Le Derivate delle Funzioni Elementari

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1 Capitolo 4 Le Derivate delle Funzioni Elementari In questo Capitolo impareremo a trovare la formula per la funzione derivata di una funzione elementare, cioè di una funzione costruita con ingredienti di tipo algebrico, esponenziale, logaritmico e trigonometrico. Impareremo che anche una funzione apparentemente complicata come µ sin (2x) f (x) =ln +3x 4 è semplice da derivare. Prima, però, di arrivare a questo, bisogna imparare a derivare le funzioni più semplici, come quelle che si ottengono usando semplicemente il logaritmo, le funzioni trigonometriche, le potenze, e così via. Una volta note queste derivate, impareremo le regole per la derivazione delle funzioni che si ottengono dalla loro composizione. Useremo normalmente la notazione f 0 per indicare la funzione derivata di una funzione f. Questa notazione, oltre ad essere semplice, ci ricorda qual è la funzione che stiamo derivando. Questa non è l unica notazione possibile. Dipendentemente dal contesto nel quale lavoriamo, le seguenti notazioni potranno essere a volte usate. Per illustrarle, consideriamo la funzione y = f (x) =x 2. Le seguenti notazioni sono equivalenti: f 0 (x) =2x, dy dx =2x, d x 2 =2x, dx df dx =2x. la notazione dy/dx è nota come notazione di Liebnitz, dal matematico che per primo la usò. La formulazione frazionaria della notazione di Liebnitz, ricorda che la derivata è il limite del rapporto incrementale: dy dx = lim x 0 y x. Le notazioni usate si estendono al caso di derivate di ordine superiore. Nel caso della derivata seconda esse si esprimono nella seguente forma: 79

2 80 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI f 00 (x) =2, d 2 y dx 2 =2, d 2 x 2 dx 2 =2, d 2 f dx 2 =2. 4. Derivate delle Potenze e dei Polinomi Ricordiamo che la derivata f 0 (a), di una funzione f nel punto,x = a è stata definita come f 0 f (a + h) f (a) (a) =lim. la definizione seguente è essenzialmente la stessa; usando il generico valore dell ingresso x si enfatizza il fatto che f 0 è una funzione. Definizione 4 Sia f una funzione. La derivata di f, indicata con f 0,èla funzione definita, per un ingresso x, da f 0 f (x + h) f (x) (x) =lim. Osserviamo quanto segue: Dominio Il dominio di f 0 è l insieme degli ingressi x di f per i quali il limite esiste. Ricerca del Limite Il limite nella definizione non si trova ponendo h =0 nella formula. Alcune manipolazioni algebriche e trucchi di calcolo sono quasi sempre necessari per poter risolvere il limite. 4.. Derivata di una Potenza Il primo problema che affrontiamo è quello di trovare la funzione derivata per le potenze. Per funzioni, cioè, della forma f (x) =x k dove k è una costante. Ognuna delle seguenti espressioni definisce una funzione potenza: x, x 2, x, x, x 5/2, x π. Iniziamo il nostro studio con le potenze non negative. Esempio 5 trovare le formule per le funzioni derivate di l (x) =x, q (x) = x 2 e c (x) =x 3.. Interpretare il risultato graficamente. Soluzione. La funzione l è lineare con coefficiente angolare. La sua derivata deve quindi essere la funzione costante l 0 (x) =. Vediamo se la definizione di funzione derivata ci conforta nel risultato: l 0 l (x + h) l (x) (x) =lim = x + h x =. h

3 4.. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI 8 Vediamo come operare per le altre due funzioni. Per q si ha: q 0 (x) = q (x + h) q (x) lim = (x + h) 2 x 2 lim = x 2 +2hx + h 2 x 2 lim = lim (2x + h) =2x. h 0 Il calcolo della funzione derivata di c è quasi equivalente: c 0 (x) = c (x + h) c (x) lim = (x + h) 3 x 3 lim x 3 +3x 2 h +3xh 2 + h 3 x 3 = lim = lim 3x 2 +3xh + h 2 =3x 2. h 0 Graficamente abbiamo: x Grafico di l (x) =x x Grafico di l 0 (x) = x Grafico di q (x) =x x Grafico di q 0 (x) =2x x Grafico di c (x) =x x Grafico di c 0 (x) =3x 2 La risposta non dovrebbe sorprendere, abbiamo già visto questi grafici in precedenza. Il calcolo del limite ci assicura che le formule trovate per le derivate sono quelle corrette.

4 82 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI Cosa accade se l esponente k non è un intero positivo? Esempio 6 Trovare le formule delle funzioni derivate di s (x) =x /2 = x e di n (x) =/x = x. Quali sono i domini delle funzioni derivate? Interpretare il risultato graficamente. Soluzione. Scriviamo come prima il limite del rapporto incrementale, ma l artificio algebrico che usiamo per eliminare il denominatore e risolverlo è più delicato. s 0 s (x + h) s (x) (x) = lim x + h x = lim = lim h 0 x + h x h = lim h 0 x + h + x = 2 x = 2 x /2. x + h + x x + h + x Il trucco algebrico usato è stato quello di moltiplicare e dividere per x + h + x, usato poi per semplificare il numeratore. [Si ricorda che (a b)(a + b) = a 2 b 2.] Vediamo cosa accade per la funzione n : n 0 n (x + h) n (x) (x) = lim = lim h 0 x+h x h x (x + h) = lim x (x + h) = lim h 0 x (x + h) = x 2 = x 2.

5 4.. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI 83 Ecco i grafici delle quattro funzioni x x Grafico di s (x) = x Grafico di n (x) =/x x x Grafico di s 0 (x) =/ (2 x) Grafico di n 0 (x) = /x 2 Osservare il dominio. la derivata s 0 non è definita in x =0dove il grafico di s ha tangente verticale. la derivata n 0 ha lo stesso dominio della funzione n. La Regola Generale Ognuno degli esempi precedenti è un caso particolare della seguente regola generale. Proposizione 7 (Derivazione delle Potenze) Sia k una costante reale. Se f (x) =x k,allorasihaf 0 (x) =kx k. Abbiamo appena visto che la regola vale per i casi k =,k=2,k=3,k=, k =/2. Non dimostreremo la proposizione, ma alla fine del Paragrafo indicheremo come il Binomio di Newton possa essere usato per mostrarlo per tutti i valori di k interi positivi Combinazione di Potenze: La Regola della Somma e della Costante Conoscendo la derivata delle potenze è facile calcolare la derivata della combinazione di potenze (quali sono i polinomi). Esempio 8 Sia p (x) =3x 5 +7x 4 x Trovare p0 (x).

6 84 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI Soluzione. Dividiamo p nei singoli componenti, deriviamo ogni singolo pezzo ed infine riassembliamo il risultato. Eco i conti, usando la notazione di Liebnitz: 3 + x 5 +7 d x 4 d dx 3 dx 3 5x x 3 2x +0 3 dy dx = d µ3x 5 +7x 4 x2 dx = 3 d dx 5x 4 +28x x. x 2 + d dx () Abbiamo appena compiuto due atti di fede rispetto alla presenza di moltiplicazioni per una costante e operazioni di somma, che giustificheremo immediatamente (ricordarsi le proprietà del limite!),. Vediamo prima il confronto dei due grafici di p edip x -20 Grafici di p edip 0 Nell esempio precedente abbiamo fatto due ipotesi ragionevoli. Le riportiamo qui in modo esplicito, sotto forma di Teorema. Teorema 9 (Derivata della Somma) Siano f e g due funzioni differenziabili, e sia h = f + g. Si ha h 0 (x) =(f + g) 0 (x) =f 0 (x)+g 0 (x).

7 4.. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI 85 Dimostrazione. La dimostrazione dell affermazione precedente segue immediatamente dalla analoga proprietà dei limiti. Si ha infatti: d (f (x + h)+g (x + h)) (f (x)+g (x)) (f (x)+g (x)) = lim dx h 0 h f (x + h) f (x) g (x + h) g (x) = lim + h f (x + h) f (x) g (x + h) g (x) = lim +lim = f 0 (x)+g 0 (x) Teorema 20 (Derivata del Prodotto con una Costante) Sia k R costante, f una funzione differenziabile, e g = k f. Si ha g 0 (x) =(k f) 0 (x) =k f 0 (x). Invece di dimostrare questo secondo teorema, riflettiamo sul fatto che il grafico di k f è ottenuto dilatando verticalmente il grafico di f di un fattore k. Come pensate che questo fatto incida sulla retta tangente al grafico di f in un qualsiasi punto x = a? La risposta del teorema è che una dilatazione del grafico di f in direzione verticale, di un fattore k, moltiplica il coefficiente angolare della retta tangente nel punto x = a dello stesso fattore. Primitive Abbiamo appena visto come trovare la funzione derivata f 0 di una funzione f assegnata. Vogliamo anche considerare il problema opposto: Data una funzione f, trovare una funzione F tale che F 0 = f. La funzione F è detta primitiva di f. Per i polinomi e le potenze trovare una primitiva non è più difficile che trovare la derivata. Esempio 2 Trovare le primitive Q e S per le funzioni q (x) =x 2 e s (x) = x. Soluzione. Poiché x 3 0 =3x 2, la scelta di Q (x) =x 3 /3 è quella naturale. E facile vedere che la scelta è corretta, derivando Q 0 (x) = µ 0 3 x3 = x 3 0 = 3 3 3x2 = x 2. Per trovare una primitiva di s il ragionamento è lo stesso. Un minimo di attenzione in più va riservata al coefficiente moltiplicativo. La regola di derivazione delle potenze suggerisce per S la forma S (x) =k x 3/2, ma qual è il valore della costante k? Deriviamo per ottenere la risposta:

8 86 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI ³ S 0 (x) =k x 3/2 0 3 = k 2 x/2 = x /2. Ne consegue che k =2/3 e la funzione S èalloras (x) = 2 3 x3/2. Da notare che la risposta non è univoca. Per esempio, ognuna delle seguenti funzioni x 3 3 +, x 3 3 3, e x 3 3 π + e2 sin 2 3 è una primitiva di q. Quindi ogni funzione del tipo x3 + C,conC costante, è 3 una primitiva di q. Le Primitive Non Sono Uniche L esempio precedente illustra un principio generale importante: Se F è una primitiva di f, allora lo è anche F + C, per qualsiasi valore della costante C. La ragione di ciò è semplice:due funzioni che differiscono per una costante hanno la stessa derivata. L implicazione funziona anche nell altra direzione: Se F 0 (x) =G 0 (x) per tutti gli x, allora F (x) =G (x) +C per qualche costante C. Nel caso particolare di q (x) =x 2, questi due fatti implicano esattamente ciò che l esempio aveva suggerito: (i) per ogni costante C, Q (x) =x 3 /3+C è una primitiva; e (ii) ogni primitiva ha questa forma. Ricerca delle Primitive Abbiamo visto come si derivano le potenze e le loro combinazioni lineari. La ricerca di primitive funziona nello stesso modo. La regola di derivazione delle potenze, letta al rovescio afferma che Teorema 22 (Regola delle Potenze per le Primitive) Perognicostante C eperognik (k 6= ), xk+ k + + C è una primitiva di xk. Dimostrazione. Usando la regola per la derivata, la dimostrazione è un semplice calcolo: d dx k + x k+ + C = (k +)xk k + +0=x k come affermato. L eccezione: k =. Notare che il teorema precedente non vale quando k =,poiché la divisione per zero non è permessa. Tuttavia, il caso f (x) = /x ha una primitiva ben definita, sebbene non sotto forma di potenza.

9 4.. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI 87 Proposizione 23 Sia x>0, unaprimitivadellafunzione/x èlafunzione logaritmo naturale, ln (x). Non possediamo ancora gli strumenti per dimostrare questa affermazione (che proveremo più avanti), l osservazione dei due grafici la rende plausibile x x Grafico di y =/x Grafico di y =lnx Primitive delle Combinazioni Lineari La regola della derivata della somma e del prodotto per costanti vale anche quando viene applicata alla ricerca delle primitive. Esempio 24 Trovare la primitiva di p (x) =3x 5 +7x 4 x Soluzione. Come nel caso della derivazione, consideriamo i singoli elementi che compongono p, troviamo le primitive e riassembliamo. La primitiva di 3x 5 è x 6 /2, quella di 7x 4 è 7x 5 /5, quelladix 2 /3 è x 3 /9 ed infine una primitiva di è x. Quindi, una primitiva di p (x) è la funzione 2 x x5 9 x3 +x + C qualsiasi sia il valore della costante C. E facile verificare la correttezza del risultato, basta derivare per ottenere p. Esempio 25 Consideriamo la funzione f (x) =x 3 x 2 2x, il cui grafico è disegnato sotto. Quattro primitive di f, indicate con F, G, H e K (dal basso verso l alto) sono disegnate nel grafico accanto. Trovare la formula delle quattro primitive x Grafico di f (x) =x 3 x 2 2x x Grafico di F, G, H, K

10 88 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI Soluzione. Notare che i quattro grafici di F, G, H e K, sono la traslazione verticale uno dell altro; questo implica che le quattro funzioni differiscono tra di loro per una costante, come deve essere poiché F 0 = G 0 = H 0 = K 0 = f. Usando il teorema per la ricerca delle primitive si ha che una primitiva di f ha la forma x 4 4 x3 3 x2 + C per qualche valore della costante C. In particolare, F, G, H e K hanno questa forma e differiscono tra loro per il valore della costante. Per esempio, il grafico mostra che F (0) =, quindi =F (0) = C = F (x) = x4 4 x3 3 x2. In modo analogo si mostra che per G, H e K i valori delle costanti sono: C =0,C =,C =2rispettivamente Il Binomio di Newton Con questa dizione, intendiamo un modo compatto di scrivere la formula esplicita della potenza n-esima (n naturale) di un binomio: (a + b) n. La formula ci dice che nx µ (a + b) n n = a n k b k k k=0 = a n + na n b + n (n ) a n 2 b nab n + b n 2 dove il coefficiente indicato simbolicamente con n k indica, al variare di k il numero µ n = k n! k!(n k)!. Mostriamo come usare questa formula per trovare la derivata di x n. Esempio 26 Sia y = x n, dove n è un numero naturale. Mostrare che dy/dx = nx n. Soluzione. Per definizione Poiché si ha dy dx =lim h 0 (x + h) n = (x + h) n x n. h nx k=0 µ n x n k h k, k

11 4.. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI 89 si ottiene dy dx = lim h 0 P n n k=0 k x n k h k x n h x n + nx n h + n(n ) 2 x n 2 h nxh n + h n x n = lim = lim h 0 nx n + n (n ) x n 2 h + + nxh n 2 + h n = nx n. 2 Il fatto che ci permette di ottenere il risultato è che nello sviluppo del binomio, tutti i termini dopo i primi due coinvolgono potenze di h superiori ad uno e quindi questi termini scompaiono, quando si passa al limite anche se divisi per h.

12 90 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI 4..4 Esercizi di Derivazione. Per ognuna delle funzioni f elencate sotto, calcolare l espressione algebrica della funzione derivata f 0, quindi disegnare il grafici di f edif 0 sullo stesso sistema di assi per controllare intuitivamente le risposte. (a) f (x) =3x 2 ; (b) f (x) =5x 4 ; (c) f (x) =4x 5 +3x 2 x ; (d) f (x) =4 x + x 2 ; (e) f (x) =3x /2 +4x 3/2 ; (f) f (x) = 7x /4 ; (g) f (x) =x x ; (h) f (x) =4 x 3 5x 3/2 ; (i) 3 x 2 +5; (j) f (x) =4 5 x x Trovare la derivata seconda di ognuna delle funzioni dell Esercizio.Disegnare il grafici di f edif 00 sullo stesso sistema di assi per controllare intuitivamente le risposte. 3. Trovare una primitiva per ognuna delle funzioni dell Esercizio. 4. Vuotando un serbatoio di benzina si sa che il volume di benzina rimasto nel serbatoio dopo t minuti dall apertura della valvola, è dato dalla funzione V (t) = 00, t +40t 2, espresso in litri. (a) Con quale velocità media fuoriesce la benzina nei primi 20 0? (b) Con quale velocità media fuoriesce la benzina al tempo t =20 0? (c) Spiegare cosa dice V 00 (t) sulla velocità di fuoriuscita della benzina dal serbatoio. 5. Sia f (x) =e x. Spiegare, attraverso l uso dei grafici perché f 0 (x) 6= xe x. 6. Usare la definizione di derivata per calcolare la funzione derivata f 0 delle funzioni f indicate di seguito. (a) f (x) =(x +) 2 ;

13 4.. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI 9 (b) f (x) =3x 4 ; (c) f (x) = x +3; (d) f (x) = x Trovare le derivate delle seguenti funzioni. (a) f (x) =(x +2) 3 ; (b) f (x) =4(x ) 4 ; (c) f (x) =(x 3) ; (d) f (x) =3(x +2) 2 ; (e) f (x) = x +; (f) f (x) = 3 x +5; (g) f (x) = x +4 ; (h) f (x) =7(x 3) 5/3. 8. Calcolare le derivate seconde delle funzioni dell Esercizio Trovare una primitiva per ognuna delle funzioni dell Esercizio Mostrare che ( + x) r +rx quando x 0 e r. [Sugg.: usare il Principio delle corse]. Consideriamo la funzione f (x) = (000 x) 2 + x 2. (a) Dire su quali intervalli la funzione è crescente e su quali è decrescente. (b) Usando (a) decidere se è maggiore o minore di Controllare la risposta usando un calcolatore. (c) Generalizzare il risultato di (a) per la funzione f (x) =(c x) n + x n,dovec è un numero positivo ed n un numero positivo pari. Usare il risultato per decidere qual è più grosso tra i numeri 0, e Trovare l equazione della retta tangente alla curva y = x 3 6x 2 nel suo punto di flesso. 3. Quanti punti di flesso ha il grafico della funzione f (x) =2x 6 +9x 5 + 0x 4 x +2? Quali sono questi punti? 4. Sia f (x) =3x 2 8x 2 f (2 + h) f (2). Calcolare lim h 0. h

14 92 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI 5. trovare l espressione simbolica per la derivata n-esima delle funzioni (a) f (x) =/x ; (b) f (x) = x. 6. Sia p (x) =x n + a x n + a 2 x n a n x + a n. (a) Calcolare dn dx n p (x) ; (b) Mostrare che dn+ p (x) =0 dxn+ (c) Mostrare che se k èunintero,k n, p (k) (0) = k!a k. 7. Sia f (x) =x n con n 2. (a) Mostrare che f è convessa nell intervallo (0, + ) ; (b) Cosa si può dire della concavità nell intervallo (, 0)? [Sugg.: Ricordarsi parità e disparità]. 8. Trovare i valori di a edib in modo tale che la retta 2x +3y = a sia tangente al grafico di f (x) =bx 2 in x =3. 9. Trovare il valore di k per il quale il grafico della funzione f (x) =2x 2 +k/x ha un flesso in x =. 20. Sia f (x) =Ax 2 + Bx + C con le seguenti proprietà: (i) f (0) = 2; (ii) f 0 (2) = 0; (iii) f 00 (0) = 4. Trovare il valore di A + B + C. 2. Trovare il valore di b per il quale la funzione f (x) =x 4 + bx 2 +8x + ha flesso orizzontale per qualche valore di x. 22. trovare c in modo che la retta y =4x+3 sia tangente alla curva y = x 2 +c. 23. Siano dati n numeri positivi 0 a a 2 a n. La loro media aritmetica A n èdefinita dalla formula A n =(a + a a n ) /n, mentre la media geometrica è data da G n =(a a 2 a n ) /n. (a) Usareunpo dialgebrapermostrarecheg 2 A 2 ;[Sugg: a a 2 = 4 [(a + a 2 ) 2 (a a 2 ) 2 ] ] (b) Usare il principio delle corse per mostrare che G 2 A 2 ; [Sugg:Sia f (a 2 )=(a + a 2 ) /2 a a 2, mostrare che f (a 2 ) 0] (c) Mostrare che G n A n, n 2 [Sugg.: Mostrare che f (a n ) = A n G n 0]. 24. Siano n ed m interi positivi, a e b numeri reali positivi.

15 4.. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI 93 (a) Verificare che: (a n b n )=(a b) a n + a n 2 b + a n 3 b ab n 2 + b n ; (b) Sia f (x) =x n. Usare il risultato in (a9 per mostrare che f 0 (a) = na n ; (c) Sia g (x) =x n. Usare (b) per mostrare che g 0 (a) = na n ; (d) Sia h (x) =x m/n. Usare (a) per mostrare che h 0 (a) = m n a(m n)/n [Sugg.: xm/n a m/n x /n m a /n m = x a x /n n a /n n ]. (e) Sia k (x) =x m/n. Mostrare che k 0 (a) = m n a (m+n)/n 25. Nell esercizio precedente si è mostrato che se r è razionale, allora si ha d dx xr = rx r. In questo esercizio estendiamo il risultato al caso in cui r è un reale qualsiasi. Siano p e q razionali tali che p<r<q. (a) Assumiamo che x>0. Spiegareperchésihache x p x < xr x < xq x [Sugg: Considerare separatamente i casi 0 <x< e x>]; x (b) Usare il risultato in (a) per mostrare che p lim r x x q ; x (c) Spiegare perché il risultato in (b) implica che lim r x x = r ; (d) Supponiamo che c sia un reale qualsiasi e a 6= 0. Mostrare che x c a c x a = µ w c w µ w a c = w c c a c ; w (e) Usare (c) e (d) per mostrare che (x c ) 0 = cx c per ogni numero reale c.

16 94 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI 4..5 Esercizi su Massimi e Minimi. Dire su quali intervalli sono crescenti, e su quali decrescenti, le seguenti funzioni. Trovare tutti i massimi e minimi locali. (a) f (x) =x 3 3x 2 +5; (b) f (x) = 8x 9 +9x 8 5; (c) f (x) =7x 9 8x (d) f (x) =5x 6 +6x 5 5x Trovare il valore massimo ed il valore minimo delle seguenti funzioni, negli intervalli assegnati. (a) f (x) =x 3 3x +5; [0, 2] (b) f (x) =+2x 3 x 4 ;[, 2] (c) f (x) = x 3/x ;[/4, ] (d) f (x) =x 3 x 2 ;[ 2, 0] 3. Trovare il valore massimo ed il valore minimo della funzione f (x) =x 4 3x 2 +6su ognuno dei seguenti intervalli: (a) [ 2, 2] ; (b) [ 4, 2] ; (c) [, 2] ; (d) [, ]. 4. Una particella si muove lungo l asse delle x con equazione oraria x (t) = 3t 5 25t 3 +60t, t > 0. Per quali valori di t la particella si muove verso sinistra? 5. Una particella si muove lungo l asse delle x con velocità data da v (t) =t 2. Che spazio percorre la particella nell intervallo di tempo t 3? 6. Supponiamo di azionare i freni su di un auto viaggi a 50 km/h eche questa azione dia all auto una accelerazione negativa di 5 m/ sec 2. Quanto tempo occorre perché l auto si fermi? Che distanza percorre l auto prima di fermarsi? 7. Un auto che viaggia a 80 km/h non si ferma al segnale di stop. Tre secondi più tardi un auto della polizia parte, dall altezza del segnale con un accelerazione costante di 8 m/ sec 2 Con quale velocità la macchina della polizia supera l automobile pirata? 8. Supponiamo che un rettangolo abbia la sua base sull asse delle x e i due angoli superiori sulla curva y =2 x 2. Qual è il massimo perimetro del rettangolo? 9. Trovare il punto di minima distanza dalla curva xy =4all origine.

17 4.. DERIVATE DELLE POTENZE E DEI POLINOMI Quanto vale l area del più grande rettangolo che ha la sua base sull asse x e gli angoli superiori sulla curva y =2 x 2?. Il costo del combustibile in una nave di lusso è proporzionale al quadrato della velocità. Alla velocità di 0 km/h il combustibile costa.500 Euro/h. Assumendo che la nave debba percorrere una distanza totale di D chilometri, trovare la velocità che minimizza il costo del viaggio. La velocità dipende da D? 2. Una scatola aperta si ottiene tagliando un quadrato di lato w dai quattro angoli di un rettangolo di misura 24 e 32 centimetri e piegando quindi i lati. 3. Quanto deve valere w per ottenere il massimo volume? 4. Una scatola aperta della capacità di 0 m 3 ha una lunghezza doppia della larghezza.. Il materiale di cui è fatta la scatola costa 00 Lire/m 2. Quale sono le dimensioni della scatola che ne minimizzano il costo? Quanto costa? 5. Un bicchiere può essere prodotto al costo di 600 Lire l uno. Al prezzo di 2000 Lire al pezzo, se ne possono vendere 000. Per ogni 00 lire di sconto si possono vendere 50 bicchieri in più. Quale prezzo massimizza il profitto? Quanti bicchieri vengono venduti a tale prezzo?

18 96 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI 4.2 Derivata dell Esponenziale e del Logaritmo Usare la definizione di limite del rapporto incrementale per trovare la derivata di una funzione algebrica può essere complicato, ma di solito è routine Esempio 27 Se f (x) = x + trovare f 0 (x). Soluzione. Ecco come si calcola il limite f 0 f (x + h) f (x) (x) = lim x + h + x + = lim = lim h 0 x + h + x + h (x + h +) (x +) = lim x + h ++ x + x + h ++ x + x + h ++ x + = lim h 0 x + h ++ x + = 2 x +. Abbiamo usato un trucco algebrico nella terza riga, ma a parte questo il calcolo non presenta difficoltà. Le funzioni non algebriche, - quelle senza una formula algebrica - sono chiamate trascendenti. Le funzioni esponenziali, i logaritmi e le funzioni trigonometriche sono tutte funzioni trascendenti. Trovare le derivate delle funzioni trascendenti è molto più complicato. Senza formule algebriche, i limiti che definiscono le derivate, normalmente non possono essere risolti con gli usuali trucchi algebrici. Avremmo bisogno di altri metodi. Non volendo entrare nella complicazione della teoria daremo, senza dimostrazione il valore della derivata della funzione f (x) =e x Derivata delle funzioni Esponenziali Teorema 28 La derivata della funzione f (x) =e x èlafunzionef 0 (x) =e x. Teorema 29 Se g (x) =b x,allorag 0 (x) =b x ln b. Dimostrazione. Iniziamo scrivendo la derivata come limite del rapporto incrementale g 0 g (x + h) g (x) (x) = lim b x+h b x = lim = b x b h lim =lim h 0 b x bh h

19 4.2. DERIVATA DELL ESPONENZIALE E DEL LOGARITMO 97 Se esiste il b h lim = k abbiamo mostrato che (b x ) 0 = kb x. Si tratta di mostrare che il limite esiste ed il valore di k. L ideachiavepermostrarel esistenzadellimiteedilsuovaloreènotareche possiamo scrivere b h b h b 0 k =lim =lim =lim h 0 g (h) g (0) h cioè che k non è altro che il valore della derivata della funzione g nel punto x =0, o dal punto di vista grafico, il valore del coefficiente angolare della retta tangente al grafico di g nel punto (0, ). Per conoscerne il valore ricordiamo che se f (x) =e x,allora g (x) =b x = e x ln b = f (x ln b). Usando il linguaggio geometrico, possiamo dire che g è ottenuta da f per compressione orizzontale del fattore ln b. Sappiamo che il valore della derivata di e x nel punto x =0,cioè il coefficiente angolare della retta tangente ad f (x) =e x nel punto (0, ) vale. Il grafico di g ha allora retta tangente con coefficiente angolare ln b nel punto x = Derivata delle funzioni Logaritmo Per trovare la derivata delle funzioni logaritmo f (x) =log b x useremo la conoscenza della derivata sua funzione inversa f (x) =b x. Riportiamo subito le conclusioni, che verificheremo più avanti. Teorema 30 Perognivalorepositivodib 6= si ha Se b = e, si ha (log b x) 0 = x ln b. (ln x) 0 = x. L idea chiave è che, per ogni b 6= la funzione b x e log b x sono una l inversa dell altra. Geometricamente, questa relazione significa che ognuno dei due grafici può essere ottenuto dall altro per riflessione rispetto alla retta y = x. La seguente figura, che mostra il caso b = e, illustra un dato cruciale: come questa riflessione si ripercuote sulla retta tangente.

20 98 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI x Funzioni inverse e loro derivate Notiamo i seguenti fatti relativi al grafico disegnato: Punti Simmetrici Un punto P =(x, y) appartiene ad un grafico se e solo se il punto P 0 =(y, x) appartiene all altro. Rette Tangenti Simmetriche Consideriamo le rette tangenti ai due grafici nei punti P e P 0 rispettivamente (una coppia di questa forma è disegnata).: Così come i grafici delle funzioni, queste rette tangenti sono simmetriche rispetto alla retta y = x. Ne segue che i coefficienti angolari delle rette tangenti nei punti P e P 0 sono reciproci. Coefficienti Angolari Reciproci Il coefficiente angolare della retta tangente nel punto P 0 =(lna, a) è la derivata della funzione y = e x nel punto x =lna. Abbiamo detto che (e x ) 0 = e x, quindi la retta tangente in P 0 ha coefficiente angolare e ln a = a. Ne segue che la retta tangente in P =(a, ln a) ha coefficiente angolare /a, così come afferma il teorema. Ricordiamo infine che, per ogni base b si ha che log b x =lnx/ ln b. Applicando la regola di derivazione per la moltiplicazione di una funzione per una costante, si ottiene la regola generale. Primitive delle Funzioni Esponenziali e Logaritmiche Le formula per le derivate delle funzioni esponenziali sono facilmente reversibili, possiamo quindi senza troppi problemi affermare il seguente teorema. Teorema 3 Sia C una costante positiva e b una base positiva. Se f (x) = e x,allora F (x) =e x + C è una primitiva di f. Se g (x) =b x, allora G (x) = b x + C è una primitiva di g. ln b

21 4.2. DERIVATA DELL ESPONENZIALE E DEL LOGARITMO 99 La ricerca della primitiva per la funzione logaritmo è meno semplice, e non possediamo in questo momento gli strumenti per ricavarla (lo vedremo più avanti), ci limitiamo quindi ad asserirla. Affermazione 32 Sia C una costante. Se f (x) = lnx, allora F (x) = x ln x x c è una primitiva di f. Sebbene l affermazione sembri uscita dal cilindro di un prestigiatore, sarà facile verificarne la validità appena avremo sviluppato i metodi per la derivazione. Per mostrare come si arriva a questa formula dovremo aspettare di aver introdotto l operazione di integrazione e le sue proprietà. Esempio 33 Trovare una primitiva della funzione f (x) =3e x 2lnx. Soluzione. Usando il Teorema e l affermazione Precedenti possiamo dire che F (x) =3e x 2(x ln x x)+c è una primitiva della funzione f, qualunque sia il valore della costante C. Esempio 34 Sia f (x) =e x =exp(x). Trovare una funzione lineare L ed una quadratica Q che approssimino f nell intorno di x =0, seguendo la seguente procedura: (a) Trovare il valore delle costanti a e b tali che la funzione lineare L (x) =a+bx abbialostessovaloredif edif 0 in x = 0, cioè tali che L (0) = f (0) e L 0 (0) = f 0 (0) ; (b) Trovare il valore della costanti a, b, e c, tali che la funzione quadratica Q (x) =a + bx + cx 2 abbialostessovaloreelestessedueprimederivatedif in x =0, cioè tali che Q (0) = f (0),Q 0 (0) = f 0 (0) e Q 00 (0) = f 00 (0) ; (c) Disegnare i grafici di f, L e Q sullo stesso sistema d assi. Qual è l approssimazione di L ediq rispetto ad f nell intervallo [ 0.5, 0.5]? Soluzione. Osserviamo immediatamente che f (x) =f 0 (x) =f 00 (x); in particolare f (0) = f 0 (0) = f 00 (0) =. (a) Sia L (x) =a + bx. Cerchiamo i valori di a edib. Notiamo subito che L (0) = a equindi,poichédeveesserel (0) = f (0) = si ha che a =. Inoltre, la derivata di L è L 0 (x) =b. Ne segue che L 0 (0) = f 0 (0) = implica b =. Quindi L (x) =+x. (b) Sia Q (x) =a+bx+cx 2. Dobbiamo, anche in questo caso trovare i valori di a, b e c. Operando come in (a) si ha che Q (0) = f (0) = = a =; Q 0 (0) = f 0 (0) = = b =. Si ha quindi, Q (x) =+x+cx 2 e dobbiamo ancora trovare c. Poiché è Q 00 (x) = 2c si ha Q 00 (x) =2c = f 00 (0) = = c =/2. Ne segue che si ha Q (x) =+x + 2 x2. (c) Ecco di seguito i grafici delle tre funzioni (l esponenziale è il più scuro)

22 200 CAPITOLO 4. LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI x Due approssimazioni di y = e x La figura mostra che vicino a x =0sia L che Q approssimano bene f; Q ancora meglio di L. Una osservazione più ravvicinata dei valori di delle funzioni per x nell intervallo [ 0.5, 0.5] mostra che f (x) L (x) f (0.5) L (0.5) 0.5 f (x) Q (x) f (0.5) Q (0.5) x Due approssimazioni di y = e x Esercizi. Per ognuna delle funzioni seguenti, calcolare la funzione derivata (a) f (x) =2e x + π ; (b) f (x) =e 3 5e x ; (c) f (x) =2e x+ ; (d) f (x) =2 x + x +; (e) f (x) =2 3 x ; (f) f (x) =e π π x + x π ; (g) f (x) =x ln 5 ;

23 4.2. DERIVATA DELL ESPONENZIALE E DEL LOGARITMO 20 (h) f (x) = 3lnx ; (i) f (x) =2log 3 x ; (j) f (x) =(ln7) x. 2. Calcolare le derivate seconde delle funzioni dell Esercizio. 3. Trovare la primitive delle funzioni dell Esercizio. 4. Qual è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva y =3 x nel punto x =0? 5. Qual è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva y =log 3 x nel punto x =? 6. la posizione di una particella sull asse x al tempo t > 0 (espresso in secondi) è data da x)t =lnt metri. (a) Trovare la velocità media della particella nell intervallo t e ; (b) Trovare la velocità istantanea della particella al tempo t = e. 7. Trovare l equazione della retta tangente al grafico di y = e x nel punto x =0. 8. Sia f (x) = x ln x. (a) Mostrare che f raggiunge il suo minimo valore per x =4; (b) Mostrare che f ha un flesso per x =6. 9. Sia f (x) =lnx e x. (a) Mostrare che f raggiunge il suo massimo (globale) per x =; (b) Mostrare che f è concava in tutto il dominio. 0. Siano f, L, Q come nell Esempio (34) (a) Trovare il valore della costante d per il quale la funzione cubica C (x) =Q (x) +dx 3 ha le proprietà C (0) = f (0),C 0 (0) = f 0 (0), C 00 (0) = f 00 (0), e C 000 (0) = f 000 (0) ; (b) Disegnare (con l aiuto di un calcolatore) f, L, Q e C sullo stesso sistema d assi, nell intervallo [ 3, 3] ; (c) Trovare un intervallo sul quale f (x) L (x) 0. ; (d) Trovare un intervallo sul quale f (x) Q (x) 0. ; (e) Trovare un intervallo sul quale f (x) C (x) 0... Sia f (x) =lnx. (a) Trovare il valore delle costanti a e b tali che la funzione lineare L (x) = a + b (x ) ha le proprietà L () = f () e L 0 () = f 0 () ;

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