INFINITA DEI NUMERI PRIMI PALINDROMI DECIMALI

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1 INFINITA DEI NUMERI PRIMI PALINDROMI DECIMALI Gruppo Riemann* Nardelli Michele, Francesco Di Noto *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. Abstract In this paper we show our proof on the infinity palindrome prime numbers Riassunto In questo lavoro cercheremo di dimostrare l infinità dei numeri primi palindromi, problema ancora irrisolto della matematica Quello dell infinità o meno dei numeri primi palindromi in base 10, così come lo riporta Wikipedia alla voce Problemi irrisolti in 1

2 Matematica Dimostrazione dell'infinità dei primi palindromi in base 10, è un altro dei problemi ancora irrisolti in matematica Prima di affrontare l argomento, riportiamo la voce Numeri primi palindromi Primo palindromo Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Un primo palindromo è un numero primo che è anche un numero palindromo, ossia rimane invariato leggendolo da destra a sinistra. La palindromicità dipende dalla base del sistema di numerazione, a differenza della primalità che è indipendente dalla base. I più piccoli primi palindromi in base 10 sono (sequenza A dell'oeis): 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181, 18481, 19391, 19891, Si può notare che nella lista non vi sono primi palindromi di 2 o 4 cifre, fatta eccezione per 11, quarto elemento della lista. Considerando il test di divisibilità per 11, si può facilmente dedurre che tutti i numeri palindromi con un numero pari di cifre sono divisibili per 11 e, quindi, non sono primi. Non si sa se vi siano infiniti numeri primi palindromi in base 10. Ad aprile 2012 il più grande primo palindromo conosciuto è composto da cifre e scoperto da Darren Bedwell. [1] Paulo Ribenboim attribuisce comunque a Harvey Dubner il titolo di principale scopritore di primi palindromi grandi dal momento che la scoperta della maggior parte dei più grandi numeri primi di questo tipo porta la sua "firma". In binario, i primi palindromi più facili da trovare sono i primi di Mersenne, poiché sono anche primi repunit. I primi 4 numeri primi palindromi in base 2, eccettuando i primi di Mersenne, sono 5 (101), 17 (10001), 73 ( ) e 107 ( ). Ribenboim definisce primi triplamente palindromi quelli che, oltre ad essere palindromi, hanno anche un numero di cifre che è un primo palindromo. Per esempio, , che ha cifre. O anche 11, essendo un primo palindromo ed essendo composto da due cifre. È possibile che un primo triplamente palindromo in base 10 possa essere palindromo in qualche altra base, per esempio nel sistema binario, ma sarebbe una coincidenza notevole se esso fosse triplamente palindromo anche in quella base. 2

3 In rosso il riferimento al problema della loro infinità, del quale ci occuperemo in questo lavoro. Innanzitutto ci occuperemo della loro forma numerica, della loro distribuzione e infine della nostra proposta di dimostrazione, basata sulla tecnica di: - prendere un qualsiasi numero - scriverlo al contrario (immagine speculare) - togliere una cifra centrale, delle due uguali che ne risultano - verificare se è primo (in tal caso, risulterà nella sequenza A dell'oeis), fino a La nostra ipotesi è, come vedremo, che tale lista sia infinita, se continuata dopo il suddetto numero, formato, in base al metodo già parzialmente noto, dal numero base : 199 scritto al contrario, diventa 991 incollato a destra 199, abbiamo il nuovo numero , con due cifre centrali uguali (in blu) Ne togliamo una (in questo caso un 9), rimane il numero 19991, di cinque cifre,che è anche numero primo e quindi compreso nella lista OEIS. (i numeri palindromi con un numero pari di cifre, ricordiamo, non possono essere primi, perché sono divisibili per 3

4 11). Se prendiamo invece 173, abbiamo invece 173, , meno una cifra centrale ripetuta, e abbiamo 17371, che non è primo, e quindi non è nella lista. (si può anche lasciare la cifra centrale, in tal caso si ha un altro numero palindromo con un numero di cifre pari, e quindi non primo (non esistono infatti primi palindromi con un numero pari di cifre, tranne il numero 11, unica eccezione); le ripetizioni di cifre sono consentite, infatti nella lista OEIS sono presenti numeri primi con cifre ripetute, per esempio 13331, 15551, ecc.) I numeri primi palindromi in base 10 sono quindi un sottoinsieme infinito di tutti i numeri ottenuti con tale metodo, poichè infinito è anche l insieme dei numeri di tale forma palindroma generale (tutti gli infiniti numeri n di c cifre possono essere trasformati in numeri palindromi di 2c cifre se c di n è dispari, e di 2c cifre se c di n è pari). Questo giustifica l eccezione di 11, poichè 1 scritto al contrario rimane 1 e aggiunto all 1 iniziale fa 11, numero primo. Tutte le altre cifre singole, diventano numeri multipli di 11, che non sono primi; per esempio 22, 33, 44, ecc. come accennato anche nel testo di Wikipedia. Per i quadrati dei numeri repunit 4

5 abbiamo numeri palindromi ma non primi; essendo quadrati 11*11 = 121 palindromo di tre cifre ma non primo 111*111= palindromo di cinque cifre 1111*1111 = palindromo di sette cifre 11111*11111= palindromo di nove cifre * = palindromo di undici cifre * = palindromo di 13 cifre * = palindromo * = palindromo * = palindromo Ora invece del 10, come cifre centrali abbiamo 9009 Per ^2 = , che non è più palindromo; nella prima metà manca anche la cifra 8. Ovviamente, per poter essere anche primi (ma non sempre), i numeri palindromi con un numero dispari di cifre, debbono iniziare e terminare con cifre dispari, tranne il 5 (altrimenti sono multipli di 5 e quindi non primi). Ma ritorniamo alla forma numerica 6k-1 oppure 6k +1 dei numeri primi palindromi (tranne il 2 e il 3 iniziali). Ricordiamo la loro 5

6 sequenza: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181, 18481, 19391, 19891, Tabella 1 Numeri palindromi Forma 6k-1 Forma 6k+1 primi 5 6*1-1 = 5 7 6*1+1 = *2-1 = *17-1 = *22-1 = *25+1= *30+1= * *52+1 Osservazioni: le forme aritmetiche dei numeri primi palindromi sono miste, a differenza di altri tipi di numeri primi che sono solo di una sola forma, come per esempio i numeri primi di Fermat (di forma 6k - 1), per es. 5,17, 257; o di Mersenne (6k +1), per esempio 7, 31, 127, tranne il 3 iniziale in entrambi i casi, ecc. Distribuzione Circa la loro distribuzione fino a 10^n, importante per la dimostrazione, vediamo che: 6

7 TABELLA 2 n 10^n Numero di primi palindromi Rapporto crescente p(n) /n p(n) *n ,5* n ,66 *n Da 1000 a 9999, numeri di 4 cifre, non ci sono primi palindromi ,66*n 4, ,69*n Da a non ci sono palindromi, poiche sono numeri di 6 cifre Poichè p(n) (da non confondere con p(n), partizioni di numeri) cresce sempre più con N, sia pure irregolarmente, e anche e il rapporto p(n)/n, ciò significa che il numero di primi palindromi cresce all infinito, e quindi che essi sono infiniti. La lista OEIS non è disponibile sul Web e quindi non possiamo vederne il relativo grafico; ma sarebbe stato interessante notare come per potenze dispari di 10, essendo seguite da tutti numeri pari, il grafico è piatto; per esempio da 10^3 = 1000 a 7

8 9999 non ci sono numeri palindromi (essendoci solo numeri con 4 cifre, e 4 è pari), e il grafico è piatto, mentre si impenna subito dopo una potenza pari di 10, seguita da numeri con c numero di cifre dispari, che consente l esistenza di numeri primi palindromi: per es. da 10^2= 100 fino a 999 ci sono ben quindici numeri primi palindromi da, che sommati ai cinque numeri primi palindromi fino a 100, abbiamo un totale di 20 fino a 1000, vedi Tabella 2. Insomma si avrebbe un grafico a scalini, ma che comunque tende all infinito per i valori di y = P(n), il che mostra l infinità dei numeri palindromi in base 10. Inoltre con il metodo prima descritto possiamo creare tutti i numeri palindromi che vogliamo (ovviamente solo con un numero dispari di cifre), e poi testare se sono primi, e aggiungerli alla loro lista, che su Wikipedia si ferma a Ma che, come abbiamo provato a dimostrare, è infinita. Attendiamo eventuali validi contributi e/o conferme (oppure fondate smentite) da altri ricercatori sull argomento. Curiosità (Da Facebook, Numeri Primi DAY Piramidi palindrome di numeri primi (con al centro sempre la 8

9 stessa cifra Altra piramide di palindromi (stessa fonte) PIRAMIDI PALINDROME di numeri PRIMI Dal sito areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmls/info/numeri/mar09/m ar09.htm - 23k invece, riportiamo parzialmente : Dal Daily Telegraph, 21 febbraio 2002, il momento più palindromo del secolo. Anche fra i numeri ci sono i palindromi, che potremmo definire i narcisi dei numeri, poiché si riflettono identici, come in uno specchio. Il 2002 è stato un anno palindromo, come il Ed è raro che una persona incontri due anni palindromi nel corso della sua vita. Un evento del genere potrebbe capitare soltanto nel 2992 e Il prossimo anno palindromo sarà invece il In particolare sono oggetto di studio e di vaste indagini i palindromi che sono anche numeri primi. Il più piccolo, a parte le nove cifre decimali, è 11 che è anche l unico primo palindromo con un numero pari di cifre. 9

10 Tutti gli altri palindromi con un numero pari di cifre, sono infatti divisibili per 11. E questo discende dal criterio di divisibilità per 11: un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle sue cifre di posto dispari e quella delle cifre di posto pari è uguale a zero oppure è un multiplo di 11. E per un palindromo con un numero pari di cifre la differenza fra le due somme indicate è sempre zero. Ad esempio, è divisibile per 11 e il risultato della divisione è I palindromi primi di tre cifre sono quindici: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919 e 929. Non ne esistono con quattro o sei cifre, mentre sono 93 a cinque cifre: 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, Il più piccolo numero primo di sette cifre contenente soltanto le cifre 7 e 8 è palindromo: Il più piccolo numero primo palindromo che contenga tutte e dieci le cifre decimali è Il più grande primo palindromo oggi noto è, al momento in cui vengono scritte queste righe, quello scoperto da Harvey Dubner nell aprile del E un numero di cifre (anche questo è un numero primo palindromo) che inizia è termina con 1; tra questi due 1 c è una sequenza di zero, con al centro un altro piccolo palindromo. Senza scrivere tutti gli zero, il numero è il seguente: Il record precedente era sempre di Dubner con il seguente numero, di cifre (ancora un numero primo palindromo) trovato nel gennaio dello stesso anno: Ancora qualche curiosità sui palindromi. Il numero è il più grande numero non palindromo il cui quadrato sia un palindromo: Una somma di tre numeri palindromi che è ancora un palindromo: = Ed ecco una bella piramide di numeri palindromi primi, proposta da G. L. Honaker, Jr. 10

11 Commento: come vediamo, ci sono numeri primi palindromi molto grandi: anche questo è un indizio della loro infinità (a differenza dei numeri primi di Fermat, che essendo rarissimi, rendono molto difficile la dimostrazione della loro infinità). Conclusioni Possiamo concludere, dalle loro tabelle e dalle altre considerazioni, che i numeri primi palindromi sono infiniti, e quindi possiamo considerare il relativo problema definitivamente risolto in senso positivo 11

12 Riferimenti 1) Numero primo palindromo, Wikipedia 2) Sito areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmls/info/numeri/mar09/m ar09.htm - 23k Altre curiosità sui numeri palindromi (dal sito Numeri palindromi di Flavio Cimolin I numeri palindromi sono una di quelle curiosità che gli appassionati di matematica non possono lasciarsi sfuggire. Tanto per rinfrescarci le idee, un numero è palindromo se può essere letto indifferentemente da sinistra verso destra (come di solito facciamo) oppure da destra verso sinistra. Ad esempio è un numero palindromo, così come Vediamo una prima cosa divertente: scriviamo in fila a partire da 1 un numero pari di numeri consecutivi, ad esempio A questo punto rendiamo palindromo il numero ritornando nuovamente a 1: otteniamo Il numero palindromo che abbiamo ottenuto è divisibile per 11, che è un numero palindromo. Il quoziente della divisione è, guarda caso, un altro numero palindromo, nientepocodimeno che Se dividiamo ancora questo numero per 11 otteniamo , ancora una volta un numero palindromo, in cui fra ogni cifra sì è interposto uno zero! Tra l'altro, i numeri 121, 12321,... non sono nient'altro che le potenze successive di 11 (121=11^2, 12321=111^2,...). Alcuni (indubbiamente pazzi) matematici si sono tremendamente divertiti a trovare i più grandi numeri quadrati, cubici, triangolari,... che siano dei palindromi. Qualcuno indubbiamente proverà soddisfazione nello scoprire che il numero palindromo

13 un simpatico numero di 52 cifre, è un quadrato perfetto. Meno interessante potrebbe invece essere sapere che si ottiene elevando alla terza potenza Per non parlare del fatto che sommando tutti i numeri naturali da 1 a (palindromo), si ottiene ancora un numero palindromo: Niente male, eh! Fin qui, direte, è tutto frutto di ricerca al computer, e non c'è nulla di matematicamente interessante. E invece, strano a dirsi, esiste una congettura tuttora indimostrata riguardante proprio i numeri palindromi. Tutto nasce dalla seguente domanda: "Prendi un numero, inverti le sue cifre e somma il numero che ottieni a quello iniziale. Se il risultato non è un numero palindromo, ripeti il procedimento. E' vero che in questo modo partendo da qualunque numero prima o poi si ottiene sempre un numero palindromo?" Per capirci, prendiamo ad esempio il numero 87: = 165; = 726; = 1353; = In soli quattro passaggi abbiamo ottenuto il numero palindromo 4884 a partire dal numero originale 87. Ma capita sempre così? Se avrete la voglia di provare ad applicare il procedimento vi accorgerete ben presto che la maggior parte dei numeri convergono effettivamente verso un numero palindromo in pochissimi passaggi, quindi si potrebbe avanzare l'ipotesi che ciò accada in un numero finito di iterazioni per qualsiasi numero di partenza scelto. Ebbene, sembra essere così per praticamente tutti i numeri, tranne che per pochissimi di essi. Il più piccolo numero che si ostina a non diventare palindromo è 196, e per questo il problema in questione è anche noto come problema del 196. Sono state infatti calcolate al computer milioni e milioni di iterazioni del procedimento senza riuscire ad ottenere un numero palindromo! Sembra proprio che il 196 sia un "numero maledetto" per i palindromi. In rosso le nostre correzioni, infatti nel testo originale era scritto Tra l'altro, i numeri 121, 12321,... non sono nient'altro che le potenze successive di 11 (121=11 2, 12321=11 3,...). che caso mai doveva essere scritto cosi: 121= 11^2, = 111^2, e 13

14 12321 non è potenza di 11, ma di 111, essendone il quadrato. FINE 14

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