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1 Prof. Emnul ANDRISANI Studio di funzion Funzioni rzionli intr n n o... n n Crttristich: sono funzioni continu drivbili in tutto il cmpo rl D R quindi non sistono sintoti vrticli D R quindi non sistono punti ngolosi n quindi non sistono sintoti orizzontli n o o quindi non sistono sintoti obliqui Prtnto nllo studio di tli funzioni si smino: ) dominio b) intrszioni con gli ssi N.B.: - l dtrminzion di punti di intrszion con l ss dll sciss può ssr vitt s il polinomio non è fcilmnt scomponibil - un funzion polinomil h l mssimo un numro di intrszioni con l ss dll sciss pri l grdo dl polinomio c)? ± d) studio di pr dtrminr gli intrvlli di crscnz di, mssimi minimi rltivi, flssi tngnt orizzontl ) studio di pr dtrminr l concvità di, flssi tngnt obliqu Funzioni rzionli frtt Crttristich: D { / R D ( ) } N ( ) D( ) i vlori ch nnullno il dnomintor sono punti di discontinuità pr l funzion, prtnto pr tli vlori vnno ricrcti gli sintoti vrticli S N() Q() sono di grdo cioè b con d-bc c d

2 l funzion è omogrfic rpprsnt un iprbol quiltr con A.V.: d A.O. : c c S o nnull contmpornmnt il numrtor il dnomintor l funzion h un discontinuità inbil prtnto dopo vr smplificto l sprssion (numrtor dnomintor) pr (- o ) si studi l nuov funzion ottnut ch è quivlnt ll dt D / (Vdi smpio N.) Prtnto nllo studio di tli funzioni si smino: Prof. Emnul ANDRISANI ) Dominio d vntuli simmtri vidnti b) intrszioni con gli ssi (ttnzion ll discontinuità inbili) c) insim di positività d) ricrc dgli sintoti vrticli ) ricrc dgli sintoti orizzontli (sistono solo s il grdo di N() è infrior o ugul l grdo di D() ) f) ricrc dgli sintoti obliqui : mq con m finito q finito f ( ) m f '( ) q [ f ( ) m] N.B.: L sintoto obliquo sist s il grdo di N() supr di il grdo di D(). Nll funzioni frtt l quzion di tl sintoto si può dtrminr in modo rpido uguglindo d il quozint tr N() D(). (Vdi smpio N.) g) studio di pr dtrminr gli intrvlli di crscnz di, mssimi minimi rltivi, flssi tngnt orizzontl h) studio di pr dtrminr l concvità di, flssi tngnt obliqu ( può ssr vitto s i clcoli sono lboriosi) Funzioni irrzionli n g( ) Crttristich: ) s n è pri D { / R g( ) } Agli strmi (cioè dov g() ) l funzion è dfinit Pr l positività dll funzion bst ossrvr il sgno ch prcd l rdic b) s n è dispri / R g() } D {, cioè il dominio dll funzion coincid con il dominio di g() L positività dll funzion dipnd dll positività dl rdicndo

3 c) S n; prim di procdr nllo studio dll funzion provr d lvr mbo i mmbri pr l indic dll rdic potrbb trttrsi di un rmo (positivo o ngtivo) di un curv notvol (circonfrnz,iprbol, lliss cc.) (Vdi smpio N.) d) Nll ricrc dgli sintoti vrticli ricordrsi ch possono ssrci A.V. A.V -. divrsi fr loro (Vdi smpi N. b ) ) S l indic dll rdic è pri, nll ricrc dgli sintoti orizzontli o obliqui, convin procdr distingundo: f ( ) f ( ) Inftti frquntmnt tli iti si prsntno nll form di indcision pr inrl potrbb ssr ncssrio portr dntro (o fuori) dl sgno di rdic l vribil (Vdi smpio N.b ) f) L drivt dll funzion irrzionl ssum l form: Prof. Emnul ANDRISANI ' n n g' ( ) g( ) n Quindi l funzion non è drivbil ni punti in cui g() (Vdi smpio N.) Funzioni in vlor ssoluto f () Crttristich: sono funzioni continu dov f() è continu i punti in cui l rgomnto dl vlor ssoluto si nnull sono punti di non drivbilità pr l funzion vlor ssoluto cioè punti ngolosi Pr lo studio di tli funzioni: ) Studir l funzion f() (cioè l funzion snz il vlor ssoluto) rpprsntrl grficmnt. b) Il grfico dll funzion in vlor ssoluto si ottin ribltndo risptto ll ss dll sciss i rmi dll ngtivi (ch si trovno l di sotto dll ss ) lscindo inltrti i rmi positivi (ch si trovno l di sopr dll ss ). (Vdi smpio N.)

4 Prof. Emnul ANDRISANI Funzioni contnnti trmini in vlor ssoluto f ( ) g( ) Crttristich: l funzion è dfinit trtti, inftti prim di procdr nllo studio di funzion bisogn splicitr il vlor ssoluto ricordndo ch R / g( ) g( ) g ( ) g( ) quindi l funzion si dcompon in du sprssioni: R / g( ) < f ( ) g( ) f ( ) g( ) R / g( ) R / g( ) < i punti in cui l rgomnto dl vlor ssoluto si nnull sono punti di non drivbilità pr l funzion vlor ssoluto cioè punti ngolosi Pr lo studio di tli funzioni: ) Si studino sprtmnt l funzioni, ciscun nll intrvllo in cui è stt itt b) Il grfico dll funzion è dto dll union di grfici dll du funzioni (Vdi smpio N.b) Funzioni sponnzili f ( ) oppur f ( ) Crttristich: il dominio dll funzion coincid con il dominio dll sponnt l funzion è smpr positiv pr qulsisi vlor dll sponnt ( ricordr ch ) n nll ricrc dgli sintoti ricordr: f ( ) s > s << ( f ) ( ( f ( ) f ( ) f ) f ) n f ( ) ( ) f f ) f ( ) ( ( ) f f ( ) f ( ) non sistono intrszioni con l ss dll sciss inftti è impossibil l drivt ssum l form ' f '( ) f ( ) bst studir il sgno di f () (Vdi smpio N.) prtnto pr studir il sgno dll drivt

5 Prof. Emnul ANDRISANI Funzioni logritmich log f ( ) oppur log f ( ) Crttristich: il dominio è rpprsntto di vlori di ch rndono positivo l rgomnto dl logritmo pr l insim di positività ricordr ch: s > log f ( ) f ( ) s << log f ( ) f ( ) nll ricrc dgli sintoti ricordr ch: s > log f ( ) ) f ( log f ( ) f ( ) s << ) f ( log f ( ) log f ( ) f ( ) nll ricrc dgli vntuli sintoti obliqui convin inr l form di indcision con l rgol di D L Hopitl Funzioni goniomtrich Crttristich: l funzioni goniomtrich sono priodich prtnto dopo vrn dtrminto il dominio si it lo studio l rpprsntzion d un solo priodo in prticolr: sin cos tn cot si itno [ ],π sfruttndo l loro simmtri nch [,π ] si itno [,π ] oppur π, π s l funzion è dt dll somm di funzioni con priodi divrsi convin studirl nll intrvllo più mpio convin dtrminr il vlor ch l funzion ssum gli strmi dll intrvllo pr lcuni vlori di intrni dsso, d s: π f ( ), f ( ), f ( π ), f ( π ) f (π ) l insim di positività si clcol solo s l sprssion dll funzion gnr smplici disquzioni goniomtrich ssndo priodich non possono vr sintoti orizzontli o obliqui nll ricrc di mssimi di minimi rltivi di flssi, s l disquzioni rltiv llo studio dl sgno dll drivt prim scond non sono di immdit soluzion, convin usr il mtodo dll drivt succssiv.(vdi smpio N.7)

6 Prof. Emnul ANDRISANI Esmpi Studio di funzion Esmpio D { DR / R } ( )( ) Esmpio D { / R } Ricrc dll'sintoto obliquo mtodo: f ( ) m m q ( f ( ) m) q- A.Ob. - mtodo A.Ob

7 Prof. Emnul ANDRISANI Esmpio D { / R } { / R } I.P.D-{, } Elvndo mbo i mmbri l qudrto con l condizion ch si h: qusto sistm rpprsnt grficmnt l smicirconfrnz positiv di cntro C(,) r Esmpio b D { / R } { / R } Elvndo mbo i mmbri l qudrto con l condizion ch si h: qusto sistm grficmnt rpprsnt l smiprbol ngtiv di vrtic V(,) ss di simmtri 7

8 Prof. Emnul ANDRISANI Esmpio Dominio D { / R } { / R < } Intrszioni A(,) B(, ) Ricrc sintoti Pr l funzion non è dfinit v ricrcto l sintoto vrticl sinistro quindi A.V -. ( ) ( ) Studio dll drivt prim quindi ' D D-{ } ( ) ( ) A.O. l funzion quindi è drivbil pr < pr > pr tli vlori l drivt è positiv quindi l funzion è crscnt. Poiché pr l funzion è dfinit m non è drivbil pr ottnr ultriori informzioni sull ndmnto dll funzion in prossimità di si può clcolr: ' ( ) ciò signific ch l funzion nl punto di sciss h tngnt prlll ll ss

9 Prof. Emnul ANDRISANI Esmpio b Dominio D { / R } { / R < } Intrszioni - A (- ) non cc. A(,) Non vnno ricrct l intrszioni con l ss dll ordint prché l funzion non è dfinit pr Ricrc sintoti Pr - l funzion non è dfinit v ricrcto l sintoto vrticl sinistro ( )( ) ( )( ) quindi - A.V -. ( ) ( ) ( ) (pr inr l form di indcision si potv nch rzionlizzr) ( )( ) ( )( ) quindi - A.V. 9

10 quindi A.O. Studio dll drivt prim ) ( ) ( ) ( ) ( ' D D-{ } ' ) )( ( f. - - < quindi m M (-., -. ) M (.,.7 ) Poiché pr l funzion è dfinit m non è drivbil pr ottnr ultriori informzioni sull ndmnto dll funzion in prossimità di si può clcolr: ( ) ' ciò signific ch l funzion nl punto di sciss h tngnt prlll ll ss Prof. Emnul ANDRISANI

11 Esmpio ( ) ( ) Esmpio b / / < < R R / / < < R R Prof. Emnul ANDRISANI

12 Esmpio Dominio D { R / } { R / } Intrszioni ) A(, Non vnno ricrct l intrszioni con l ss dll sciss prché l quzion dl tipo è impossibil. Ricrc sintoti Nll ricrc dgli sintoti vrticli convin prim studir il sgno dll sponnt, sso prmtt di stbilir con fcilità s l sponnt tnd o - pr i vlori ch nnullno il dnomintor. N D - - quindi A.V -. quindi A.V. quindi A.O. Studio dll drivt prim ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ' D D Prof. Emnul ANDRISANI

13 Prof. Emnul ANDRISANI ' quindi è sciss di mssimo M(, ) Poiché pr pr l funzion è sintotic rispttivmnt solo d sinistr d dstr, pr vr un grfico più prciso in prossimità di di - convin clcolr il it dll funzion drivt pr vr informzioni sull ndmnto dll tngnti in tli punti: ( ) ' ' ( ) cioè l tngnt in tli punti h cofficint nullo Esmpio 7 Dominio D { R / },π ito lo studio [ ] cos cos Clcolo di lcuni vlori π f ( ) f ( ) f ( π ) f ( π ) f ( π ) Studio di mssimi minimi flssi: mtodo ' cos sin sin sin ( cos ) D D ' in( cos ) f f Π Π -

14 quindi Π sono sciss di m M (, ) M (Π, ) mntr Π è sciss di min. C (Π,-) '' sin cos cos cos cos '' cos cos Prof. Emnul ANDRISANI cos π Π π Π - - F π, F π, mtodo ' cos sin sin sin ( cos ) D D ' sin cos Π Π ' ' sin cos cos ''() < m M (, ) ''(π ) < Π m M (Π, ) ''( π )? ' '' sin cos cos sin cos sin cos cos '''( π )? v ' sin cos cos ' v > Π min C (Π,-) π π '' sin cos cos Π π π '''( ) F, π π '''( ) F, -,,,,,,, 7,

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