ( ) Riflessioni = f ( ) = f ( ) = f ( ) Riflessione rispetto all asse : = f() i punti di intersezione con l asse restano invariati Esercizio: disegnare il grafico di =, = 1, = ln 1 = ln Riflessione rispetto all asse : = f( ) i punti di intersezione con l asse restano invariati Esercizio: disegnare il grafico di = e, =

22 Dilatazioni c > 1 f (k ) f () f (k ) c f () k > 1 f () 0 < k < 1 0 < c < 1 c f () Cambio di scala sull asse : = c f() compressione per 0 < c < 1, dilatazione per c > 1 Esercizio. Disegnare i seguenti grafici: = 1 2 2, = log 3 = 3log, = 5e Cambio di scala sull asse : = f(k ) dilatazione per 0 < k < 1, compressione per k > 1 Esercizio. Disegnare i seguenti grafici: = 1 3, = 2, = e 2

23 = f ( ) Valore Assoluto = f ( ) = f() = f() se f() 0, f() se f() < 0 (riflessione) Nota: gli zeri della funzione restano invariati Esercizio: disegnare il grafico di = 2+1, = 3, = log

24 Esercizi 1. Tracciare il grafico qualitativo della funzione f() = 1 2 per 0, 1 per > 0. Determinare gli eventuali punti e valori di massimo e minimo assoluti e relativi per (,4]. 2. Tracciare il grafico qualitativo della funzione f() = 2 1 per 1, ln per > 1. Determinare gli eventuali punti e valori di massimo e minimo assoluti e relativi per R.

25 Esercizi 3. Tracciare il grafico qualitativo della funzione f() = 2 per 2, ln( 1 2) per > 2. Determinare gli eventuali punti e valori di massimo e minimo assoluti e relativi per [ 3,+ ). 4. Tracciare il grafico qualitativo della funzione f() = per 1 2, ln(2) per > 1 2. Determinare gli eventuali punti e valori di massimo e minimo assoluti e relativi per [ 1,+ ).

26 Esercizi 5. Tracciare il grafico qualitativo della funzione f() = 2 per 1, ln per > 1. Determinare gli eventuali punti e valori di massimo e minimo assoluti e relativi per [ 2,+ ).

Funzione Esponenziale

Funzione Esponenziale Funzione Esponenziale y y O f : R (0,+ ), f(x) = a x con a > a 0 =, a = a a x > 0 x R strettamente crescente: x < x 2 a x < ax 2 se x tende a +, a x tende a + se x tende a, a x tende a 0 x O f : R (0,+

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi x ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi x, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi

Dettagli

Funzione Composta. Il campo di esistenza della funzione composta è costituito dai soli valori di x per i quali la composizione funzionale ha senso.

Funzione Composta. Il campo di esistenza della funzione composta è costituito dai soli valori di x per i quali la composizione funzionale ha senso. Funzione Composta Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: f g : A C g() f(g()) notazione funzionale (f g)() = f(g()) La composizione ha senso se il valore g() appartiene

Dettagli

Campo di Esistenza. Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui ha significato la legge f.

Campo di Esistenza. Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui ha significato la legge f. Campo di Esistenza Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui ha significato la legge f. ESERCIZIO. Determinare il campo di esistenza della funzione f(x) = 9+2x. Soluzione:

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Esercizio 1 In una coltura batterica, il numero di batteri triplica ogni ora. Se all inizio dell osservazione

Dettagli

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che.

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che. Esercitazioni di Analisi Matematica Prof.ssa Chiara Broggi Materiale disponibile su www.istitutodefilippi.it/claro Lezione 2: Funzioni reali e loro proprietà Definizione: Siano e due sottoinsiemi non vuoti

Dettagli

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al piú un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio

Dettagli

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno. 1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre

Dettagli

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio. Esercizi svolti 1. Sia sin(x ) f(x) = x ( 1 + x 1 ) se x > 0 a x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo

Dettagli

Argomento 7. Studio di funzione

Argomento 7. Studio di funzione Argomento 7 Studio di funzione Studiare una funzione significa ottenere, mediante strumenti analitici (iti, derivate, ecc.) informazioni utili a disegnare un grafico qualitativo della funzione data. I

Dettagli

Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti.

Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti. Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 0/06. Prof. M. Bramanti Tema n 4 6 Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di

Dettagli

Funzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y

Funzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y Funzioni. Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.

Dettagli

Matematica di base. Lezioni in Aula D5 ogni Venerdi alle 14:30 BLOG: matematicadibase.wordpress.com

Matematica di base. Lezioni in Aula D5 ogni Venerdi alle 14:30 BLOG: matematicadibase.wordpress.com Matematica di base Lezioni in Aula D5 ogni Venerdi alle 14:30 BLOG: matematicadibase.wordpress.com Calendario 21 Ottobre Aritmetica ed algebra elementare 28 Ottobre Geometria elementare 4 Novembre Insiemi

Dettagli

Funzioni elementari: funzioni potenza

Funzioni elementari: funzioni potenza Funzioni elementari: funzioni potenza Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Funzioni elementari: funzioni potenza 1 / 36 Funzioni lineari Come abbiamo già visto,

Dettagli

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a

Dettagli

1) D0MINIO. Determinare il dominio della funzione f (x) = ln ( x 3 4x 2 3x). Deve essere x 3 4x 2 3x > 0. Ovviamente x 0.

1) D0MINIO. Determinare il dominio della funzione f (x) = ln ( x 3 4x 2 3x). Deve essere x 3 4x 2 3x > 0. Ovviamente x 0. D0MINIO Determinare il dominio della funzione f ln 4 + Deve essere 4 + > 0 Ovviamente 0 Se > 0, 4 + 4 + quindi 0 < < > Se < 0, 4 + 4 4 e, ricordando che < 0, deve essere 4 < 0 dunque 7 < < 0 Il campo di

Dettagli

CORSO ZERO DI MATEMATICA

CORSO ZERO DI MATEMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA RADICALI Dr. Erasmo Modica erasmo@galois.it LE RADICI Abbiamo visto che l insieme dei numeri reali è costituito da tutti

Dettagli

G5. Studio di funzione - Esercizi

G5. Studio di funzione - Esercizi G5 Studio di funzione - Esercizi Tracciare il grafico delle seguenti funzioni I grafici delle seguenti funzioni sono al termine degli esercizi Per gli esercizi con l asterisco non è richiesta, date le

Dettagli

Anno 3. Funzioni esponenziali e logaritmi: le 4 operazioni

Anno 3. Funzioni esponenziali e logaritmi: le 4 operazioni Anno 3 Funzioni esponenziali e logaritmi: le 4 operazioni 1 Introduzione In questa lezione impareremo a conoscere le funzioni esponenziali e i logaritmi; ne descriveremo le principali caratteristiche e

Dettagli

1.4 Geometria analitica

1.4 Geometria analitica 1.4 Geometria analitica IL PIANO CARTESIANO Per definire un riferimento cartesiano nel piano euclideo prendiamo: Un punto detto origine i Due rette orientate passanti per. ii Due punti e per definire le

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI. chiameremo logaritmica (e si legge il logaritmo in base a di c è uguale a b ).

ESPONENZIALI E LOGARITMI. chiameremo logaritmica (e si legge il logaritmo in base a di c è uguale a b ). ESPONENZIALI E LOGARITMI Data una espressione del tipo a b = c, che chiameremo notazione esponenziale (e dove a>0), stabiliamo di scriverla anche in un modo diverso: log a c = b che chiameremo logaritmica

Dettagli

A Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Simulazione compito d esame

A Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Simulazione compito d esame COGNOME NOME Matr. A Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Firma dello studente Tempo: 3 ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni

Dettagli

Esercitazioni di Matematica

Esercitazioni di Matematica Università degli Studi di Udine Anno Accademico 009/00 Facoltà di Agraria Corsi di Laurea in VIT e STAL Esercitazioni di Matematica novembre 009 Trovare le soluzioni della seguente disequazione: x + +

Dettagli

Funzioni derivabili (V. Casarino)

Funzioni derivabili (V. Casarino) Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE

FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE In matematica, una funzione f da X in Y consiste in: ) un insieme X detto insieme di definizione I.d.D. (o dominio) di f 2) un insieme Y detto codominio di f 3) una legge

Dettagli

Le funzioni reali di una variabile reale

Le funzioni reali di una variabile reale Le funzioni reali di una variabile reale Prof. Giovanni Ianne DEFINIZIONE DI FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE Dati due insiemi non vuoti A, B R, una funzione f da A in B è una relazione fra A e B

Dettagli

PROGRAMMA. Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale.

PROGRAMMA. Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale. PROGRAMMA Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale. Gli insiemi numerici oggetto del corso: numeri naturali, interi relativi, razionali. Operazioni sui numeri

Dettagli

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se

Dettagli

Breve formulario di matematica

Breve formulario di matematica Luciano Battaia a 2 = a ; lim sin = 1, se 0; sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β; f() = e 2 f () = 2e 2 ; sin d = cos + k; 1,2 = b± ; a m a n = 2a a n+m ; log a 2 = ; = a 2 + b + c; 2 + 2 = r 2 ; e

Dettagli

Funzioni Esercizi e complementi

Funzioni Esercizi e complementi Funzioni Esercizi e complementi e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Novembre 05. Indice Esercizi Insiemi ininiti 6 Suggerimenti e risposte 9 Esercizi. Scrivere la deinizione di unzione e ornire almeno un

Dettagli

1 Funzioni reali di una variabile reale

1 Funzioni reali di una variabile reale 1 Funzioni reali di una variabile reale Qualche definizione e qualche esempio che risulteranno utili più avanti Durante tutto questo corso studieremo funzioni reali di una variabile reale, cioè Si ha f

Dettagli

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente in (a, b) se f ( 1 ) f ( ) quando 1

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta

FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta 1 FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta L equazione generale della funzione retta è y = a x + b dove a, b sono numeri reali fissati. Il termine b si chiama termine noto e dà l ordinata dell intersezione tra

Dettagli

Matematica. Funzioni. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica

Matematica. Funzioni. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Matematica Funzioni Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Le Funzioni e loro caratteristiche Introduzione L analisi di diversi fenomeni della natura o la risoluzione di problemi

Dettagli

Anno 5 Regole di derivazione

Anno 5 Regole di derivazione Anno 5 Regole di derivazione 1 Introduzione In questa lezione mostreremo quali sono le regole da seguire per effettuare la derivata di una generica funzione. Seguendo queste regole e conoscendo le derivate

Dettagli

Studio di funzione. Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2

Studio di funzione. Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2 Studio di funzione Copyright c 2009 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2 Studio di funzione

Dettagli

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente (non decrescente) in un intervallo I se f ( 1 ) < f ( ) (f ( 1 ) f ( )), quando 1

Dettagli

Appendice A Grafici elementari

Appendice A Grafici elementari UNIVR Facoltà di Economia Corso di Matematica Sede di Vicenza Appendice A Grafici elementari In questa appendice espongo alcune tecniche utili per ottenere grafici di funzioni che sono semplici trasformazioni

Dettagli

1.3. Logaritmi ed esponenziali

1.3. Logaritmi ed esponenziali 1.3. Logaritmi ed esponenziali 1. Rappresentazione sugli assi cartesiani 2. Relazione 3. Definizione di funzione 4. La funzione esponenziale 5. Il logaritmo 6. La funzione logaritma 1-3 1 Rappresentazione

Dettagli

3. Segni della funzione (positività e negatività)

3. Segni della funzione (positività e negatività) . Segni della funzione (positività e negatività) Questo punto, qualora sia possibile algebricamente, ci permette di stabilire il segno che assume la variabile dipendente y (che esprime il valore della

Dettagli

Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A

Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A.2012-2013 (Grazie agli studenti del corso che comunicheranno eventuali omissioni o errori) 25 SETTEMBRE

Dettagli

( x) Definizione: si definisce dominio (o campo di esistenza) di una funzione f ( x) l insieme dei valori

( x) Definizione: si definisce dominio (o campo di esistenza) di una funzione f ( x) l insieme dei valori Definizione: si definisce dominio (o campo di esistenza) di una funzione f ( ) l insieme dei valori che la variabile può assumere affinché la funzione f ( ) abbia significato. Vediamo di individuare alcune

Dettagli

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x. Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

Funzioni reali di variabile reale

Funzioni reali di variabile reale Introduzione Funzioni reali di variabile reale Algebra delle funzioni reali Funzioni composta e inversa Funzioni monotone i definisce funzione reale di variabile reale e s indica con f: A R una funzione

Dettagli

Radicali. Consideriamo la funzione che associa ad un numero reale il suo quadrato:

Radicali. Consideriamo la funzione che associa ad un numero reale il suo quadrato: Radicali Radice quadrata Consideriamo la funzione che associa ad un numero reale il suo quadrato: il cui grafico è il seguente: Il grafico della funzione si trova al di sopra dell asse delle x ed è simmetrico

Dettagli

COMPENDIO ESPONENZIALI LOGARITMI

COMPENDIO ESPONENZIALI LOGARITMI TORINO SETTEMBRE 2010 COMPENDIO DI ESPONENZIALI E LOGARITMI di Bart VEGLIA 1 ESPONENZIALi 1 Equazioni esponenziali Un espressione in cui l incognita compare all esponente di una o più potenze si chiama

Dettagli

Esercitazione su grafici di funzioni elementari e domini di funzioni

Esercitazione su grafici di funzioni elementari e domini di funzioni Esercitazione su grafici di funzioni elementari e domini di funzioni Davide Boscaini Queste sono le note da cui ho tratto le esercitazioni del giorno 0 Ottobre 0. Come tali sono ben lungi dall essere esenti

Dettagli

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler

Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler Funzioni crescenti e decrescenti Crescente Decrescente Crescente Estremi di una funzione f ( ) f ( c) per ogni in [a, b]. f ( ) f ( d) per ogni

Dettagli

IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero

IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero Il teorema degli zeri è fondamentale per determinare se una funzione continua in un intervallo chiuso [ a ; b ] si annulla in almeno un punto interno

Dettagli

y = x 3 infinitesimo per x 3 lim = l 0 allora f(x) è dello stesso ordine di g(x), ossia tendono a DEF. Una funzione y = f(x) si dice infinitesimo per

y = x 3 infinitesimo per x 3 lim = l 0 allora f(x) è dello stesso ordine di g(x), ossia tendono a DEF. Una funzione y = f(x) si dice infinitesimo per INFINITI ED INFINITESIMI. ASINTOTI DI UNA FUNZIONE. GRAFICO PROBABILE DI UNA FUNZIONE. TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE ESERCIZI SULLA CONTINUITA E SULLA CLASSIFICAZIONE DELLE DISCONTINUITA DI UNA FUNZIONE

Dettagli

LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI

LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI Autore: Enrico Manfucci - 6/05/0 LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI PREMESSA Per Studio di funzione si intende disegnare il grafico di una funzione data la sua espressione analitica. Questo significa

Dettagli

f(x) = 1 x 2 Per determinare il dominio di f(x) dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero

f(x) = 1 x 2 Per determinare il dominio di f(x) dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero . Data la funzione approssimarne il grafico. f() = 2 Per determinare il dominio di f() dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero 2 0 = 2 = ± perciò il dominio ` D = R \ {, } =], [ ], [ ],

Dettagli

Potenze, esponenziali e logaritmi 1 / 34

Potenze, esponenziali e logaritmi 1 / 34 Potenze, esponenziali e logaritmi / 34 Grafico della funzione x 2 e x 2 / 34 y f(x)=x 2 y=x f (x)= x x Le funzioni potenza 3 / 34 Più in generale, si può considerare, per n N, n>0, n pari, la funzione

Dettagli

Ottavio Serra Esercizi di calcolo 2 Funzioni invertibili

Ottavio Serra Esercizi di calcolo 2 Funzioni invertibili Ottavio Serra Esercizi di calcolo Funzioni invertibili Una funzione f: A B iniettiva e suriettiva è biunivoca e perciò invertibile. Ricordo che f è iniettiva se per tutti gli, y di A, f() = f(y) implica

Dettagli

tele limite è unico. Ciò significa che se non può accadere che una funzione abbia limiti diversi per x. Se per assurdo si avesse che lim f ( x)

tele limite è unico. Ciò significa che se non può accadere che una funzione abbia limiti diversi per x. Se per assurdo si avesse che lim f ( x) Calcolo dei iti (C. DIMAURO) Per il calcolo dei iti ci serviamo di alcuni teoremi. Tali teoremi visti nel caso in cui, valgono anche quando Teorema dell unicità del ite: se una funzione ammette ite per

Dettagli

Unità Didattica N 2 Le funzioni

Unità Didattica N 2 Le funzioni Unità Didattica N Le funzioni 1 Unità Didattica N Le funzioni 05) Definizione di applicazione o funzione o mappa. 06) Classificazione delle funzioni numeriche 07) Estremi di una funzione, funzioni limitate.

Dettagli

1) D0MINIO. x x 4x + 3 Determinare il dominio della funzione f (x) = x Deve essere

1) D0MINIO. x x 4x + 3 Determinare il dominio della funzione f (x) = x Deve essere ) DMINIO + 3 Determinare il dominio della funzione f ) + 3 Deve essere Ovviamente, inoltre: se > + 3 ) 3) quindi < o 3 se < + 3, + 3 quindi 7 Determinare il dominio della funzione f ) + 5 Deve essere +

Dettagli

Liceo Classico D. Alighieri A.S Studio di Funzione. Prof. A. Pisani. Esempio

Liceo Classico D. Alighieri A.S Studio di Funzione. Prof. A. Pisani. Esempio Liceo Classico D. Alighieri A.S. 0-3 y Data la funzione: Studio di Funzione tracciatene il grafico nel piano cartesiano. Prof. A. Pisani Esempio ) Tipo e grado della funzione La funzione è analitica, data

Dettagli

Esercizi 2016/17 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi

Esercizi 2016/17 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi Esercizi 06/7 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi Esercizio. Risolvere la seguente equazione: Soluzione. ) x+ ) x 7 x = 0 7 L equazione è definita per ogni x 0, valore in cui

Dettagli

LIMITI DI FUNZIONI. arbitrariamente vicino a L, scegliendo x sufficientemente vicino a x 0, con x x 0.

LIMITI DI FUNZIONI. arbitrariamente vicino a L, scegliendo x sufficientemente vicino a x 0, con x x 0. 55. Limiti al finito (ossia per ) LIMITI DI FUNZIONI Limite finito per f ( ) L R Il ite di f () per tendente a è L se è possibile rendere il valore di f () vicino a L, scegliendo sufficientemente vicino

Dettagli

Esercizio 1. f(x) = 4 5x2 x 2 +x 2. Esercizio 2. f(x) = x2 16. Esercizio 3. f(x) = x2 1 9 x 2

Esercizio 1. f(x) = 4 5x2 x 2 +x 2. Esercizio 2. f(x) = x2 16. Esercizio 3. f(x) = x2 1 9 x 2 Matematica ed Informatica+Fisica ESERCIZI Modulo di Matematica ed Informatica Corso di Laurea in CTF - anno acc. 2013/2014 docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it Esercizi 8: Studio di funzioni Studio

Dettagli

Si ottiene facendo precedere i numeri naturali dal segno + o dal segno -.

Si ottiene facendo precedere i numeri naturali dal segno + o dal segno -. I numeri naturali non sono adatti per risolvere tutti i problemi. Esempio. La temperatura atmosferica di un mattino estivo, sopra lo zero, viene indicata con un numero preceduto dal segno + (+19 C, +25

Dettagli

ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI

ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI Risolvere le seguenti disequazioni: ( 1 ) x < x + 1 1) 4x + 4 x ) x + 1 > x 4x x 10 ) x 4 x 5 4x + > ; 4) ; 5) 0; ) x 1 x + 1 x

Dettagli

Precorso CLEF-CLEI, esercizi di preparazione al test finale con soluzioni

Precorso CLEF-CLEI, esercizi di preparazione al test finale con soluzioni Precorso CLEF-CLEI, esercizi di preparazione al test finale con soluzioni ARITMETICA 1. Scomporre in fattori primi 2500 e 5600. Soluzione: Osserviamo che entrambi i numeri sono multipli di 100 = 2 2 5

Dettagli

Funzione esponenziale Equazioni esponenziali RIPASSO SULLE POTENZE

Funzione esponenziale Equazioni esponenziali RIPASSO SULLE POTENZE RIPASSO SULLE POTENZE Proprietà delle potenze La formula a n indica l operazione chiamata potenza, ( a è la base ed n l esponente) che consiste nel moltiplicare la base a per se stessa n volte. Per le

Dettagli

1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile

1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile 1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile Considerazioni introduttive Consideriamo la funzione f() = sin il cui dominio naturale è R\ {0}. Problema: non è possibile calcolare il valore di f per

Dettagli

Matematica I, Funzione inversa. Funzioni elementari (II).

Matematica I, Funzione inversa. Funzioni elementari (II). Matematica I, 02.10.2012 Funzione inversa. Funzioni elementari (II). 1. Sia f : A B una funzione reale di variabile reale (A, B R); se f e biiettiva, allora la posizione f 1 (b) = unico elemento a A tale

Dettagli

Capitolo 5. Funzioni. Grafici.

Capitolo 5. Funzioni. Grafici. Capitolo 5 Funzioni. Grafici. Definizione: Una funzione f di una variabile reale,, è una corrispondenza che associa ad ogni numero reale appartenente ad un insieme D f R un unico numero reale, y R, denotato

Dettagli

Prontuario degli argomenti di Algebra

Prontuario degli argomenti di Algebra Prontuario degli argomenti di Algebra NUMERI RELATIVI Un numero relativo è un numero preceduto da un segno + o - indicante la posizione rispetto ad un punto di riferimento a cui si associa il valore 0.

Dettagli

Algebra. I numeri relativi

Algebra. I numeri relativi I numeri relativi I numeri relativi sono quelli preceduti dal segno > o dal segno . I numeri positivi sono quelli preceduti dal segno + (zero escluso). I numeri negativi sono quelli preceduti

Dettagli

Progetto Matematica in Rete - Funzioni - FUNZIONI. f : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge x A uno e un solo elemento y B

Progetto Matematica in Rete - Funzioni - FUNZIONI. f : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge x A uno e un solo elemento y B FUNZIONI Deinizione di unzione : una unzione che associa ad ogni elemento : A B, con A e B insiemi non vuoti, è una legge A uno e un solo elemento y B y () y viene chiamato immagine di e indicato anche

Dettagli

Appunti di matematica per le Scienze Sociali Parte 1

Appunti di matematica per le Scienze Sociali Parte 1 Appunti di matematica per le Scienze Sociali Parte 1 1 Equazioni 1.1 Definizioni preliminari 1.1.1 Monomi Si definisce monomio ogni prodotto indicato di fattori qualsiasi, cioè uguali o diseguali, numerici

Dettagli

Esercitazione su grafici di funzioni elementari

Esercitazione su grafici di funzioni elementari Esercitazione su grafici di funzioni elementari Davide Boscaini Queste sono le note da cui ho tratto le esercitazioni del giorno 8 Novembre 0. Come tali sono ben lungi dall essere esenti da errori, invito

Dettagli

Limiti di successioni

Limiti di successioni Capitolo 5 Limiti di successioni 5.1 Successioni Quando l insieme di definizione di una funzione coincide con l insieme N costituito dagli infiniti numeri naturali 1, 2, 3,... talvolta si considera anche

Dettagli

Funzioni. Capitolo Concetti preliminari. Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo

Funzioni. Capitolo Concetti preliminari. Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo Capitolo Funzioni. Concetti preliminari Definizione. Dati due insiemi A e B, si chiama funzione f da A a B, e la si indica col simbolo f : A B, una corrispondenza che associa ad ogni elemento A un unico

Dettagli

Infiniti e Infinitesimi

Infiniti e Infinitesimi Infiniti e Infinitesimi Infiniti e Infinitesimi Def. Una funzione f() si dice infinitesima per (o per ), punto di accumulazione per il dominio di f(), se: f ( ) ( oppure f ( ) ) Infiniti e Infinitesimi

Dettagli

Sezione Prima Derivate di funzioni elementari: quadro riassuntivo e regole di derivazione. = ( n) lim x

Sezione Prima Derivate di funzioni elementari: quadro riassuntivo e regole di derivazione. = ( n) lim x Capitolo USO DELLE DERIVATE IN ECONOMIA Sezione Prima Derivate di funzioni elementari: quadro riassuntivo e regole di derivazione Si definisce derivata della funzione y f() nel punto 0 del suo insieme

Dettagli

Esercizi svolti. g(x) = sono una l inversa dell altra. Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f 1 per risolvere l equazione f(x) = g(x).

Esercizi svolti. g(x) = sono una l inversa dell altra. Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f 1 per risolvere l equazione f(x) = g(x). Esercizi svolti. Discutendo graficamente la disequazione > 3 +, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi.. Descrivere in forma elementare l insieme { R : + > }. 3.

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA

UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA 5.1 - La retta Equazione generica della retta Dalle considerazioni emerse nel precedente capitolo abbiamo compreso come una funzione possa essere rappresentata da un insieme

Dettagli

Esercizi riassuntivi per la prima prova di verifica di Analisi Matematica. n, n IN.

Esercizi riassuntivi per la prima prova di verifica di Analisi Matematica. n, n IN. Esercizi riassuntivi - B. Di Bella 1 Esercizi riassuntivi per la prima prova di verifica di Analisi Matematica 1. Sia A = n IN ] 1 n + 1, 1 [. n a) Determinare il derivato e l interno di A; b) stabilire

Dettagli

1 Fattorizzazione di polinomi

1 Fattorizzazione di polinomi 1 Fattorizzazione di polinomi Polinomio: un polinomio di grado n nella variabile x, è dato da p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 con a n 0, a 0 è detto termine noto, a k è detto coefficiente

Dettagli

1 La funzione logaritmica

1 La funzione logaritmica Liceo Scientico Paritario Ven. A. Luzzago di Brescia - A.S. 2011/2012 Equazioni e disequazioni logaritmiche - Simone Alghisi 1 La funzione logaritmica Si è dimostrato che l'equazione esponenziale in forma

Dettagli

Consideriamo un numero a e un numero naturale n positivo. Per dare una definizione corretta di radicale con indice n, o radice n-esima di a

Consideriamo un numero a e un numero naturale n positivo. Per dare una definizione corretta di radicale con indice n, o radice n-esima di a RADICALI E PROPRIETÀ DEI RADICALI I radicali in Matematica sono numeri definiti mediante radici con indice intero. I radicali possono essere espressi sotto forma di potenze con esponente fratto mediante

Dettagli

Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na)

Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) LO STUDIO DI FUNZIONE Lo studio di funzione è una delle parti più interessanti dell analisi perché permette di utilizzare le numerose conoscenze acquisite nel corso degli anni in un unico elaborato. Se

Dettagli

Conoscenze. L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la regola di Ruffini, il teorema. del resto.

Conoscenze. L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la regola di Ruffini, il teorema. del resto. Classe: TERZA (Liceo Artistico) Pagina 1 / 2 della Matematica La scomposizione dei polinomi in fattori primi L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la

Dettagli

Traccia n.1 Studiare il comportamento della funzione: 3x + ex 3x e x. Svolgimento

Traccia n.1 Studiare il comportamento della funzione: 3x + ex 3x e x. Svolgimento Traccia n. Studiare il comportamento della funzione: Svolgimento f(x) = 3x + ex 3x e x Determinazione del campo di esistenza, E[f]. La funzione si presenta come rapporto di due funzioni; il campo di esistenza

Dettagli

Diario del Corso Analisi Matematica I

Diario del Corso Analisi Matematica I Diario del Corso Analisi Matematica I 1. Martedì 1 ottobre 2013 Presentazione del corso. Nozioni di Teoria degli Insiemi. Numeri Naturali, loro proprietà, rappresentazione geometrica, sommatoria, principio

Dettagli

I RADICALI QUADRATICI

I RADICALI QUADRATICI I RADICALI QUADRATICI 1. Radici quadrate Definizione di radice quadrata: Si dice radice quadrata di un numero reale positivo o nullo a, e si indica con a, il numero reale positivo o nullo (se esiste) che,

Dettagli

Funzione Composta. Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: notazione funzionale y = f (g(x))

Funzione Composta. Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: notazione funzionale y = f (g(x)) Funzione Composta Date due funzioni g : A B e f : B C si può definire la funzione composta: f g : A C g() f (g()) notazione funzionale = f (g()) La composizione ha senso se il valore g() appartiene al

Dettagli

Lezione 3 (2/10/2014)

Lezione 3 (2/10/2014) Lezione 3 (2/10/2014) Esercizi svolti a lezione Esercizio 1. Tracciando un grafico approssimativo, discutere qualitativamente l esistenza di radici reali dei seguenti polinomi, al variare del parametro

Dettagli

Un monomio è in forma normale se è il prodotto di un solo fattore numerico e di fattori letterali con basi diverse. Tutto quanto sarà detto di

Un monomio è in forma normale se è il prodotto di un solo fattore numerico e di fattori letterali con basi diverse. Tutto quanto sarà detto di DEFINIZIONE Espressione algebrica costituita dal prodotto tra una parte numerica (coefficiente) e una o più variabili e/o costanti (parte letterale). Variabili e costanti possono comparire elevate a potenza

Dettagli

Istituto d Istruzione Superiore Francesco Algarotti

Istituto d Istruzione Superiore Francesco Algarotti Classe: 1 M Docente: Antonio M. Povelato CAPITOLO 1 - Insiemi e numeri naturali Concetti primitivi di insieme e di elemento. Relazioni di appartenenza, inclusione e eguaglianza tra insiemi. Rappresentazione

Dettagli

3. Generalità sulle funzioni

3. Generalità sulle funzioni ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 3. Generalità sulle funzioni A. A. 2013-2014 1 DALLA RETTA REALE AL PIANO CARTESIANO L equivalenza tra numeri reali e punti di una retta permette

Dettagli

Analisi Matematica 1

Analisi Matematica 1 Analisi Matematica 1 Schema provvisorio delle lezioni A. A. 2015/16 1 Distribuzione degli argomenti delle lezioni Argomento ore tot Numeri reali 11 11 Numeri complessi 1 12 Spazio euclideo 2 14 Topologia

Dettagli

Unità Didattica N 2 Le Funzioni Univoche Sintesi 1

Unità Didattica N 2 Le Funzioni Univoche Sintesi 1 Unità Didattica N Le Funzioni Univoche Sintesi 1 Unità Didattica N Le funzioni univoche 01) Definizione di applicazione o funzione o mappa 0) Classificazione delle funzioni numeriche 03) Insieme di definizione

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne

Dettagli

GRAFICI DEDUCIBILI DA QUELLI DELLE FUNZIONI NOTE. Il grafico della funzione. Appunti di Matematica xoomer.virgilio.

GRAFICI DEDUCIBILI DA QUELLI DELLE FUNZIONI NOTE. Il grafico della funzione. Appunti di Matematica xoomer.virgilio. GRAFICI DEDUCIBILI DA QUELLI DELLE FUNZIONI NOTE Funzione opposta y = Il grafico della funzione funzione f( x ). f( x ) si ottiene simmetrizzando rispetto all asse x, il grafico della f( x ) Appunti di

Dettagli

ESERCIZI RISOLUBILI IN BASE ALLA DEFINIZIONE DI LOGARITMO

ESERCIZI RISOLUBILI IN BASE ALLA DEFINIZIONE DI LOGARITMO ESERCIZI RISOLUBILI IN BASE ALLA DEFINIZIONE DI LOGARITMO Ripassiamo la definizione di logaritmo Definizione di logaritmo di in ase a Dati due numeri positivi a e, il logaritmo di un numero, detto argomento,

Dettagli