Soluzione del problema Un generatore IDEALE

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1 Esmi di Mturità Lieo Sientiio 11 mrzo 15 Soluzione del problem Un genertore IDEALE y A R B L O d Prim di ollegre l resistenz R tr i due poli A e B, nel iruito non irol orrente; l brrett è soggett ll sol orz elsti e quindi si muove di moto rmonio; indindo on l posizione dell brrett, il moto è desritto dll equzione: os(π t) on mpiezz del moto; l requenz del moto rmonio è dt dll espressione: Dovendo essere 5 Hz, si ottiene per k: k 4π m 4 π , N m Per l presenz del mpo mgnetio, il moto dell brrett gener un orz elettromotrie indott pri l lusso del mpo B tglito nell unità di tempo dll brrett stess; esso è nhe egule ll vrizione di lusso ttrverso l superiie delimitt dll guid e dll brrett. Assumendo il mpo mgnetio usente dl oglio del disegno (sse +z), il lusso Φ del mpo B ttrverso l superiie delimitt dll guid e dll brrett è:

2 Esmi di Mturità Lieo Sientiio 11 mrzo 15 Φ B L (d + ) B L (d + os(π t)) Per l legge di Frdy-Neumnn-Lenz l orz elettromotrie indott em. srà: em. dφ dt - B L d dt B L π sin(π t) Il vlore mssimo m si ottiene qundo l unzione seno ssume il vlore 1 e vrrà: m B L π 94, mv Collegndo l resistenz R, nel iruito sorre l orrente indott: i em. R L brrett subise quindi lzione di un orz mgneti dt dll espressione il ui eetto è quello di un orz rennte in qunto il verso è opposto quello dell veloità istntne; intti nell ipotesi tt per il verso di B (lungo +z), qundo v è > l orz elettromotrie rà irolre l orrente in senso orrio; l orrente nell sbrrett srà lungo y e quindi l orz F lungo, ioè in verso opposto ll veloità; poihé il modulo dell orz F è proporzionle ll veloità, si trtt di un orz di resistenz visos. L brrett si muove quindi sotto l zione dell risultnte di un orz elsti e di un orz di resistenz visos e il moto risultnte è un moto rmonio smorzto. L dierenz di potenzile tr i terminli A e B è proporzionle ll veloità v d/dt e h un ndmento temporle nlogo quest, ome mostrto in igur.

3 Esmi di Mturità Lieo Sientiio 11 mrzo 15 Dl punto di vist energetio l orz F gente sull brrett un lvoro negtivo, essendo oppost ll veloità; di onseguenz l energi ineti dell brrett diminuise nel tempo e osì nhe l veloità; di onseguenz diminuise nhe l orz elettromotrie indott e quindi l orrente indott: tempi lunghi l brrett si erm e l orz elettromotrie indott si nnull. Quntittivmente il lvoro tto dll orz F nell unità di tempo (potenz) è egule ll potenz dissipt per eetto joule dll orrente indott nell resistenz R. Intti l potenz dissipt dll orz F risult: E l potenz dissipt nell resistenz R: r r w F v ilbv w i. em ilbv Quindi il genertore di Luigi non unzion in modo idele per l produzione di orrente lternt, m si limit dissipre per eetto joule l energi inizilmente ornit ll brrett: non è quindi lun violzione del prinipio di onservzione dell energi.

4 Esme di Mturità Lieo Sientiio 11 mrzo 15 Un missione spzile: soluzione Indihimo on t e t i tempi e gli intervlli di tempo misurti d un osservtore sull terr e on t e t quelli misurti dll equipggio dell nviell. L durt dell missione è l somm dell durt del viggio di ndt t ( t ) del tempo trsorso su Sirio per eetture le rierhe t sost ( t sost ) dell durt del ritorno t r ( t r ). 8,6 Per un osservtore sull terr, il viggio di ndt h un durt pri : t 11,6 nni;,75 il tempo trsorso su Sirio per eetture le rierhe è di due nni, ioè è egule l tempo dell sost misurto dll equipggio in qunto l veloità di Sirio è trsurbile rispetto ll veloità dell lue; il viggio di ritorno h un durt pri quello di ndt; pertnto l durt omplessiv dell missione t totle è: t t + t + t 11,6 +, + 11,6 5, nni. totle sost r Per i omponenti dell equipggio, l durt del viggio di ndt e del viggio di ritorno è: t t t r t 1 β 11,6 1,75 7,67 nni; il tempo trsorso per eetture le γ rierhe t sirio, nni. Il tempo totle dell missione per i omponenti dell equipggio risult quindi: t t + t + t 7,67 +, + 7,67 17,3 nni. totle sost r Nel sistem di rierimento dell terr, l evento invio del segnle vviene nel punto, l tempo t 1, nni. Per le trsormzioni di Lorentz, nel sistem di rierimento dell nviell lo stesso evento vviene nel punto di oordinte spzio-temporli γ( vt ) γvt 1,13 nni lue e l v tempo t γ(t ) γt 1,51 nni. Per i omponenti dell equipggio il segnle luminoso rggiungerà l nviell dopo un tempo: γvt t 1 1,13 nni Il tempo totle trsorso per l equipggio srà quindi: γvt t totle t + t1 γt + γ(1 + β)t,64 nni. Per l bse terrestre il segnle giunge ll nviell l tempo t totle 4, nni dopo l inizio dell missione, intti: (t t ) vt totle t totle t v totle Impieg quindi 3, nni rggiungere l nviell. Al tempo t totle,l nviell si trov d un distnz di 3, nni lue dll Terr; per tornre indietro l rispost impieg quindi ltri 3, nni e l bse Terr rieverà l onerm dell riezione 6, nni dopo l invio del segnle. 4, nni

5 Esme di Mturità Lieo Sientiio 11 mrzo 15 A B Il grio illustr l pubblio l tempisti dell missione e dei due segnli; esso mostr l distnz stronve-terr in unzione del tempo; l pendenz dell rett è pri ll veloità dell stronve. Il segnle invito l tempo tt o si llontn dll Terr on veloità. Il segnle invito dll stronve si vviin ll Terr on veloità. I punti di inroio delle rette sono gli istnti in ui l nviell rggiunge Sirio (A) e l istnte in ui il segnle rggiunge l nviell (B) e riprte verso l terr. L preoupzione del responsbile dell siurezz è ondt, in qunto l ontrzione di Lorentz vviene nelle direzione longitudinle del moto e non in quell trsversle; il erhio del simbolo dell lott ppre più o meno deormto seond di ome esso è orientto rispetto ll veloità del moto. Intti un rggio 1 del erhio diretto ome l veloità pprirà ontrtto del ttore reltivistio γ 1, 51 mentre 1 β un rggio d esso perpendiolre pprirà non ontrtto. Per evitre l deormzione del erhio oorre he l nviell dirig il suo moto sempre verso il posto di gurdi dell rontier e he il pino he ontiene il simbolo si sempre perpendiolre ll direzione del moto dell nviell in modo he tutti i rggi del simbolo sino perpendiolri l moto e non risentno dell ontrzione di Lorentz.