Le coniche e la loro equazione comune

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1 L conich la loro quazion comun L conich com ombra di una sra Una sra ch tocca il piano π nl punto F è illuminata da una sorgnt puntiorm S. Nl caso dlla igura l'ombra dll sra risulta una suprici dlimitata da una lina chiusa comprsa tra i punti O A. Qusta curva si può anch considrar com la szion, col piano π dl cono di vrtic S ch "abbraccia" la sra lungo il crchio di diamtro HK La curva ssndo szion di un cono è dtta conica; nl caso dll igura è un'lliss.

2 Si può anch dir ch l'lliss è l'ombra sul piano π dl crchio di diamtro HK; al diamtro HK corrispond il sgmnto OA ch, pr il modo stsso con cui si proitta, vin ad ssr un ass di simmtria dll'lliss. S ora abbassiamo S lungo la rtta t, tangnt in H alla sra, cambia la posizion di K dl corrispondnt punto A. Il punto A si è allontanata da O l'lliss ombra si è allungata. S spostiamo ancora S lungo la rtta t portiamo S al livllo dl "polo Nord" dlla sra il raggio di luc SK risulta paralllo al piano π quindi il punto K non ha ombra sul piano, si può immaginar ch il punto A corrispondnt dl punto K sia andato all'ininito; l'lliss si è aprta si è ottnuta una parabola

3 Abbassando ancora S lungo t la gnratric dl cono SK ha un'inclinazion tal ch, ora è il suo prolungamnto ad incontrar il piano π nl punto A. Con un'immagin dinamica si può pnsar ch A, muovndosi sulla rtta r passant pr O F, dopo ssr andato all'ininito, a dstra di O compaia di nuovo ma, qusta volta, a sinistra di O. La curva si compon di du rami, uno passant pr O ch rapprsnta ttivamnt l'ombra di una part dl crchio di diamtro HK l'altro passant pr A ch risulta ombra virtual; la conica è un iprbol. I du rami dll'iprbol hanno com l altr conich la rtta pr O F com ass di simmtria. Un rapporto costant ch carattrizza l conich Abbiamo visto ch l tr conich - lliss - parabola - iprbol si possono ottnr proittando una sra su di un piano. Vdrmo com qusta " origin" comun dà luogo ad una proprità comun sul piano di proizion. Nlla igura sgunt è disgnata l'lliss ch si ottin proittando dal punto S la circonrnza di diamtro HK. F è il punto in cui la sra tocca il pianoπ, d è la rtta comun a π al piano α dl crchio di diamtro HK D il punto di intrszion di r con d.

4 Al variar dl punto S sulla rtta t, con la conica varia la rtta d, mntr il punto F rsta isso. La rtta d prnd il nom di dirttric il punto F di uoco. Si dimostra ch, issato S, pr qualunqu punto P di una conica si mantin costant il rapporto ra l distanz di P dal uoco F dalla dirttric d. Il rapporto sarà minor di uno pr l'lliss, varrà uno pr la parabola sarà maggior di uno pr l'iprbol. Nlla igura sgunt abbiamo unito un gnrico punto P dll'lliss con S ; La gnratric PS risulta tangnt alla sra in un punto P ch appartin alla circonrnza di diamtro HK. I sgmnti di tangnza PF PP risultano congrunti. Essndo r prpndicolar a d, la distanza PT dl punto P dalla rtta d è congrunt al sgmnto ZD, ov Z è la proizion dl punto P sulla rtta r. Si ha prtanto PF PP = PT ZD Ora s costruiamo pr P un piano β paralllo al piano α dl crchio di diamtro HK. Il cono di vrtic S taglirà β scondo un crchio di diamtro RQ paralllo a HK. Si ottin un tronco di cono ch ha pr basi i crchi parallli di diamtro HK RQ

5 L gnratrici di qusto tronco di cono sono tutt uguali; si ha prciò Allora il rapporto si può scrivr PP ZD PP = ZD RH ZD PP = RH Ora tracciamo dal punto O la parallla all rtt di diamtri HK RQ

6 Applichiamo il torma di Talt; risulta quindi da cui RH OH = ZD OD PP OH = ZD OD PF = PT OH OD OH Ora, siccom quando P prcorr l'lliss, i punti O, H, D rimangono issi, il rapporto risulta OD costant. La costant, dtta ccntricità, si indica con la lttra. PF = PT Il valor dll'ccntricità pr la parabola, pr l'lliss pr l'iprbol Il rapporto P con O si ottin PF = ch carattrizza l conich non dipnd dal punto P. S acciamo coincidr PT OF = OD Il valor di dipnd dalla posizion dl punto S, cioè dal tipo di conica. Nl caso dlla parabola i sgmnti SK, SH, OH OF sono congrunti con il raggio dlla sra.

7 I triangoli rttangoli HKS HDO sono congrunti pr avr SH = HO gli angoli SHK ˆ = DHˆ O prché opposti al vrtici.. Ma allora DO = SK = OF risulta OF = = OD Nl caso dll'lliss la sorgnt S si trova al di sopra di S; la rtta pr HK incontra la rtta r in un punto D ch dista da O più di D. Risulta dunqu sarà quindi ossia OD > OD OF OF < OD OD OF = OD < L'ccntricità dll'lliss è prtanto smpr minor di uno.

8 Nl caso dll'iprbol la sorgnt S si trova al di sotto di S ; la rtta pr HK incontra la rtta r in un punto D ch dista da O mno di D. Risulta dunqu sarà quindi ossia OD < OD OF OF > OD OD OF = OD > L'ccntricità dll'iprbol è prtanto smpr maggior di uno.

9 Equazion comun dll conich Nl piano π issiamo un sistma di ririmnto cartsiano Oxy, ov l'ass x coincid con la rtta r l'ass y con la prpndicolar a r condotta dal punto O. Poiché pr una gnrica conica, ottnuta proittando da un punto S il crchio di diamtro HK sul piano π, val la rlazion OF = OD s assumiamo ch il punto F in Oxy abbia ascissa, l'ascissa dl punto D sarà pari a La dirttric d ha allora quazion y = Prso un gnrico punto P ( x; y) dlla conica la sua distanza da ( ;0) ( x ) y PF = + La sua distanza dalla rtta d sarà PT = x + Poiché in una conica F sarà PF = PT si ha ( ) x + y = x +

10 Elvando i du mmbri al quadrato si ottin ( ) + = + x y x Sviluppando si ricava inin l'quazion cartsiana dlla conica ( ) ( ) 0 = + + x y x Nl caso dlla parabola, ssndo =, l'quazion divnta 0 4 = x y Nl caso dll'lliss, ssndo <, il coicint dlla x sarà positivo. Nl caso dll'iprbol, ssndo >, il coicint dlla x sarà ngativo.