Codice binario. Codice. Codifica - numeri naturali. Codifica - numeri naturali. Alfabeto binario: costituito da due simboli

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1 Codice La relazione che associa ad ogni successione ben formata di simboli di un alfabeto il dato corrispondente è detta codice. Un codice mette quindi in relazione le successioni di simboli con il significato loro attribuito. Codice binario Alfabeto binario: costituito da due simboli convenzionalmente 0 e 1 binit o bit (binary digit, cifra binaria): elemento che assume un valore binario il bit è anche l unità elementare di informazione 2 3 Sistema di numerazione arabico: introdotto in Europa nel Medio Evo in base dieci: utilizza le dieci cifre 0, 1,, 9 è una notazione posizionale: il valore di ogni cifra dipende dalla sua posizione nella successione di simboli che rappresenta il numero. Es = 1x x x x10 0 In generale, per un numero composto di n cifre si ha che: c n 1 c n 2...c 1 c 0 = = c n 1 x10 n 1 + c n 2 x10 n c n 2...c 1 x c 0 x10 0 Si chiamano cifre piú significative quelle associate ai pesi maggiori. La cifra c n 1 è la piú significativa e c 0 è la cifra meno significativa. 4 5

2 1 Sistema di numerazione additivo: il significato dei simboli che compongono un numero è indipendente dalla posizione in cui compaiono Es. sistema con un unico simbolo, per l unità Es. sistema di numerazione romano, con i simboli I, V, X, L, C, D, M. Se la base della numerazione è B, si hanno a disposizione B cifre, comprese tra 0 e B 1. c n 1 c n 2...c 1 c 0 = = c n 1 xb n 1 + c n 2 xb n c n 2...c 1 xb 1 + c 0 xb 0 = Σ i c i xb i Esempio: due = (1x x x x x x2 0 ) dieci = ( ) dieci = 44 dieci. Tramite m cifre in base B è possibile rappresentare B m numeri naturali, da 0 a B m numero divisore quoziente resto cifra bin. meno significativa cifra bin. piú significativa 8 71 dieci = due Con una successione di n bit si rappresentano i 2 n numeri naturali, da 0 a 2 n 1 Per i numeri naturali si usano di solito 32 bit = x10 9 Raddoppiando la lunghezza, il massimo numero rappresentabile aumenta esponenzialmente. Se si utilizzano 64 bit ,6x

3 Codifiche ottale e esadecimale Ottale: base 8; cifre 0, 1,, 7 Esadecimale: base 16; cifre 0, 1,, 9, A, B,, F La conversione dalla base 2 alla base 8 (oppure 16) può essere fatta per parti, considerando volta per volta una tripla (quadrupla) di cifre binarie. Es = 1267 otto Es = 2B7 sedici Codifica con modulo e segno: consiste nell indicare il segno seguito dal valore assoluto, come succede normalmente nella codifica decimale. Il primo bit indica il segno 0 per positivo 1 per negativo Gli altri n 1 bit rappresentano il valore ass Codifica con modulo e segno Esempi 0011 = = = = 3 Ha il difetto di duplicare la rappresentazione del numero 0, cosa che può complicare l esecuzione ed il controllo delle operazioni aritmetiche. Rappresentazione in complemento a due: dati n bit, un numero negativo x si rappresenta con il valore binario corrispondente a 2 n x. Ad esempio, con successioni di 4 bit

4 Rappresentazione in complemento a due Con n bit possono essere rappresentati gli interi compresi tra 2 n-1 e +(2 n-1 1). Operativamente, si complementano i bit della rappresentazione binaria del modulo x del numero e si somma 1 al risultato Ad esempio, con successioni di 4 bit (2 4 =16) 5 dieci = dieci = = 1011 Codifica - numeri razionali Notazione scientifica: un numero viene rappresentato come ± m x 10 p Es = 1,23x10 8 Se, piú in generale, la base è B, ± m x B p Il coefficiente m è detto mantissa (la convenzione è di inserire implicitamente la virgola decimale subito dopo la prima cifra). P, detto caratteristica, è l esponente a cui elevare la base B. Es. 1,23x10 8 base 10, segno +, mantissa 123, caratteristica Codifica - numeri reali La rappresentazione esatta di un numero irrazionale richiederebbe un numero infinito di cifre Es. 1/3 = 0, π = 3, Un problema analogo sorge per numeri con valore assoluto molto grande o molto piccolo, in cui il numero di cifre richiesto non sarebbe infinito, ma molto elevato In questi casi possiamo considerare solo le cifre piú significative. Codifica - numeri reali Qualunque sia la codifica scelta, la rappresentazione dei numeri reali nel calcolatore è soggetta ad approssimazioni. Tali approssimazioni si propagano nel corso della esecuzione delle operazioni causando errori numerici anche importanti. Il calcolo numerico è la disciplina che studia le proprietà dell esecuzione delle operazioni tramite calcolatore e valuta l entità degli errori introdotti durante l esecuzione

5 Codifica binaria - numeri razionali La rappresentazione binaria dei numeri razionali che usa la notazione scientifica è detta rappresentazione in virgola mobile (floating point) due = 1,0101x due Cambiando il numero di cifre dedicato alla rappresentazione di mantissa ed esponente cambia la precisione dei risultati che si ottengono. L interesse a uniformare la precisione di calcolo ha condotto alla definizione di uno standard internazionale proposto dall Institute of Electrical and Electronic Engineers (IEEE). Operazioni aritmetiche La rappresentazione in complemento a due rende la somma e la differenza di due numeri interi immediata. Le operazioni aritmetiche sui numeri rappresentati in virgola mobile sono piú complesse perché richiedono il preliminare allineamento Es. 0,76755 x ,17134 x > 0,76755 x ,00017 x 10 2 = 0,76772 x Operazioni logiche Gli operatori logici dell algebra di Boole sono : OR, AND e NOT Il significato delle operazioni logiche o booleane è definito tramite le cosiddette tavole di verità OR 0 1 AND 0 1 NOT Operazioni logiche Gli operatori logici permettono di costruire condizioni complesse per i costrutti condizionali dei linguaggi di programmazione Es.: if (condizione) then else Es.: while (condizione) do 20 21

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